sistem bilangan ril - alex - emdi | experience, … · web viewsistem bilangan riil himpunan dan...
Post on 10-Mar-2019
251 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi (780 - 850) lahir di Khiva, Uzbekistan. Buku
pertamanya Hisâb al-Jabar wa al Muqabala, membahas solusi sistematik dari persamaan
linear dan notasi kuadrat. Beliau, yang memperkenalkan angka India, yang kemudian
diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12.
Beliau merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan
tentang astronomi dan astrologi.
1.1. Sistem Bilangan Riil 1.2. Himpunan dan Operasi pada
Himpunan1.3. Penyelesaian Persamaan1.4. Penyelesaian Pertidaksamaan
Sistem Bilangan Riil
1
No Kompetensi Dasar Materi Uraian Materi Indikator
1 Memahami sistem bilangan Riil dan operasinya.
Sistem Bilangan Riil
1. Pengertian dan sifat 2. Pertidaksamaan3. Nilai Mutlak
1. menjelaskan pengertian sistem bilangan Riil.
2. melakukan operasi pada bilangan riil
3. menyelesaikan soal pertidaksamaan
4. menyelesaikan soal harga mutlak
2 Memahami konsep fungsi
Fungsi dan Grafik
1. pengertian2. Macam fungsi3. Grafik fungsi
5. menjelaskan pengertian fungsi dan macamnya
6. menbedakan macam-macam fungsi
7. menentukan domain dan range dari suatu fungsi
8. Menggambar grafik fungsi dalam koordinat Cartesius
3 Menggambar grafik fungsi dalam koordinat polar dan dapat menggambar kurvanya
Sistem Koordinat Kutub (polar)
1. Koordinat2. Hub. Koord. Kutub
dan koord. Kartesius
3. Grafik
9. menggambar grafik fungsi dalam koordinat polar
10. menetukan hubungan antara kooridinat kartesius dengan koordinat polar
11. mengubah persamaan kartesius ke persamaan polar
12. mengubah persamaan polar ke persamaan kartesius
4 Memahami dan menerapkan konsep limit suatu fungsi
Limit Suatu Fungsi
1. Defiinisi dan teorema
2. Limit Satu Arah3. Limit tak hingga
13. Menjelaskan pengertian limit suatu fungsi
14. memahami konsep limit satu arah
15. memahami konsep limit tak hingga
16. menyelesaikan soal-soal limit
5 memahami konsep kekontinuan suatu fungsi dan menerapkannya
Kekontinuan suatu fungsi
1. Kekontinuan pada suatu titik
2. Kekontinuitas pada suatu selang
17. menjelaskan pengertian kekontinuan suatu fungsi
18. menentukan kekontinuan sutu fungsi
6 memahami konsep turunan suatu fungsi.
Turunan Suatu Fungsi
1. Definisi2. Teorema
19. menjelaskan pengertian turunan
20. menggunakan teorema dalam penyelesaian soal
21. dalil rantai7 memahami
konsep turunan suatu fungsi.
Turunan f aljabar dan trigonometri
1. Turunan f aljabar2. Turunan f
trigonometri3. Turunan tingkat tinggi
22. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi aljabar
23. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi trigonometri
8 memahami konsep turunan
Turunan fungsi
1. fungsi implisit2. turunan tingkat
24. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi implisit
Sistem Bilangan Riil
suatu fungsi. implisit tinggi9 memahami
konsep turunan suatu fungsi.
Turunan fungsi eksponen dan logaritma
1. turunan f eksponen2. Turunan fungsi
logaritma
25. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi logaritma
26. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi eksponen
10 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal
Maksimum dan minimum
1. f naik dan f turun2. nilai maksimum dan
minimum3. aplikasi maksimum
minimum
27. memahami pengertian fungsi naik dn fungsi turun
28. memahami pengertian nilai maksimum dan minimum
29. menerapkan konsep maksimum dan minimum dalam pemecahan masalah
30. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan optimasi dengan menggunakan turunan.
11 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal
Teorema Nilai rata-rata
1. Teorema Rolle2. Teorema Nilai rata-
rata
31. menyelesaikan soal teorema nilai rata-rata dengan menggunakan turunan
12 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal
Bentuk-bentuk Tak Tentu
1. Bentuk
2. Bentuk
32. menyelesaikan bentuk tak tentu denga menggunakan turunan
1
Sistem Bilangan Riil
1.1. Sistem Bilangan Riil
Bilangan Riil dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik dalam dalam
sebuah garis mendatar atau selanjutnya kita sebut sebagai garis bilangan. Pada
garis bilangan letak kumpulan titik-titik bilangan itu mengukur jarak ke kanan atau kiri
dari suatu titik tetap/titik asal yang diberi label O. Tiap bilangan hanya mempunyai
satu titik dalam sebuah garis bilangan yang kita sebut sebagai koordinat titik tersebut
(lihat Gambar 1).
Kita sudah mengenal macam-macam bilangan yang membentuk sistem
bilangan Riil, kita awali dengan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu sistem
bilangan asli (natural numbers) yang sering dilambangkan dengan , bilangan itu:
1, 2, 3, 4, . . .
dengan bilangan ini kita dapat menghitung jumlah kendaraan yang melewati
ruas jalan pada jam-jam tertentu, jumlah karyawan pada suatu perusahaan konveksi
dan lain-lain.
