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16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 1 de 90
GEODESIA GEOMÉTRICA
René Zepeda G. marzo 2006
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 3 de 90
---- G E O D E S I A G E O M É T R I C A
---- RENÉ ZEPEDA G. – versión marzo 2004
APUNTE PROVISORIO, SUJETO A REVISIÓN Y CAMBIOS, NO REEMPLAZAN ANOTACIONES EN CLASES
Petr Vaniceck: “... la llave del conocimiento reside en el dominio de sus conceptos ...”
INTRODUCCIÓN
La palabra Geodesia, tiene como origen la palabra griega Geodaisia, que significa
“división de tierras” (geo = Tierra y daisia = dividido)
Según diversas enciclopedias y diccionarios, Geodesia puede ser definida como una
ciencia cuyo objetivo es determinar la forma de la Tierra y calcular sus dimensiones.
Posee dos campos de pesquisa: uno teórico, que examina la configuración de la
Tierra en su conjunto, considerando los factores internos y externos que la
determinan; otro más práctico, que partiendo de la elaboración de los dados teóricos,
prepara las soluciones apropiadas para representación cartográfica de la superficie
terrestre.
Camil Gemael (1981), “el objetivo de la Geodesia es la determinación de la forma y de
las dimensiones de la Tierra. Encontrándose dividida en: Geométrica, Física y
Celeste. la Geodesia Geométrica es ejecutada a través de la medición de los ángulos
y/o distancias, proporcionando el cálculo de las coordenadas elipsoidales de un punto
en la superficie física de la Tierra, sobre el modelo de referencia. La Física se
preocupa con el estudio de la gravedad y sus aplicaciones geodésicas, mientras que
la Celeste permite la determinación de la posición relativa o absoluta de puntos de la
superficie terrestre.”
Torge (1980), “la Geodesia puede ser dividida en global (global geodesy), de
levantamientos (geodetic survey) y de levantamientos planos (plane surveying). La
Geodesia Global es responsable por la determinación de la figura de la Tierra, incluido
el campo de gravedad externa. La Geodesia de Levantamientos es responsable por la
definición de las redes nacionales establecidas en los países. El Levantamiento Plano
(levantamiento topográfico, catastral, etc.) es responsable por el detalle de la
superficie; siendo o plano horizontal, normalmente, superficie de referencia en este
caso. La integración entre ellas, se da de la siguiente forma: La Geodesia Global es
responsable por la definición de los parámetros que determinan la forma de la tierra y,
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en consecuencia, de las medidas realizadas o conducidas, en su superficie. El
Levantamiento Plano, a su vez, hace uso de los puntos de control establecidos por el
Levantamiento Geodésico, y que son utilizados para el mapeo nacional y en los
catastros estatales.”
Langley (1992), dice que “es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la
Tierra, incluido su campo de gravedad, en cuatro dimensiones, espacio-tiempo”.
Considerando esta definición, es necesario por lo tanto, definir el sistema de
coordenadas a ser adoptado, describir el campo de gravedad global y estudiar las
variaciones temporales de posiciones, sean ellas por causas naturales o no. Aún en
esta línea, Langley (1992) afirma que “cuando la Geodesia se refiere la superficie de
la Tierra, significa referirse la superficie equipotencial. Aunque existan diversas
superficies equipotenciales, apenas una tiene especial significado, es aquella que
más se aproxima de la superficie de los océanos en reposo, y no a su nivel, cuando
eles se prolongan bajo os continentes y se encuentran libres de los efectos de las
mareas, ondas, vientos, corrientes, etc. Esta superficie es llamada geoide.”
La forma real de la Tierra, según Torge (1991), “es el geoide, definido como la
superficie equipotencial, que en cualquier lugar es perpendicular a la vertical dada por
un hilo de plomo y que coincide con o nivel medio no perturbado de los mares.”
Como el geoide es una superficie irregular, no puede ser matemáticamente definida;
es importante no solo para la investigación científica así también, para diversas
actividades cotidianas. A través del mapeo del geoide, se puede verificar la estructura
de la costra terrestre y acompañar la evolución de la tectónica de placas; en
actividades cotidianas, su uso pode ser comprobado la través de las altitudes
referidas a la superficie, altitudes ortométricas, que normalmente son empleadas en el
mapeo topográfico.
Como el geoide es de difícil representación, la forma de la Tierra ha sido
matemáticamente definida por un elipsoide de revolución; que es la figura geométrica
que más se aproxima a la forma real de la tierra: achatada en los polos y alargada en
el Ecuador. La superficie elipsoidal es conveniente como referencia y facilita las
operaciones matemáticas. En razón de ello, esta es la superficie de referencia mas
ampliamente empleada en levantamientos y mapeos; pues por ser una superficie
matemáticamente desarrollada, es largamente utilizada en proyecciones cartográficas
y en el establecimiento de coordenadas horizontales de las redes geodésicas,
permitiendo la ejecución de cálculos diversos, con una precisión necesaria para la
cartografía de grandes áreas.
El elipsoide (superficie elipsoidal) es menos usado como superficie de referencia para
las coordenadas verticales (altitudes), ya que no refleja una superficie física de nivel,
pero sí una superficie geométrica. “La determinación de altitud, respecto al nivel
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medio de los mares es la operación normalmente ejecutada en nivelación. Esta altitud
pode ser interpretada como la altura ortométrica, ya que o geoide es muy próximo al
Nivel Medio de los Mares (NMM)”.
Bomford (1975) destaca que “cabe la Geodesia establecer una red de puntos que
pueda ser empleada para control de los levantamientos efectuados”.
Objetivos de la geodesia � Práctico: entregar referencias precisas para el control de levantamientos
topográficos � Determinación de la forma y dimensiones de la Tierra (y otros cuerpos celestes) Definiciones / conceptos: � Ciencia de medir o levantar la Tierra o parte de ella � Ciencia que determina la figura geométrica de la Tierra y su interrelación con
puntos seleccionados en su superficie � Hosmer: Ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la
superficie de la Tierra � Zakatov: Estudio de la figura (forma y medidas) y del campo gravitacional exterior
de la Tierra � Comittee on Geodesy – EEUU: Es el ramo de la metemática aplicada que
determina, por medio de observaciones y mediciones, la exacta posición de puntos, figuras y áreas de grandes porciones de la superficie terrestre, la forma y tamaño de la Tierra y las variaciones de la gravedad terrestre
� National Research Council – Canadá: Es la disciplina que lidia con mediciones y representación de la Tierra, incluyendo su campo de gravedad, con variaciones en el espacio-tiempo
� Comunidad Europea: todas las actividades de evaluación, manejo de tierras, prueba de suelos, cartografía, levantamientos subterráneos, mapeo nacional, levantamiento de limites y SIG.
� OSU: Geodesia es una ciencia interdisciplinar la cual usa mediciones espaciales, aéreas y terrestres para estudiar la forma y tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar precisamente posición y velocidad de puntos y objetos en la superficie u órbita de los planetas, dentro de un sistema de referencia terrestre y aplicar esos conocimientos a una variedad de aplicaciones científicas y de ingeniería, usando herramientas de la matemática, física, astronomía y computación.
Para lograr su objetivo puede valerse de operaciones geométricas realizadas sobre la
superficie terrestre (medidas angulares y de distancias) asociadas a determinaciones
astronómicas y gravimétricas; o más modernamente efectuadas sobre satélites
artificiales.
Áreas de la Geodesia: Geodesia Geométrica, Geodesia Física y Geodesia Celeste
(incluye la Geodesia Satelital).
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Bajo otro punto de vista: Geodesia Teórica: que estudia el elipsoide y el geoide (y su
relación); Geodesia Aplicada: descripción de la superficie terrestre.
Problemas típicos:
� Conocimiento de la forma y dimensión de la Tierra;
� Estudio del elipsoide como superficie de referencia;
� Resolver problemas geométricos: métodos, fórmulas, aproximaciones;
� Representar el elipsoide de acuerdo a sistemas de proyección (cartografía y
topografía);
� Estudio de redes geodésicas nacionales o globales;
� Estudio del campo gravitacional de la Tierra (fuerza de la gravedad y desvío de la
vertical);
� Conocimiento del geoide (mapas geoidales);
� Determinación de alturas y del NMM;
� Estudio del movimiento de las placas terrestres;
� Procedimientos de terreno para apoyar trabajos de levantamientos;
� Establecer referenciales para proyectos de ingeniería.
Historia de la Geodesia
� 2400aC: Mapa más antiguo - valle del río Eufrates;
� 1333aC – 1300aC: catastro del valle del Nilo – Ramses II;
� Pitágoras (580 – 500aC) fue el primero a suponer la Tierra como esférica
� Aritósteles (384 – 322aC) observó el contorno circular de la sobra de la Tierra
proyectada en la Luna durante los eclipses; estimó el diámetro de la esfera
terrestre en 400.000 estadios (84.000 a 63.000km, dependiendo de la conversión).
� Arquímedes (287 – 212aC) calculó en 300.000 estadios (63.000 a 47.000km)
usando diferente longitud de estadio
� Eratóstenes (276 – 194aC) filósofo y matemático, director de la biblioteca de
Alejandría.
Observó en Syene (margen derecha del Nilo) que el Sol cruzaba el meridiano en el
cenit y en Alejandría el Sol causaba una sombra de 1/50 de circunferencia (7º12’). La
distancia entre las dos ciudades es de 5.000 estadios (medido por los “geomensores”
reales en días a camello).
Suponiendo (errado) que ambas ciudades están en el mismo meridiano:
∆Z = ∆φ ; d = 5.000 estadios ; π = 256/81 = 3,16 y 1 estadio ≈ 157m
501 círculo = 5.000 estadios
R = (5.000 x 50) / 2π = 39.556,96 estadios = 6.210km (error < 2%)
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� Poseidonius (135 – 50aC). Un siglo después a través de la distancia Alejandría –
Rodas recalculó el radio de la Tierra usando la estrella Canopus, obteniendo un
valor semejante.
� I-Hing (China siglo IIXaC), monje budista matemático y astrónomo midió un arco
de 11.440li (1 li ≈442m) resultando P ≈ 56.700km y R ≈ 9.000km
� Edad Media. obscuridad: prohibidos Copérnico, Kepler, Galileo, etc;
� Jean Fernel (Francia). En 1525 se midió el arco de 1º entre París y Amiens
usando las revoluciones de una rueda. Fue obtenido 56.746 toesas (= 110.600
metros)
� Jean Picard (Francia 1620 – 1682) introdujo el telescópico para observar alturas
de estrellas y ángulos en la traingulación; midió dos bases con reglas de madera.
Calculó que 1º = 57.060 toesas (1 toesa ≈ 1,95m) 111.210m, R=6.372km
� Isaac Newton (Inglaterra 1642 – 1727) se valió de los resultados de Picard para
sus estudios sobre gravitación, considerando la Tierra achatada en los polos
� Giovanni Cassini (Francia 1625 – 1712) concluyó que la longitud de un arco de
meridiano disminuye con el aumento de la latitud: achatada en los polos> Demarca
el inicio de la Geodesia Moderna.
