sifat relasi dan konsep fungsi

SIFAT RELASI DAN KONSEP FUNGSI

Oleh M ZULFIKAR M (1003095)

Kelas X SMA

KOMPETENSI INTI

Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong, kerjasama, cinta damai, responsif dan proaktif) dan menunjukan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan bangsa dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia

KOMPETENSI INTIMemahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KOMPETENSI DASAR

Memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik).

Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi.

INDIKATOR

Mengidentifikasi sifat-sifat dari suatu relasi.

Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi.

Menentukan daerah asal atau daerah hasil dari suatu fungsi.

SIFAT RELASI

Sifat Simetris

Sifat Antisimet

ris

Sifat Refleksif

Sifat Transitif

Sifat Ekuivalen

si

Relasi R bersifat Refleksif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Sifat RefleksifMisalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat Refleksif jika untuk setiap p ∈ P erlaku (p,p) ∈ P

Contoh 1Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakah relasi R bersifat Refleksif ?

Relasi R tidak bersifat refleksif sebab ada anggota himpunan C, yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau (5, 5) bukan anggota R

Diperoleh R = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)}

Contoh 2Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b)│ a + b < 9,dengan a,b ∈ C}, Apakah relasi R bersifat Refleksif ?

Sifat Simetris Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris jika untuk setiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R.

Contoh 3Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}.

Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat simetris?Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Relasi R tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota R tetapi (2,4) bukan anggota R.

Contoh 4Diberikan himpunan A = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan A dengan R = {(x,y) │ x kelipatan y, x, y ∈ A}, Apakah relasi R bersifat simetris?Diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}.

Sifat TransitifMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif,apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R

Contoh 5Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}.

Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat Transitif?Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Contoh 6Diberikan himpunan C = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakah relasi R bersifat transitif?Relasi R tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,3) ∈ R, tetapi (1,3) bukan anggota R.

Sifat AntisimetrisMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.

Contoh 7Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}. Apakah relasi R bersifat antisimetris?diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}

Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Contoh 8Diberikan S = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan S dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat antisimetris?

Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,1) ∈ R, tetapi 1 ≠ 2.

Sifat EkuivalensiMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh 9Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat ekuivalensi?Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

KONSEP FUNGSI

(1) (2)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi Berikut!

(3)

(4)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi Berikut!

(5)

(6)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi Berikut!

Relasi 1• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q.• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 2

• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q.• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 3• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.• Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan dua buah anggota himpunan Q.• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 4

• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q.• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P

Relasi 5• Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.• Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan semua anggota himpunan Q.• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 6

• Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P..• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Dari 6 relasi diatas. Relasi 1, 2, dan 4 adalah fungsi dari himpunan P ke himpunan Q.

- Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.- Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q.

Maka syarat relasi mejadi sebuah fungsi adalah:

KONSEP FUNGSI

Definisi FungsiA dan B himpunan. Fungsi f dari A ke Misalkan B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Secara simbolik f : A → B, dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

f : x → y, dibaca: fungsi f memetakan x ke y, sedemikian sehingga y = f(x).

y adalah petax adalah prapeta dari y

Contoh 10: Perhatikan diagram panah dibawah ini :

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

Contoh 11 Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

27

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13

Jawab :

Contoh 12Diketahui fungsi f:x→f(x) degan rumus fungsi f(x)=px-q. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3. Tentukanlah nilai p dan q kemudian tentukanlah rumus fungsinya!

Jawab:f(x)=px-q, f(1)=-3, f(4)=3Jika f(1)=-3 maka f(x)=px-q → -3=p-q…………(1)Jika f(4)=3 maka f(x)=px-q → 3=4p-q…………(2)Persamaan (1) dikurangi persamaan (2),

didapat:-6=-3p → p=2-3=p-q → -3=2-q → -q=-5 → q=5Maka rumus fungsinya adalah f(x)=2x-5

Contoh 13Diketahui fungsi dengan rumus Tentukan domain fungsi f agar mempunyai pasangan di himpunan bilangan real. JawabDomain fungsi f memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila:2x + 6 ≥ 0,2x ≥ -6 ↔ x ≥ -3.

62)( xxf

1. Diberikan himpunan P={a,b,c,} dan reasi R adalah pasangan berurutan dari A×A. apakah relasi R bersifat refleksif, simetris, transitif, antisimetris atau bahkan ekuivalen? 2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

LATIHAN

3. Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .4. Diketahui fungsi f dengan rumus

Tentukanlah daerah asal dari sungsi f agar memiliki pasangan di angota himpunan bilangan real

82

1)( xxf

1.Didapat R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Relasi R bersifat refleksif karena setiap anggota himpunan A berpasangan dengan sirinya sendiriRelasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, tetapi a ≠ b.

Relasi R bersifat ekuivalen karena memenuhi sifat refelksif, simetri, dan transitif

PEMBAHASAN

2a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y .

. 2

. 3

. 4

. 5

1 .2 .3 .

Bukan fungsi

yx

2b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

1 .

2 .

3 .

. 1

. 2

. 3

Fungsi

BA

2c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

. 4

. 6

. 8

3 .

5 .

7 .

Fungsi

P Q

36

2d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

. 3

. 4

. 5

2 .

3 .

4 .

Fungsi

K L

37

3b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

3c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

4. Domain fungsi f memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila:

(½) x - 8 ≥ 0,x - 16 ≥ 0 ↔ x ≥16

38

3a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5

-2 .-1 . 0 . 1 . 2 .

x+3x

TERIMA KASIH