transformasi laplace - … · pemetaan konformal pemetaan konformal adalah suatu pemetaan yang...

TRANSFORMASI LAPLACE

……Lanjutan

Pemetaan Konformal

Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga

ukuran maupun pengertian sudut.

Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram

tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan

Nyquist.

Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai

pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z /

bidang F(s).

Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’

pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.

Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan

suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva

halus s=s( ), yang melalui suatu titik ordiner.

Jika kita tulis zo=F(so), maka:

)ss(ss

)s(F)s(Fzz o

o

oo

Dengan demikian,

oo

oo ss

ss

)s(F)s(Fzz

s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke s.

Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s( ), maka s - so adalah sudut 1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada so.

Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh

1 - 1 = F’(so)

Dengan kurva halus yang lain s=s2( ), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

2 - 2 = F’(so)

Oleh karena itu

1 - 1 = 2 - 2

atau

2 - 1 = 2 - 1

Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.

Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s) 0.

Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai

0

dte )t(f)s(F)]t(f[L st

dengan:

f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0

s = variabel kompleks

6

0

stdte)t(f)s(F)]t(f[L

1dte)t()]t([L0

st

0st

0

st0 edte)tt()]t(f[L

f(t)

t )t(

t

f(t)

)tt( 0

0t

Contoh fungsi Dirac

Contoh

•Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A untuk t > 0

s

A

s

eAdtAe)}t(f{

stst

00

L

f(t)

t

A

Jawab:

8

2

0

st

0

st

0

st

s

adte

s

a

s

atedtate)]t(r[L

0t untuk at)t(ff(t)

t

•Transformasi Laplace dari fungsi Ramp

•Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = Ae-at untuk t > 0

Jawab:

00dteAdteAe}Ae{ t)as(statat

L

)as(

A

)as(

eA

t)as(

0

e-at

t

A

•Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A sin t untuk t > 0

Jawab:

0dte tsinA}tsinA{ st

L

02

dte)ee(j

A)}t(f{ sttjtj

L

ej t = cos t + j sin t e-jwt = cos t - j sin t

)ee(j

tsin tjtj

2

1

22

1

2

1

2 s

A

jsj

A

jsj

A

f(t) F(s)

Step function, u(t)

e-at

te-at

sin( t )

cos( t )

t n

1/s

1/(s+a)

1/(s+a)2

/ ( s2 + 2)

/ ( s2 + 2)

n!/sn+1

)ee(ab

btat1

)bs)(as(

1

f(t) F(s)=L[f(t)]

ntate

)t( 1

)t(u

t

)atsin(

)atcos(

)at(sh

)at(ch

)1n(s/!n

2s/1

)as/(1

)as/(a 22

)as/(s 22

)as/(a 22

)as/(s 22

s/1

)atsin(ebt]a)bs/[(a 22

)bs)(as/(1

]a)bs/[()bs( 22)atcos(ebt

ba)ab/()ee( atbt

ba)bs)(as/(s)ab/()aebe( atbt

SIFAT LINIERITAS )]t(f[L)s(F 11

)]t(f[L)s(F 22

tstanConsc,c 21

)s(F.c)s(F.c

)]t(f[L.c)]t(f[L.c

)]t(f.c)t(f.c[L

2211

2211

2211

SIFAT TRANSLASI

)as(F)]t(fe[L ata) Jika F(s)=L[f(t)]

)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(

0

st

0

atat

Contoh 4s

s)]t2(Cos[L

2

5s2s

1s

4)1s(

1s)]t2(Cose[L

22

t

15

• Translasi [time]

b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a

= 0 for t<a

)s(Fe)]t(g[L as

due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su

0

as)au(s

0

st

0

a

t

f(t) g(t)

Contoh 44

3

s

6

s

!3]t[L

2t,0)t(g

2t,)2t()t(g 3

4

s2

s

e6)]t(g[L

16

•Perubahan skala waktu )a

s(F

a

1)]t.a(f[L

)a

s(F

a

1

a

due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a

su

0

st

0

Contoh

1s

1)]t(Sin[L

2 9s

3

13

s

1

3

1)]t3(Sin[L

2

2