� 1735 con el auspicio de la Academia de París organizan dos mediciones de arcos
de 1º: a Perú (hoy Ecuador) con Pierre Bouguer, La Condamine y Godin
resultando 110.613m y, a Laponia con Clairaut, Maupertuis y Camus, resultando
111.948m. Se adoptó el elipsoide de revolución; a= 6.376,45km y b= 6.355,88km
� 1790 se crea el metro
� 1924 la Asamblea General de la Asociación de Geodesia de la Unión de Geodesia
y Geofísica Internacional (UGGI) realizada en Madrid resolvió adoptar el elipsoide
de Hayford como de Referencia Internacional
� 1953 El IAGS (Servicio Geodésico Interamericano) terminó la triangulación desde
México hasta el sur de Chile
� 1956 se recomienda para América del Sur el elipsoide de Referencia Internacional.
Se adopta el PSAD56, con punto datum La Canoa (Venezuela) con deflexión de la
vertical igual a cero.
� 1969 la UGGI recomienda para América del Sur el elipsoide de referencia 1967.
Lleva a la definición del SAD69 con elipsoide GRS-67, con punto datum en Chua
(Brasil)
� 1995 se efectúa la primera campaña del proyecto SIRGAS (Sistema de Referencia
Geocéntrico para América del Sur). Red científica medida con GPS, referida a
ITRF95,4 que en la práctica es igual a WGS84. La segunda campaña se realiza
en al año en 2000.
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� 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000.
En Chile se destacan, de cuerdo a información de los Anuarios del IGM, los siguientes
hechos:
� 1893 medición de la Red de Triangulación entre Santiago y Batuco
� 1896 primeros trabajos de Astronomía Geodésica en Chile, con la determinación
de los azimutes Bases de Paine – Maipú.
� 1906 Determinación del Azimut Astronómico fundamental Observatorio Quinta
Normal – Renca
� 1929 nivelación línea Cartagena – Pelequén – Almahue
� 1931 a 1934 nivelación hasta Santiago
� 1949 se inician los trabajos en conjunto con el IAGS (Interamerican Geodetic
Survey)
� 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000.
UNIDADES DE MEDIDA
En la antigüedad la relación geométrica entre dos puntos dependía de las unidades,
donde era adoptada y en que época
Por ejemplo, no hay equivalencia exacta para el estadio en la medición entre
Alejandría y Syene. Historiadores evalúan entre 157,5 y 190 m aproximadamente.
Unidades Angulares
Egipto: se pensaba que el Sol giraba la Tierra en 360 días, por ese motivo se asoció
la traslación de 1 día a 1 grado. gon: 400
1 circunferencia
Unidades Lineales Estadio: al menos en dos diferentes lugares del mundo antiguo (Grecia y Roma), “carrera del estadio” Real Codo Egipcio: conocido como “auna”, empleado para construir pirámides; = 52.3 cm Legua: origen en Galia, Francia. 1 legua = 1,5 millas = 1500 pasos Milla: (mil) de los militares romanos; 1000 paso (doble paso); 1 paso = 5 pies romanos. Milla marítima: distancia entre dos puntos en la misma longitud y separados por 1’ en latitud (1.852m) Palma: mayor distancia entre el pulgar y el meñique Pulgada: Segunda falange del pulgar
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Pié: Inglaterra y EEUU; 12 pulgadas Yarda: girth: faja o cinturón; distancia medida, con el brazo extendido, de la nariz a la punta de los dedos; = 0.914 m Vara: trozo de madera con 5 palmas de longitud o 16 pies (Inglaterra); el juez poseía la “vara” legal. En Inglaterra: “ ... a la salida de la iglesia, después del oficio religioso, dieciséis hombres tomados al azar entre los fieles, altos y bajos, se colocarán en línea recta con sus respectivos pies izquierdos, unos enseguida de los otros ...” Vara Española: = 0.836 m Toesa: en Francia 1 toesa = 1.949 m
Metro: � 1791 Comisión de Pesos y Medidas (Francia), se adopta la unidad metro
como el “ 000.000.101 parte del cuadrante de meridiano terrestre”; los
submúltiplos adoptan prefijos latinos (deci, centi, mili) y los múltiplos prefijos griegos (deca, hecto, kilo).
� 1973: adopción del sistema métrico provisional, 1 metro = 36 pulgadas, 11,46 líneas de la toesa del Perú
� 1795: se estableció la longitud del metro; 1 metro = cuadragésima millonésima parte del meridiano terrestre.
� 1 cuadrante = 5.130.740 toesas; 1 metro = 443,2959 líneas; 1 toesa (Perú) = 6 pies = 72 pulgadas = 864 líneas = 1,949 metros; 1m = 0,5130740 toesas.
� 1789: fueron fabricadas 4 barras bimetálicas en capas de cobre y platino � 1870: primera tentativa internacional con la creación del “Bureau
Internationale des Poids et Mésures” � 1889: 30 copias fueron hechas y distribuidas a diferentes países � 1890: surge el patrón natural en función de la longitud de onda de la
radiación cadmio rojo � 1960: redefinición como la longitud de onda de la luz – 1.650.763,73λ del
gas cripton-86 en el vacío. Precisión 4 partes en 109 � 1983: La Conferencia General de Pesos y Medidas en París redefine en
función del tiempo. La longitud que viaja la luz en el vacío durante 1/299.792.458 segundos. Precisión 1 parte en 1010
1 metro =
1 vara Chile = 1 milla terrestre = 1 milla marítima =
1 legua marítima = 1 legua métrica =
1 pié ingles = 1 yarda =
39,7 pulgadas 0,835 metros 1.609,31 metros 1.851,85 metros 5.555,55 metros 5.500 metros 0,30479 metros 0,91438 metros
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En Chile se adopta el Sistema Internacional (SI) de Unidades, homologada por la
Norma Chilena NCh-30 de INN.
Notación: Metro: m Gramo: g Segundo: s
Múltiplos y submúltiplos: 10-6 : µ (micro) 10-3 : m (mili) 103 : k (kilo) 106 : M (mega)
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PROBLEMAS GEODESICOS Y TOPOGRÁFICOS PRÁCTICOS.
� Transportar coordenadas: problema directo (α,D) � (X,Y)
� Calcular distancia y acimut: problema inverso (X,Y) � (α,D)
� Determinar forma de la Tierra (geoide)
α+=α+=
cos
sen
BCCB
BCCB
dYY
dXX
YX
YXdBC
∆∆=α
∆+∆=
arctg
22
En triangulación: Ley de los senos B
bA
aˆsenˆsen
=
sitgdhh
siDZdhh
sidih
siDZdih
−+α⋅=∆−+⋅=∆
−+α⋅=∆−+⋅=∆
cot
sen
cos
∑∑ −=∆ adelanteatrásABh
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COORDENADAS ASTRONÓMICAS
Todos los cuerpos en la Tierra están sujetos al campo gravitacional, resultante de la
fuerza de atracción ejercida por la Tierra y la fuerza centrífuga.
Superficies equipotenciales W=constante, denominados “geopes”.
Líneas de fuerza perpendiculares a los geopes: líneas de fuerza de campo =
verticales, representa la dirección del vector gravedad (eje de plomo o eje principal del
teodolito).
Latitud astronómica: ángulo entre la vertical e su proyección ecuatorial.
Meridiano astronómico: plano vertical paralelo al eje de rotación terrestre
Longitud astronómica: ángulo diedro entre el y el meridiano astronómico y el
meridiano medio astronómico de Greenwich (origen).
Por consecuencia del movimiento de los polos terrestres que alteran el eje de rotación
y consecuentemente del ecuador, las coordenadas astronómicas son función del
tiempo. Deben ser reducidas a una misma época.
SUPERFICIES DE REFERENCIA
En geodesia se relacionan 3 superficies:
1. Superficie física terrestre: donde se realizan las operaciones de medida
2. Superficie del modelo geométrico de referencia, elipsoide de revolución: donde se
realizan los cálculos geodésicos
3. Geoide, superficie que representa la forma real de la Tierra en función de su
campo gravitacional; es una superficie equipotencial; un geope que más se
aproxima al Nivel Medio del Mar (NMM); coincide con la superficie de los océanos
en reposo extendida idealmente sobre los continentes; es una superficie
“horizontal”; es el origen para las altitudes o altura ortométrica (distancia por la
vertical de un punto al geoide). Se obtiene por nivelación geométrica asociada a
gravimetría.
Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la determinación
de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal)
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yx
zGeóide
Elipso
ide
h = H + N
SUPERFICIETERRESTRE
GEOIDE
ELIPSOIDE
H
hN
P
concen
tración
de ma
sa
vertica
les
superficieequipotencial
(tarea: investigar las 2 superficies de referencia, elipsoide y geoide)
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE
Elipsoide de revolución: cuerpo geométrico generado por la rotación de una elipse
alrededor del eje menor, el eje menor coincide con el eje polar terrestre.
FQ + F´Q = constante = 2·a
En el elipsoide tri-axial: a=c=b � esfera
c=b � elipsoide de revolución
El elipsoide de revolución es la “forma matemática de la Tierra”, donde se realizan los
cálculos
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F F´
a
b
a
o
d
φ
Q
X
Z
90+φF F´
a
b
a
o
d
φ
Q
X
Z
90+φ
Ecuación de la elipse generatriz: 12
2
2
2=+
b
z
a
x
Ecuación del elipsoide de revolución: 12
2
2
22
=++b
z
a
yx
La excentricidad es la distancia focal expresada en términos del semi eje mayor (a)
2
2
2
222
22 1
a
b
a
ba
a
de
ad
aFO
e
−=−==
==
El achatamiento es la razón de la diferencia entre los semi ejes, respecto del semi eje
mayor:
Achatamiento (f) : ab
aba
f −=−= 1
1a excentricidad (e): 2
2
2
222 1
a
b
a
bae −=−=
2a excentricidad (e’): 1'2
2
2
222 −=−=
b
a
b
bae
Otras relaciones:
22 2 ffe −⋅= 2
22
'1
'
e
ee
+=
2
22
1'
e
ee
−=
2'11
ebf
ba +⋅=
−= 21)1( eafab −⋅=−⋅= )1( 222 eab −⋅=
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COORDENADAS GEODÉSICAS
Basadas en un elipsoide de revolución generado por una elipse girada en torno al eje
polar; es el modelo matemático de la Tierra.
