soal matematika dasar dan pembahasan lengkap sbmptn 2014

PEMBAHASAN MATEMATIKA DASAR TES KEMAMPUAN DAN POTENSI AKADEMIK

SBMPTN 2014

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan √𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 < √3𝑥𝑥 + 6 adalah … Pembahasan Perhatikan bahwa bilangan real yang terdapat dalam akar kuadrat haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga,

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 ≥ 0 syarat

⟺ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) ≥ 0 faktorkan

⟺ 𝑥𝑥 ≤ 0 atau 𝑥𝑥 ≥ 2 selesaian 1

dan,

3𝑥𝑥 + 6 ≥ 0 syarat

⟺ 3𝑥𝑥 ≥ −6 kurangi kedua ruas dengan 6

⟺ 𝑥𝑥 ≥−63

= −2 selesaian 2

Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan yang diberikan soal. Dengan mengkuadrat kedua ruas, kita proleh

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 < 3𝑥𝑥 + 6 kuadratkan kedua ruas

⟺ 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 6 < 0 kurangi dengan 3𝑥𝑥 + 6

⟺ (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 6) < 0 faktorkan

⟺ −1 < 𝑥𝑥 < 6 selesaian 3

Dengan mengiriskan himpunan selesaian 1, 2, dan 3 pada garis bilangan kita peroleh,

1 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Sehingga, berdasarkan garis bilangan di atas, himpunan selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah {x | –1 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 6} (Jawaban E).

2. Jika cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥, maka nilai sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 adalah … Pembahasan Pertama, kita selesaikan persamaan cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥.

cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥 persamaan yang diberikan

⟺ cos 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

= 2 bagi kedua ruas dengan sin 𝑥𝑥

⟺ cot 𝑥𝑥 =21

identitas trigonometri

Karena cot 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦� maka kita peroleh 𝑥𝑥 = 2 dan 𝑦𝑦 = 1. Sehingga,

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = �22 + 12 = √5 Selanjutnya kita tentukan nilai dari sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 sebagai berikut.

sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 =𝑦𝑦𝑟𝑟∙𝑥𝑥𝑟𝑟

=1√5

∙2√5

=25

Jadi sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 = 25� (Jawaban D).

3. Jumlah suku ke-4 dan ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah … Pembahasan Misalkan suku ke-n dari barisan aritmetika yang diberikan adalah 𝑈𝑈𝑛𝑛, maka informasi yang ada dalam soal dapat dimodelkan sebagai berikut.

𝑈𝑈4 + 𝑈𝑈5 = 55 …(3.1) 𝑈𝑈9 − 2𝑈𝑈2 = 1 …(3.2)

Garis bilangan dapat digunakan untuk memudahkan menemukan himpunan selesaian.

cot 𝑥𝑥 = 2 bisa menghasilkan 𝑥𝑥 =−2 dan 𝑦𝑦 = −1. Tetapi nilai-nilai tersebut menyebabkan nilai sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 yang

sama, yaitu 2 5� .

©yosprens.wordpress.com | 2

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

Karena barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, maka 𝑈𝑈𝑛𝑛 =𝑈𝑈1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑏𝑏. Sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat diubah menjadi persamaan-persamaan yang ekuivalen sebagai berikut.

(𝑈𝑈1 + 3𝑏𝑏) + (𝑈𝑈1 + 4𝑏𝑏) = 2𝑈𝑈1 + 7𝑏𝑏 = 55 …(3.3) (𝑈𝑈1 + 8𝑏𝑏) − 2(𝑈𝑈1 + 𝑏𝑏) = −𝑈𝑈1 + 6𝑏𝑏 = 1 …(3.4)

Dengan mengalikan persamaan (3.4) dengan 2, kemudian menjumlahkannya dengan persamaan (3.3) kita mendapatkan,

(2𝑈𝑈1 + 7𝑏𝑏) + 2(−𝑈𝑈1 + 6𝑏𝑏) = 55 + 2(1)