Bilangan bulat (integers) sering dilambangkan dengan (berasal dari bahasa
Jerman, Zahlen), terdiri dari bilangan asli bersama dengan negatifnya dan angka 0:
. . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Ternyata bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup ketika
kita harus mengukur berat, panjang dan yang lainnya. Kita dapat membuat suatu
bilangan rasional (rational numbers) sering dilambangkan dengan ; yang
merupakan hasil bagi antara dua bilangan bulat, sehingga kalau r melambangkan
bilangan rasional maka:
, dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0
Contoh bilangan rasional adalah:
1/2 -3/2 0,13 = 13/100 2 = 6/3
0 1 2 3 4 5 6 7-1 -2 -3 -4
√2 7/2-3/2 -
Gambar 1 Garis Bilangan Riil
2
Sistem Bilangan Riil
Semua bilangan-bilangan yang disebutkan di atas berpangkat satu, tetapi
sebenarnya kita dapat membuat variasi pangkat dari bilangan-bilangan tersebut
misalnya , disamping itu ada bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b, misalkan , e dan yang lainnya. Bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b disebut bilangan tak rasional/irasional (irrational
numbers). Sekumpulan bilangan rasional dan tak rasional kita sebut sebagai
bilangan riil (real numbers) dan sering kita lambangkan dengan . Bilangan masih
dapat kita perluas lagi menjadi bilangan kompleks, hampir semua mahasiswa
mengenal bentuk bilangan . Akhirnya kita dapat mengikhtisarkan sistem
bilagan dalam gambari di bawah ini.
Gambar 2 Sistem Bilangan
Untuk selanjutnya dalam buku ini kalau disebutkan bilangan, maka yang
dimaksud adalah bilangan riil kecuali kalau disebutkan secara khusus.
Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil Kombinasi dari bilangan riil x dan y. Kita dapat menambahkan atau
mengkalikan bilangan-bilangan tersebut untuk mendapatkan suatu bilangan baru.
Operasi penambahan diberi lambang “+” sehingga penambahan y dari x ditulis x + y,
sedangkan operasi kali diberi lambang “ ” atau untuk memudahkan diberi lambang
titik “.”, sehingga perkalian y terhadap x ditulis sebagai x x y atau x.y (atau cukup
ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan riil dapat dilihat
pada tabel di bawah ini.
Bilangan Riil
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Positif/Asli
Nol
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Kompleks
Bilangan Imaginer
Bilangan Prima
3
Sistem Bilangan Riil
Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil
Sifat Contoh Deskripsia. Sifat Komutatif a + b = b + a 5 + 4 = 4 + 5 Urutan pada operasi
penjumlahan dua bilangan tidak berpengaruh
ab = ba 7 · 8 = 8 · 7 Urutan pada operasi perkalian dua bilangan tidak berpengaruh
b. Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c ) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Pada saat menjumlahkan tiga
bilangan, kita dapt menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu
(ab)c = a(bc) (5 · 3) · 8 = 5 · (3 · 8) Pada saat mengkalikan tiga bilangan, kita dapt mengkalikan dua bilangan terlebih dahulu
c. Sifat Distributif a(b + c) = ab + ac 4(3 + 5) = 4 · 3 + 4 ·
5Pada saat kita mengkalikan suatu bilangan dengan jumlah dari dua bilangan hasilnya akan sama dengan mengkalikan bilangan itu dengan masing-masing masing-masing bilangan tersebut dan kemudian menjumlahkannya
(b + c)a = ab + ac (4 + 7)5 = 5 · 4 + 5 · 7
Mungkin secara intuitif kita percaya persamaan di atas benar adanya, tapi
akan lebih baik kita tidak percaya sebelum mencoba membuktikannya, misalkan kita
ambil sifat asosiatif dari penjumlahan seperti terlihat dari contoh dalam tabel di atas.
(2 + 3) + 5 = 5 + 5 =10 dan 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
sifat distributif dapat diterapkan ketika kita mengkalikan suatu bilangan dengan suatu
jumlah dari bilangan. Hal ini dapat dilihat dari ilustrasi di bawah ini:
4(3 + 5) 4.3 + 4.5
4
Sistem Bilangan Riil
Sifat Bilangan NegatifAngka nol mempunyai sifat khusus dalam penjumlahan, sering disebut
identitas penjumlahan (additive identity), karena a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap
bilangan riil a mempunyai negatif (ditulis –a), sedemikian sehingga a + (-a) = 0,
pengurangan adalah operasi penjumlahan dengan negatif. Sehingga operasi
pengurangan bilangan dapat kita tuliskan sebagai berikut:
a – b = a + (-b)
Kombinasi dari bilangan riil bersama dengan negatifnya, mempunyai sifat
sebagaimana terlihat pada tabel di bawah ini:
Sifat Bilangan Negatif
Sifat Contoh
1. (-1)a = -a (-1)7 = -7
2. –(-a) = a -(-8) = 8
3. (-a)b = a(-b) = -(ab) (-3)8 = 3(-8) = - (3 · 8)
4 (-a)(-b) = ab (-6)(-4) = 6 · 4
5 – (a + b) = – a – b -(8 + 9) = -8 – 9
6 – (a – b) = – a + b -(7 – 5) = -7 + 5
Berdasarkan sifat nomot 6, secara intuisi kita bisa mengambil kesimpulan
bahwa antara a – b dengan b – a adalah saling negatif satu sama lainnya.