λ
Z
X
Y
P1
a
Q
Y1
X1
Plano ecuatorial
Meridiano origen
Sección 1er
vertical
Sección meridiana
Eje polar
φ
b
O
Z1
R
P
h
Longitud
Altura elipsoidal
Latitud
λ
Z
X
Y
P1
a
Q
Y1
X1
Plano ecuatorial
Meridiano origen
Sección 1er
vertical
Sección meridiana
Eje polar
φ
b
O
Z1
R
P
h
Longitud
Altura elipsoidal
Latitud
� Sección Normal: sección que contiene la normal al elipsoide en P
� Sección Meridiana: sección normal particular, contiene el eje menor (polar)
� Sección 1º vertical: perpendicular a la sección meridiana en P
� Gran Normal: segmento PQ de la normal; desde P hasta el eje polar
� Pequeña Normal: segmento PR, hasta el plano ecuatorial
� Meridiano Geodésico: intersección de la sección meridiana con el elipsoide
� Paralelo Geodésico: intersección de un plano paralelo al ecuador y el elipsoide, es
un círculo
� Latitud Geodésica: ángulo formado por la normal en P y su proyección en el
ecuador; (-) al sur del ecuador; varía de +90º a -90º
� Longitud Geodésica: ángulo formado entre el meridiano origen y la sección
meridiana en P; (-) al este de Greenwich; varía 0º a 360º o a +/-180º
� Altura Geométrica o Elipsoidica: distancia por la normal entre el elipsoide (P) y el
punto P1
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 16 de 90
Desvío de la Vertical (δ): ángulo entre la vertical local (en P1) y la normal al elipsoide;
ayuda a transformar magnitudes astronómicas a geodésicas:
Componente meridiana ξ = φa – φ
Componente 1º vertical η = (λa – λ) cos φ = (Aa – A) cot φ
Ecuación de Laplace: A = Aa – (λa – λ) sen φ
Usada en astronomía geodésica para orientar redes geodésicas. En vértices de
triangulación que se realizan determinaciones astronómicas de azimut y longitud, se
denominan “puntos de Laplace”
Datum
PSAD-56 SAD-69 WGS-84 Sirgas
Elipsoide Internacional 24 (GRS-67) WGS-84 GRS-80
a 6378388 6378160 6378137 6378137
1/f 297 298.25 298.257223563 298.257222101
b 6356911.946 6356774.719 6356752.3142 6356752.3141
e2 0.00672267002 0.00669454185 0.00669437999 0.00669438002
e´2 0.00676817020 0.00673966080 0.00673949674 0.00673949677
(tarea: investigar los sistemas PSAD56, SAD69 y WGS 84)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 17 de 90
LATITUDES GEOCÉNTRICA Y REDUCIDA
P
Q Q’O
P’
M
M’
µµµµ ψψψψ φφφφ
b
a
x
zρρρρ
φφφφ : latitud geodésicaψψψψ : latitud geocéntricaµµµµ : latitud reducida
H
P
Q Q’O
P’
M
M’
µµµµ ψψψψ φφφφ
b
a
x
zρρρρ
φφφφ : latitud geodésicaψψψψ : latitud geocéntricaµµµµ : latitud reducida
H
En los problemas prácticos de la geodesia interfiere solo la latitud geodésica, pero en
aspectos teóricos son útiles otros dos tipos de latitud:
� Latitud geocéntrica (ψ): ángulo entre el radio vector de un punto M con su
proyección en el ecuador;
� Latitud reducida (µ): ángulo formado por el radio (M´O) y su proyección en el
ecuador; M´O formado por la prolongación de la ordenada en M, hasta la
circunferencia circunscrita de radio “a”.
M
M’
µµµµ ψψψψ φφφφ
b
x
z
a
a
b
z´M
M’
µµµµ ψψψψ φφφφ
b
x
z
a
a
b
z´
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 18 de 90
φ
φ
N
Nsenφ
x=Ncosφ
z=N´senφ
φ
φ
N
Nsenφ
x=Ncosφ
z=N´senφ
Z = N’ senφ = x tgψ
N’= N(1-e2) y x = N cosφ
N(1-e2) senφ = N cosφ tgψ
x = a cosµ y z = b senµ
µ⋅−=µ⋅⋅=µ⋅µ⋅==ψ tgetg
ab
asenb
xz
tg )1(cos
2
φ⋅−=ψ tgetg )1( 2
φ⋅−=µ tgetg )1( 2
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 19 de 90
RADIOS DE CURVATURA DE SECCIONES NORMALES
En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, la
intersección de estos con el elipsoide forman las secciones normales, todas ellas con
curvatura diferente, pero hay dos principales, mutuamente perpendiculares, cuyas
curvaturas son máxima (sección normal meridiana) y mínima (sección normal del
primer vertical), con radios de curvatura denotados por M y N respectivamente.
Gran Normal (N): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con eje
Z (H)
Pequeña Normal (N’): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con
ecuador
Elipse meridiana: 12
2
2
2=+
b
z
a
x (1)
Sarcodeliacióngenteladedireccióndeiación
S vartanvar
Curvaturaτ=
∆τ∆=
Radio de curvatura K
R1= (2)
y=f(x)
dsdydx
x
ydx
dy
τ
y=f(x)
dsdydx
x
ydx
dy
τ
Según [Gemael, Rapp, Zakatov], para una curva plana z = f(x), el radio de curvatura
es:
2
2
23
2)(1
dx
zd
dxdz
R
+= (3)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 20 de 90
Deducción:
222 dydxds += ==> 22
1
+=
dxdy
dxds
==> dxdxdy
ds2
1
+=
dxdy
d =τ ==>
=τdxdy
arctg ; diferenciando:
=τdxdy
arctgdd siendo: 2
´
1)(
u
uuarctg
dud
+= , resulta:
( ) dxd
dxdy
dx
yd
2
2
2
1+=τ ; pero
τ=
dds
R
reemplazando:
( ) dx
dxdxdy
R
dxdy
dx
yd
2
2
2
2
1
1
+
+= =
2
2
23
2
1
dx
yd
dxdy
+
Continuando:
la tangente (pendiente) en el punto(x,y) es: φ−=φ+= gtgdxdz
cot)90( (4)
pero. de 12
2
2
2
=+b
z
a
x → 222222 bazaxb =+ (5) , diferenciando:
022 =⋅+⋅ dzzadxxb → φφ−=−=
senzx
a
bdxdz cos
2
2
→ φ⋅=φ⋅ cos22 zasenxb (6)
al cuadrado: 0cos224224 =φ⋅−φ⋅ zasenxb (7)
multiplicando la (5) por (-b2 sen2φ) y sumando a la (7):
212222
2
)cos( φ+φ
φ=senba
senbz (8)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 21 de 90
de la misma manera se encuentra x:
212222
2
)cos(
cos
φ+φ
φ=senba
ax (9)
pero 2
222
a
bae
−= → 2
122 )1(
cos
φ−
φ=sene
ax y
( )2
122
2
)1(
1
φ−
φ−=sene
seneaz (10)
PRIMER CAMINO:
diferenciando:
[ ] φφ⋅+φ−−φ−φ⋅=
φφ−⋅φ⋅φ⋅⋅φ−φ−φ−=−
−−
desenesenesena
dsenesenesenesenadx
22222322
23222
212
122
cos)1()1(
))1(cos2cos)1(( (11)
2
322
2
)1(
)1(
φ−
φ−−=φ
sene
seneaddx
(12) [Rapp]
análogamente: 2
322
2
)1(
cos)1(
φ−
φ−=φ sene
eaddz
reemplazando en la 2ª derivada de:
φφ
=φφ
=
ddxsendx
d
sendx
zd 111222
2 (13)
))1(
)1(32
232
2
2
φ−φ−−=
senea
sene
dx
zd (14)
:2
2
Rendx
zdy
dxdz
doreemplazan
Designando por M el radio de curvatura 2
322
2
)1(
)1(
φ⋅−
−⋅=sene
eaM (15)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 22 de 90
De la figura:
x = N cosφ y z = N’ senφ
φ⋅−=
221 sene
aN (16)
φ⋅−
−⋅=22
2
1
)1('
sene
eaN (17)
)1(' 2eNN −= (18)
SEGUNDO CAMINO:
2
2
2
2
22222 1
+=+=+=+=φ⋅=dzdx
dzdz
dx
dz
dzdzdxdz
dzdz
dxdzdMds
pero φ−= gdxdz
cot → φ−= tgdzdx
23
22
2
)1(
cos)1(
φ−
φ−=φ sene
eaddz
φ⋅=φ
=φ+= dMdz
tgdscos
1 2 → φφ
=ddz
Mcos
1
luego: 2
322
2
)1(
)1(
φ−
−=sene
eaM
Secciones principales (para un punto):
� Sección meridiana, radio de curvatura mínimo
� Sección 1o vertical (acimut 90º), radio de curvatura máximo
φ
φ
N
Nsenφ
x=Ncosφ
z=N´senφ
φ
φ
N
Nsenφ
x=Ncosφ
z=N´senφ
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 23 de 90
Radio de curvatura de la sección meridiana (M):
2322
2
)1(
)1(
φ⋅−
−⋅=sene
eaM
Radio de curvatura de la sección del primer vertical (N):
φ⋅−=
221 sene
aN
Radio de curvatura de una sección normal cualquiera con acimut α (Rα): Teorema de Euler:
Nsen
MRα+α=
α
22cos1 �
α⋅+α⋅⋅=α
22cos senMN
MNR
En los Polos α = 90º En el Ecuador α = 0º
Sección meridiana b
a2
oPPP R N M === a
b2
E M =
Sección 1er vertical PP N M = a NE =
Radio medio de curvatura (Ro) φ⋅−
==221 sene
bMNRo
Radio de un paralelo (r): φ⋅= cos r N
r tiene valor máximo en el ecuador (=a) y nulo en los polos
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 24 de 90
LONGITUD DE UN ARCO DE ELIPSE MERIDIANA
[Geodesia Geométrica, DMA 1982, Richard
Rapp]
Para el caso de un arco circular: S = R·α
Arco PP’ de la elipse meridiana. Radio de
curvatura no varía.
Q O
P
φφφφ
b
a
P’
∆φ∆φ∆φ∆φ
M
ds
x
y
Z
X
Ya
b
o
A
B
D
C
∆λ∆λ∆λ∆λ
M: radioEl radio de curvatura (M) de la sección meridiana es expresado como:
φ⋅= dMds
S
αR
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 25 de 90
de ese modo el arco S se obtiene integrando:
φφ⋅−⋅−⋅== −φ
φ
φ
φ ∫∫ dseneeadsS 2/3222
1
22
1)1()1(
Haciendo: )1( 22 φ⋅−= seneW
φ⋅−⋅= ∫∫φ
φ
φ
φd
Weads
3
2
1
22
1
1)1(
Usando el desarrollo en serie de McLaurin:
...128315
1635
815
23
11 88664422
3+φ+φ+φ+φ+= senesenesenesene
W
Se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples:
φ+φ−φ+φ−=φ
φ−φ+φ−=φ
φ+φ−=φ
φ−=φ
8cos128
16cos
161
4cos327
2cos167
12835
6cos321
4cos163
2cos3215
1615
4cos81
2cos21
83
2cos21
21
8
6
4
2
sen
sen
sen
sen
[
...)]1010(101
)88(81
)66(61
)44(41
)22(21
)1(
121212
1212122
+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−
−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅−⋅=
sensenFsensenEsensenD
sensenCsensenB)(Aeas
...131072
693
...655363465
16384315
...13107231185
2048315
51235
...1638410395
40962205
256105
645
...6553672765
20482205
512525
1615
43
...6553643659
1638411025
256176
6445
43
1
10
108
1086
10864
108642
108642
+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=
eF
eeE
eeeD
eeeeC
eeeeeB
eeeeeA
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 26 de 90
Para el cuadrante meridiano: φ1 = 0º ; φ2 = 90º � s = a(1-e2) A π/2
Para SAD69 � s = 10.002.001,23m [Rapp]
Zakatov en 1962:
[ ]2cos81
)4cos6415
2cos163
643
()2cos43
41
1 2242mmmm ee(eas φ⋅φ∆⋅⋅+φ⋅−φ⋅+⋅−φ⋅+⋅−⋅φ∆⋅=
Se considera exacta para líneas hasta 600km
Zakatov simplificada:
Mm = radio de curvatura de la latitud media.