⟺ 19𝑏𝑏 = 57

⟺ 𝑏𝑏 = 3

Selanjutnya, substitusi 𝑏𝑏 = 3 ke dalam persamaan (3.4) kita mendapatkan,

−𝑈𝑈1 + 6(3) = 1

⟺ −𝑈𝑈1 + 18 = 1

⟺ 𝑈𝑈1 = 17

Sehingga, jumlah tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah,

𝑆𝑆3 =32

(2(17) + (3 − 1) ∙ 3) = 60

(Jawaban E). 4. Garis 𝑙𝑙 mempunyai gradien 2. Jika 𝑙𝑙 menyinggung grafik fungsi

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 1 di 𝑥𝑥 = 1, maka persamaan 𝑙𝑙 adalah … Pembahasan Semua garis singgung dari fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 1 memiliki gradien,

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 Padahal garis 𝑙𝑙 dengan gradien 2 menyinggung grafik 𝑓𝑓 ketika 𝑥𝑥 = 1. Atau dengan kata lain, gradien dari singgung grafik 𝑓𝑓 ketika 𝑥𝑥 = 1 bernilai 2. Sehingga,

−2(1) + 𝑝𝑝 = 2 substitusi 𝑥𝑥 = 1

⟺ 𝑝𝑝 = 4 tambahakan kedua ruas dengan 2

Diperoleh 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 1. Sehingga, 𝑓𝑓(1) = −12 + 4(1) + 1 = 4

Jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika dapat dirumuskan dengan,

𝑛𝑛2

(2𝑈𝑈1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑏𝑏)

Turunan pertama dari suatu fungsi merupakan fungsi gradien garis singgung dari grafik fungsi tersebut.

3 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Oleh karena itu, garis 𝑙𝑙 menyinggung 𝑓𝑓 pada titik (1, 4). Dengan demikian, persamaan garis 𝑙𝑙 dapat ditentukan sebagai berikut.

𝑦𝑦 − 4 = 2(𝑥𝑥 − 1) persamaan garis dengan gradien 2 dan melalui titik (1, 4)

⟺ 𝑦𝑦 − 4 = 2𝑥𝑥 − 2 sederhanakan

⟺ 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2 isolasi 𝑦𝑦

Jadi, persamaan garis 𝑙𝑙 adalah 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2 (Jawaban D). 5. Semua nilai 𝑥𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan

22𝑥𝑥+2 − 17(2𝑥𝑥) + 4 < 0 adalah … Pembahasan Pertama kita tulis suku 22𝑥𝑥+2 sehingga menjadi suku yang terdiri dari perkalian 2𝑥𝑥.

22𝑥𝑥+2 = 22(22𝑥𝑥) = 4(2𝑥𝑥)2 Sehingga pertidaksamaan yang diberikan dapat diubah menjadi pertidaksamaan yang ekuivalen sebagai berikut.

4(2𝑥𝑥)2 − 17(2𝑥𝑥) + 4 < 0 …(5.1) Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan (5.1) sebagai berikut.

4(2𝑥𝑥)2 − 17(2𝑥𝑥) + 4 < 0 pertidaksamaan (5.1)

⟺ (4(2𝑥𝑥) − 1)(2𝑥𝑥 − 4) < 0 faktorkan

⟺ 14

< 2𝑥𝑥 < 4 selesaian untuk 2𝑥𝑥

⟺ 2−2 < 2𝑥𝑥 < 22 bentuk pangkat

⟺ −2 < 𝑥𝑥 < 2 selesaian untuk 𝑥𝑥

Jadi selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah −2 < 𝑥𝑥 < 2 (Jawaban E).

6. Diketahui 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar real persamaan 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 = 0, dengan 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥1𝑥𝑥2, dan 𝑥𝑥12𝑥𝑥22 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka 𝑝𝑝 = … Pembahasan Karena 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 merupakan akar-akar real persamaan 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 = 0 maka 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −3 dan 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝. Sehingga, –3, 𝑝𝑝, dan 𝑝𝑝2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika. Hal ini mengakibatkan,

Jika 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =

−𝑏𝑏 𝑎𝑎� dan 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =𝑐𝑐 𝑎𝑎⁄ .

©yosprens.wordpress.com | 4

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

𝑝𝑝 − (−3) = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝 beda barisan aritmetika

⟺ 𝑝𝑝2 − 2𝑝𝑝 − 3 = 0 kurangi kedua ruas dengan 𝑝𝑝 + 3

⟺ (𝑝𝑝 + 1)(𝑝𝑝 − 3) = 0 faktorkan

𝑝𝑝 = −1 atau 𝑝𝑝 = 3 selesaian

Karena 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar real, maka

𝐷𝐷 = 32 − 4(1)(𝑝𝑝) ≥ 0 ⟺ 𝑝𝑝 ≤94

Karena 3 > 94� dan −1 ≤ 9

4� maka nilai 𝑝𝑝 yang memenuhi adalah −1 (Jawaban B).

7. Jika �𝑦𝑦𝑥𝑥� = � 2 1−1 𝑥𝑥�

−1� 4−1� dengan 𝑥𝑥 ≠ − 1

2� , maka nilai 1 2� 𝑥𝑥 +

𝑦𝑦 =… Pembahasan Dengan mengalikan kedua ruas dengan matriks

� 2 1−1 𝑥𝑥�, kita mendapatkan

� 2 1−1 𝑥𝑥� �

𝑦𝑦𝑥𝑥� = � 4

−1� kalikan kedua ruas dengan

� 2 1−1 𝑥𝑥�

⟺ �2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥−𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2� = � 4

−1� sederhanakan

Sehingga diperoleh,

2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 4 ⟺12𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2

(Jawaban D). 8. Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin

diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah … Pembahasan Misalkan kejadian terambilnya satu koin asli dan satu koin palsu adalah 𝐸𝐸, maka

|𝐸𝐸| = 𝐶𝐶14 ∙ 𝐶𝐶18 =4!

3! 1!∙

8!7! 1!

= 4 ∙ 8 = 32

Sedangkan banyaknya anggota ruang sampel adalah

|𝑆𝑆| = 𝐶𝐶212 =12!

10! 2!= 66

Sehingga peluang kejadian tersebut adalah

Jika 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴−1 adalah suatu matriks dan inversnya, maka 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐼, dengan 𝐼𝐼 adalah matriks identitas.

5 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

𝑃𝑃(𝐸𝐸) =|𝐸𝐸||𝑆𝑆| =

3266

=1633

(Jawaban B).

9. Jika 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1� , 𝑥𝑥 ≠ 1, maka 𝑓𝑓−1�1 𝑥𝑥� � =…

Pembahasan Pertama kita tentukan invers dari fungsi 𝑓𝑓.

𝑦𝑦 =𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

fungsi 𝑓𝑓 yang diberikan

⟺ 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 kali kedua ruas dengan 𝑥𝑥 − 1

⟺ 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 1 isolasi suku yang memuat variabel 𝑥𝑥

⟺ 𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 1) = 𝑦𝑦 + 1 faktorkan

⟺ 𝑥𝑥 =𝑦𝑦 + 1𝑦𝑦 − 1

bagi kedua ruas dengan 𝑦𝑦 − 1; 𝑓𝑓−1(𝑦𝑦)

⟺ 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

fungsi invers 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)

Selanjutnya,

𝑓𝑓−1 �1𝑥𝑥�

=1𝑥𝑥 + 11𝑥𝑥 − 1

substitusi 1 𝑥𝑥� ke 𝑥𝑥 pada 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

=1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥

kalikan pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥

=𝑥𝑥 + 1

−1(𝑥𝑥 − 1) faktorkan penyebut

= −1 ∙𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

faktorkan

= −𝑓𝑓(𝑥𝑥) sederhanakan

(Jawaban A) 10. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai

persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah … Pembahasan Misalkan banyak model pakaian A dan B yang dapat dibuat secara berturut-turut adalah 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏. Maka permasalah di atas dapat dimodelkan menjadi,

𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 ≤ 40;

©yosprens.wordpress.com | 6

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

1,5𝑎𝑎 + 0,5𝑏𝑏 ≤ 15 ⟺ 3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≤ 30; 𝑎𝑎 ≥ 0; 𝑏𝑏 ≥ 0; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ (bilangan bulat);

dengan fungsi tujuan: 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. Sehingga daerah selesaian dari kendala-kendala tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dengan menggunakan uji titik pojok,

𝑓𝑓(0, 20) = 0 + 20 = 20; 𝑓𝑓(4, 18) = 4 + 18 = 22; 𝑓𝑓(10, 0) = 10 + 0 = 10.

