solusi pengayaan matematika - fokus belajar ... menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. misalnya na...
Post on 14-May-2019
231 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 6
Pebruari Pekan Ke-2, 2010
Nomor Soal: 51-60
51. Perhatikan bentuk 11 211 nnn anannann , untuk setiap bilangan bulat positif 1n .
Jika nilai 10 a dan 21 a , tentukanlah nilai dari 51
50
3
2
2
1
1
0 ...a
a
a
a
a
a
a
a .
Solusi:
Dari 10 a , 21 a , dan 11 211 nnn anannann , 1n
Kita dapatkan bahwa
2 0 0 2
11(2) 1(0) ( 1) 1atau
2!a a a a
3 2 1 3
1 12(3) 2(1) 0 2 1atau
2! 3!a a a a
4 3 2 4
1 1 1 13 4 3 2 1 6 atau
3! 2! 2 4!a a a a
Ini menunjukkan bahwa 1
!nan
, 1n , dan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi. Jika
1
!kak
untuk k = 0, 1, 2, 3, … , n maka
11 211 nnn anannann , n 3.
!1
1
1
2
!
1
nn
n
n
nn
3,!1
11
nn
an
2,11
nna
a
n
n
Sehingga
51...5432/1
2
2
1...
51
50
2
1
1
o a
a
a
a
a
a51...5434
2
1
51...5432112
1
2
5251
2
3 5,1327
52. Jika A = jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, tentukanlah nilai 500
A.
Solusi:
Perhatikan digram berikut ini.
3 7 13 21 31 …
4 6 8 10
2 2 2
2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah dcnbnannS 23)( , maka
3)1()1()1()1( 23 dcbaS 3 dcba …. (1)
10)2()2()2()2( 23 dcbaS 10248 dcba …. (2)
23)3()3()3()3( 23 dcbaS 233927 dcba …. (3)
44)4()4()4()4( 23 dcbaS 4441664 dcba …. (4)
(2) – (1): 737 cba …. (5)
(3) – (2): 13519 cba …. (6)
(4) – (3): 21737 cba …. (7)
(6) – (5): 6212 ba …. (8)
(7) – (6): 8218 ba …. (9)
(9) – (8): 26 a 3
1a
3
1a 6212 ba
623
112
b
1b
7371,3
1 cbaba
7)1(33
17
c
3
5c
33
5,1,
3
1 dcbacba
33
51
3
1 d
0d
nnnnS3
5
3
1)( 23 53
3
1 2 nnn
51003100)100(3
1)100( 2 SA 343500
Jadi, nilai dari 687500
343500
500
A
53. Barisan ,...,, 321 aaa dari bilangan real yang memenuhi hubungan rekursif
nnn annanann 121 11 untuk setiap bilangan bulat positif n, dengan 110 aa .
Hitunglah jumlah 2014
2013
3
2
2
1
1
0 ...a
a
a
a
a
a
a
a
Solusi:
110 aa
Jika 1n , maka 11111 11121111 aaa
02 02 aa
3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
2
1
2
02
aa
Jika 2n , maka 21112 12222122 aaa
23 26 aa
6
1
2
1
6
3
6
223 aa
Jika 3n , maka 31313 13323133 aaa
324 612 aaa
2
1
2
1
6
16612 234 aaa
24
14 a
dan seterusnya
sehingga na
a
n
n 1 untuk setiap n bilangan bulat positif
2014
2013
3
2
2
1
1
0 ...a
a
a
a
a
a
a
a ...
6
12
1
2
1
1
1
1 2014...321 105.029.220141
2
2014
54. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang tidak habis dibagi 2 maupun 3?
Solisi:
Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 200, 201, 202, …, 700.
200a , 1200201 b , dan 700nu
bnaun 1
11200700 n
199700 n
501n
Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 501.
Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 200, 202, …, 700.
200a , 2200202 b , dan 700nu
bnaun 1
21200700 n
1982700 n
5022 n
251n
Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 251.
Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 201, 204, …, 699.
