stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure
Post on 06-Jan-2017
35 Views
Preview:
TRANSCRIPT
STATISTIKA DESKRIPTIF :Ukuran Numerik
ARIF RAHMAN
1
Statistika DeskriptifBidang statistika yang merangkum dan
menyajikan data dalam ukuran numerik atau format tabulasi dan grafis, sehingga memudahkan untuk menginterpretasikan dan menganalisa data tersebut.
Menunjukkan fitur dasar data ilmiah (scientific data) dalam format yang teratur (manageable form) dan ringkasan yang lebih sederhana (simpler summary).
2
Statistika DeskriptiveRekapitulasi, menyajikan data mentah atau
yang telah diolah dalam bentuk daftar (list) atau tabulasi (table)
Grafis, menyajikan ilustrasi data dalam bentuk peta (chart), grafik (graph) atau diagram
Ukuran Numerik, menyajikan statistik data dalam ukuran pemusatan (center tendency) atau sebaran (dispersion)
3
Ukuran NumerikUkuran Numerik menunjukkan nilai statistik dari data sampel atau ukuran parameter dari data populasi dalam bentuk :Pemusatan Sebaran
Mean Variance Median Standard Deviation Mode Range
Skewness & Kurtosis Quartile, Decile, Percentile
4
Pemusatan dan Sebaran: Populasi dan Sampel
5
6
MeanRata-rata (mean) adalah ukuran numerik
yang menunjukkan rerata (average) dari sejumlah data.
Berdasarkan teorema limit sentral (central limit theorem), sebagai parameter dari distribusi normal populasi dinotasikan dengan , sedangkan sebagai statistik sampel dinotasikan dengan x.
Peringatan : Mean untuk menghitung rerata dari data (variabel acak) bukan frekuensi.
7
MeanTerdapat beberapa ukuran mean :
Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean) Rata-rata Berbobot (Weighted Arithmetic Mean) Rata-rata Terpenggal (Trimmed Mean) Rata-rata Ukur (Geometric Mean) Rata-rata Harmoni (Harmonic Mean) Rata-rata Akar Kuadrat (Root Mean Square)
8
Arithmetic Mean9
n
x
nxxxx
n
ii
n
1
21
N
x
Nxxx
N
ii
n
1
21
Di mana :ẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
Di mana : = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data
POPULASI SAMPEL
Weighted Arithmetic Mean10
n
ii
n
iii
n
nn
w
xw
wwwxwxwxwx
1
1
21
2211
.
...
Di mana :ẍ = weighted arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
Trimmed Mean11
ban
xx
bn
aii
1
Di mana :ẍ = trimmed meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya dataa = banyaknya data sebelah kiri (left tail) yang dihilangkanb = banyaknya data sebelah kanan (right tail) yang dihilangkan
Geometric Mean12
nn
ii
nn
x
xxxG
1
21.
Di mana :G = geometric meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
n
x
nxxx
xxxG
n
ii
n
nn
1
21
21
log
.log.loglog
Harmonic Mean13
n
i i
n
x
nxxx
nH
1
21
1
111
Di mana :H = harmonic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
Root Mean Square14
n
x
nxxxRMS
n
ii
n
1
2
222
21
Di mana :RMS= root mean squarexi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
MedianMedian adalah ukuran numerik yang
menunjukkan nilai tengah yang membagi sejumlah data menjadi dua bagian yang sama banyak.
Untuk memperoleh median, maka data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil hingga terbesar.
Peringatan : Tidak ada median untuk data nominal yang tidak mempunyai tingkatan atau urutan.
15
Median16
genap jika,2
ganjil jika,12/2/
2/1
nxx
Me
nxMenn
n
Di mana :Me = medianxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya dataN(x)= banyaknya data xP(x)= probabilitas data x
%50)()(2
)()(
MexPMexP
nMexNMexN
ModeModus (mode) adalah ukuran numerik yang
menunjukkan data yang sering muncul atau mempunyai frekuensi paling banyak.
