teori himpunan (kajian tentang karakteristik, … teori himpunan (kajian tentang karakteristik,...

Outline

TEORI HIMPUNAN(Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi

dan Representasi Himpunan)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi

University of JemberIndonesia

Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Outline

Outline

1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan

2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Outline

Outline

1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan

2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Outline

Outline

1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan

2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Karakteristik Himpunan

Well-defined

Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitifdapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen ataubukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan,S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakanhimpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakanapakah 5 ∈ S ataukah 5 6∈ S. Berbeda jika dinyatakan,S = {empat bilangan asli pertama } , maka elemen-elemen Sdapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Ekspresi

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.

Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Ekspresi

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.

Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Ekspresi

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.

Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Mana yang merupakan himpunan?

1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

bulan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Think about it!

Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benarmerupakan suatu himpunan?

Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hariternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atausalahnya. Misalkan ”ada makhluk hidup di planet Mars” atau”besok akan hujan”. Pikirkan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KarakteristikEkspresi Himpunan

Ekspresi Himpunan

Think about it!

Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benarmerupakan suatu himpunan?

Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hariternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atausalahnya. Misalkan ”ada makhluk hidup di planet Mars” atau”besok akan hujan”. Pikirkan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Bagian

Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh

Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Bagian

Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh

Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Bagian

Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh

Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah

himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah

himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}

adalah himpunan yang sama.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah

himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah

himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}

adalah himpunan yang sama.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah

himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah

himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}

adalah himpunan yang sama.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah

himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah

himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}

adalah himpunan yang sama.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah

himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah

himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}

adalah himpunan yang sama.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Berpotongan

Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}

berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak

berpotongan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Berpotongan

Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}

berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak

berpotongan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Berpotongan

Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}

berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak

berpotongan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Berpotongan

Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}

berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak

berpotongan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak

lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak

lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak

lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.

Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak

lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah

himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}

adalah himpunan yang ekuivalen.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah

himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}

adalah himpunan yang ekuivalen.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah

himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}

adalah himpunan yang ekuivalen.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah

himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}

adalah himpunan yang ekuivalen.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.

Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah

himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}

adalah himpunan yang ekuivalen.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari

A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:

1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.

3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

himpunan P, Q, R dan T

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Relasi Himpunan

Exercise

Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?

1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}

2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}

2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}

2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}

2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}

2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Irisan

Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ

2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}

3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!

4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis

Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka

Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ

3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Selisih

Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis

A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka

P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Selisih

Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis

A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka

P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Selisih

Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis

A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka

P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Selisih

Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis

A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka

P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Selisih

Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis

A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka

P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Jumlah

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}

1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}

2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.

3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Jumlah

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}

1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}

2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.

3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Jumlah

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}

1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}

2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.

3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Jumlah

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}

1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}

2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.

3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Operasi Himpunan

Jumlah

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}

1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}

2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.

3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn

Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:

1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Hukum-hukum operasi himpunan

A ∩ A = A A ∪ A = AA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ AA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ BA ∩ S = A A ∪ φ = AA ∩ φ = φ A ∪ S = SA ∩ A = φ A ∪ A = SA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Misalkan A dan B dua himpunan yang berpotongan, n(A) = a,n(B) = b, dan n(A ∩ B) = x , maka

n(A ∪ B) = n(A− B) + n(B − A) + n(A ∩ B)= (a− x) + (b − x) + x= a + b − x= n(A) + n(B)− n(A ∩ B)

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Persoalan

Di sebuah warung makan datang 100 tamu. 65 tamu memesanpecel, 58 tamu memesan soto, dan semua tamu memesanpaling sedikit satu soto atau pecel.a. Berapa tamu yang memesan pecel atau soto?b. Berapa tamu yang memesan pecel dan soto?c. Berapa tamu yang memesan pecel saja?d. Berapa tamu yang memesan soto saja?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Pengembangan

Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yangmelibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(A) = a, n(B) = b,n(C) = c, n(A ∩ B) = x , n(B ∩ C) = y , n(A ∩ C) = z, dann(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)!

Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orangmemiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.a. Berapa yang hanya memiliki tape?b. Berapa yang tidak memiliki satupun?c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape?d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Pengembangan

Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yangmelibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(A) = a, n(B) = b,n(C) = c, n(A ∩ B) = x , n(B ∩ C) = y , n(A ∩ C) = z, dann(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)!

Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orangmemiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.a. Berapa yang hanya memiliki tape?b. Berapa yang tidak memiliki satupun?c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape?d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn

Diagram Venn

Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)

2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ

7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ

8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh

Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4

Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh

Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4

Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh

Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4

Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh

Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4

Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Power Set

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunankuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dariA, dan dinotasikan P(A)

Contoh

Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Power Set

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunankuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dariA, dan dinotasikan P(A)

Contoh

Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Teorema

Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. MakaA memiliki 2n subset.

Bukti

Misalkan A = {x1, x2, ..., xn}. Untuk menyusun sebuah subset Bpada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemendari A secara berurutan dan memutuskan apakah elementtersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukahxi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subsetyang terbentuk adalah

2× 2× 2× ...× 2 = 2n

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Kardinalitas

Teorema

Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. MakaA memiliki 2n subset.

Bukti

Misalkan A = {x1, x2, ..., xn}. Untuk menyusun sebuah subset Bpada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemendari A secara berurutan dan memutuskan apakah elementtersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukahxi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subsetyang terbentuk adalah

2× 2× 2× ...× 2 = 2n

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikansebagai

A× B = {(x , y)|x ∈ A, y ∈ B}

More generally

Produk Kartesius dari n himpunan A1, A2, ..., An didefinisikansebagai

A1 × A2 × ...× An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikansebagai

A× B = {(x , y)|x ∈ A, y ∈ B}

More generally

Produk Kartesius dari n himpunan A1, A2, ..., An didefinisikansebagai

A1 × A2 × ...× An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusandengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikanberdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yangmengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harusberisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengansebuah huruf. Misalnya XYZ123A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusandengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikanberdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yangmengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harusberisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengansebuah huruf. Misalnya XYZ123A.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Jika

L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah

L× L× L× D × D × D × L

Kode pengguna

XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.

Catatan

Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Jika

L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah

L× L× L× D × D × D × L

Kode pengguna

XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.

Catatan

Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Jika

L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah

L× L× L× D × D × D × L

Kode pengguna

XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.

Catatan

Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An

An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}

Contoh 1:

R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}

Contoh 2

Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n

sebagai himpunan semua string n bits.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An

An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}

Contoh 1:

R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}

Contoh 2

Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n

sebagai himpunan semua string n bits.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Produk Kartesius

Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An

An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}

Contoh 1:

R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}

Contoh 2

Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n

sebagai himpunan semua string n bits.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungantipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunantersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakandalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya:

Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasidalam sebuah komputer?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungantipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunantersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakandalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya:

Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasidalam sebuah komputer?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Sebuah himpunan

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacupada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini adasuatu perkecualian terhadap aturan yang secara umummenyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidakrelevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen darihimpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A

yang muncul dalam program dan didefinisikan denganmengacu pada himpunan semesta S merupakan subhimpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan Asecara internal?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Sebuah himpunan

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacupada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini adasuatu perkecualian terhadap aturan yang secara umummenyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidakrelevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen darihimpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A

yang muncul dalam program dan didefinisikan denganmengacu pada himpunan semesta S merupakan subhimpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan Asecara internal?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

The answer:

A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b1b2...bn,dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b1b2...bn

dapat dipandang sebagai elemen (b1, b2, ..., bn) dalam {0, 1}n.Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan:

bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam Abi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A

dengan i bergerak dalam {1, 2, ..., n}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit

string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

1001011011!

Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011

adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .

untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .

untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .

untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .

untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .

untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .

untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .

untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .

untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN

Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan

Kardinalitas dan Produk Kartesius

KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan

Terima kasih

TERIMA KASIH

Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN