spektrum adjacency, spektrum laplace, spektrum โฆrepository.uin-malang.ac.id/1758/7/1758.pdfย ยท...
Post on 15-Aug-2019
273 Views
Preview:
TRANSCRIPT
LAPORAN
PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA
SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE,
SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR
GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K(1, 2, โฆ, n)
Oleh:
ABDUSSAKIR, M.Pd
DEASY SANDHYA ELYA IKAWATI
F. KURNIA NIRMALA SARI
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2013
MATEMATIKA
LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA
1. Judul Penelitian Hibah : Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace, Spektrum
Signless-Laplace, dan Spektrum Detour Graf
Multipartisi Komplit K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ )
2. Bidang Ilmu : Matematika
3. Judul Skripsi : (1) Persamaan Polinomial Karakteristik Matriks
Adjacency, Matriks Laplace, dan Matriks Signless-
Laplace Graf Multipartisi Komplit K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ )
(2) Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace, dan
Spektrum Signless-Laplace Graf Multipartisi Komplit
K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ )
4. Peneliti : Abdussakir, M.Pd (NIP 19751006 200312 1 001)
Deasy Sandhya Elya Ikawati (NIM 09610067)
F. Kurnia Nirmala Sari (NIM 09610084)
5. Jurusan/Prodi Asal : Matematika
6. Lama kegiatan : 5 (Lima) Bulan
7. Biaya yang diusulkan : Rp. 4.000.000,- (Empat Juta Rupiah)
Malang, 14 Januari 2013
Ketua Jurusan Matematika, Ketua Peneliti,
Abdussakir, M.Pd Abdussakir, M.Pd
NIP 19751006 200312 1 001 NIP 19751006 200312 1 001
PENGESAHAN LAPORAN
PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA
Judul Penelitian : Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace,
Spektrum Signless-Laplace, dan Spektrum
Detour Graf Multipartisi Komplit
K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ )
Bidang Ilmu : Matematika
Peneliti : Abdussakir, M.Pd (Ketua)
Deasy Sandhya Elya Ikawati (Anggota)
F. Kurnia Nirmala Sari (Anggota)
Telah disahkan pada tanggal, 14 Januari 2013.
a.n Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
Pembantu Dekan Bidang Akademik Ketua Peneliti,
Dr. H. Agus Mulyono, S.Pd., M.Kes Abdussakir, M.Pd
NIP. 19750808 199903 1 003 NIP 19751006 200312 1 001
Mengesahkan
Ketua Lemlitbang UIN Maliki Malang,
Dr. Hj. Ulfah Utami, M.Si
NIP. 19650509 199903 2 002
iii
DAFTAR ISI
Halaman Sampul
Halaman Pengesahan
Kata Pengantar .................................................................................................... i
Daftar Isi ............................................................................................................. iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ............................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................... 4
C. Tujuan Penelitian ............................................................................ 4
D. Manfaat Penelitian .......................................................................... 4
BAB II KAJIAN TEORI
A. Graf ................................................................................................ 6
B. Derajat Titik ................................................................................... 6
C. Graf Terhubung ............................................................................... 11
D. Matriks ........................................................................................... 13
E. Graf dan Matriks ............................................................................. 18
F. Spektrum Graf ................................................................................ 21
BAB III PEMBAHASAN
A. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K ๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ dengan
๐ผ๐ = n untuk semua i ..................................................................... 26
B. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K ๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ ............... 36
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan .................................................................................... 59
B. Saran .............................................................................................. 60
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 61
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong
dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin
kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi.
Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G), dan
banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graf
yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup
ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q).
Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di
graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut
terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Untuk selanjutnya, sisi e
= (u, v) akan ditulis e = uv. Derajat dari titik v di graf G, ditulis degG(v), adalah
banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks pembicaraan hanya
terdapat satu graf G, maka tulisan degG(v) disingkat menjadi deg(v).
Misalkan G graf dengan order p (p 1) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) =
{v1, v2, โฆ, vp}. Matriks keterhubungan titik (atau matriks Adjacency) dari graf G,
dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom
ke-j bernilai 1 jika titik vi terhubung langsung dengan titik vj serta bernilai 0 jika titik vi
2
tidak terhubung langsung dengan titik vj. Dengan kata lain, matriks adjacency dapat
ditulis A(G) = [aij], 1 i, j p, dengan
)( jika, 0
)( jika, 1
GEvv
GEvva
ji
ji
ij
Matriks adjacency suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1 dan memuat
nilai 0 pada diagonal utamanya (Abdussakir, dkk, 2009:73-74).
Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal
yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari vi, i = 1, 2, 3, โฆ, p. Jadi,
matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [dij], 1 i, j p, dengan
ji
jivd
i
ij, 0
, )deg(
Matriks L(G) = D(G) โ A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L+(G) = D(G) + A(G)
disebut matriks Signless-Laplace dari graf G.
Pada graf G, lintasan-v1vn adalah barisan titik-titik berbeda v1, v2, โฆ, vn
sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut
terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G
adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G)
sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang
menyatakan lintasan terpanjang dari vi ke vj di G.