Sedangkan sifat 5 dapat diperumum menjadi:
– (a + b + c) = – a – b – c
Angka 1 sangat spesial pada operasi perkalian, sering disebut identitas
perkalian (multiplicative identity) karena a.1 = 1. a = a untuk setiap bilangan riil a.
Setiap bilangan tak nol a mempunyai balikan/invers 1/a, sehingga a.(1/a) = 1.
pembagian adalah perkalian dengan balikan bilangan. Jika b ≠ 0, maka:
a b = a .
kita tulis a.(1/b) sebagai a/b. Berikutnya sifat-sifat dari operasi bagi bilangan riil.
5
Sistem Bilangan Riil
Sifat-Sifat PembagianSifat Contoh Deskripsi
Operasi kali antar dua pembagian sama dengan perkalian antar pembilang dibagi dengan perkalian antar penyebutOperasi bagi antar dua pembagian sama dengan membalik pembagi kemudian mengkalikan Penjumlahan dua pembagian yang mempunyai penyebut sama adalah dengan menjumlahkan pembilangnyaUntuk menjumlahkan dua pembagian yang mempunyai penyebut yang berbeda sama dengan membuat penyebut persekutuan. Kemudian jumlahkan kedua pembilangnyaBilangan dapat dicoret jika pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan
Jika
maka
juga Perkalian silang
Pangkat Bilangan BulatSebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali
dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 · 3 · 3 = 33.
Notasi pangkatJika a suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:
Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen
Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan
menjumlahkan eksponennya:
42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4
atau dapat kita nyatakan sebagai
6
Sistem Bilangan Riil
55 . 52 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5).(5 . 5) = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5)
= 57 = 55 + 2 = 78125
dapat disimpulkan bahwa:
, dimana m dan n bilangan bulat positif. Hal itu akan berlaku
untuk m dan n nol dan negatif seperti terlihat di bawah
30 x 33 = 30+3 = 33
Hal ini dapat dilakukan karena 30 = 1, demikian juga untuk:
43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2
dan ini benar jika 4-2 = 1/42.
Pangkat Nol dan NegatifJika a ≠ 0 suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka:
dan
AkarSelama ini pangkat dari suatu bilangan selalu bernilai bulat. Tetapi pangkat
dari suatu bilangan tidak selalu bernilai bulat misalkan 22/3, pangkat dari bilangan
tersebut merupakan bilangan rasional. Simbul dibaca dengan “akar positif dari”.
Sehingga:
setara dengan b2 = a dan b ≥ 0
Karena a = b2 ≥ 0, simbul hanya akan berlaku jika a ≥ 0. Misal
karena 32 = 9 dan 3 ≥ 0.
Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu
bilangan lain, yaitu:
7
Sistem Bilangan Riil
Akar Pangkat n
Jika n bilangan bulat positif, akar pangkat n dari bilangan Riil a didefinisikan
sebagai
= b setara dengan bn = a
Jika n genap maka a ≥ 0 dan b ≥ 0
Maka:
karena 23 = 8
karena (-2)3 = -8
akar tidak lain adalah akar pangkat n dimana n = 2 sehingga cukup ditulis ,
akan tetapi tidak terdefinisi, karena akar dari setiap bilangan riil adalah
nonnegatif.
Pangkat Rasional
Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulatdan n > 0, maka
setara dengan
Jika n genap maka kita mensyaratkan a ≥ 0
Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga
berlaku untuk pangkat rasional.
Sederhanakan pangkat rasional 641/3!
Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi di atas maka:
Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka kita dapat
membuat beberapa aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial,
beberapa aturan umum yang dimaksud dapat kita singkat dalam tabel yang ada di
bawah ini:
8
Sistem Bilangan Riil
Aturan Pangkat
Aturan Deskripsi
Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu
dengan menjumlahkan pangkatnya
Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan
mengurangkan eksponennya
Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya
Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat
tersebut
Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian
pembilang dan penyebut dengan pangkat sama
Hasil pangkat negatif dari pembagian sama dengan membalik
pembagian dengan pangkat sama
Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai
pangkat negatif maka kita dapat membalik posisinya
Sederhanakan persamaan !
Penyelesaian: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas
kita dapat menyelesaikan, yaitu
Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan
berikut!
Penyelesaian:
a. =
=
b.
Soal-Soal yang Berkaitan1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut:
9
Sistem Bilangan Riil
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di
bawah ini
a. 4 – 6(8 – 9) – 13
b.
c.
d.
3. Sederhanakan penulisan berikut:
a.
b.
c.
d.
e. (2x + 3)(5x+1)
4. Buktikan ketaksamaan bahwa:
a < b < b
10
top related