]2cos81
1[ 22mm eMs φ⋅φ∆⋅⋅+⋅φ∆⋅= precisión 1mm hasta aprox. 400 km
.Para distancias muy cortas se puede simplificar por: φ∆⋅= mMs precisión 1mm hasta aprox. 1 km
LONGITUD DE UN ARCO PARALELO
Puntos de longitudes λ1 y λ2 en el mismo paralelo, sea L el arco:
r = N cosφ λ∆⋅φ⋅=λ∆⋅= cosNrL
(Calcular la distancia por el paralelo desde el Meridiano Greenwich a Santiago)
(tarea: calcular y graficar 1” de arco meridiano y paralelo para diferentes
latitudes en Chile)
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO ELIPSOIDICO
Considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos (d y
d ).
AB = CD = M dφ
AD = BC = N cosφ dλ
Ärea diferencial: dA = AB * AD = M N cosφ dφ dλ
∫∫ ∫φ
φ
φ
φ
λ
λ
ϕ⋅ϕ⋅⋅λ−λ=λ⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅=2
1
12
2
1
2
1
cos)(cos dNMddNMA
Área de la zona elipsoidica (dφ x 2π)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 27 de 90
1051238
23045
10512158
25656
1121
10512458
6456
1614
803
10256458
192356
1634
1632
61
10256638
128356
1654
832
21
'
'
'
'
1'
eeE
eeeD
eeeeC
eeeeeB
eeeeeA
+=
++=
+++=
++++=
+++++=
212
12φ+φ
=φφ−φ=φ∆ my
Área del cuadrilátero elipsóidico (dφ x dλ) ...]5cos5'3cos3'cos'[2 2 −φ⋅φ∆⋅+φ⋅φ∆⋅−φ⋅φ∆⋅λ∆⋅⋅= −senCsenBsenAbA mm
2; 12
1212φ+φ
=φλ−λ=λ∆φ−φ=φ∆ my
APROXIMACIÓN ESFÉRICA
En ciertos problemas la aproximación esférica (considerar la Tierra como esfera)
puede ser suficiente, para triángulos geodésicos pequeños.
Se adopta una familia de esferas con radios entre b2/a y a2/b, que son los radios
medio de curvatura en el ecuador y en los polos, respectivamente.
A cada triángulo corresponde un radio NMR ⋅=0 calculado en función de la latitud
media del triángulo.
Radio de esfera con media aritmética de los 3 ejes: 3
2 baR
+⋅=
Radio de una esfera de igual área que el elipsoide (RA):
...)95
74
53
32
1(4
8642 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=π
= eeeebA
R EA
Radio de una esfera de igual volumen que el elipsoide (RV): 3
34
VESFERA RV ⋅π⋅= baVELIPSOIDE ⋅⋅π⋅= 2
34
6 23 2 )1( eabaRV −=⋅=
CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE
SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS
Sección normal directa respecto al punto “A”: sección normal en A que contiene el
punto.
Sección normal recíproca respecto al punto “A”: sección normal en C que contiene el
punto.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 28 de 90
En general, para puntos distintos, las normales en A y C no son coplanares �
secciones normales directa e inversa no son coplanares � “camino” normal A-C ≠
“camino” normal C-A.
Coplanares solo si los puntos están en la misma latitud o misma longitud.
Se fuera posible calar con un teodolito, instalado en el elipsoide según la normal, los
planos de observación A-C es diferente a C-A, o sea, son diferentes direcciones.
Para punto más al sur � curva directa más al sur.
Secciones normales no definen un triángulo geodésico.
El mejor camino entre los dos puntos es una curva, generalmente reversa,
comprendida entre los planos directo y recíproco, denominada línea geodésica.
SEPARACIÓN ENTRE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS
Considérense dos puntos sobre el elipsoide (A y B) en diferentes latitudes y
longitudes. Al estar a diferentes latitudes sus normales no son colineales (no se
intercectan en el mismo punto sobre el eje de rotación). La visual directa (A→B) está
contenida en la sección normal A→B, mientras que la visual recíproca (B→A) está en
la sección normal recíproca B→A. Esto quiere decir que la intersección entre los
planos directo y reciproco se produce en la cuerda AB.
Z
X
Ya
A
BSección Normal A����B
Sección Normal B����A
Normal en A
Normal en B
φφφφBφφφφA
Z
X
Ya
A
BSección Normal A����B
Sección Normal B����A
Normal en A
Normal en B
φφφφBφφφφA
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 29 de 90
A
B
φφφφA
NA
NB
φφφφB
A
B
φφφφA
NA
NB
φφφφB
A
B
Sección normal A-B
Sección normal B-A
cuerda A-B
Ángulo entre planos normales
A
B
Sección normal A-B
Sección normal B-A
cuerda A-B
Ángulo entre planos normales
En la práctica interesan las diferencias en distancia y acimut entre secciones
normales recíprocas.
Ángulo auxiliar (β [Gemael]
φ⋅φ⋅−φ⋅⋅+φ⋅φ⋅−φ⋅⋅
=βsensenNsenNeN
senNsenNetg
)(
cos)(
112
112
Ángulo ortogonal (V):
[Gemael] senAV ⋅β=
A: acimut
Z: ángulo cenital
[Rapp]: AsenNS
eV m 2cos)(21 2
1
2 ⋅φ⋅⋅=
S: distancia geodésica
A: acimut
Para S = 100km; φm = 45º; A = 45º : V = 6” (valor máximo en A = 45º)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 30 de 90
Separación acimutal (θ):
A1
BN
AA’
θθθθ/32θθθθ/3
S
A1
BN
AA’
θθθθ/32θθθθ/3
S
Ángulo en el plano tangente (horizontal) en N [Gemael]: gZsenA cot⋅⋅β=θ
[Rapp]: AsenNSe
m 2cos)(4
22
1
2⋅φ⋅⋅=θ
[Jordan]: )2
(coscos)(2 1
112121
22
1
2
NStg
AsenANSe ⋅
φ−⋅⋅φ⋅⋅=θ
Para φm = 0º y A = 45º
S 200km 100km 50km
θ” 0,36” 0,09” 0,023”
Para φm = 52º y A = 45º
S 150km 100km 30km
θ” 0,057” 0,032” 0,003”
En la práctica se hacen correcciones a distancias > 30km
SEPARACIÓN ENTRE ARCOS
En el punto medio entre A y C, la separación “L” será máxima:
[Gemael]: 2
232
16
2cos
N
AsenSeL
⋅
⋅φ⋅⋅=
Para φm = 45º y A = 45º
S 200km 100km 50km
L máximo 0,050m 0,006m 0,0008m
Para φm = 52º y A = 45º
S 150km 100km 30km
L máximo 0,013m 0,0038m 0,0001m
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 31 de 90
REDUCCIONES GEODÉSICAS ANGULARES
1- Corrección del acimut debido a la altura del pun to observado Las direcciones se miden entre puntos sobre la superficie terrestre, sin embargo los
cálculos se efectúan sobre la superficie del elipsoide, por lo tanto existe influencia de
la altura del punto visado en el acimut calculado.
Desde A se cala B, a altura h.
� Acimut deseado: A;
� Acimut observado: Ah
Puesto que el elipsoide es achatado, se debe considerar la diferencia (A – Ah)
A
B
δδδδ2B´
b’AAh
NANB
A
B
δδδδ2B´
b’AAh
NANB
[Rapp] ABmm
AeMS
coscos222 ⋅φ⋅⋅=δ
⋅⋅φ⋅⋅=−=δ ABmm
h AseneMh
AA 2cos2
22
La corrección no depende de la distancia entre los puntos. Esta corrección se aplica
solamente cuando el punto calado (B) está en altura, independiente si el punto origen
(A) de las visadas está en altura.
(tarea: hacer gráfico de corrección por altura, par a diferentes latitudes)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 32 de 90
LÍNEA GEODÉSICA
A
B
normal A-B
normal B-A
Geodésica entreA y B
A
B
C
meridiano
tangente
Para obtener un único triángulo elipsóidico, los vé rtices deben estar
conectados por líneas geodésicas.
Línea geodésica, yacente a una superficie, es la que en todos sus puntos el plano
osculador es normal a la superficie � Es única entre dos puntos � Es la distancia más corta sobre la superficie � En el plano es una recta � En una esfera es un arco de círculo máximo � En el elipsoide es reversa (curvatura espacial) ; no es plana
Propiedad importante: la normal principal de la geodésica coincide, en cualquier
punto, con la normal del elipsoide. La normal (principal) está contenida dentro del
plano osculador que pasa por tres puntos infinitamente cercanos en la curva. La
sección normal no tiene esta propiedad.
característica: r senA = constante
(¿Paralelos y meridianos son líneas geodésicas?)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 33 de 90
2- Corrección ángulo geodésica – sección normal. Se necesita transformar el acimut de una sección normal en el acimut correspondiente
de la línea geodésica, ya que esta representa sin ambigüedad el lado de un triángulo
geodésico.
La línea geodésica divide el ángulo “θ” de las secciones normales recíprocas (excepto
en los casos de acimut 90º o 270º), en razón 1:2, estando siempre más cerca de la
sección normal directa. Designando por “τ” la corrección:
A1
BN
AA’
θθθθ/32θθθθ/3
S
A1
BN
AA’
θθθθ/32θθθθ/3
S
"]22
2[cos12
'3
22
22"" ρ⋅⋅φ⋅−⋅φ⋅⋅=−=θ=τ
NsenAsenS
AsenN
SeAA
AsenN
SeAA 2cos
12'
32
2
22"⋅φ⋅⋅=−=θ=τ
(tarea: calcular la reducción anterior para diferen tes distancias en azimut 45º)
Si los dos puntos están sobre el mismo meridiano, solo existe una sección normal
entre ellos, la geodésica es el meridiano (τ = 0). Pero .....
Si los dos puntos están sobre el mismo paralelo, solo existe una sección normal entre
ellos, sin embargo la geodésica NO coincide con esta sección normal. La geodésica
estará fuera de las secciones normales. La diferencia no influye en la distancia.
r = N cos φ N cosφ sen A = cte = K Ecuador A = 90º � K = N Meridiano A = 0 � K = 0
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 34 de 90
3- Corrección por deflexión de la vertical.
A
(cenit geodésico)Z
Z’
ξξξξ
ηηηηe meridiano
Debido a que las mediciones no se efectúan sobre el elipsoide y sí sobre la Tierra
verdadera, bajo influencia del campo gravitacional, los ángulos se miden en la
horizontal local (perpendicular a la vertical) y deben ser llevados al plano
perpendicular a la normal del elipsoide.
La diferencia se llama deflexión de la vertical, con componentes ξ (componente
meridional) y η (componente en el 1er vertical).