Pembahasan matriks Adjacency A(G), matriks Laplace L(G), matriks Signless-
Laplace L+(G), dan matriks Detour DD(G) dari graf G dapat dikaitkan dengan konsep
nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier yang menghasilkan konsep
3
spectrum. Misalkan 1, 2, โฆ, n dengan 1 > 2 > โฆ > n adalah nilai eigen berbeda dari
matriks suatu graf, dan misalkan m(1), m(1), โฆ, m(n) adalah banyaknya basis untuk
ruang vektor eigen masing-masing i. Matriks berordo (2 n) yang memuat 1, 2, โฆ, n
pada baris pertama dan m(1), m(2), โฆ, m(n) pada baris kedua disebut spectrum graf G,
dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan
Spec(G) =
)()()( 21
21
n
n
mmm
.
Spektrum yang diperoleh dari matriks A(G) disebut spektrum Adjacency, dari
matriks L(G) disebut spektrum Laplace, dari matriks L+(G) disebut spekturm Signless-
Laplace, dan dari matriks DD(G) disebut spektrum Detour.
Adapun penelitian sebelumnya yang sudah dilakukan para peneliti tentang
spectrum graf yaitu Shuhua Yin (2006) meneliti spektrum Adjacency dan spektrum
Laplace pada graf Gl yang diperoleh dari graf komplit Kl dengan menambahkan pohon
isomorfik berakar untuk masing-masing titik di Kl. Yuanping Zhang (2008) meneliti
tentang Q-spectrum graf lolipop. Abdussakir, dkk (2009) meneliti spektrum Adjacency
pada graf Komplit (Kn), graf Star (Sn), graf Bipartisi Komplit (Km,n), dan graf Lintasan
(Pn). Ayyaswamy dan Balachandran (2010) meneliti spectrum Detour beberapa graf.
Imam Fachruddin (2010) meneliti spektrum graf hasilkali Cartesius. Lailatul Khusnah
(2011) meneliti spektrum Detour pada Graf Komplit (๐พ๐ ). Bayu Tara Wijaya (2011)
meneliti spektrum Detour Graf m-Partisi Komplit.
Melihat penelitian-penelitian sebelumnya, maka peneliti merasa perlu untuk
meneliti spektrum suatu graf, yang lebih dikhususkan pada spektrum Adjacency,
4
spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum Detour pada graf
Multipartisi Komplit K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ ). Penelitian ini berusaha meneliti spektrum suatu
graf secara lengkap meliputi keempat spectrum dan mengambil graf Multipartisi Komplit
K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ ) dengan 1 2 โฆ n dan i, n N.
B. Rumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut, yaitu bagaimana
spektrum Adjacency, spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum
Detour graf Multipartisi Komplit K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ )?
C. Tujuan Penelitian
Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan
spektrum Adjacency, spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum
Detour graf Multipartisi Komplit K(๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ ).
D. Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.
1. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf sehingga dapat menjadi
acuan peneliti lain untuk menentukan spectrum graf-graf lain yang belum dikaji
dalam penelitian ini.
5
2. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf sehingga dapat digunakan
oleh peneliti lain untuk mengkaji lebih mendalam tentang karakteristik suatu graf
atau untuk aplikasi pada masalah yang berkaitan.
26
BAB III
PEMBAHASAN
Berikut ini dipaparkan hasil penelitian terkait penentuan spectrum pada graf multi
partisi komplit K ๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ . Sebagaimana dijelaskan pada bab sebelumnya, jika ๐ผ๐ =
n untuk semua i, maka K ๐ผ1 ,๐ผ2 ,๐ผ3 ,โฆ ,๐ผ๐ ditulis menjadi ๐พ๐(๐). Pada pembahasan ini,
spektrum graf multipartisi komplit K ๐ผ1,๐ผ2,๐ผ3,โฆ ,๐ผ๐ dibahas secara terpisah antara
๐พ๐(๐) dengan K ๐ผ1,๐ผ2,๐ผ3,โฆ ,๐ผ๐ , pada saat terdapat ๐ผ๐ ๐ผ๐ . Hasil penelitian dinyatakan
langsung dalam bentuk teorema beserta buktinya.
A. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K ๐ถ๐,๐ถ๐,๐ถ๐,โฆ ,๐ถ๐ dengan ๐ถ๐ = n untuk
semua i
Teorema 1
Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Adjacency graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐ ๐พ๐(๐) = โ๐ 0 (๐ โ 1)๐
(๐ โ 1) ๐(๐ โ 1) 1
Bukti :
Matriks adjacency dari graf ๐พ๐ ๐ adalah
27
๐ด ๐พ๐(๐) =
0 โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ
0 โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
1 โฏ 1 0 โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 1
1 โฏ 1 0 โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ
1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ 0
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ
1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ 0
Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persamaan karakteristik dari
๐ด ๐พ๐(๐) yaitu,
det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐(๐) =
๐ โฏ 0 โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โ1 โฏ โ1 ๐ โฏ 0 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โ1โ1 โฏ โ1 0 โฏ ๐ โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ ๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ 0 โฏ ๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada
Maple.12 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utamanya. Karena det
๐๐ผ โ ๐ด adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka
diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu,
det(๐พ๐(๐)) = ๐๐(๐โ1) ๐ + ๐ ๐โ1(๐ โ (๐ โ 1)๐)
Karena, det(๐พ๐(๐)) = 0, maka
det(๐พ๐(๐)) = ๐๐(๐โ1) ๐ + ๐ ๐โ1(๐ โ (๐ โ 1)๐) = 0
Dan diperoleh nilai eigen
๐ = โ๐ ๐๐ก๐๐ข ๐ = 0 ๐๐ก๐๐ข ๐ = (๐ โ 1)๐
28
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen.
Untuk ๐ = โ๐ disubsitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐(๐) diperoleh:
โ๐ โฏ 0 โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ โ๐ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โ1 โฏ โ1 โ๐ โฏ 0 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โ1โ1 โฏ โ1 0 โฏ โ๐ โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ โ๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ 0 โฏ โ๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
โ๐ 0 โฏ 0 0 0 โฏ 00 โ๐ โฏ 0 0 0 โฏ 0โฎ โฎ โฑ โฎ 0 0 โฏ 00 0 โฏ โ๐ 0 0 โฏ 00 0 โฏ 0 โ๐ โ (๐ โ 1)๐ 0 โฏ 00 0 โฏ 0 0 0 โฏ 00 0 โฏ 0 0 โ๐ + ๐ โฏ 0โฎ โฎ โฏ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฏ 0 0 0 โฏ โ๐ + ๐
Matriks di atas adalah matriks berukuran ๐๐ ๐ฅ ๐๐, untuk ๐ = โ๐ yang
elemennya menghasilkan 0 semua yaitu โ ๐ + ๐ sebanyak ๐ โ 1, maka
banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐ = โ๐
adalah ๐ โ 1.
Untuk ๐ = 0 disubstitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐(๐) diperoleh:
29
0 โฏ 0 โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ 0 โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โ1 โฏ โ1 0 โฏ 0 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โ1โ1 โฏ โ1 0 โฏ 0 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ 0 โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ 0 โฏ 0
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
๐ โฏ 0 0 0 0 โฏ 0โฎ โฑ โฎ 0 0 0 โฏ 00 โฏ ๐ 0 0 0 โฏ 00 0 0 0 โฏ 0 โฏ 00 0 0 โฎ โฑ โฎ โฏ 00 0 0 0 0 0 โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 0 0 โฏ โ(๐ โ 1)๐
Karena untuk ๐ = 0 hanya menghasilkan ๐ baris yang elemennya tidak berisi 0
semua, dan diketahui matriks di atas berukuran ๐๐ ร ๐๐, maka baris yang berisi 0
semua ada ๐๐ โ ๐. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ๐ = 0 adalah ๐(๐ โ 1).
Untuk ๐ = (๐ โ 1)๐ disubstitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐(๐) diperoleh:
(๐ โ 1)๐ โฏ 0 โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ (๐ โ 1)๐ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1 โฏ โ1โ1 โฏ โ1 (๐ โ 1)๐ โฏ 0 โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โ1โ1 โฏ โ1 0 โฏ (๐ โ 1)๐ โฏ โ1 โฏ โ1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ (๐ โ 1)๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฑ โฎ โฑ โฎโ1 โฏ โ1 โ1 โฏ โ1 โฏ 0 โฏ (๐ โ 1)๐
30
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
(๐ โ 1)๐ โฏ 0 0 0 0 โฏ 0
โฎ โฑ โฎ 0 0 0 โฏ 00 โฏ (๐ โ 1)๐ 0 0 0 โฏ 0
0 0 0 ๐ โ 1 ๐ + ๐ โฏ 0 โฏ 00 0 0 โฎ โฑ โฎ โฏ 00 0 0 0 โฏ ๐ โ 1 ๐ + ๐ โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 0 0 โฏ ๐ โ 1 ๐ โ (๐ โ 1)๐
Karena untuk ๐ = (๐ โ 1)๐ yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak 1
baris, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
๐ = (๐ โ 1)๐ adalah 1.
