topologi kompak lokal hausdorff
Post on 24-Dec-2015
32 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFFPADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA
Oleh:
Azico Sudhagamaazico.sudhagama@yahoo.co.uk
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Matematika
Dosen Pembimbing: Rizky Rosjanuardi & Isnie Yusnitha
Abstrak
Aljabar-C ¿ telah banyak dimodelkan melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997) menyatakan bahwa unit space dari groupoid G merupakan ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga E. Webster (2010) mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga. Pada tulisan ini dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi topologi pada
ruang E∞ yang merupakan subruang dari topologi produk ∏N
E1. Dijelaskan pula
basis dari ruang topologi E∞.
Kata Kunci: Ruang Lintasan Tak Hingga, Graf Berarah Baris-Berhingga,
Himpunan Silinder, Topologi Kompak Lokal Hausdorff.
Abstract
A C ¿-algebra can be modeled using graph and groupoid approach. According to Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997), unit space of groupoid G is the infinite path space E∞ of row-finite directed graph E. Furthermore, Webster (2010) study how to construct locally compact Hausdorff on infinite path space E∞ of row-finite directed graph. In this paper, we study how to construct topology on space E∞ which is
subspace of product topology ∏N
E1. Moreover, we will explain basis of topological
space E∞.
Keyword: Infinite Path Space, Row-Finite Directed Graph, Cylinder Set,
Locally Compact Hausdorff Topology.
1. Pendahuluan
Graf berarah E=(E0 , E1 , r , s) adalah obyek kombinatorial yang terdiri dari titik
dan sisi. Sisi-sisinya berorientasi menghubungkan sepasang titik. Lintasan berhingga
E¿ dari graf berarah baris-berhingga E merupakan gabungan dari lintasan En dimana
μ=μ1… μn sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk 1 ≤i ≤ n−1. Sedangkan lintasan
tak hingga E∞ dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn … sedemikian
sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk i>1.
Ruang lintasan dari graf berarah memainkan peranan penting dalam studi aljabar-
C ¿. Hal ini terjadi karena aljabar-C ¿ telah berkembang dan banyak dimodelkan
melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn dan Renault (1997)
menyatakan bahwa unit space dari groupoid G merupakan ruang lintasan tak hingga
E∞ dari graf berarah baris-berhingga E. Beberapa tahun kemudian, Webster (2010)
mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal
Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga E.
2. Konsep Dasar Topologi
Misal X suatu himpunan dari obyek-obyek yang disebut titik-titik dari X .
Topologi di X merupakan koleksi tak kosong
τ⊂2X
dari subhimpunan-subhimpunan di X , yang memenuhi empat aksioma berikut:
(i) himpunan ∅ adalah himpunan buka,
(ii) himpunan X sendiri adalah himpunan buka,
(iii) gabungan dari sembarang keluarga himpunan-himpunan buka adalah
himpunan buka,
(iv) irisan berhingga dari himpunan-himpunan buka adalah himpunan buka.
Basis dari topologi τ di X adalah subkoleksi β dari τ sedemikian sehingga setiap
himpunan buka U ∈ τ merupakan gabungan dari beberapa himpunan (buka) di β.
Dengan kata lain, untuk setiap U ∈ τ dan untuk setiap titik x∈U , terdapat V ∈β
sedemikian sehingga x∈V ⊂U .
Misalkan X dan Y ruang topologi. Fungsi f : X → Y dikatakan kontinu jika untuk
setiap subhimpunan buka V dari Y , himpunan f−1(V ) merupakan subhimpunan
buka dari X .
Teorema 2.1[1] Jika f : X → Y merupakan fungsi dari ruang topologi X ke ruang
topologi Y dengan basis dan sub-basis yang diberikan pada topologinya, maka
pernyataan berikut ekuivalen
(i) Fungsi f : X → Y merupakan fungsi kontinu
(ii) Pra-peta f−1(U ) dari setiap himpunan buka U di Y adalah buka di X .
(iii) Pra-peta f−1(V ) dari setiap basic open set V di Y adalah buka di X .
(iv) Pra-peta f−1(W ) dari setiap sub-basic open set W di Y adalah buka di X .
Diberikan X dan Y merupakan ruang topologi. Misal f : X → Y merupakan fungsi
bijeksi. Jika fungsi f dan fungsi invers f−1:Y → X kontinu, maka f disebut
homeomorfisma. Lebih lanjut, X dan Y dikatakan homeomorfik atau ekuivalen
secara topologi, bila terdapat sebuah homeomorfisma f : X → Y .
Ruang topologi X disebut ruang Hausdorff bila untuk setiap dua titik berbeda
dari X memiliki persekitaran-persekitaran yang saling lepas. Dengan kata lain,
jika a dan b merupakan dua titik yang berbeda dari X , maka terdapat himpunan
buka U dan V di X , sedemikian sehingga a∈U , b∈V , dan U ∩V=∅ .
Proposisi 2.2[1] Setiap subruang E dari ruang Hausdorff X adalah ruang
Hausdorff.
