teknik pengintegralan 2
Post on 22-Dec-2015
50 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
MODUL PERKULIAHAN
MATEMATIKA 1
TEKNIK PENGINTEGRALAN 2
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Teknik Teknik Elektro
11MK 14002 Imelda Simanjuntak ,S.T.,M.T.
Abstract KompetensiModul ini membahas teknik-teknik pengintegralan, yaitu pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi rasional, dan pengintegralan transenden.
Setelah membaca modul ini diharapkan :1. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal
pengintegralan parsial.
2. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal
pengintegralan fungsi rasional.
3. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal
pengintegralan fungsi transenden.
TEKNIK PENGINTEGRALAN 211. 1 Teknik Pengintegralan 2
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan anti-turunan
bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian
integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami maka dalam bab ini
dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik
integral tersebut adalah:
1) Integral Parsial
2) Integral Fungsi Rasional
3) Integral Fungsi Transenden (eksponen dan logaritma)
11.2 Integral Parsial
Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integran yang
merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
∫ d (uv )=∫udv+∫vdu
⇔∫udv=∫ d (uv )−∫ vdu
⇔∫udv=uv−∫vdu
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral
parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv
tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan ∫udv tersebut.
2014 2
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1. ∫ x cos xdx
Jawab
Bentuk ∫ x cos xdx diubah menjadi ∫ udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = ∫cos xdx = sin x
Akibatnya ∫ x cos xdx = ∫ x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
∫udv=uv−∫vdu , diperoleh
∫ x d(sin x) = x sin x - ∫sin x d(x)
= x sin x - ∫sin x dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C
2. ∫ x √1+x dx
Pilih u = x , du = dx
2014 3
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
dv = √1+x , v = ∫ √1+x dx =
23
3√1+x
Sehingga ∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2
33√1+x )
Berdasarkan rumus integral parsial
∫udv=uv−∫vdu , diperoleh
∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2
33√1+x )
=
2x3
3√1+1 - ∫ 2
33√1+x d ( x )
=
2x3
3√1+1 - ∫ 2
33√1+x dx
=
2x3
3√1+1-
23( 2
55√1+x )+C
=
2x3
3√1+1-
415
( 5√1+x )+C
3. ∫sin x ex
dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = exdx , v = ∫ exdx = e
x, sehingga:
∫sin x ex
dx = ∫ sin x d(ex)
= exsin x−∫ exd (sin x )
2014 4
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= exsin x−∫ ex cos xdx
Diperoleh bentuk ∫ ex cos xdx yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = exdx , v = ∫ exdx = e
x, sehingga:
∫cos x ex
dx = ∫ cos x d(ex)
= ex cos x−∫ exd (cos x )
= ex cos x−∫ ex (−sin x )dx
= ex cos x+∫ ex sin x )dx ,
Akhirnya diperoleh
∫sin x ex
dx = exsin x−∫ ex cos xdx
= exsin x− e
x cos x−∫ ex sin x )dx ,
∫sin x ex
dx =
12 e xsin x−
12 e x cos x+C
11.3 Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =
f ( x )g ( x ) , dimana
f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) ¿ 0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
2014 5
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
f(x) = ao + a1 x + a2 x2
+ a3 x3
+ … + an xn
, n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi
berbentuk
f ( x )g ( x ) yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
1. f(x) =
1−xx2−3 x+2 (Fungsi Rasional Sejati)
2. f(x) =
x2−4x2−4 x+4 (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. f(x) =
x5+2x3−x+1x3+5 x (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari
derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat
pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut
dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional
sejati. Sehingga:
f(x) =
x5+2x3−x+1x3+5 x
= x2−3 +
(14 x+1)x3+5 x
F(x) =
f ( x )g ( x ) , g(x) ¿ 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) =
f ( x )g ( x ) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
2014 6
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2
+bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2+bx+c )(px
2 + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2+bx+c )n dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat
ditentukan antiturunannya,
Misal :
f ( x )g ( x )
=
A 1
(ax1+b1 )+
A2
( ax2+b2 )+. . .