Jadi, maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22 (Jawaban C).

11. Jika 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar persamaan kuadrat 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0, maka

persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1� dan 2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2� adalah … Pembahasan Misalkan,

𝛼𝛼 = 2 +𝑥𝑥2𝑥𝑥1

𝛽𝛽 = 2 +𝑥𝑥1𝑥𝑥2

Untuk menentukan nilai optimum dalam program linear, dapat digunakan uji titik pojok atau metode garis selidik.

7 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Dengan 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − 31� = −3 dan 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 1

1� = 1, kita peroleh

𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = �2 +𝑥𝑥2𝑥𝑥1� + �2 +

𝑥𝑥1𝑥𝑥2�

= 4 +𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22

𝑥𝑥1𝑥𝑥2

= 4 +(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2

𝑥𝑥1𝑥𝑥2

= 4 +(−3)2 − 2(1)

1

= 4 + 7

= 11

dan

𝛼𝛼𝛽𝛽 = �2 +𝑥𝑥2𝑥𝑥1� �2 +

𝑥𝑥1𝑥𝑥2�

= 4 + 2 �𝑥𝑥1𝑥𝑥2

+𝑥𝑥2𝑥𝑥1� + 1

= 5 + 2�𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22

𝑥𝑥1𝑥𝑥2�

= 5 + 2 ∙ 7

= 19

Jadi, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 adalah 𝑥𝑥2 − (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝛽𝛽 = 0 ⟺ 𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 + 19 = 0.

(Jawaban A) 12. Agar sistem persamaan

�2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 04𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 7 = 0

Mempunyai penyelesaian, maka nilai 𝑎𝑎 adalah … Pembahasan Perhatikan bahwa sistem persamaan tersebut terdiri dari tiga persamaan dua variabel. Agar sistem persamaan tersebut memiliki selesaian, maka persamaan 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 7 = 0 haruslah memuat selesaian dari persamaan-persamaan 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 dan 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0. Apabila digambarkan,

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 memiliki persamaan, 𝑥𝑥2 − (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 +𝛼𝛼𝛽𝛽 = 0.

©yosprens.wordpress.com | 8

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

Pertama, kita tentukan titik potong garis dengan persamaan 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 = 0 dan 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0. Dengan substitusi 𝑦𝑦, kita peroleh

2𝑥𝑥 − 1 = 4𝑥𝑥 − 5 substitusi

⟺ 2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 = 1 − 5 isolasi suku dengan variabel 𝑥𝑥

⟺ −2𝑥𝑥 = −4 sederhanakan

⟺ 𝑥𝑥 = 2 bagi kedua ruas dengan −2

Sehingga, 𝑦𝑦 = 2(2) − 1 = 3. Diperoleh titik potong kedua garis tersebut adalah (2, 3). Karena persamaan 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 7 = 0 harus memenuhi (2, 3), maka

𝑎𝑎(2) − (3) − 7 = 0 substitusi 2 ke 𝑥𝑥 dan 3 ke 𝑦𝑦

⟺ 2𝑎𝑎 = 10 isolasi suku-𝑎𝑎

⟺ 𝑎𝑎 = 5 bagi kedua ruas dengan 2

Jadi, nilai dari 𝑎𝑎 adalah 5 (Jawaban B).

9 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

13. Tiga puluh data mempunyai rata-rata 𝑝𝑝. Jika rata-rata 20% data di antaranya 𝑝𝑝 + 0,1, 40% lainnya adalah 𝑝𝑝 − 0,1, 10% lainnya lagi adalah 𝑝𝑝 − 0,5, dan rata-rata 30% data sisanya adalah 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞, maka 𝑞𝑞 =… Pembahasan Rata-rata merupakan jumlah data dikurangi dengan banyak data. Pertama, kita tentukan banyaknya data pada masing-masing kelompok.