Jadi terbukti bahwa
๐๐๐๐ ๐พ๐(๐) = โ๐ 0 (๐ โ 1)๐
(๐ โ 1) ๐(๐ โ 1) 1
Teorema 2
Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Detour graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐๐ท๐ท ๐พ๐(๐) = โ ๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 2
๐๐ โ 1 1
Bukti:
Matriks detour dari graf ๐พ๐(๐) adalah
๐ท๐ท ๐พ๐(๐) =
0 ๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 โฏ ๐๐ โ 1๐๐ โ 1 0 ๐๐ โ 1 โฏ ๐๐ โ 1๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 0 โฏ ๐๐ โ 1
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 โฏ 0
31
Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persamaan karakteristik dari
๐ท๐ท ๐พ๐(๐) yaitu,
det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท ๐พ๐(๐) =
๐ โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐ โ 1)โ(๐๐ โ 1) ๐ โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐ โ 1)โ(๐๐ โ 1) โ(๐๐โ 1) ๐ โฏ โ(๐๐ โ 1)
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎโ(๐๐ โ 1) โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ ๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada
Maple.12 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utamanya. Karena det ๐๐ผ โ
๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka
diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu,
det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) = ๐ + ๐๐ โ 1 ๐๐โ1(๐ โ (๐๐ โ 1)2)
Karena, det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) = 0, maka
det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) = ๐ + ๐๐ โ 1 ๐๐โ1(๐ โ (๐๐ โ 1)2) = 0
dan diperoleh nilai eigen
๐ = โ(๐๐ โ 1) ๐๐ก๐๐ข ๐ = (๐๐ โ 1)2
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen.
Untuk ๐ = โ(๐๐ โ 1) disubsitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) diperoleh:
โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐โ 1)โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐โ 1)โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐โ 1)
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎโ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โ(๐๐โ 1) โฏ โ(๐๐โ 1)
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
32
0 0 0 0 0 0 โฏ 00 โ(๐๐)2 + ๐๐ 0 0 0 0 โฏ 00 0 0 0 0 0 โฏ 00 0 0 0 0 0 โฏ 00 0 0 0 0 0 โฏ 00 0 0 0 0 0 โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 0 0 โฏ 0
Karena untuk ๐ = โ ๐๐ โ 1 hanya menghasilkan 1 baris yang elemennya tidak
berisi 0 semua, dan diketahui matriks di atas berukuran ๐๐ ร ๐๐, maka baris yang
berisi 0 semua ada ๐๐ โ 1. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ๐ = โ ๐๐ โ 1 adalah ๐๐ โ 1 .
Untuk ๐ = (๐๐ โ 1)2 disubstitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ท๐ท (๐พ๐(๐)) diperoleh:
(๐๐ โ 1)2 โ(๐๐ โ 1) โ(๐๐ โ 1) โฏ โ(๐๐ โ 1)
โ(๐๐ โ 1) (๐๐ โ 1)2 โ(๐๐ โ 1) โฏ โ(๐๐ โ 1)
โ(๐๐ โ 1) โ(๐๐ โ 1) (๐๐ โ 1)2 โฏ โ(๐๐ โ 1)โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
โ(๐๐ โ 1) โ(๐๐ โ 1) โ(๐๐ โ 1) โฏ (๐๐ โ 1)2
Dengan mereduksi matriks dengan menggunakan metode Jordan maka diperoleh
matriks baru, yaitu:
โ๐๐+(๐๐)2 โฏ 0 โฏ 0
โฎ โฑ โฎ โฏ 00 0 โ๐๐+(๐๐)2 โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 โ(๐๐)2 โ ๐๐ + ๐๐+(๐๐)2
Karena untuk ๐ = (๐๐ โ 1)2 yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak 1
baris, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
๐ = (๐๐ โ 1)2 adalah 1.
Jadi terbukti bahwa ๐๐๐๐๐ท๐ท ๐พ๐(๐) = โ(๐๐ โ 1) (๐๐ โ 1)2
(๐๐ โ 1) 1
33
Teorema 3
Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Laplace graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐๐ฟ ๐พ๐(๐) = 0 (๐ โ 1)๐ ๐๐1 ๐(๐ โ 1) (๐ โ 1)
Bukti:
Matriks Laplace dari graf ๐พ๐(๐)
๐ฟ ๐พ๐(๐) =
(๐ โ 1)๐ โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ (๐ โ 1)๐ 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 11 โฏ 1 (๐ โ 1)๐ โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 11 โฏ 1 0 โฏ (๐ โ 1)๐ โฏ 1 โฏ 1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ (๐ โ 1)๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ (๐ โ 1)๐
Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persamaan karakteristik dari
๐ฟ ๐พ๐(๐) yaitu,
det ๐๐ผ โ ๐ฟ ๐พ๐(๐) =
๐ โ (๐ โ 1)๐ โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐ โ (๐ โ 1)๐ 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
1 โฏ 1 ๐ โ (๐ โ 1)๐ โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 11 โฏ 1 0 โฏ ๐ โ (๐ โ 1)๐ โฏ 1 โฏ 1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ ๐ โ (๐ โ 1)๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฑ โฎ โฑ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ ๐ โ (๐ โ 1)๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada
Maple.12 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utamanya. Karena det ๐๐ผ โ
๐ฟ (๐พ๐(๐)) adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka
diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu,
34
det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) = ๐ ๐ โ (๐ โ 1)๐ ๐(๐โ1) ๐ โ ๐๐ ๐โ1
Karena, det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) = 0, maka
det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) = ๐ ๐ โ (๐ โ 1)๐ ๐(๐โ1) ๐ โ ๐๐ ๐โ1 = 0
dan diperoleh nilai eigen
๐ = 0 ๐๐ก๐๐ข ๐ = (๐ โ 1)๐ ๐๐ก๐๐ข ๐ = ๐๐
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen.