(Penyebut kombinasi liner berbeda)
f ( x )g ( x )
=A1
(ax+b )+
A2
( ax+b)2+
A3
(ax+b )3+. ..
(kombinasi lenear berulang)
f ( x )g ( x )
=A1 x+B1
a1 x2+b1x+c1
+A2x+B2
a2 x2+b2 x+c 2
+.. . (kombinasi kuadrat berbeda)
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir
pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1 , A2 , …An dan B1 , B2 , …Bn .
Contoh
1. Tentukan ∫ 2
x2−1dx
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
∫ 2
x2−1 dx = ∫ 2
( x−1 )( x+1 )dx
= ∫ A
( x−1 )+ B( x+1)
dx
= ∫ A( x+1)+B( x−1 )
( x−1 )( x+1 )dx
2014 7
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= ∫ ( A+B )x+(A−B)
(x−1)( x+1)dx
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
∫ 2
x2−1 dx = ∫ 1x−1
+ −1( x+1 )
dx
= ∫ 1x−1
dx - ∫ 1x+1
dx
= ln |x−1|−ln|x+1|+C
= ln |x−1x+1
|+C
2. ∫ x+1x−1
dx , integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
∫ x+1x−1
dx=∫ 1+ 2x−1
dx
= ∫ dx+∫ 2
x−1dx
= x + ln (x-1)2
+ C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan beririkut:
1. ∫ x+1
( x3+ x2−6 x )dx
Jawab
∫ x+1
( x3+ x2−6 x )dx
= ∫ x+1x ( x−2)( x+3 )
dx
= ∫ Ax
+ B( x−2)
+ C( x+3)
dx
2014 8
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= ∫ A( x−2 )( x+3 )+B( x )( x+3)+C ( x )( x−2 )
x3+ x2−6 xdx
= ∫ ( A+B+C ) x2+(A+3B−2C )x−6 A
x3+x2−6 xdx
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = -
16 , B =
310 , C =
− 215
Sehingga ∫ x+1
( x3+ x2−6 x )dx
= −1
6∫dxx
+ 310 ∫ dx
( x−2)− 2
15∫dx
( x+3)
= −1
6ln|x|+ 3
10ln|x−2|− 2
15ln|x+3|+C
2. ∫ dx
x2−9
3. ∫ dx
x2+7 x+6
4. ∫ x2+3 x−4x2−2x−8
dx
5. ∫ xdx
x2−3 x−4
6. ∫ x2−3 x−1x3+x2−2x
dx
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. ∫ x+1
x2−4 x+4dx
, karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
2014 9
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
∫ x+1
x2−4 x+4dx
= ∫ x+1
( x−2 )( x−2)dx
= ∫ x+1
( x−2 )2dx
= ∫ A
( x−2 )+ B
( x−2)2dx
= ∫ A( x−2 )+B
(x−2)2dx
= ∫ Ax+(B−2 A )
( x−2)2dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
∫ x+1
x2−4 x+4dx
= ∫ A
( x−2 )+ B
( x−2)2 dx
= ∫ dx
( x−2 )+∫ 3
( x−1 )2dx
= ln |x−2|− 3
( x−2 )+C
2. ∫ x2−1x2+4 x+4
dx
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional
sejati. Sehingga:
∫ x2−1x2+4 x+4
dx = ∫1+
(−5 x−4 )x2+4 x+4
dx
= ∫ dx−∫ 5 x+4
x2+4 x+4dx
2014 10
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
Selanjuntnya ∫ 5 x+4
x2+4 x+4dx=∫ 5 x+4
( x+2)2dx
= ∫ A
( x+2 )+ B
( x+2)2dx
= ∫ A( x+2)+B
(x+2 )2dx
= ∫ Ax+(2 A+B )
( x+2 )2dx
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
∫ 5x+4
( x+2 )2dx=∫ 5
(x+2 )−∫ 6
(x+2 )2dx
= 5 ln |x+2|+ 6
( x+2)+C
3. ∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1
dx