𝑛𝑛1 = 20% × 30 = 6; 𝑛𝑛2 = 40% × 30 = 12; 𝑛𝑛3 = 10% × 30 = 3; 𝑛𝑛4 = 30% × 30 = 9;

Sehingga, informasi dalam soal di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

𝑝𝑝 =6(𝑝𝑝 + 0,1) + 12(𝑝𝑝 − 0,1) + 3(𝑝𝑝 − 0,5) + 9(𝑝𝑝 + 𝑞𝑞)

30

Selanjutnya kita sederhanakan dan selesaikan persamaan di atas seperti berikut.

30𝑝𝑝 = 30𝑝𝑝 − 2,1 + 9𝑞𝑞 sederhanakan

⟺ 9𝑞𝑞 = 2,1 isolasi suku-𝑞𝑞

⟺ 𝑞𝑞 =2,19

bagi kedua ruas dengan 9

⟺ 𝑞𝑞 =7

30 sederhanakan

Jadi nilai 𝑞𝑞 adalah 7 30� (Jawaban B). 14. Nilai

12

+ (log3 8)(log2 3 + log4 5) − 4 log9 45

adalah … Pembahasan Agar lebih mudah, kita sederhanakan satu per satu.

log3 8 = log3 23 = 3 log3 2

log2 3 + log4 5 = log2 3 + log22 5 = log2 �3 ∙ 512�

4 log9 45 = 4 log32 45 = 2 log3 45 = log3 452 Sehingga, soal di atas ekuivalen dengan,

12

+ (3 log3 2) �log2 �3 ∙ 512�� − log3 452

Rata-rata (�̅�𝑥) sama dengan jumlah data dibagi dengan banyaknya data.

©yosprens.wordpress.com | 10

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

=12

+ 3 log3 �3 ∙ 512� − log3 452

= log3 312 + log3 �3 ∙ 5

12�

3− log3 452

= log3 �312 ∙ 33 ∙ 5

32

452 �

= log3 �372 ∙ 5

32

(32 ∙ 5)2�

= log3 �3−12 ∙ 5−

12�

= log3(3 ∙ 5)−12

= −12

log3 15

= − log32 15 = − log9 15

(Jawaban D) 15. Jika fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 menyinggung sumbu 𝑋𝑋 di 𝑥𝑥 =

23� , maka 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 =…

Pembahasan Fungsi kuadrat 𝑓𝑓 menyinggung sumbu 𝑋𝑋 di 𝑥𝑥 = 23� . Ini

artinya,

𝑓𝑓′ �23�

= 0 gradien sumbu-𝑋𝑋 sama dengan 0

⟺ 2𝑎𝑎2 �23�

− 12 = 0 substitusi 𝑥𝑥 = 23� ke 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

⟺ 43𝑎𝑎2 = 12 isolasi suku-𝑎𝑎2

⟺ 𝑎𝑎2 = 9 kalikan kedua ruas dengan 3 4�

Karena 𝑓𝑓′�23� � = 0 maka titik (2 3� , 0) merupakan titik puncak dari

fungsi kuadrat tersebut. Atau dengan kata lain, titik (2 3� , 0) dilaui oleh grafik fungsi 𝑓𝑓. Sehingga,

𝑓𝑓 �23�

= 0 substitusi 𝑥𝑥 = 23� dan 𝑦𝑦 = 0

⟺ 9 �23�

2

− 12 �23�

+ 𝑐𝑐2 = 0 substitusi 𝑥𝑥 = 23�

Sifat-sifat logaritma yang digunakan:

log𝑎𝑎 𝑝𝑝 + log𝑎𝑎 𝑝𝑝= log𝑎𝑎 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞

log𝑎𝑎 𝑝𝑝 ∙ log𝑝𝑝 𝑞𝑞= log𝑎𝑎 𝑞𝑞

log𝑎𝑎 𝑝𝑝 − log𝑎𝑎 𝑝𝑝= log𝑎𝑎

𝑝𝑝𝑞𝑞�

𝑛𝑛log𝑎𝑎 𝑝𝑝 = log𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛

log𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝 =1𝑛𝑛

log𝑎𝑎 𝑝𝑝

11 | ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

⟺ 4 − 8 + 𝑐𝑐2 = 0 sederhanakan

⟺ 𝑐𝑐2 = 4 hasil

Sehingga, 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 = 9 − 4 = 5

(Jawaban D).

©yosprens.wordpress.com | 12