"1
)cos(3 ρ⋅⋅η−ξ−=δtgZ
AsenA ABAB
Z: distancia cenital del punto observado = (90-φ)
")90(
1)cos(3 ρ⋅
φ−⋅η−ξ−=δtg
AsenA ABAB
Esta corrección es normalmente muy pequeña
Corrección total:
3δ+τ+δ+= oc AA
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 35 de 90
TRIANGULACIÓN
Cabe resaltar que las triangulaciones están en desuso, actualmente la materialización
de redes geodésicas se realiza mediante GPS de alta precisión, siendo este al menos
10 veces más preciso que las triangulaciones. Sin embargo la densificación puede
ser realizada por poligonación de precisión, alcanzando precisiones de las
triangulaciones (10 ppm).
La materialización del sistema cartográfico se efectuaba por un proceso llamado de
“triangulación” (proviene de la época en que se formaban solo triángulos adyacentes)
y los puntos llamados “vértices geodésicos”. La marca física se llama marco o
monolito y representan geométricamente las visadas realizadas con teodolito. Las
medidas son hechas sobre el terreno.
Imposiciones iniciales:
� Posición; punto origen (o datum) de coordenadas geodésicas conocidas,
amarración al elipsoide (evita translación);
� Orientación; conocer un acimut de partida (evita rotación);
� Escala; base geodésica inicial medida y reducida, significa imponer una escala.
Con las 4 imposiciones iniciales se puede proyectar la triangulación sobre el elipsoide
y se pueden transportar coordenadas.
El problema del datum
La mayoría de las triangulaciones geodésicas se caracterizan por la imposición inicial:
ξ0 = η0 = N0 = 0
Desvío de la vertical = 0; ξ: componente meridiana; η: componente 1o vertical
Coinciden en el punto origen la normal y la vertical y, elipsoide con geoide �
coincidencia entre coordenadas geodésicas y astronómicas.
φ0 = φa ; λ0 = λa ; A0 = Aa
De esta manera fueron definidas 3 de las imposiciones iniciales, por determinaciones
astronómicas. La escala se define “midiendo” una base.
PSAD-56. Con origen en el vértice La Canoa (Venezuela); elipsoide Hayford
(Internacional).
Hito XVIII = PSC-63 (Provisional Southern Chile 63). Origen en el Hito XVIII; elipsoide
Internacional.
SAD-69. Origen en vértice Chuá (Brasil); elipsoide SAD-69 (GRS-67).
φ0 = 19º 45’ 41,6527”S ; λ0 = 48º 06’ 04,0639”W ; Aa = 271º 30’ 04,05”
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 36 de 90
φa = 19º 45’ 41,34” S ; λa = 48º 06’ 07,80” W ; Aa = 271º 30’ 05,42”
ξ0 = 0,31” ; η0 = 3,59” ; N0 = 0
Paralelo al sistema terrestre medio.
1980: UGGI definió el GRS-80 adoptado por Transit y después por GPS.
Cálculo de la triangulación.
� Operaciones astronómicas: puntos de Laplace (φ y A)
� Operaciones geodésicas:
- Medida de base geodésica inicial y de verificación.
- Medida de ángulos o direcciones horizontales.
- Medida de ángulos verticales.
La triangulación (y cualquier medición) está sujeta a errores observación
(accidentales) � figuras no cierran � coordenadas dependen del “camino” utilizado.
Después de eliminar los errores sistemáticos, se procede al ajuste por el Método de
los Mínimos Cuadrados (MMC) � solución única � coordenadas únicas.
Precisión nominal ..... 1/100.000 ó 10ppm.
Los ángulos verticales se usan en la nivelación trigonométrica, no tan precisa como
nivelación geométrica. Esta es conducida en redes separadas a la triangulación.
Rigidez.
La figura básica de la triangulación es el cuadrilátero completo, con lados y
diagonales visados en ambas direcciones. Rigidez es un concepto precursor de las
técnicas modernas de optimización basadas en elipses de errores. En la práctica ya
no se usa. Consiste, a partir de la ley de propagación de errores, en el error probable
del logaritmo de un lado, calculado por la solución de uno o varios triángulos.
Medición de Ángulos Horizontales por reiteración. Reiteración. Se usa diferentes
partes del limbo horizontal.
Reconocimiento. Objetivo: adoptar una figura prefijada; asegurar intervisibilidad;
lugares accesibles y permanentes; evitar refracción lateral.
Materialización. Marcos o monolitos de concreto con identificación y marca de
centrado. Mediciones de 1er orden se efectúan normalmente en la noche, por causa
de menos refracción y visibilidad. Se necesitan lámparas eléctricas.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 37 de 90
Centrado. En caso de no haber visibilidad se construye una torre de madera o metal.
Las prefabricadas usadas por el DMA se llaman Torres Bilby de hasta 38m; consiste
en dos torres concéntricas independientes. Plomo óptico ni cualquier otro sirve para
instalar el teodolito; se usa un colimador vertical.
MEDICIONES DE BASES GEODÉSICAS.
Distanciómetros mecánicos. Hasta fines del siglo 19 eran medidas con reglas rígidas
bimetálicas. En 1885 en Suecia se inventó la liga Invar (acero con 35% níquel) con
bajo coeficiente de dilatación.
Coef. dilatación acero ~ 0,000 01
Coef. dilatación invar ~ 0,000 000 04 (250 X); más blando y menos elástico
que acero. Se usó hasta unos 40 años atrás.
Hilos (o cinta) de invar eran de 24 o 50m y poseían en los extremos pequeñas reglas
graduadas de 8 centímetros . Se debía estacar cada 24 o 50m ±15cm. Se aplican
tensores de 10kg en los extremos. Se hace nivelación geométrica en las estacas
para reducir al horizonte más correcciones de temperatura, flecha, variación de
tensión, etc. Después era reducida al geoide. .... semanas de trabajo para medir una
base.
Distanciómetros electrónicos. En 1947 se inventó en Suecia el Geodímeter (Geodetic
Distance Meter) basado en onda luminosas; en 1957 en Sudáfrica se inventó el
Telurómetro (microondas), el más popular en geodesia.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 38 de 90
REDUCCIONES GEOMÉTRICAS
Para convertir la distancia electrónica en distancia geodésica se deben efectuar
algunas correcciones geométricas.
1- Reducción de distancia geométrica a distancia in clinada
REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ELECTRÓNICAS.
Se debe considerar que los distanciómetros, incorporados a las Estaciones Totales (ET),
determinan las distancias electrónicamente, y es por ello que la magnitud original de la
distancia está afectada principalmente de dos factores, constante del prisma y refracción
atmosférica.
Constante de prisma: usualmente las ET traen incorporada, en su configuración, los valores de
las constantes de los diversos prismas que pueden ser utilizados, o bien, se considera una
constante cero para el prisma que usa por defecto.
Refracción atmosférica: generalmente la obtención de la distancia electrónica es calibrada
para valores de una atmósfera estándar (Leica 12°, Topcon 15°, Trimble 20°), 60% de
humedad y 1013 hPa (mb) de presión (760 mm/Hg). De las tres variables que influencian la
distancia, la humedad es la que menos la afecta, no así la temperatura y la presión. Entre los
diversos modelos de corrección por refracción, se encuentra el siguiente para Estaciones
Totales Leica:
+−
+−= X
T
h
T
PppmCd 10·
*003660.01
*0004126.0
*003660.01
*29065.08.281)(
7857.03.237
*5.7 ++
=T
TX
Sin considerar la humedad h:
)(*003660.01
][*2904.08.281)( Leica
T
hPaPppmCd
+−=
)(479.272
][*146.79255)( Trimble
T
hPaPppmCd
+−=
)(15.273
]/[*033.10666.279)( Topcon
T
HgmmPppmCd
+−=
La influencia de las variaciones de temperatura y presión, en la corrección por refracción, para
las Estaciones Totales Leica, es:
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 39 de 90
( )2
2
2
22
2
*003660.01
00366.0**2904.0
*003660.01
2904.0dT
T
PdP
TdD
++
+−=
La sensibilidad de la corrección es del orden de 1 ppm por cada 1ºC de variación de
temperatura y 3 ppm para cada 10 mb de variación de presión, de esa manera, en trabajos de
precisión geodésica, los valores de temperatura y presión deben ser tomados, al instante de la
medición, con precisión absoluta de 1ºC y 3 mb, respectivamente.
Como resultado de las correcciones anteriores, se obtiene la distancia geométrica (DG) entre
los centros del distanciómetro y del prisma.
REDUCCIONES GEOMÉTRICAS.
Cálculo de la distancia inclinada (Di)
Sean los datos de terreno:
i: altura instrumental
m: altura del prisma
Z´: ángulo cenital observado
DG: distancia geométrica
i
m-i
m
DG
Di
Di
Dh
Z´
Z
Cz
i
m-i
m
DG
Di
Di
Dh
Z´
Z
Cz
Cálculo de la distancia inclinada (Di).
Di puede ser determinada por medio de la expresión proveniente de la aplicación del teorema
del coseno:
´cos*)(**2)( 22 ZimDGimDGDi −−−+=
Reducción de los ángulos cenitales a la línea.
Aunque esta reducción tiene mayor relevancia en la Nivelación Trigonométrica Recíproca y
Simultánea, se revisará en este tópico.
Z = Z´+cz
Z: cenital reducido a La línea
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 40 de 90
Z´: cenital medido en terreno
cz: reducción a la línea
teorema del seno:
Di
senZimcz
Zsen
Di
czsen
im ´)(
´)(
⋅−=→=−
Cálculo de la distancia horizontal (Dhz) Dhz se determina a partir de Di y el ángulo cenital Z reducido a la línea, o de DG y Z´ (de
terreno)
2- Reducción al horizonte.
La distancia electrónica (Di) es inclinada y la distancia horizontal (Dh) es:
Dh = Di * cosα ; α = ángulo vertical respecto al horizonte, o
Dh2 = Di2 - ∆H2 ; ∆H = desnivel
Siendo la corrección Ch = Dh – Di = (Di2 - ∆H2)1/2 – Di
3- Reducción al geoide (NMM).
Designando por H la altura ortométrica conocida (al geoide)
de la base, o del lado de la poligonal; por De el lado
proyectado en el elipsoide:
sea la corrección Ce = Dh – Dr
...)(2
2+−⋅=
R
HRH
DC hP
R: radio de la sección normal del acimut. Fórmula de Euler. En ciertos casos se
puede tomar un radio medio.
(notar semejanza con la corrección al NMM, deducida por otro camino)
MA
NAsen
RA
22 cos1 +=
En rigor la corrección debe hacerse al elipsoide (superficie donde serán realizados los
cálculos), pero recordar que H = h – N, y cuando N ó h eran desconocidos
terreno
NMMelipsoide
BA
hm
Rm
Dh
DrS
terreno
NMMelipsoide
BA
hm
Rm
Dh
DrS
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 41 de 90
(antiguamente), los geodestas reducían las bases al geoide, no obstante los cálculos
de la triangulación fueran realizadas en el elipsoide.
Reducción al elipsoide
Otra forma de realizar la reducción al elipsoide, es a través de un factor de escala
debido a la altura (h) sobre el elipsoide, denominado factor de escala debido a la
altura (Kh).
De la semejanza de triángulos:
RhR
DD
e
h += = constante para un mismo h = Kh
Kh relaciona (como factor de escala) Dh y De.