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1
dx= ∫
(3 x+5)dx( x+1)( x−1 )2
= ∫ A
( x+1)+ B( x−1)
+ C
( x−1)2dx
= ∫ A( x−1 )2+B( x−1)( x+1 )+C ( x+1)
( x+1 )( x−1)2dx
= ∫ ( A+B )x2+(C−2 A ) x+( A−B+C )
( x+1 )(x−2)2dx
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
2014 11
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1
dx = ∫ A
( x+1)+ B( x−1)
+ C
( x−1)2dx
=
12
∫ dx( x+1)
−12∫
dx( x−2 )
+4∫ dx
( x−2)2
= ½ ln |x+1|−1
2ln|x−2|− 4
(x−2)+C
4. ∫ x6+4 x3+4
x3−4 x2dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
∫ x6+4 x3+4
x3−4 x2dx =
∫ x3+4 x2+16 x+68+272x2+4x3−4 x2
dx
= ∫( x3+4 x2+16 x+68)dx + ∫272 x2+4x3−4 x2
dx
=
14x4+ 4
3x3+8 x2+68 x
+ ∫272 x2+4x3−4 x2
dx
Selanjutnya dicari ∫272 x2+4x3−4 x2
dx =
∫272 x2+4( x+0 )2( x−4 )
dx
= ∫ A
x2+ Bx
+ C( x−4 )
dx
= ∫ A( x−4 )+B (x )( x−4 )+C ( x2)
x3−4 x2dx
= ∫ Ax−4 A+Bx2−4Bx+Cx2
x3−4 x2dx
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = −1
4 , C =
10894
Hasil akhir pengintegralan
2014 12
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
14x4+ 4
3x3+8 x2+68 x
-
1x−1
4ln|x|+1089
4ln|x−4|+C
Soal-soal
Tentukan hasil dari:
1. ∫ x+1
( x−3 )2dx
3. ∫ x8
( x−2 )2(1− x )5dx
4. ∫ x2+19 x+10
2x4+5 x3dx
5. ∫ 1−2 x
( x+2 )(x+4 )2dx
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat
juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam
bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
f ( x )g ( x )
= Aax+b
+ Bx+Cpx2+qx+r , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1. ∫ 6 x2−3 x+1
( 4 x+1)( x2+1 )dx
Karena integran fungsi rasional sejati maka
∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1 )
dx =
∫ A( 4 x+1)
+ Bx+C(x2+1)
dx
2014 13
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= ∫ A( x2+1 )+(Bx+C )( 4 x+1)
(4 x+1)( x2+1 )dx
= ∫ ( A+4 B )x2+(B+4C ) x+(A+C )
(4 x+1 )( x2+1)dx
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1 )
dx =
∫ 2( 4 x+1)
+ x−1
(x2+1)dx
= ∫ 2
( 4 x+1)dx+∫ x
x2+1dx−∫ 1
x 2 +1dx
=
24
ln|4 x+1|+12
ln|x2+1|−arctgx+C
2. ∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx = ∫ x3+x2+x+2
( x2+1 )( x2+2)dx
= ∫ Ax+Bx2+1
+Cx+Dx2+2
dx
= ∫ ( Ax+B )( x2+2)+(Cx+D )( x2+1)
( x2+1 )( x2+2)dx
= ∫ ( A+C )x3+(B+D) x2+(2 A+C ) x+(2B+D )
( x2+1 )(x2+2)dx
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
2014 14
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx= ∫ 1
x2+1+ x
x2+2dx
= ∫ 1
x2+1dx+∫ x
x2+2dx
= arctg x +
12
ln|x2+1|+C
3. ∫ x3−8 x2−1
( x+3 )( x−2)( x2+1 )dx
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x2+1 ),
sehingg:
∫ x3−8 x2−1( x+3 )( x−2)( x2+1 )
dx= ∫ A
( x+3 )+ B( x−2 )
+ Cx+D( x2+1 )
dx
= ∫ A( x−2 )( x2+1)+B( x+3)( x2+1 )+(Cx+D )( x+3 )( x−2)