Untuk ๐ = 0 disubsitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) diperoleh:
๐ โ 1 ๐ โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐ โ 1 ๐ 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
1 โฏ 1 ๐ โ 1 ๐ โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 11 โฏ 1 0 โฏ ๐ โ 1 ๐ โฏ 1 โฏ 1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ ๐ โ 1 ๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ ๐ โ 1 ๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
โ(๐ โ 1)๐ 0 0 0 0 0 โฏ 0
0 โฑ 0 0 0 0 โฏ 00 0 โ(๐ โ 1)๐ 0 0 0 โฏ 00 0 0 โ๐ โ (๐ โ 1)๐ 0 0 โฏ 00 0 0 0 โฑ 0 โฏ 00 0 0 0 0 โ๐ โ (๐ โ 1)๐ โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 0 0 โฏ ๐ โ 1 ๐ โ (๐ โ 1)๐
Karena untuk ๐ = 0 yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak 1 baris,
maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐ = 0
adalah 1.
Untuk ๐ = (๐ โ 1)๐ disubstitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) diperoleh:
35
0 โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 11 โฏ 1 0 โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 11 โฏ 1 0 โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ 0
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
0 โฏ 0 0 0 0 โฏ 00 โฑ 0 0 0 0 โฏ 00 โฏ 0 0 0 0 โฏ 00 0 0 โ๐ โฏ 0 โฏ 00 0 0 โฎ โฑ โฎ โฏ 00 0 0 0 โฏ โ๐ โฏ 00 0 0 0 0 0 โฑ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ0 0 0 0 0 0 0 (๐ โ 1)๐
Karena untuk ๐ = (๐ โ 1)๐ hanya menghasilkan k baris yang elemennya tidak
berisi 0 semua yaitu, dan diketahui matriks di atas berukuran ๐๐ ร ๐๐, maka baris
yang berisi 0 semua ada ๐๐ โ ๐. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen
yang bersesuaian dengan ๐ = (๐ โ 1)๐ adalah ๐ ๐ โ 1 .
Untuk ๐ = ๐๐ disubstitusikan ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ฟ (๐พ๐(๐)) diperoleh:
๐๐ โ ๐ โ 1 ๐ โฏ 0 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐๐ โ ๐ โ 1 ๐ 1 โฏ 1 โฏ 1 โฏ 1
1 โฏ 1 ๐๐ โ ๐ โ 1 ๐ โฏ 0 โฏ 1 โฏ 1โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ 11 โฏ 1 0 โฏ ๐๐ โ ๐ โ 1 ๐ โฏ 1 โฏ 1โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ ๐๐ โ ๐ โ 1 ๐ โฏ 0โฎ โฑ โฎ โฎ โฑ โฎ โฏ โฎ โฑ โฎ1 โฏ 1 1 โฏ 1 โฏ 0 โฏ ๐๐ โ ๐ โ 1 ๐
Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.12 maka
diperoleh matriks baru, yaitu:
36
๐ โฏ 0 0 0 โฏ 0โฎ โฑ โฎ 0 0 โฏ 00 0 ๐ 0 0 โฏ 00 0 0 ๐ + (๐ โ 1)๐ 0 โฏ 00 0 0 0 ๐ โ ๐ โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 0 0 โฏ ๐โ ๐
Karena untuk ๐ = (๐ โ 1)๐ yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak
๐ โ 1, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
๐ = ๐๐ adalah ๐ โ 1.
Jadi terbukti bahwa ๐๐๐๐๐ฟ ๐พ๐(๐) = 0 (๐ โ 1)๐ ๐๐
1 ๐ ๐ โ 1 (๐ โ 1)
B. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K ๐ผ1,๐ผ2 ,๐ผ3,โฆ ,๐ผ๐
Graf multipartisi komplit K ๐ผ1,๐ผ2,๐ผ3,โฆ ,๐ผ๐ dengan ๐ผ1, = ๐ผ2 = ๐ผ3 = โฆ =
๐ผ๐โ1 = ๐ dan ๐ผ๐= m + 1 akan ditulis menjadi K k-1(m)(m+1). Dengan demikian, maka
K(m, m, m, โฆ,m, m+1) dengan m sebanyak a faktor akan ditulis menjadi Ka(m)(m+1).
Teorema 4
Misal ๐พ๐ ๐ (๐ + 1) adalah graf multipartisi komplit dengan 2 โค ๐,๐ โ ๐.
Maka spektrum Adjacency ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah :
2 2( 2 4) ( 2 4)( 1) ( 1)0
( )( 1) 2 2 2 2
1 ( 1) 1 1
a
am am m m am am m ma m a mm
Spec A K m m
a a m m
Bukti :
Misalkan ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah matriks adjacency dari graf multipartisi komplit
๐พ๐ ๐ ๐ + 1 .