RNHR
RhR
Kh++=+=
Si no se conoce h (elipsoidal), se debe usar H (ortométrica) y N (ondulación geoidal).
En caso de desconocer N, que en Chile varía entre 10 y 30 metros, aproximadamente
respecto a WGS-84, se introduce un error, por ejemplo a N=20 m:
kmmm
N RNR
K 7.41.000004706378000
206378000 ==+=∆+=∆ ∆
Nótese que aquí se ha usado un radio aproximado R=6378 km, debido a que siendo
la variable del numerador (∆N ó h) de la expresión de Kh, muy pequeña respecto al
radio, la precisión de Kh casi no es afectada.
4- Reducción al arco elíptico.
Esta corrección es aditiva (contrario a las anteriores)
...)482
(22
23
+α−α⋅=α⋅=
α⋅=
RsenRD
RS
e
αR
S
De
αR
S
De
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 42 de 90
24)
482(2
33 α⋅+α⋅−α⋅=α−α−α⋅=−= RRRRRDeSCG
2
33
2424 R
DeRDeSCG =α⋅=−=
(Analizar si esta corrección es significativa)
De [km] corr [m] PPM
1 0.000
2 0.000
5 0.000
10 0.001
20 0.008
30 0.028
40 0.066
50 0.128
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 43 de 90
TRIÁNGULO GEODÉSICO.
El objetivo inmediato de la geodesia es determinar coordenadas de puntos en la
triangulación, trilateración y poligonales de precisión. Las coordenadas son
transportadas vértice a vértice. Significa que todos los lados deben ser conocidos y
surge el problema de resolver los triángulos geodésicos.
No se pueden utilizar los valores observados, pues las coordenadas dependerían del
camino utilizado. Debe haber solución “única”, para eso los valores deben ser
ajustados. Aquí no se abordará el ajuste por el Método de los Mínimos Cuadrados
(MMC).
El ajuste presupone una resolución preliminar de los triángulos geodésicos.
El modelo geométrico adoptado es el elipsoide, por lo tanto los triángulos geodésicos
son elipsóidicos y no esféricos. Pero como el elipsoide tiene poca excentricidad, se
puede asumir como esféricos, siempre que se les atribuya una esfera correspondiente
de radio igual a el radio medio R0 en función de la latitud del centro de gravedad del
triángulo, o latitud media. NMR ⋅=0
En un triángulo esférico, la suma de los ángulos interiores es mayor que 180º
(excluyendo errores de medición)
EXCESO ESFÉRICO
Es el valor que excede dos ángulos rectos.
ε = A+B+C-180º ó =A+B+C-200g
TEOREMA DE LEGENDRE. Se conservan los lados y varían los ángulos. A
BC
S
α
βγ
A’
B’ C’
S’
α'
β'γ’
Sean dos triángulos, esférico y plano, cuyos lados correspondientes son iguales en
longitud:
α = α’ ; β = β’ ; γ = γ’ Condiciones del teorema de Legendre:
1. Los dos triángulos tienen la misma área (S = S´)
2. Los ángulos del triángulo esférico son iguales a los correspondientes del triángulo
plano, más 1/3 del exceso esférico (ε)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 44 de 90
(A-A´=ε/3)
En la práctica:
� Se miden triángulos elipsóidicos.
� Se suponen esféricos
� Se calcula el exceso esférico � se “transforman” en planos
� Se calculan los lados
� Se transportan coordenadas
"2
´
sup´:
'"
21
2
'
ρ⋅α⋅β=ε
=⋅α⋅β⋅=
=ε
MN
senA
MNRsenAS
esféricotriánguloerficieSR
S
'";"
21
: senAmMN
mesféricoexcesodefactor ⋅α⋅β⋅=ερ=
Cálculo provisorio del triángulo.
El cálculo definitivo de los triángulos es después del ajuste de los ángulos y este
presupone conocer el exceso esférico, que a su vez exige el cálculo preliminar de los
triángulos.
Recordando que cuando los ángulos de un triángulo tienen el mismo peso, son
corregidos en 1/3 del error de cierre (E). Por Legendre, los ángulos planos corregidos
se obtienen de los ángulos esféricos “observados”.
3180
3
3180
3
:3
1803
'
'
'
o
o
o
CBAC
ECC
CBAB
EBB
cierredeerrorECBA
AE
AA
−++−=+ε−=
−++−=+ε−=
−++−=+ε−=
Resuelto el cálculo provisorio (ángulos A´,B´ y C´), se determina el exceso esférico
(ε), posteriormente se ajustan los triángulos y finalmente se transportan las
coordenadas.
Reducción de valores observados.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 45 de 90
Obviamente los valores brutos no pueden ser considerados en los cálculos
geodésicos. Ellos vienen con errores de medición debido al observador, al equipo y a
los efectos ambientales. Después de la eliminación de los errores sistemáticos, las
observaciones son ajustadas.
Como las observaciones son realizadas en la superficie física de la Tierra y los
cálculos son en el elipsoide, ellas deben ser reducidas.
1 Ángulos horizontales.
1.1 reducción geométrica: efecto de la altura de la mira y ángulo sección normal
- geodésica
1.2 reducción física: medidas sobre la vertical y cálculos en el elipsoide:
corrección del desvío de la vertical
2 distancias.
2.1 Reducciones geométricas: al horizonte; al elipsoide; al arco
2.2 Ángulos verticales. Se verá en nivelación trigonométrica.
MÉTODO DE LOS ADITAMENTOS (O AGREGACIONES). Se mantienen fijos los
ángulos y se modifican los lados
Permite resolver triángulos geodésicos como triángulos planos
Del triángulo plano: ''
βα=
senBsenA
2
3
6'
R
α−α=α 2
3
6'
R
β−β=β 2
3
6'
R
χ−γ=γ
aditamentos que convierte el triángulo esférico en plano
Este procedimiento es poco usado, pero tiene la ventaja que de una serie de
triángulos solo el primer lado es convertido a plano; de allí en adelante se resuelven
todos como planos.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 46 de 90
TRANSPORTE DE COORDENADAS
N
NA12
S12A21
1
2
43
A23
S23
α
β
Problema directo de la geodesia.
Dadas las coordenadas de un punto P1 en el elipsoide, la distancia y acimut a un
punto P2, determinar las coordenadas de P2.
(φ1, λ1, S1-2, A1-2) calcular (φ2, λ2, A21)
φ2 = φ1 + ∆φ ; λ2 = λ1 + ∆λ ; A21 = A12 + ∆A + 180º
Este es el objetivo inmediato de la geodesia (transporte de coordenadas).
Problema inverso de la geodesia.
Dadas las coordenadas de dos puntos P1 y P2 en el elipsoide, determinar la distancia
y los azimutes entre P1 y P2.
Z
X
A
dS
N cosφdλ
N cosφ dλ
M dφ
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 47 de 90
(φ1, λ1, φ2, λ2) calcular (S1-2, A1-2, A2-1)
Se pueden considerar dos hipótesis:
� Distancias pequeñas < 50km, fórmulas son equivalentes en precisión
� Distancias grandes > 50km, fórmulas pierden precisión respecto a la distancia y
deben ser tratados con más cuidado.
senAN
tgdsdA
dssenAdN
dsAdM
φ=
⋅=λ⋅φ⋅⋅=φ⋅
cos
cos
desarrollando en serie:
dsd
sendsd
dsdsendA λφ−λ=λφ−=γ
FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA DIRECTO)
Las fórmulas derivadas por el geodesta
francés Puissant son las más utilizadas en
líneas hasta 80km [Rapp].
Latitud
Se utiliza la esfera de Jacobi en el teorema
de Dalby para el transporte de latitud. La
esfera auxiliar es tangente al elipsoide en el
1er vértice.
P1 es el vértice conocido y B2 es el vértice a
determinar.
PP1 y PP2 son los meridianos geodésicos;
P’P1 y P’P2 son los respectivos esféricos.
Elipsoide y esfera tienen en común el
paralelo (φ) de P1, su radio coincide con la
Gran Normal (N’) en ese punto, su centro es
en (o); significa que en el vértice P1 las
P
P’
P1
N
φφ
Ecuador elipsoide
Ecuador esfera
elipso
ide
esfe
ra
A12
90-φ 1’
90-φ
2’
s
H
P2 φ2
φ1
P
P’
P1
N
φφ
Ecuador elipsoide
Ecuador esfera
elipso
ide
esfe
ra
A12
90-φ 1’
90-φ
2’
s
H
P2 φ2
φ1
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 48 de 90
latitudes esférica y geodésica son iguales. El acimut y la distancia son iguales en la
esfera y en el elipsoide.
Fórmula de los 4 elementos aplicado al lado P’P1 del triángulo esférico y el valor
angular (σ) del arco P1P2 , o sea σ = s/N
121
11
12 coscoscos ANs
senNs
sensen ⋅⋅φ+⋅φ=φ
121
11
11 coscoscos)'( ANs
senNs
sensen ⋅⋅φ+⋅φ=φ∆+φ
6'
cos62
cos'3
1231
3
122
121
2
121
φ∆+⋅−⋅φ⋅−⋅=φ∆ AN
sAsentg
N
sA
Ns
Una mejor aproximación en la iteración es:
122
121
2
121 2
cos' AsentgN
sA
Ns ⋅φ⋅−⋅=φ∆
...)31(cos62
cos' 12
122
1231
3
122
121
2
121
+φ+⋅⋅⋅−⋅φ⋅−⋅=φ∆ tgAsenAN
sAsentg
N
sA
Ns
Hasta ahora se trabajó en una esfera de radio N y debe cambiar ∆φ’ (medido en la
esfera de radio N1) por ∆φ a lo largo del meridiano. Para eso se asume que N1 ∆φ’ en
la esfera es igual a la distancia correspondiente en el elipsoide. Permitiendo que Mm
sea el radio meridiano de curvatura en la latitud media.
mn M
NMN ⋅φ∆=φ∆⇒φ∆⋅=φ∆⋅ ''
δφ: diferencia aproximada en latitud entre P1 y P2
2
1222
1222
12 )(cos δφ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=φ∆ DAsenshEAsensCAsB
Con:
1
122
1
12
122
112
11
1
1
12
12122
211
3
1122
11
2
121
cos
6
31
)1(2
cos32
1
)31(cos62
cos
MAs
hN
tgE
sene
seneD
NMtg
CM
B
tgAAsenNM
stgAsen
NMs
AMs
⋅=
φ+=
φ⋅−φ⋅φ⋅
=φ
==
φ+⋅⋅⋅−φ⋅⋅−⋅=δφ
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 49 de 90
φ∆+φ=φ 12
Esta serie es rápidamente convergente. Los términos C y D son negativos en el
hemisferio sur. Antiguamente (sin computadores) los cálculos eran realizados con
tablas de logaritmos de B, C, D, y E.
Longitud.
Analogía de los senos al triángulo elipsóidico, supuesto esférico P1P2P’ (de radio N)
con φ2 conocido.