Proposisi 2.3[1] Produk topologi X dari koleksi ruang-ruang Hausdorff
{Xμ ; μ∈M } adalah ruang Hausdorff.
Diberikan X ruang topologi. Ruang X dikatakan kompak jika setiap cover buka
dari X memiliki berhingga subcover.
Proposisi 2.4[1] Setiap himpunan tutup K di ruang kompak X adalah kompak.
Akibat 2.5[1] Setiap himpunan kompak K di ruang Hausdorff X adalah tutup.
Proposisi 2.6[1] Diberikan f : X → Y merupakan fungsi kontinu bijektif. Jika X
adalah ruang kompak dan Y ruang Hausdorff, maka f merupakan
homeomorfisma.
Teorema 2.7[1] Produk topologi dari keluarga ruang-ruang kompak adalah
kompak.
Ruang topologi X dikatakan kompak lokal pada titik p∈X jika p memiliki
setidaknya satu persekitaran kompak di X . Jika X kompak lokal pada setiap
titiknya, maka X disebut ruang kompak lokal.
Basis lokal atau persekitaran basis dari ruang topologi X pada titik p∈X ,
merupakan koleksi β dari persekitaran-persekitaran p di X sedemikian sehingga
setiap persekitaran dari p di X memuat anggota dari β.
Ruang topologi X dikatakan memenuhi aksioma keterhitungan pertama (first
axiom of countability) jika X memiliki basis lokal yang terhitung disetiap titik-
titiknya.
Teorema 2.8[4] Diberikan X merupakan ruang topologi, misalkan U ⊂X . Jika
terdapat barisan dari titik-titik di U yang konvergen ke p, maka p∈U ; berlaku
kebalikan jika X memenuhi aksioma keterhitungan pertama.
3. Graf Berarah Baris-Berhingga
…μ1 μ2 μ3 μn
Sebuah graf berarah E terdiri dari pasangan
(i) E0 merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
titik.
(ii) E1 merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
sisi.
(iii) r , s : E1→ E0 merupakan dua fungsi yang disebut fungsi range dan source,
∀ e∈ E1, s(e) merupakan source dari e dan r (e ) merupakan range dari e.
(iv) Jika s (e )=v dan r (e )=w , e adalah sebuah sisi dari v ke w .
Sebuah graf berarah E disebut baris-berhingga, jika setiap titiknya menerima
paling banyak berhingga sisi, yaitu, dimana r−1 (v )≔{e∈E1;r (e )=v } adalah
himpunan berhingga untuk setiap v∈E0.
Produk dari graf berarah E dan F adalah graf
E × F=( E0 × F0 , ( E1× F0 )∪ ( E0 × F1 ) ,r × , s×), dimana r× dan s× didefinisikan
sebagai berikut:
Untuk setiap e∈ E1 , f ∈F1 , u∈E0, v∈F0 ,
r× ( e , v )=(r E (e ) , v ) r× (u , f )=(u , r F (f ) )s× ( e , v )=(sE ( e ) , v ) s× (u , f )=(u , sF (f ) )
Lintasan dengan panjang n dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn
dari sisi-sisi di E sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk 1 ≤i ≤ n−1.
Selanjutnya dituliskan |μ|=n untuk panjang dari μ. Himpunan En merupakan
himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang n. En dapat diilustrasikan
sebagai berikut
Lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn …
sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk i>1.
Untuk μ∈E ¿, kita definisikan himpunan silinder dari μ oleh
Z ( μ )≔ {ν∈ E¿∪E∞ ; ν=μν ' } .
Himpunan silinder dari lintasan μ adalah lintasan ν yang berada di E¿∪E∞,
dimana μ merupakan faktor dari ν.
4. Topologi Kompak Lokal Hausdorff pada Ruang Lintasan Tak Hingga
Lemma 4.1[6] Jika E graf berarah baris-berhingga, maka {Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿}
adalah basis untuk subruang topologi pada E∞ yang diwariskan dari ∏N
E1.
Bukti:
Untuk barisan berhingga G=(g1 , g2 , …, gN) unsur-unsur dari E1, definisikan
Z (G )≔{( em )m=1∞ ∈∏
NE1 ;en=gn untuk 1≤ n ≤ N }.
Karena E1 membawa topologi diskrit, keluarga
{Z (G );G merupakan barisan berhinggadi E1 }
merupakan basis dari topologi produk ∏N
E1.
Karena Z (G ) ∩ E∞ ≠∅ jika dan hanya jika g1 …gN∈ E¿, himpunan-himpunan
{Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿} membentuk basis untuk subruang topologi pada E∞.
Lemma 4.2[6] Untuk setiap n∈N . Jika En⊂E1 berhingga, maka produk topologi
pada ∏n∈N
En bersesuaian dengan topologi relatif pada ∏n∈N
En yang diwariskan
dari ∏N
E1.
Bukti
Notasikan ∏n∈N
En dengan X .
Misalkan τ1 merupakan topologi produk pada X , misalkan τ 2 merupakan topologi
relatif pada X yang diwariskan dari ∏N
E1, dan misalkan juga Φ merupakan
pemetaan identitas pada X .