37
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
( ( )( 1))1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
aA K m m
Setelah didapatkan matriks ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 maka persamaan polinomial karakteristik
dari ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 , yaitu :
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
( ( )( 1)0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1
aI A K m m
0
1 1 1 1 0 0
am
m + 1
am m + 1
38
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
aI A K m m
1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
aI A K m m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( 2 4)( 1)0 0 0 0 0
2 2
( 2 4)( 1)0 0 0 0 0
2 2
m
m
am am m ma m
am am m ma m
a(m-1)+m
a-1
1
1
a(m-1)+m a-1 1 1
am
m + 1
am m + 1
39
Sehingga dari pola diagonal utama yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan
membentuk suatu persamaan polinomial karakteristik, yaitu :
2 2
1( 1) ( 2 4) ( 2 4)( 1) ( 1)det( ( ( )( 1))) ( )( )
2 2 2 2
aa m m am am m m am am m ma m a mI A K m m m
Dari persamaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai
eigennya adalah :
det 1 0I A K m m
2 2
1( 1) ( 2 4) ( 2 4)( 1) ( 1)( )( ) 0
2 2 2 2
aa m m am am m m am am m ma m a mm
Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah ๐1 = 0 atau ๐2 = โ๐ atau ๐3 = ๐โ1 ๐
2โ
๐๐ ๐๐ +2๐+4+๐2
2 atau ๐4 =
๐โ1 ๐
2+
๐๐ ๐๐+2๐+4+๐2
2.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1.
Untuk ๐1 = 0 disubsitusikan ๐1 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
aI A K m m
am
m + 1
am m + 1
40
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
2
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( 2 4)( 1)0 0 0 0 0
2 2
( 2 4)( 1)0 0 0 0 0
2 2
m
m
am am m ma m
am am m ma m
Karena pada matriks di atas adalah matriks yang mempunyai kolom sebanyak ๐ +
1 ๐ + 1 dan terdapat ๐ ๐ โ 1 + ๐ nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa
nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan
bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1 = 0 sebanyak
๐ ๐ โ 1 + ๐.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐2.
Untuk ๐2 = โ๐ disubsitusikan ๐2 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
a(m-1)+m
a-1
1
1
a(m-1)+m a-1 1 1
41
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
a
m
m
m
I A K m mm
m
m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
( 2 4)2 ( 1)0 0 0 0 0
2 2
( 2 4)2 ( 1)0 0 0 0 0
2 2
m
m
am am m mm a m
am am m mm a m
Pada matriks di atas dapat dilihat bahwa matriks tersebut memilik ๐ โ 1 nulitas.
Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi
dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ๐2 = โ๐ sebanyak (๐ โ 1).
am
m + 1
am m + 1
a(m-1)+m
a-1
1
1
a(m-1)+m a-1 1 1
42
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐3.
Untuk ๐3 = ๐โ1 ๐
2โ
๐๐ ๐๐ +2๐+4+๐2
2 disubsitusikan ๐3 ke dalam det ๐๐ผ โ
๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 .
Dengan cara yang sama dengan pembuktian sebelumnya, pada matriks dapat dilihat
bahwa matriks tersebut memilik 1 nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas
dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa
banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
๐3 = ๐โ1 ๐
2โ
๐๐ ๐๐+2๐+4+๐2
2 sebanyak 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐4.
Untuk ๐4 = ๐โ1 ๐
2+
๐๐ ๐๐ +2๐+4+๐2
2 disubsitusikan ๐4 ke dalam det ๐๐ผ โ
๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 .
Dengan cara yang sama dengan pembuktian sebelumnya, pada matriks dapat dilihat
bahwa matriks tersebut memilik 1 nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas
dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa
banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
๐3 = ๐โ1 ๐
2+
๐๐ ๐๐+2๐+4+๐2
2 sebanyak 1.
Jadi terbukti bahwa
43
2 2( 2 4) ( 2 4)( 1) ( 1)0
( )( 1) 2 2 2 2
1 ( 1) 1 1
a
am am m m am am m ma m a mm
Spec A K m m
a a m m
Teorema 5
Misal ๐พ๐ ๐ (๐ + 1) adalah graf multipartisi komplit dengan ๐ sebanyak a,1 โค ๐ โ โ.
Maka spektrum Laplace ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah :
0 1 ( 1) 1
( )( 1)1 ( 1)
a
am am a mSpec K m m
m a m a
Bukti :
Misalkan ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah matriks adjacency dari graf multipartisi komplit
๐พ๐ ๐ ๐ + 1 .