21222
12
22
12
2
seccoscos
φ⋅⋅=λ∆⇒φ
⋅=λ∆⇒φ
=λ∆senA
Ns
sensensenA
Ns
sensensenA
Ns
sen
sen
Desarrollado en serie:
)]cos
1(6
1[cos 2
212
2
22
2
2
12
2 φ−⋅−⋅
φ⋅=λ∆ Asen
N
ssenANs
Contra acimut
Usando las analogías de Napier:
A
B C
bc
Acb
cbCBtg
21
2121
21 cot
)(cos
)(cos)( ⋅
+
−=+
B = A12 ; b = 90º-φ2
C = 360º-A21 ; c = 90º-φ1
A = ∆λ
A21 = A12 + ∆A + 180º
∆A : convergencia meridiana
))(cos)cos(
(12)cos(
213
3
21
3
21 φ∆
φ−
φ∆φ⋅λ∆+
φ∆φ⋅λ∆
=∆ mmm sensensenA
Resumen
� Calcular M y N
� Calcular ∆φ’ aproximado
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 50 de 90
� Calcular ∆φ y φ2
� Calcular N2
� Calcular ∆λ y λ2
� Calcular ∆Α y A21
FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA INVERSO)
(φ1, λ1, φ2, λ2) calcular (S1-2, A1-2, A2-1)
usando la ecuación directa de la longitud de Puissant.
X
AsenN
s
NsenAs =
φ⋅−⋅−
φ⋅λ∆⋅=⋅
)]sec1(6
1[
cos
22
122
22
222
12 (1)
])([1
cos
])([1
cos
22212
212
2212
2212
δφ⋅+⋅⋅−⋅+φ∆⋅=⋅
δφ⋅+⋅⋅−⋅⋅+φ∆⋅=⋅
DXhEXCB
As
DAsenshEAsensCB
As (2)
12
1212 cos As
senAstgA
⋅⋅
= (3)
Estas fórmulas son iterativas, acimut (A12) y distancia (s) están presentes en las
ecuaciones.
� Calcular N1 , N2 y M1
� Usando solo el denominador de (1) calcular (s*senA12), reemplazar en (2) y
calcular (s*cosA12)
� Calcular (tgA12) con (3), resulta A12 aproximado
� Usando (1) o (2) calcular “s”
� Realizar iteraciones.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 51 de 90
COORDENADAS CARTESIANAS.
Comenzaron a tener uso más amplio con la geodesia satelital y los sistemas de
referencia globales.
Los cálculos 3-dimensionales se facilitan, pero tiene el inconveniente que es no es
apto a la cartografía.
λ
Z
X
Y
P1
a
Q
Y1
X1
Plano ecuatorial
Meridiano origen
Sección 1er
vertical
Sección meridiana
Eje polar
φ
b
O
Z1
R
P
h
Longitud
Altura elipsoidal
Latitud
λ
Z
X
Y
P1
a
Q
Y1
X1
Plano ecuatorial
Meridiano origen
Sección 1er
vertical
Sección meridiana
Eje polar
φ
b
O
Z1
R
P
h
Longitud
Altura elipsoidal
Latitud
φ
φ
N
x=(N+h)cosφ
z=(N+h)senφ
h
N´
φ
φ
N
x=(N+h)cosφ
z=(N+h)senφ
h
N´
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 52 de 90
Relación entre coordenadas geodésicas y cartesianas.
φ⋅+−⋅=
λ⋅φ⋅+=λ⋅φ⋅+=
senheNZ
senhNY
hNX
))1((
cos)(
coscos)(
2
)1('
cos
cos)(
2
22
eNN
sendY
dX
YXhNd
−⋅=
λ⋅=λ⋅=
+=φ+=
N: Gran Normal
N’: Pequeña Normal
Fórmulas directas de Bowring.
Ncos
dh
]X
Yarctan[λ
]ψcosead
ψsene'bZarctan[
1
1
32
321
−φ
=
=
⋅⋅−
⋅⋅+=φ
]dbZa
arctan[ψ
)Y(Xd
:auxiliaresvaloresb
bae':adexentricid2
22
2
222a
⋅⋅=
+=
−=
SISTEMAS DE REFERENCIA CONVENCIONAL
Sistema de Referencia Celeste Convencional (CCRS): Eje Xc apunta al equinoccio
vernal medio de las 12h del 1º de enero de 2000 (día Juliano 2451545,0 – J2000); eje
Zc apunta en la dirección del polo norte celeste medio de la misma época; eje Yc
completa el sistema dextrógiro.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 53 de 90
Sistema de Referencia Terrestre Convencional (CTRS):
� Geocéntrico; centro de masa de la Tierra (Tierra y atmósfera) coincide con el
origen
� Fijo a la Tierra - ECEF
� Orientación dada por el BIH (Bureau International de L’Heure) en la época 1984,0
� Sin rotación
Eje Z en la dirección del polo terrestre convencional (CTP); eje X en la dirección del
meridiano medio de Greenwich . Se recomienda usar el elipsoide GRS80. El CTRS
es definido como un ITRF (International Terrestrial Reference Frame) el cual es
mantenido por el IERS (International Earth Rotation Service)
La transformación entre CCRS y CTRS se efectúa usando rotaciones que consideran
precesión, nutación rotación y orientación de la Tierra (incluyendo el movimiento del
polo)
Precesión: movimiento secular cónico del eje de rotación respecto a la eclíptica
Nutación: movimiento del eje de rotación respecto del eje de la figura; es parte del
movimiento del polo
ITRS (International Terrestrial Reference System), es la idealización de un sistema
CTRS definido por el IERS.
ITRF (International Terrestrial Reference Frame), es el Marco de Referencia Terrestre
Internacional del IERS - International Earth Rotation Service (Servicio Internacional de
la Rotación Terrestre) es un referencial geocéntrico global de orden científico,
tetradimensional
SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas. Sistema ITRF y
elipsoide GRS80 (del WGS84). Materializado por 58 estaciones en ITRF 1995,4. En
la prática identico al WGS84. En Chile 8 estaciones SIRGAS.
SIRGAS2000, materialización en el año 2000 de SIRGAS, referencia ITRF2000, es el
nuevo Sistema Geodésico en Chile.
(tarea: investigar el sistema ITRF)
SISTEMAS DE REFERENCIA.
Sistema Geodésico: adopta un elipsoide de referencia fijado espacialmente respecto
al cuerpo terrestre.
Los sistemas de referencia continentales o nacionales no son geocéntricos y a veces
no paralelos al CTS.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 54 de 90
Un sistema de referencia puede ser :
� DEFINIDO: sistema abstracto
- IDEAL: para no ser implementado
- CONVENCIONAL: asociado a la implementación (constantes y modelos
físicos), ejemplo es el ITRF
� REALIZADO: asume características físicas. Un sistema realizado es una Red de
Referencia.
La realización no siempre corresponde a la definición. La realización depende de las
técnicas utilizadas. Ejemplo, SAD-69 es definido de forma única y realizado de
formas diferentes.
Se puede definir un sistema local pero al realizarlo se introducen errores. Al
relacionar estos pueden aparecer rotaciones producto de las deformaciones naturales
de la realización.
CATEG REDES ORDEN ORDEN “CLÁSICO”
PRECISIÓN PPM
PRECISIÓN 1/X
GEODINÁMICA ITRF - SIRGAS AA - 0,01 100.000.000
REF NAC PRIMARIA DEFORMAC
A - 0,1 10.000.000
REDES LOCALES INGENIERÍA
B - 1 1.000.000
CONTROL MAPEO
C 1er orden 10 100.000
? D 2o orden 20 50.000
RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE SISTEMAS GEODÉSICOS.
La transformación de sistemas se puede realizar de varias formas.
� Parámetros geocéntricos
- 3 parámetros: solo translación (sistemas paralelos)
- 6 parámetros: translación (3) y rotación (3)
- 7 parámetros: translación, rotación y escala
- n parámetros: distorsiones
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 55 de 90
� Modelos diferenciales: ej. Rapp, Veis, Molodensky, simplificadas de Molodensky,
Vincenty.
� Modelos Cartesianos (o matriciales): más fáciles de “comprender”
Ángulos de Euler.
X1
Y1
Z1ω
ω
ωX2
Y2
X2
Y2
Z1
ε
ε
εZ2
Y3
X2
Y3
Z2
ψ
ψ
ψ
Z3
X3 Haciendo rotar el eje Z en ω: X`= d+a Y´= -c+b a = Y senω b = Y cosω c = X senω d = X cosω X´= X cosω + Y senω Y´= -X senω + Y cosω
Y
X
sen
sen
Y
X.
cos
cos
´
´
ωω−ωω
= ≡
Z
Y
X
sen
sen
Z
Y
X
.
100
0cos
0cos
´
´
´
ωω−ωω
=
100
0cos
0cos
)(3 ωω−ωω
=ω sen
sen
R
Haciendo rotar el eje Y en ε: Z`= h+e X´= -g+f e = X senε f = X cosε g = Z senε h = Z cosε
ωωωω
Y
ωωωωXZ
X´
Y´
X
Y
ωωωω
ωωωω
X´Y´
X´
adc
b ωωωω
Y
ωωωωXZ
X´
Y´
X
Y
ωωωω
ωωωω
X´Y´
X´
adc
b
εεεε
X
εεεεZY
Z´
X´
Z
X
εεεε
εεεε
Z´X´
Z´
e
hg
f εεεε
X
εεεεZY
Z´
X´
Z
X
εεεε
εεεε
Z´X´
Z´
e
hg
f
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 56 de 90
X´= X cosε - Z senε Z´= X senε +Z cosε
Z
X
sen
sen
Z
X.
cos
cos
´
´
εεε−ε
= ≡
Z
Y
X
sen
sen
Z
Y
X
.
cos0
010
0cos
´
´
´
εε
ε−ε=
εε
ε−ε=ε
cos0
010
0cos
)(2
sen
sen
R
⋅ω⋅ε⋅ψ=
⋅ψ=
⋅ω⋅ε=
⋅ε=
⋅ω=
Z
Y
X
RRR
Z
Y
X
R
Z
Y
X
Z
Y
X
RR
Z
Y
X
R
Z
Y
X
Z
Y
X
R
Z
Y
X
)()()()(
)()()(
)(
312
2
2
2
2
3
3
3
31
1
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
ψψ
ψ−ψ=ψ
εε−εε=ε
ωω−ωω
=ωcos0
010
0cos
)(
cos0
cos0
001
)(
100
0cos
0cos
)( 213
sen
sen
R
sen
senRsen
sen
R
ψ⋅εψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωεε⋅ωε⋅ω−
ψ⋅ε−ψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ω=ψ⋅ε⋅ω
coscoscoscoscoscos
coscoscos
coscoscoscoscos
)(2)(1)(3sensensensensensen
sensen
sensensensensensensen
RRR
considerando que las rotaciones son pequeñas:
sen(α ) = α ; cos(α )= 1 ; sen(α) sen( α) = 0
ε−ψεω−ψ−ω
=1
1
1
E
−++−−+
=1
1
1
RxRy
RxRz
RyRz
E
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 57 de 90
ε−ψεω−ψ−ω
⋅+
=
1
1
1
3
3
3
1
1
1
Z
Y
X
k
TZ
TY
TX
Z
Y
X
Generalizando:
Lky
Z
Y
X
Z
Y
X
∆+=
=
1
3
3
3
LZYXZZZ
LYZXYYY
LXZYXXX
∆⋅+⋅ε−⋅ψ++∆=∆⋅+⋅ε+⋅ω−+∆=∆⋅+⋅ψ−⋅ω++∆=
Este corresponde al modelo completo de 7 parámetros:
� 3 traslaciones de origen (TX, TY, TZ)
� 3 rotaciones (ω, ε, ψ)
� escala (k)
Los sistemas geodésicos son (generalmente) definidos y realizados (casi) paralelos al
los sistemas convencionales; se utilizan mediciones modernas que no introducen
escala. Se eliminan las rotaciones y escala.
