ruang-vektor-umum.pdf
Post on 23-Nov-2015
11 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
0
RUANG VEKTOR UMUM
Dosen Pengampu :
Darmadi S.Si M.Pd
Disusun oleh :
1. Agung Dwi Cahyono (08411.056)
2. Ardie Kusuma (08411.073)
3. Heri Cahyono (08411.145)
4. Lingga Nico Pradana (08411.180)
5. Yudha Sofyan Mahmudi (08411.293)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2010
-
1
RRuuaanngg VVeekkttoorr UUmmuumm
A. Difinisi
Sebarang himpunan benda yang dimisalkan dengan V, yang dua operasinya kita
definisikan yakni penambahan dan perkalian skalar (bilangan riil).
Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang
mengasosiakan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u+v, yang
disebut jumlah u dan v.
Operasi perkalian skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan
yang mengasosiakan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku,
yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k.
Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh
semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan
benda-benda pada V kita namakan vektor.
Aksioma-aksioma tersebut adalah sebagai berikut :
1) Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u+v berada di V.
2) uvvu
3) wvuwvu
4) Ada sebuah benda 0 di V sehingga uuu 00 untuk semua u di V.
5) untuk setiap u di V, ada sebuah benda u di V yang kita namakan negatif u sehingga
0 uuuu .
6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V.
7) kvkuvuk
8) lukuulk
9) uklluk
10) uu 1
Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada
aplikasinya. Ruang vektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut
ruang vektor kompleks (complex vector space), dan ruang vektor dimana skalar-
skalarnya merupakan bilangan real disebut ruang vektor real (ruang vektor real).
-
2
Definisi dari suatu ruang vektor tidak menyebutkan sifat dan vektor maupun
operasinya. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan dan
perkalian skalar kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun dengan
operasi-operasi vektor standar pada nR , asalkan kesepuluh aksioma ruang vektor
terpenuhi.
Contoh berikut akan memberikan gambaran mengenai kemungkinan keragaman
vektor tersebut. Pada setiap contoh, akan diberikan suatu himpunan V tak kosong dan
dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Kemudian akan dibuktikan bahwa
kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi, sehingga V dapat disebut sebagai suatu ruang
vektor dengan melakukan operasi-operasi yang telah ditentukan.
Contoh soal :
Ruang vektor matriks 3x2
1. M = {semua matriks berordo 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi
penjumlahan matriks. Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan
anggota-anggota M. Apakah M merupakan ruang vektor ?
Penyelesaian :
Misalkan matrik A, matrik B, dan matrik C adalah elemen dari M.
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A ,
3231
2221
1211
bb
bb
bb
B ,
3231
2221
1211
cc
cc
cc
C
Aksioma 1:
32323131
22222121
12121111
3231
2221
1211
3231
2221
1211
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA
Maka aksioma 1 terbukti karena A+B adalah matrik berordo 3x2.
-
3
Aksioma 2:
AB
aa
aa
aa
bb
bb
bb
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
Maka Aksioma 2 terpenuhi.
Aksioma 3:
Maka aksioma 3 terpenuhi.
Aksioma 4:
A
aa
aa
aa
aa
aa
aa
A
3231
2221
1211
3231
2221
1211
00
00
00
0
Maka aksioma 4 terpenuhi.
Aksioma 5:
0
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
AA
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
AA
Maka aksioma 5 terpenuhi:
Aksioma 6:
3231
2221
1211
3231
2221
1211
kaka
kaka
kaka
aa
aa
aa
kkA
Maka aksioma 6 terpenuhi karena kA adalah matrik berordo 3x2 yang merupakan
objek di M.
CBAcc
cc
cc
bb
bb
bb
aa
aa
aa
cc
cc
cc
bb
bb
bb
aa
aa
aa
CBA
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
-
4
Aksioma 7 :
kBkAbb
bb
bb
k
aa
aa
aa
k
bb
bb
bb
aa
aa
aa
kBAk
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
Maka aksioma 7 terpenuhi.
Aksioma 8:
lAkAaa
aa
aa
l
aa
aa
aa
k
aa
aa
aa
lkAlk
3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
Maka aksioma 8 terpenuhi.
Aksioma 9:
Aklaa
aa
aa
kl
aa
aa
aa
lklAk
3231
2221
1211
3231
2221
1211
Maka aksioma 9 terpenuhi.
Aksioma 10:
A
aa
aa
aa
aa
aa
aa
A
3231
2221
1211
3231
2221
1211
11
Maka aksioma 10 terpenuhi.
Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan M merupakan suatu ruang
vektor.
-
5
Ruang Vektor Nol
Misalkan V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0, dan
didefinisikan 0+0=0 dan k0=0 untuk semua skalar k. Apakah V merupakan ruang
vektor?
Pemeriksaan untuk mengetahui apakah semua aksioma ruang vektor telah terpenuhi
dapat dilakukan dengan mudah. Maka ruang vektor ini disebut sebagai ruang vektor
nol (zero vector space).
B. Beberapa Sifat Vektor
Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k
sebuah skalar maka :
a) 00 u
b) 00 k
c) uu 1
d) Jika ku=0, maka k=0 atau u=0
Bukti :
a. Perhatikan bahwa :
0u+0u =(0+0)u [aksioma 8]
=0u [sifat bilangan 0]
Berdasarkan aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negatif, -0u. Dengan
menambahkan negatifnya pada kedua ruas diatas, maka akan menghasilkan :
(0u+0u)+(-0u)=0u+(-0u)
0u+[0u+(-0u)]= 0u+(-0u) [aksioma 3]
0u+0 = 0 [aksioma 5]
0u = 0 [aksioma 4]
Maka terbukti 00 u .
-
6
b. Akan dibuktikan 00 k .
Untuk membuktikannya, maka kita gunakan persamaan 0+0=0.
0+0=0
k(0+0)=k0 [kedua ruas di kalikan k, dimana k adalah skalar]
k0+ k0 = k0 [Aksioma 7]
k0+ k0+(-k0)= k0+(-k0) [kedua ruas ditambahkan (-k0)]
k0+0=0 [Aksioma 5]
k0=0 [Aksioma 4]
Terbukti bahwa 00 k .
c. Untuk menunjukkan uu 1 , diperlihatkan bahwa 01 uu .
uu 1 ` [Aksioma 10]
[Aksioma 8]
[Sifat dari bilangan]
[Teorema 3a]
d. Akan dibuktikan jika ku=0, maka k=0 atau u=0.
ku=ku
ku+k0+0u+0=ku+k0+0u+0 [kedua ruas ditambah k0, 0u, 0]
(k+0)(u+0)= ku+k0+0u+0 [dibuat bentuk perkalian]
(k+0)(u+0)=0+0+0+0 [Diketahui, Teorema 3b, Teorema 3a]
(k+0)(u+0)=0 [Sifat dari bilangan]
k=0 atau u=0
maka terbukti bahwa jika ku=0, maka k=0 atau u=0.
0
0
11
11
u
u
uu
-
7
DAFTAR PUSTAKA
Purwanto, dkk. 2005 .Aljabar Linier. Jakarta: PT. ERCONTARA RAJAWALI.
Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier Elementer. Jakarta : Erlangga.
top related