( x+3)( x−2)( x2+1)dx
= ∫ ( A+B+C ) x3+(−2 A+3 B+C+D) x2+( A+B+D−6C )x+(−2 A+3 B−6D )
( x+3)( x−2 )( x2+1)dx
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
∫ A( x+3 )
+ B( x−2 )
+ Cx+D( x2+1 )
dx =
∫ 2( x+3 )
+ −1( x−2 )
+ −1
( x2+1 )dx
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C
= ln(x+3)2
- ln(x-2) – arctan x + C
= ln|( x+3 )2
( x−2)|−
arctan x + C
2014 15
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
Jadi ∫ x3−8 x2−1
( x+3 )( x−2)( x2+1 )dx
= ln|( x+3 )2
( x−2)|−
arctan x + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.∫ 2 x2+x−8
x3+4 xdx
Jawab
∫ 2 x2+x−8x3+4 x
dx = ∫ 2 x2+x−8x ( x2+4 )
dx
= ∫( A
x+Bx+Cx2+4
)dx
= ∫ A( x2+4 )+(Bx+C ) x
x3+4 xdx
= ∫ ( A+B )x2+Cx+4 A
x3+4 x
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
∫( Ax
+Bx+Cx2+4
)dx= ∫−2xdx+∫ 4 x+1
x2+4dx
= ∫−2xdx+∫ 4 x
x2+4dx+∫ 1
x2+4dx
= ln |x−2|+2 ln|x2+4|+ ½ arc tan
( x2 )+C
2.∫ x3−4 x
( x2+1 )dx
Jawab:
∫ x3−4 x( x2+1 )
dx = ∫( x− 5x
x2+1)dx
2014 16
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= ∫ xdx−∫ 5 x
x2+1dx
= ½ x2 - 5∫ x
x2+1dx
=
12 x2 – 5.
12
∫ 2 x
x2+1dx
= ½ x2 -
52
ln|x2+1|+C
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln √( x2+1 )5+ C
3.∫ 2 x3+5 x2+16 x
x5+8 x3+16dx
4.∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx (fungsi rasional sejati)
Jawab
∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx = ∫ x3+x2+x+2
( x2+1 )( x2+2)dx
= ∫ px+qx2+1
+ rx+sx2+2 dx
= ∫ ( px+q )( x2+2)+(rx+s )( x2+1)
x4+3 x2+2dx
= ∫ ( p+r )x3+(q+s ) x2+(2 p+r )x+(2q+s )
x4+3 x2+2dx
Didapat
p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga ∫ px+qx2+1
+ rx+sx2+2 dx =
∫ 1
x2+1dx+∫ xdx
x2+2
2014 17
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
= arc tan x + ½ ln (x2+2 ) + C
= arc tan x + ln √ x2+2 + C
5.∫ x3+x−1
( x2+1 )2dx
Jawab
∫ x3+x−1( x2+1 )2
dx = ∫ px+qx2+1
+ rx+s( x2+1)2
dx
= ∫ ( px+q )( x2+1)+(rx+s )
( x2+1 )2dx
= ∫ px3+qx2+( p+r )x+(q+s )
(x2+1)2dx
Diperoleh
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1
sehingga
∫ x3+x−1( x2+1 )2
dx = ∫ x
x2+1dx−∫ 1
( x2+1)2dx
= ln √ x2+1−√( x2+1 )2−1
2( x2+1 )+C
11.4 Integral Fungsi Transenden
11.4.1 Integral Fungsi Eksponen
2014 18
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
Contoh:
11.4.2 Integral logaritma
2014 19
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
Contoh:
Daftar Pustaka
1. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
2. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
3. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
2014 20
Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning
Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id
top related