statistika: stpeluang n var random

PELUANG

• Percobaan : proses yang menghasilkan data• Ruang Sampel (S) : himpunan yang memuat

semua kemungkinan hasil percobaan

Misal : a. Ruang sampel percobaan pelemparan

sebuah mata uang ?S : {head, tail} atau { gambar, angka}

b.Ruang sampel pelemparan daduS : {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

• Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang sampel

Misal : Percobaan: Pengambilan satu kartu dari

sekumpulan 52 kartu bridge, dan diperhatikan gambarnya

S : { sekop, klaver, hati, wajik }, Event: kita hanya tertarik pada kejadian A

munculnya kartu yang berwarna merah. A : {hati, wajik }

Definisi Peluang:besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

Peluang suatu peristiwa:Definisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap

elemen ruang sampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa A,

dengan n(A): banyak anggota peristiwa A n(S): banyak anggota ruang

sampel S

( )( )

( )

n AP A

n S

Soal 1:Andi memiliki sebuah koin dengan satu sisi berupa gambar (G) dan satu sisi lainnya berupa angka (A). Jika Koin tersebut dilempar ke atas, maka saat koin jatuh kemungkinan mendapatkan sisi gambar adalah ½. Kemudian dilempar sekali lagi, maka peluang mendapatkan sisi Angka pada lemparan kedua adalah...

Soal 2:Untuk suatu undian minggu ini, Ali membeli angka 00, 15, 20. Seperti diketahui bahwa angka undian terdiri dari 2 digit yaitu 00 sampai 99 dimana masing-masing mempunyai peluang yang sama untuk keluar. Maka berapa probabilitas Ali memperoleh undian minggu ini?

VARIABEL RANDOMDefinisi:

Suatu cara memberi harga angka kepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruang sampel.

Contoh:Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali, S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Variabel random X: banyak sisi G muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali.

S

AAA

AAG

AGA

GAA

AGG

GAG

GGA

GGG

R

•0

•1

•2

•3

Variabel random diskrit:Suatu variabel random yang hanya dapat menjalani harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (korelasi satu-satu dengan bilangan cacah)

Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapat menjalani setiap harga dalam interval (tak hingga banyaknya)

Distribusi peluang:Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi, tabel atau grafik. Distribusi peluang dapat dipandang sebagai frekuensi relatif jangka panjang.

Sifat distribusi peluang diskrit:Fungsi peluang disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random diskrit X, jika untuk setiap harga x yang mungkin:1.

2.

Peluang untuk nilai x tertentu:

Distribusi kumulatif dari variabel random X:

( )f x

( ) 0f x

( ) 1x

f x

( ) ( )P X x f x

( ) ( ) ( )t x

F x P X x f t

Contoh:Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali, S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Variabel random X: banyak sisi G muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali.

Tabel distribusi peluangnya :

 X 0 1 2 3 Jumlah

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1

Sifat distribusi peluang kontinu:Fungsi peluang disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yang mungkin:1.

2.

Distribusi kumulatif dari variabel random X:

( )f x

( ) 0f x

( ) 1f x dx

( ) ( ) ( )x

F x P X x f t dt

Contoh Fungsi Peluang Variabel Random Kontinu

Diketahui variabel random X mempunyai fungsi densitas

• Tunjukkan bahwa P(0<X<2) = 1• Hitunglah P(X<1,5)• Hitunglah P(0,5<X<1,5)

lainyang

xbilax

xf0

202)(

HARGA HARAPAN VARIABEL RANDOM

Harga harapan suatu variabel random X dengan fungsi peluang f(x) adalah:

Contoh:Harga harapan banyaknya muncul sisi A pada 3

kali lemparan koin seimbang adalah....

kontinuXbiladx)x(xf

diskritXbila)x(xf

XEx

Sifat harga harapan

Sifat dari nilai harapan :

Jika a,b konstan dan X,Y variabel random, maka

• E(a)=a

• E(aX)=aE(X)

• E(X+Y)=E(X)+E(Y)

• E(aX + b) = a E(X) + b

Sebuah mata uang logam seimbang dilemparkan sebanyak 10 kali. Misalkan variable random X menyatakan banyaknya sisi muka(M) yang muncul dalam 10 lemparan, tentukan:•distribusi peluang X•peluang diperoleh 5 sisi muka•peluang diperoleh paling sedikit 5 sisi belakang (B)

Seorang pembalap mobil ingin mengasuransikan mobilnya selama musim balapan mendatang sebesar 100 juta rupiah. Perusahaan asuransi menaksir terjadinya kerugian total ( 100 juta rupiah) dengan peluang 0,004, kerugian 50% dengan peluang 0,02 dan kerugian 25% dengan peluang 0,1. Jika kerugian lainnya diabaikan, berapa besar premi yang harus dibayar pembalap tiap musim kompetisi agar perusahaan asuransi mendapat keuntungan sebesar 1 juta ?