201a , 3201204 b , dan 699nu
bnaun 1
31201699 n
1983699 n
5013 n
167n
4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 167.
Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 (habis dibagi 6) adalah
204, 210, 216, …, 666.
204a , 6204210 b , dan 696nu
bnaun 1
61204696 n
1986696 n
4986 n
83n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 83.
Dengan demikian, banyak bilangan dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah
501 – 251 – 167 + 83 = 166.
55. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5?
Solusi:
Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 202, 204, …, 500 .
200a , 2200202 b , dan 500nu
bnaun 1
21200500 n
1982500 n
3022 n
151n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 adalah 151, sehingga
151An .
Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 201, 204, 207, …, 498 .
201a , 3201204 b , dan 498nu
bnaun 1
31201498 n
1983498 n
3003 n
100n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 adalah 100, sehingga
100Bn .
Misalnya Cn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 205, …, 500.
200a , 5200205 b , dan 500nu
bnaun 1
51200500 n
1955500 n
3055 n
61n
5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5 adalah 61, sehingga
61Cn .
Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3
(atau habis dibagi 6) adalah
Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 204, 210, …, 498.
204a , 6204210 b , dan 498nu
bnaun 1
61204498 n
1986498 n
3006 n
50n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3 adalah 50, sehingga
50BAn .
Misalnya CAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5
(atau habis dibagi 10) adalah
Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 200, 210, …, 500.
200a , 10200210 b , dan 500nu
bnaun 1
101200500 n
19010500 n
31010 n
31n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5 adalah 31, sehingga
31CAn .
Misalnya CBn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5
(atau habis dibagi 15) adalah
Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 210, 225, …, 495.
210a , 15210225 b , dan 495nu
bnaun 1
151210495 n
19515495 n
30015 n
20n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5 adalah 20, sehingga
20CBn .
Misalnya CBAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3,
dan 5 (atau habis dibagi 30) adalah
Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 210, 240, …, 480.
210a , 30210240 b , dan 480nu
bnaun 1
301210480 n
18030480 n
6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
30030 n
10n
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, dan 5 adalah 10, sehingga
10 CBAn .
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5 adalah
CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
2211020315061100151 .
56. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2?
Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.
Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun
nn uan
S 2
16683399932
333333 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah
6, 12, 18, 24, …, 996
Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.
Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun
nn uan
S 2
166.8399662
166166 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis
dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.
57. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah
bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga
333An .
Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun
7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
nn uan
S 2
16683399932
333333 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 5002,...,42,32,22,12 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga
500Bn .
Dari barisan tersebut diketahui 2a , 500n , dan 1000500 uun
nn uan
S 2
500.250100022
500500 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.
Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2
(atau habis dibagi 6) adalah
6, 12, 18, 24, …, 996
Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga
166BAn .
Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun
nn uan
S 2
166.8399662
166166 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah
BAnBnAnBAn 667166500333
Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500 – 83.166 = 334.167
58. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibadi 4 dan 7? Berapakah jumlah
bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan-bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28,
56, 84, …, 700.
28a , 282856 b , dan 700nu
bnaun 1
28128700 n
n28700
25n
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 25.
8 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Dari barisan tersebut diketahui 28a , 25n , dan 70025 uun
nn uan
S 2
100.9700282
2525 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 9.100.
59. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi
2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.
Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun
nn uan
S 2
16683399932
333333 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah
6, 12, 18, 24, …, 996
Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.
Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun
nn uan
S 2
166.8399662
166166 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis
dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.
60. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah
jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga
333An .
Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun
nn uan
S 2
9 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
16683399932
333333 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.
Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .
Barisan ini dapat ditulis sebagai 5002,...,42,32,22,12 .
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga
500Bn .
Dari barisan tersebut diketahui 2a , 500n , dan 1000500 uun
nn uan
S 2
500.250100022
500500 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.
Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2
(atau habis dibagi 6) adalah
6, 12, 18, 24, …, 996
Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16
Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga
166BAn .
Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun
nn uan
S 2
166.8399662
166166 S
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah
BAnBnAnBAn 667166500333
Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500 – 83.166 = 334.167
top related