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
( ( )( 1))1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
aA K m m
๐ท ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah matriks derajat dari graf multipartisi komplit ๐พ๐ ๐ (๐ + 1).
am
m + 1
am m + 1
44
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
( ( )( 1))0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
a
am
am
am
D K m mam
am
am
Maka matriks Laplace dari graf multipartisi komplit adalah:
๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 = ๐ท ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 โ ๐ด ๐พ๐ ๐ ๐ + 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
( ( )( 1))0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
a
am
am
am
L K m mam
am
am
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
( )( 1)1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
a
am
am
am
L K m mam
am
am
am
m + 1
am m + 1
am
m + 1
am m + 1
45
Setelah didapatkan matriks ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 maka persamaan polinomial karakteristik
dari ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 , yaitu :
1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1
( ( )( 1)0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
a
am
am
am
I L K m m
1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
am
am
am
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
a
am
am
am
I L K m m
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
am
am
am
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
a
am
am
am
I L K m mam
am
am
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
am
m + 1
am m + 1
46
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1
am
am
am
am
a m
a m
Sehingga dari pola diagonal utama yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan
membentuk suatu persamaan polinomial karakteristik, yaitu :
( 1)det( ( ( )( 1))) ( ) ( 1) 1 1a
m a m
aI L K m m am am a m
Dari persamaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai
eigennya adalah :
det 1 0aI L K m m
( 1)( ) ( 1) 1 1 0a
m a mam am a m
Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah ๐1 = 0 atau ๐2 = ๐๐ atau ๐3 = ๐๐ + 1 atau
๐4 = ๐ + 1 ๐ + 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1.
Untuk ๐1 = 0 disubsitusikan ๐1 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
1
a(m โ 1)
a(m-1) a
m
a
1 m
47
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
a
am
am
am
I L K m mam
am
am
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1
am
am
am
am
a m
a m
Pada matriks di atas terdapat 1 nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari
matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa
banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1 = 0 sebanyak 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐2.
Untuk ๐2 = ๐๐ disubsitusikan ๐2 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
am
m + 1
am m + 1
m
a
m a
1
a(m โ 1)
1 a(m โ 1)
48
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
aI L K m m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
am
m
m
Karena untuk ฮป2 = ๐๐ menghasilkan m nulitas (diketahui dari persamaan polinomial
๐ โ ๐๐ ๐ ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
ฮป2 = ๐๐ sebanyak m.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐3.
Untuk ๐3 = ๐๐ + 1 disubsitusikan ๐3 ke dalam det(๐๐ผ โ ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 ) diperoleh :
am
m + 1
am m + 1
m
m a
1
a(m โ 1)
1 a(m โ 1)
49
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 1
aI L K m m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
am
m
m
Karena untuk ฮป3 = ๐๐ + 1 menghasilkan ๐ ๐ โ 1 nulitas (diketahui dari persamaan
polinomial ๐ โ ๐๐ โ 1 ๐ ๐โ1 ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ฮป3 = ๐๐ + 1 sebanyak ๐ ๐ โ 1 .
am
m + 1
am m + 1
m
a
m a
1
a(m โ 1)
1 a(m โ 1)
50
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐4.
Untuk ๐4 = ๐ + 1 ๐ + 1 disubsitusikan ๐4 ke dalam det(๐๐ผ โ ๐ฟ ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 )
diperoleh :
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 0 1 1
det | ( ( )( 1)) |1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 1
a
m
m
m
I L K m mm
m
m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
a m
m
m
m
m
am
m + 1
am m + 1
m
a
m a
1
a(m โ 1)
1 a(m โ 1)
51
Karena untuk ฮป4 = ๐ + 1 ๐ + 1 menghasilkan ๐ nulitas (diketahui dari persamaan
polinomial ๐ โ ๐ + 1 ๐ + 1 ๐ ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ฮป4 = (๐ + 1)๐ + 1 sebanyak ๐.
Jadi terbukti bahwa 0 1 ( 1) 1
( )( 1)1 ( 1)
a
am am a mSpec L K m m
m a m a
Teorema 6
Misal ๐พ ๐ (๐ + 1) adalah graf bipartisi komplit dengan ๐ โฅ 2,๐ โ โ maka
spektrum Signless-Laplace ๐พ ๐ ๐ + 1 adalah :
0 1 2 1
( ( )( 1) )1 1 1
m m mSpec S K m m
m m
Bukti :
Misalkan ๐ด ๐พ ๐ ๐ + 1 adalah matriks adjacency dari graf bipartisi komplit
๐พ ๐ ๐ + 1 .
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
( ( )( 1)) 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
A K m m
m+1
am
m+1 am
52
๐ท ๐พ ๐ ๐ + 1 adalah matriks derajat dari graf bipartisi komplit ๐พ ๐ (๐ + 1).
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
( ( )( 1)) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
m
m
m
D K m m m
m
m
m
Maka matriks signless-Laplace dari graf bipartisi komplit adalah:
๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 = ๐ท ๐พ ๐ ๐ + 1 + ๐ด ๐พ ๐ ๐ + 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
( ( )( 1)) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
m
m
m
S K m m m
m
m
m
0
1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
( )( 1) 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
m
m
m
S K m m m
m
m
m
m+1
am
am m+1
am
am
m+1
m+1
53
Setelah didapatkan matriks ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 maka persamaan polinomial karakteristik
dari ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 , yaitu :
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
( ( )( 1) 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
m
m
m
I S K m m m
m
m
0 0 0 m
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
m
m
m
I S K m m m
m
m
1 1 1 0 0 0 m
1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
m
m
m
I S K m m m
m
m
m
am
am
m+1
m+1
54
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 2 1
m
m
m
m
m
Sehingga dari pola diagonal utama yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan
membentuk suatu persamaan polinomial karakteristik, yaitu :
1det( ( ( )( 1))) ( ) ( 1) 2 1m mI S K m m m m m
Dari persamaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai
eigennya adalah :
det 1 0I S K m m
1( ) ( 1) 2 1 0m mm m m
Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah ๐1 = 0 atau ๐2 = ๐ atau ๐3 = ๐ + 1 atau
๐4 = 2๐ + 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1.