Untuk memperoleh modus, maka data dikelompokkan berdasarkan nilai yang sama, selanjutnya dihitung frekuensinya. Data yang frekuensi atau anggotanya paling banyak adalah modus.
Peringatan : Terkadang modus bisa lebih dari satu. Penentuan rentang kelas dapat mempengaruhi frekuensi.
17
Mode18
terbanyak)( jika , xfxMo
Di mana :Mo = modex = dataf(x)= frekuensi datan = banyaknya data
Hubungan Empiris Mean, Median & Mode
19
).(3 MexMox
Mo Mox xMe Me
VarianceVarians (variance) adalah ukuran numerik
dari rata-rata kuadrat penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data.
Berdasarkan teorema limit sentral (central limit theorem), sebagai parameter dari distribusi normal populasi dinotasikan dengan 2, sedangkan sebagai statistik sampel dinotasikan dengan s2 dengan derajat kebebasan (df) = n-1
20
Variance21
N
x
Nxx
n
ii
n
1
2
2212
)(
)()(
Di mana :s2 = varianceẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
1
)(
1)()(
1
2
2212
n
xx
nxxxxs
n
ii
n
Di mana :2 = variance = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data
POPULASI SAMPEL
Variance22
Di mana :s2 = variancexi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
)1(
2
11
2
2
nn
xxns
n
ii
n
ii
Variance gabungan beberapa himpunan
k
ii
k
iii
n
sns
1
1
2
2.
Standard DeviationSimpangan baku (standard deviation)
adalah ukuran numerik yang menunjukkan penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data tanpa memperhatikan arah penyimpangannya.
Dalam formulasi matematis, standard deviation adalah akar pangkat dua dari variance
23
Standard Deviation24
2 1
2
2 2
1
)(
n
xx
ssn
ii
Di mana :s = standard deviationẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
Di mana : = standard deviation = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data
2 1
2
2 2
)(
N
xn
ii
POPULASI SAMPEL
Standard Deviation25
Di mana :s = standard deviationxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
2
2
11
2
)1(
nn
xxns
n
ii
n
ii
Standard Deviation26
Absolute DeviationSimpangan absolut (absolute deviation)
adalah ukuran numerik yang menunjukkan rata-rata absolut penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data
27
Absolute Deviation28
n
xx
nxxxxxx
MADn
ii
n
1
21
Di mana :MAD= absolute deviationẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data
RangeRentang (range) adalah ukuran numerik
yang menunjukkan rentang sebaran data mulai data terkecil hingga data terbesar.
Untuk memperoleh range, harus dicari data terkecil dan data terbesar terlebih dahulu. Selisih antara data terkecil dengan data terbesar adalah besaran range.
29
Range30
minmax xxR
Di mana :R = rangexmax = data terbesarxmin = data terkecil
Interquartile RangeRentang antar kuartil (interquartile range)
adalah ukuran numerik yang menunjukkan rentang sebaran data antara kuartil 1 hingga kuartil 3.
Rentang semi antar kuartil (semi-interquartile range) adalah setengah dari rentang antar kuartil
31
Interquartile Range32
IQRSIQRQQIQR
.21
13
Di mana :IQR= intequartile rangeSIQR= semi-intequartile rangeQ1 = kuartil ke-1Q3 = kuartil ke-3
Percentile RangeRentang persentil (percentile range) adalah
ukuran numerik yang menunjukkan rentang sebaran data antara persentil 10 hingga persentil 90.
33
Percentile Range34
1090 PPPR
Di mana :PR= percentile rangeP10 = persentil ke-10P90 = persentil ke-90
Hubungan Empiris Beberapa Ukuran Sebaran
35
32
54
.6745,0
.7979,0
SIQRMAD
Di mana : = standard deviationMAD = absolute deviationSIQR = semi-interquartile range
SkewnessKemiringan atau kemenjuluran (skewness)
adalah ukuran numerik yang menunjukkan derajat ketidaksimetrian distribusi atau kecondongan miring kurva distribusi, karena ketiga ukuran pemusatan (mean, median, mode) tidak berimpit.