Selanjutnya, berdasarkan Proposisi 2.6, akan ditunjukkan bahwa
Φ : ( X , τ1 )→( X , τ2)
merupakan homeomorfisma.
Karena En merupakan subhimpunan berhingga dari E1, Teorema 2.7
mengakibatkan bahwa τ1 adalah ruang kompak.
Selanjutnya, karena E1 membawa topologi diskrit, dan karena setiap ruang diskrit
merupakan ruang Hausdorff, maka E1 merupakan ruang Hausdorff. Lebih lanjut,
berdasarkan Proposisi 2.2 dan Proposisi 2.3, maka τ 2 merupakan topologi
Hausdorff.
Jadi, Φ merupakan bijeksi dari ruang kompak ke ruang Hausdorff. Oleh karena
itu, cukup ditunjukkan bahwa Φ kontinu.
Misal V=Z (G) merupakan basic open set di ∏N
E1.
Jika V ∩ X=∅ , maka Φ−1 (V ∩ X )=∅ buka di (X , τ1).
Misalkan bahwa V ∩ X ≠∅ .
Maka, berdasarkan Teorema 2.1 (iii)
Φ−1 (V ∩ X )={(e i)i=1∞ ∈ X ;e i=giuntuk i≤ N }
merupakan basic open set di (X , τ1).∎
Karena Φ merupakan homemorfisma, maka (X , τ2) merupakan topologi kompak.
Teorema 4.3[6] E∞ merupakan ruang kompak lokal Hausdorff.
Bukti:
Untuk melihat bahwa E∞ ruang kompak lokal, akan ditunjukkan bahwa basic
open sets dari basis Z ( μ ) ∩ E∞ adalah kompak.
Pertama, akan dikonstruksikan himpunan X μ untuk setiap μ dan tunjukkan bahwa
X μ adalah ruang kompak di ∏N
E1. Selanjutnya, berdasarkan Proposisi 2.4, akan
ditunjukkan bahwa Z ( μ ) ∩ E∞ tutup di X μ.
Selanjutnya tetapkan μ∈E ¿, dan untuk setiap n∈N , definisikan
En≔{ {μn }{e∈ E1 ;s ( μ ) En−|μ|−1r (e )≠∅ }
,untuk 1≤ n ≤|μ|,untuk n>|μ|
Karena E merupakan graf berarah baris-berhingga, akibatnya En berhingga untuk
setiap n∈N . Oleh karena itu ∏n∈N
En merupakan ruang kompak.
Berdasarkan Lemma 4.2, X μ≔∏n∈N
En dengan topologi relatif yang diwariskan
dari ∏N
E1 juga ruang kompak. Karena Z ( μ ) ∩ E∞⊂X μ, cukup ditunjukkan
bahwa Z ( μ ) ∩ E∞ tutup.
Berdasarkan definisi graf berarah dan aksioma keterhitungan pertama, dan
dengan menggunakan Teorema 2.8, kita dapat menggunakan barisan.
Misalkan (λn)n∈N merupakan barisan di Z ( μ ) ∩ E∞ yang konvergen ke λ∈ Xμ,
artinya λ in→ λi untuk setiap i∈N . Akan ditunjukkan bahwa λ∈Z (μ )∩ E∞.
Untuk setiap j∈N , diperoleh λ jn→ λ j, sehingga terdapat M j sedemikian sehingga
n ≥ M j⇒ λ jn=λ j.
Kemudian tetapkan j∈N . Jika P j=maks {M j , M j+ 1 }, maka n ≥ P j⇒ λ jn=λ j dan
λ j+1n =λ j+1.
Ini mengakibatkan s( λ¿¿ j)=s( λ¿¿ jn)=r ( λ j+1n )=r (λ j+1)¿¿.
Karena ini benar untuk semua j∈N , maka λ merupakan lintasan di E dan oleh
karena itu λ∈Z (μ )∩ E∞.
Akibatnya {Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿} merupakan basis kompak untuk E∞, dan oleh
karena itu E∞ merupakan ruang kompak lokal.
Referensi
[1] Hu, Sze-Tsen. (1969). Elements of General Topology, Third Edition. San
Fransisco: Holden-Day, Inc.
[2] Johnston, A. dan Reynolds, A. (2009). C ¿-Algebras of Graph Products. Dalam
Research Experiences for Undergraduates, Canisius College.
[3] Kumjian, Pask, Raeburn, Renault. (1997). Graphs, Groupoids and Cuntz-Krieger
Algebras. Dalam J. Func. Anal. 144, 505-541.
[4] Munkres, J.R. (1975). Topology, Second Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.
[5] Raeburn, I. (2005). Graph Algebras. Rhode Island: American Mathematical
Society.
[6] Webster, S.B. (2010). Directed Graphs and K-graphs: Topology of The Path
Space and How It Manifests In The Associated C ¿-Algebra. Tesis Doktor School
of Mathematics and Applied Statistics, University Wollongong: tidak diterbitkan.
top related