Untuk ๐1 = 0 disubsitusikan ๐1 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
1
m
1 m
m โ 1
m โ 1
1
1
55
1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
m
m
m
I S K m m m
m
m
m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 2 1
m
m
m
m
m
Pada matriks di atas terdapat 1 nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari
matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa
banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐1 = 0 sebanyak 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐2.
Untuk ๐2 = ๐ disubsitusikan ๐2 ke dalam det ๐๐ผ โ ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 diperoleh :
am
am
m+1
m+1
1 m m โ 1 1
56
1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
I S K m m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
m
m
Karena untuk ฮป2 = ๐ menghasilkan m nulitas (diketahui dari persamaan polinomial
๐ โ๐ ๐ ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
ฮป2 = ๐ sebanyak m.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐3.
Untuk ๐3 = ๐ + 1 disubsitusikan ๐3 ke dalam det(๐๐ผ โ ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 ) diperoleh :
am
am
m+1
m+1
1
m
1 m
m โ 1
m โ 1
1
1
57
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 1
I S K m m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m
m
Karena untuk ฮป3 = ๐ + 1 menghasilkan ๐โ 1 nulitas (diketahui dari persamaan
polinomial ๐ โ๐ โ 1 ๐โ1), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang
bersesuaian dengan ฮป3 = ๐ + 1 sebanyak ๐ โ 1.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐4.
Untuk ๐4 = 2๐ + 1 disubsitusikan ๐4 ke dalam det(๐๐ผ โ ๐ ๐พ ๐ ๐ + 1 ) diperoleh :
am
am
m+1
m+1
1
m
1 m
m โ 1
m โ 1
1
1
58
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
det | ( ( )( 1)) | 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 1
m
m
m
I S K m m m
m
m
m
Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 12,
maka akan didapatkan :
2 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
m
m
m
m
m
Karena untuk ฮป4 = 2๐ + 1 menghasilkan 1 nulitas (diketahui dari persamaan polinomial
๐ โ 2๐ + 1 ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan
ฮป4 = 2๐ + 1 sebanyak 1.
Jadi terbukti bahwa 0 1 2 1
( )( 1)1 1 1
m m mSpec S K m m
m m
am
am
m+1
m+1
1
m
1 m
m โ 1
m โ 1
1
1
59
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai spektrum Adjacency, spectrum Detour,
spektrum Laplace, dan spektrum Signless-Laplace, dapat diperoleh kesimpulan
bahwa:
1. Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Adjacency graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐ ๐พ๐ ๐ = โ๐ 0 ๐ โ 1 ๐
๐ โ 1 ๐ ๐ โ 1 1
2. Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Detour graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐๐ท๐ท ๐พ๐(๐) = โ ๐๐ โ 1 ๐๐ โ 1 2
๐๐ โ 1 1
3. Misalkan ๐พ๐(๐) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing
partisi. Maka spectrum Laplace graf ๐พ๐(๐) adalah
๐๐๐๐๐ฟ ๐พ๐(๐) = 0 (๐ โ 1)๐ ๐๐1 ๐(๐ โ 1) (๐ โ 1)
4. Misal ๐พ๐ ๐ (๐ + 1) adalah graf multipartisi komplit dengan 2 โค ๐,๐ โ ๐.
Maka spektrum Adjacency ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah :
60
59
2 2( 2 4) ( 2 4)( 1) ( 1)0
( )( 1) 2 2 2 2
1 ( 1) 1 1
a
am am m m am am m ma m a mm
Spec A K m m
a a m m
5. Misal ๐พ๐ ๐ (๐ + 1) adalah graf multipartisi komplit dengan ๐ sebanyak
a,1 โค ๐ โ โ. Maka spektrum Laplace ๐พ๐ ๐ ๐ + 1 adalah :
0 1 ( 1) 1
( )( 1)1 ( 1)
a
am am a mSpec K m m
m a m a
6. Misal ๐พ ๐ (๐ + 1) adalah graf bipartisi komplit dengan ๐ โฅ 2, ๐ โ โ
maka spektrum Signless-Laplace ๐พ ๐ ๐ + 1 adalah :
0 1 2 1
( ( )( 1) )1 1 1
m m mSpec S K m m
m m
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian, maka penelitian selanjutnya dapat dilakukan dengan
menentukan spectrum graf multipartisi komplit yang belum dibahas dalam penelitian ini.
Selain itu, penelitian selanjutnya dapat diarahkan pada penentuan spectrum graf yang lain.
top related