36
Skewness37
32
3
.3
s
ms
MexsMoxskewness
MoMeẍ Mo Me ẍ
ẍ
Skewness = 0 Skewness > 0Skewness < 0
Positive or right skew
MoMe
SymmetricNegative or left skew
Di mana :ẍ = arithmetic meanMo= modeMe= median
KurtosisKeruncingan (kurtosis) adalah ukuran
numerik yang menunjukkan derajat kecuraman puncak distribusi dan biasanya relatif terhadap distribusi normal.
38
Kurtosis39
224
1090
1321 .
s
mPPQQ
kurtosis
Di mana :Q = quartileP = percentile
Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik
Kurtosis > 0,263 Kurtosis = 0,263 Kurtosis < 0,263
Runcing Normal Landai
Normal = 0,263
Normal = 3
Quartile, Decile & PercentileKuartile (quartile), adalah nilai yang
membagi sejumlah data observasi menjadi empat bagian yang sama.
Desil (decile), adalah nilai yang membagi sejumlah data observasi menjadi sepuluh bagian yang sama.
Persentil (percentile), adalah nilai yang membagi sejumlah data observasi menjadi seratus bagian yang sama.
40
Quartile, Decile & Percentile41
%80)(%;70)(%;75)(,%30)(%;20)(%;25)(,
%50)()()()(,
873837
321312
50525052
DxPDxPQxPDQDDxPDxPQxPDQD
MexPPxPDxPQxPMePDQ
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xn
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Q2Q1 Q3
P1 P99P50P5 P10 P25 P75 P90 P95
Quartile, Decile & Percentile42
APROKSIMASIn = banyaknya data observasiu = urutan data untuk aproksimasiuB = pembulatan ke bawah urutan datauA = pembulatan ke atas urutan data
Penentuan aproksimasi besaran uMedian u = (n+1)/2Qi u = i.(n+1)/4Di u = i.(n+1)/10Pi u = i.(n+1)/100
Interpolasi aproksimasi
Approximation = xUB +(u – uB)
. (xUA – xUB)1
Contoh Data Tunggal atau Individu
43
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Rata-rata :
441,510
931
533,310388,4931
510
931
2222
91
31
11
10
RMS
H
G
x
Contoh Data Tunggal atau Individu
44
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Modus = 5
Contoh Data Tunggal atau Individu
45
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Median =
5 + 5
=5Q2 =
D5 = 2P50 =
Contoh Data Tunggal atau Individu
46
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI MEDIANn = 10Median (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5
Median = x5 +(5,5 – 5)
x (x6 – x5)1= 5 + 0,5 x (5 – 5)= 5
Contoh Data Tunggal atau Individu
47
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Q2 = 5Q1 = 4 Q3 = 7
Contoh Data Tunggal atau Individu
48
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI QUARTILEn = 10Qi i.(n+1)/4Q1 1.(10+1)/4 = 2,75Q2 2.(10+1)/4 = 5,5 MedianQ3 3.(10+1)/4 = 8,25
Q1 = 3,75Q2 = 5Q3 = 7
Q1 = x2 +(2,75 – 2)
x (x3 – x2)1= 3 + 0,75 x (4 – 3)= 3,75
Q3 = x8 +(8,25 – 8)
x (x9 – x8)1= 7 + 0,25 x (7 – 7)= 7
Contoh Data Tunggal atau Individu
49
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
D5 = 5D4 = 4,5
D3 = 4D1 = 2 D7 = 6 D9 = 8D2 = 3,5 D6 = 5 D8 = 7
Contoh Data Tunggal atau Individu
50
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI DECILEn = 10Di i.(n+1)/10D1 1.(10+1)/10 = 1,1D5 5.(10+1)/10 = 5,5 MedianD9 9.(10+1)/10 = 9,9
D1 = 1,2D5 = 5D9 = 8,8
D1 = x1 +(1,1 – 1)
x (x2 – x1)1= 1 + 0,1 x (3 – 1)= 1,2
D9 = x9 +(9,9 – 9)
x (x10 – x9)1= 7 + 0,9 x (9 – 7)= 8,8
Contoh Data Tunggal atau Individu
51
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Sebaran :
819
261,2110
5951
111,5110
5951
222
222
R
s
s
Contoh Data Tunggal atau Individu
52
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
0261,2
55.3
.3
sMexskewness
25,0)28()47.(
.
