selamat datang dalam kuliah terbuka ini
Post on 02-Jan-2016
31 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
1
Kuliah terbuka kali ini berjudul
“Pilihan Topik Matematika -III”
2
Permutasi dan Kombinasi
4
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok
urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
BAAB dan diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
5
1. Permutasi
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
ACB
ABC
BCA
BAC
CBA
CAB diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
6123
6
Jumlah kemungkinan komponen yang
menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang
menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinan komponen yang
menempati posisi ketiga
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
ada 24 kelompok
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
7
ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4321=24 kelompokyaitu:
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
!1.........)2()1( nnnn
8
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan
!nPnn Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
knP
Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
123424 P
9
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
1212
123424
P
Secara Umum:
)!(
!
kn
nPkn
Contoh:
30561234
123456
)!26(
!626
P
Contoh:
360345612
123456
)!46(
!646
P
10
Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya
11
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
2. Kombinasi
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi nPk
dibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk
Jadi! )!(
!
! kkn
n
k
PC knkn
12
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D
61212
1234
!2)!24(
!4
!224
24
P
C
13
yaitu:
Jawab:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Distribusi Maxwell-Boltzman
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut
dst. 321 EEE
14
Contoh Aplikasi
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu
)!(
!
11 1 nN
NPP Nn
15
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (Nn1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
)!(
)!(
21
1)(2 12 nnN
nNPP nNn
)!(
)!(
321
21)(3 213 nnnN
nnNPP nnNn
dst.
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (Nn1n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
16
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu
!)!(
!
!n
1111
1
nnN
NPC Nn
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
!)!(
)!(
!)!(
221
1
21
)(2
12
nnnN
nN
nN-n
PC nNn
!)!(
)!(
!)!(
3321
21
3331
)(3
213
nnnnN
nnN
nnnnN
PC nnNn
dst.
17
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi
dst.
elektron ditempati
elektron ditempati
elektron ditempati
33
22
11
nE
nE
nE
adalah
dst.
333
222
111
3
2
1
CgF
CgF
CgF
n
n
n
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:
!.....!!
............... ....
321
321321321321
321
321
nnn
gggCCCgggFFFF
nnnnnn
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann
18
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”
19
TkEii
BiegZ
Nn /
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
Jumlah elektron pada tingkat energi Ei
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i
fungsi partisi
i
Ei
iegZ
20
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut
dst. 321 EEE
Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
21
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
22
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut
permutasi dan kombinasi
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
!)!(
!
111 nnN
NC
!)!(
)!(
221
12 nnnN
nNC
!)!(
)!(
3321
213 nnnnN
nnNC
dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
)!(!
!
111
11 ngn
gF
!)!(
!
222
22 nng
gF
!)!(
!
333
33 nng
gF
dst.
i iii
ii ngn
gFFFFF
)!(!
!...321
23
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di blog ini juga
24
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac
1/)(
TkEEi
iBFie
gn
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T 0
0)(untuk
0)(untuk 0lim /)(
0
Fi
FiTkEE
T
EE
EEe BFi
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
25
Kuliah Terbuka
Pilihan Topik Matematika III
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham
26
top related