21
1090
1321
PPQQ
kurtosis
Data BerkelompokTerkadang data observasi telah diolah
menjadi data berkelompok terutama dalam tabel distribusi frekuensi.
Subgrup adalah pengelompokkan data observasi yang diambil dari kelompok (waktu, area, batch, lot, lini) yang sama
Kelas adalah pengelompokkan data observasi sesuai kategori, level (faktor) atau interval yang sama.
53
Membuat Distribusi FrekuensiData tunggal dapat diolah menjadi data berkelompok dengan cara :Menghitung rentang data observasi (R).Menentukan banyaknya kelas (k) berdasarkan banyaknya data observasi (n). Misalnya menggunakan aturan Sturges
...
54
)100/log(3,31atau)log(3,31
2nknk
Membuat Distribusi Frekuensi
55
Perbedaan penentuanbanyaknya kelas
Membuat Distribusi FrekuensiMenentukan lebar kelas (w) berdasarkan
rentang data (R) dan banyaknya kelas (k).
Untuk data diskrit sebaiknya menggunakan poin. Jika menggunakan interval, perlu dipastikan bahwa anggota dalam masing-masing kelas berimbang.
...
56
kRw
Membuat Distribusi Frekuensi
57
Kelas f fr Fr0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Perbedaan anggota kelas pada penentuan interval kelas yang salah pada data diskrit
Kelas f fr Fr0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Anggotanya 0 dan 1 Anggotanya 2 Anggotanya 3 dan 4 Anggotanya 5 Anggotanya 6 dan 7
Membuat Distribusi FrekuensiMemilih data observasi terkecil (xmin) atau
yang sedikit lebih kecil sebagai batas bawah kelas pertama (L1), selanjutnya ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk mendapatkan batas atas kelas pertama (U1).
...
58
diskrit datauntuk kontinyu datauntuk
11
11
ULUxL
Membuat Distribusi FrekuensiPada kelas berikutnya, menentukan batas
bawah kelas (Li) berdasarkan batas atas kelas sebelumnya (Ui-1), selanjutnya ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk mendapatkan batas atas kelas (Ui).
...
59
diskrit datauntuk 1kontinyu datauntuk
1
1
ii
ii
ULUL
Membuat Distribusi FrekuensiUlangi penentuan batas bawah kelas (Li) dan
batas atas kelas (Ui) untuk semua kelas hingga data observasi terbesar (xmax) tercakup.
Kelompokkan data observasi sesuai kelasnya dan menandainya dengan turus (tally). Hitung banyaknya data di masing-masing kelas sebagai frekuensi (fi)
...
60
Membuat Distribusi FrekuensiBerdasarkan frekuensi (fi) dan banyaknya
data observasi (n), hitung frekuensi kumulatif (fki),frekuensi relatif (fri) dan frekuensi relatif kumulatif (Fri) di masing-masing kelas.
61
i
i ffk1 n
ffr ii
nfkfrFr i
i
i 1
Membuat Distribusi Frekuensi
62
Kelas Turus f fk fr Fr0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Distribusi Frekuensi Data Kontinyu
Kelas Turus f fk fr Fr0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Distribusi Frekuensi Data Diskrit
Arithmetic Mean63
n
xf
nxfxfxfx
k
iii
kk
1
2211
.
...
Di mana :ẍ = arithmetic meanxi = data tengah (midpoint atau classmark) kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi
k = banyaknya kelas
Median64
)()( 12
iii
in
i LUffk
LMe
Di mana :Me = mediann = banyaknya dataLi = batas bawah kelas lokasi medianUi = batas bawah kelas lokasi medianfi = frekuensi kelas lokasi medianfki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi median
2)(ˆ 1 ii
iLUL
2)(ˆ 1
iii
LUU
Distribusi FrekuensiData Diskrit :
Mode65
)()()(
)(
11
1ii
iiii
iii LU
ffffffLMo
Di mana :Mo = modeLi = batas bawah kelas lokasi modeUi = batas bawah kelas lokasi modefi = frekuensi kelas lokasi modefi-1 = frekuensi kelas sebelum lokasi modefi+1 = frekuensi kelas sesudah lokasi mode
2)(ˆ 1 ii
iLUL
2)(ˆ 1
iii
LUU
Distribusi FrekuensiData Diskrit :
Variance66
Di mana :s2 = varianceẍ = arithmetic meanxi = data tengah kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi
k = banyaknya kelas
1
).(
1).().(
1
2
22112
n
xxf
nxxfxxfs
k
iii
kk
)1(
..2
11
2
2
nn
xfxfns
k
iii
k
iii
atau
Standard Deviation67
Di mana :s = standard deviationẍ = arithmetic meanxi = data tengah kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi
k = banyaknya kelas
2 1
2
2 2
1
).(
n
xxf
ssk
iii
2
2
11
2
)1(
..
nn
xfxfns
k
iii
k
iii
atau
Quartile, Decile & Percentile68
)()( 14
.
iii
inj
ij LUffk
LQ
Di mana :n = banyaknya dataLi = batas bawah kelas lokasiUi = batas bawah kelas lokasifi = frekuensi kelas lokasifki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi
2)(ˆ 1 ii
iLUL
2)(ˆ 1
iii
LUU
Distribusi FrekuensiData Diskrit :
)()( 110
.
iii
inj
ij LUffk
LD
)()( 1100
.
iii
inj
ij LUffk
LP
Contoh Data Berkelompok69
Contoh Data Berkelompok70
5,16380
240.2100.380.2
... 2211
n
xfxfxfx kk
Perhitungan arithmetic mean
Contoh Data Berkelompok71
Perhitungan Median
636,163)150170(22
)25(150
)()(
280
12
ii
i
in
i LUffk
LMe
Contoh Data Berkelompok72
Perhitungan Mode
308,162)150170()1722()1422(
)1422(150
)()()(
)(
11
1
ii
iiii
iii LU
ffffffLMo
Contoh Data Berkelompok73
193,305180
)5,163240.(2)5,163100.(3)5,16380.(21
).().().(
222
2222
2112
n
xxfxxfxxfs kk
Perhitungan variance
Contoh Data Berkelompok74
470,17193,3052
2 2
ss
Perhitungan standard deviation
Contoh Data Berkelompok75
Perhitungan Quartile
294,185)170190(17
)47(170
857,142)130150(14
)11(130
)()(
480.3
3
480.1
1
14.
Q
Q
LUffk
LQ iii
inj
ij
Contoh Data Berkelompok76
Perhitungan Decile
206)190210(10
)64(190
120)100130(6
)5(110
)()(
1080.9
9
1080.1
1
110.
D
D
LUffk
LD iii
inj
ij
Contoh Data Berkelompok77
02342,0470,17
636,1635,163.3
.3
sMexskewness
24673,0)120206(
)857,142294,185.(
.
21
1090
1321
PPQQ
kurtosis
Perhitungan skewness dan kurtosis
78
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???
top related