+
=
1
1
1
3
3
3
Z
Y
X
TZ
TY
TX
Z
Y
X
La estimación de parámetros se realiza mediante técnica de Mínimos Cuadrados,
usando como datos las coordenadas de varios puntos con coordenadas conocidas en
ambos sistemas.
SISTEMAS GLOBALES DE REFERENCIA.
El posicionamiento con GPS, así como su homólogo ruso GLONASS (GLobal
NAvigation Satellite System), requiere sistemas de referencia bien definidos y
consistentes, globales y geocéntricos, esto implica que consideran todo el globo
terrestre y tienen su origen en el centro de masa de la Tierra.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 58 de 90
Sistema ITRF.
El Sistema de Referencia Terrestre Internacional – ITRF (International Terrestrial
Reference Frame), materializa un sistema global de carácter científico establecido por
el Servicio Internacional de Rotación Terrestre - IERS (International Earth Rotation
Service) y está materializado por redes geodésicas continentales implantadas a
través de técnicas geodésicas espaciales modernas.
Debido a la precisión alcanzada en la implantación y a los movimientos tectónicos
sufridos en la corteza terrestre, las coordenadas asignadas a las estaciones deben
ser reducidas a una época de referencia común t0. Significa esto la puesta en
práctica de la geodesia global 4D (tetra-dimensional), donde a las coordenadas
geocéntricas 3D les son asignadas sus variaciones o velocidades, o sea, las
coordenadas pasan a tener validez respecto a una determinada época.
SISTEMA WGS-84.
El Sistema Geodésico Mundial 1984 – WGS-84 (WorldGeodetic System 1984), es el
sistema de referencia para el GPS y compatible con un ITRF básicamente bajo los
siguientes aspectos:
� Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo
océanos y atmósfera;
� Orientación:
- eje Z en la dirección del Polo de Referencia IERS;
- eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano ecuatorial;
- eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido mano derecha).
Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también de WGS-84. Este
elipsoide posee los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 – GRS-
80.
Refinamientos del WGS-84 han llevado a la realización del denominado WGS-84
(G730), WGS-84 (G873) y WGS-84 (G1150). El último WGS-84 es compatible con
ITRF2000
Los parámetros del WG-S84 son: Semieje mayor: a = 6 378 137m Achatamiento: f =1 / 298,257 223 563 Velocidad angular de la Tierra: ω = 7 292 115 *10-11 rad/s Constante gravitacional: µ = 3 986 004,418 *108 m3/s2
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 59 de 90
SISTEMA SIRGAS.
La comunidad geodésica de América del Sur ha desarrollado un proyecto, aún en
ejecución, denominado SIRGAS (SIstema de Referencia Geocéntrico para las
Américas), con fines de adoptar, para el continente, una red de referencia de precisión
compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, principalmente GPS.
SIRGAS adopta como sistema de referencia el ITRF y elipsoide del WGS-84, que en
la práctica es idéntico al WGS-84. El órgano representativo de Chile ante el Proyecto
SIRGAS, es el Instituto Geográfico Militar – IGM, responsable por la Red Geodésica
Nacional - RGN.
La materialización de SIRGAS se realizó en dos etapas, mayo de 1995 y marzo 2000.
La adopción de SIRGAS por parte de varios países sudamericanos como referencia
para los sistemas geodésicos nacionales, refleja la tendencia global de compatibilizar
éstos a las tecnologías modernas y Chile en el futuro no debe estar fuera de ese
contexto.
Chile cuenta oficialmente con 269 estaciones materializadas en SIRGAS2000.
(tarea: investigar SIRGAS)
SISTEMAS PSAD-56 Y SAD-69.
En las décadas de los años cincuenta y sesenta, para fines geodésicos y
cartográficos fueron definidos los sistemas de referencia sudamericanos Datum
Provisorio Sudamericano 1956 – PSAD-56, con su vértice de origen en La Canoa,
Venezuela y Datum Sudamericano 1969 – SAD-69, con origen en Chua, Brasil.
En Chile, el Instituto Geográfico Militar (IGM) implementó el PSAD-56 como sistema
de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud
43º 30‘ Sur, lo que coincide aproximadamente con el límite entre las regiones X y XI.
En el sur de Chile se usa el SAD-69 como referencia cartográfica, como también el
datum Hito XVIII en el extremo sur de la XII Región. La cartografía sistemática escala
1/50 000 editada por el IGM es referida a los datums PSAD-56, SAD-69 e Hito XVIII,
en cada región correspondiente. Las cartas escala 1/25 000 son referidas al SAD-69.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 60 de 90
Datum Elipsoide Semi-eje mayor (a) Achatamiento (1/f) PSAD-56 Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 SAD-69 SAD-69 (UGGI-67) 6 378 160m 298,25
Hito XVIII Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 WGS-84 GRS-80 6 378 137m 298,257223563
Parámetros de Transformación entre Sistemas.
La transformación de coordenadas respecto a diferentes sistemas es de fundamental
relevancia al compatibilizar sistemas de referencia, especialmente en posicionamiento
por GPS, donde esta fase de cálculo se realiza de forma automática por los
programas que acompañan a los equipos y no siempre es clara la metodología ni los
valores utilizados, llevando en algunos casos, al usuario a realizar una transformación
poco rigurosa o incorrecta.
La figura ejemplifica la relación entre el datum GPS, WGS-84 y el datum SAD-69. Por
definición, ellos son considerados paralelos, habiendo en este caso solo translación
tridimensional entre sus orígenes, aunque en su materialización puedan existir
deformaciones que produzcan rotaciones. Por ese motivo, el trío de valores
correspondientes a tal translación, se denominan “parámetros de transformación” –
PT entre datums, a saber ∆X, ∆Y y ∆Z, los que deben ser adicionados (considerando
su signo) a las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) del punto a ser transformado.
XWGS-84
ZWGS-84
YWGS-84
XSAD-69
ZSAD-69
YSAD-69
TX
TZ
TY
Entre los diversos enfoques para la transformación de coordenadas, las
formas más usadas de aplicar los PT, son: las Ecuaciones Diferenciales de
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 61 de 90
Molodensky y los Modelos Cartesianos, aunque también existe el modelo de
“Regresión Múltiple”, basados en desarrollo polinomial. A continuación se muestran
los dos primeros modelos.
Ecuaciones Diferenciales Simplificadas de Molodensky.
Estas ecuaciones se usaron en el pasado, son de mediana precisión (decímetros)
Este modelo posee la particularidad de transformar coordenadas, del primer datum al
segundo, en un solo modelo de ecuaciones, donde las coordenadas transformadas al
2o datum son dadas por: φ2 = φ1 + ∆φ , λ2 = λ1 + ∆λ y h2 = h1 + ∆h
∆asen∆a)f∆f(asenTZsenλcosTYcosλcosTX∆h
]cosλTYsenλTX[cosN1
∆λ
]cosTZsenλsenTYcosλsenTXsen2∆a)f∆f[(aM1
∆
12
1111111
1111
111111111
−φ⋅⋅+⋅+φ⋅+⋅φ⋅+⋅φ⋅=
⋅+⋅−φ⋅
=
φ⋅+⋅φ⋅−⋅φ⋅−φ⋅⋅+⋅=φ
∆φ = ∆φ ρ ∆λ = ∆λ ρ
Con: 22
3
122
1
211
1 ff2e;
)sene(1
)e(1aM −⋅=
φ⋅−
−⋅=
a1 , f1 : parámetros del primer elipsoide
a2 , f2 : parámetros del segundo elipsoide
∆a = a2 – a1 , ∆f = f2 – f1
TX, TY, TZ : parámetros de translación entre los datums
Modelo Cartesiano.
Este modelo es exacto, se recomienda su uso.
La aplicación de las ecuaciones trigonométricas de transformación de coordenadas
geodésicas a cartesianas, y viceversa, comenzaron a emplearse preferentemente con
el advenimiento de las computadoras y aunque siendo este método de mayor número
fases analíticas, es de más fácil visualización en cuanto a su concepto.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 62 de 90
(φ, λ, h)2
(φ, λ, h)1 (X, Y, Z)1
Sist. Geodésico 1
(X, Y, Z)2
Sist. Geodésico 2
Sist. Geodésico 1
Sist. Geodésico 2MOLODENSKII CARTESIANO
Este se basa en la conversión a coordenadas cartesianas y aplicación por separado
de los PT, de acuerdo a las siguientes etapas:
� Convertir las coordenadas geodésicas en el primer sistema a coordenadas
cartesianas en el mismo sistema: (φ,λ,h)1 � (X,Y,Z)
� Aplicar los PT a las coordenadas cartesianas, trasladando el origen del sistema al
segundo sistema: (X,Y,Z)1 + (TX,TY,TZ) = (X,Y,Z)2
� Convertir las coordenadas cartesianas del segundo sistema a coordenadas
geodésicas: (X,Y,Z)2 � (φ,λ,h)2
Valores de Parámetros de Transformación.
Considerando los sistemas geodésicos materializados según la región geográfica de
que se trate, los programas utilizados y la literatura técnica consultada indican
diferentes valores para los PT. Se muestra a título indicativo los valores de PT entre
diferentes datums, calculados y difundidos por la Agencia Nacional Estadounidense
de Imágenes y Mapas – NIMA, usados por muchos programas GPS y SIG:
TRANSFORMACIÓN VALORES [m] OBSERVACIÓN PSAD-56 � WGS-84
TX = -270 ± 25 TY = +183 ± 25 TZ = -390 ± 25
Válidos para Chile, al norte del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 1 estación
PSAD-56 � WGS-84
TX = -305 ± 20 TY = +243 ± 20 TZ = -442 ± 20
Válidos para Chile, al sur del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 3 estaciones
Hito XVIII � WGS-84
TX = +16 ± 25 TY = +196 ± 25 TZ = +93 ± 25
Válidos para Chile, al sur del paralelo 53ºS aproximadamente; calculados con 2 estaciones
SAD-69 � WGS-84
TX = -75 ± 15 TY = -1 ± 8 TZ = -44 ± 11
Válidos para todo Chile, calculados con 9 estaciones
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 63 de 90
Especial atención merecen las precisiones asociadas a los parámetros de translación.
Programas que acompañan los equipos GPS, pueden tener incorporados diversos
valores de PT, aplicados según diferentes modelos de transformación de sistemas,
incluyendo una opción para que el usuario imponga valores de PT y modelo de
transformación, según su propio criterio.
El año 2003, el IGM anunció oficialmente la adopción de SIRGAS2000 como nuevo
referencia geodésico para Chile. Junto a ello difundió las monografías de los 269
puntos que materializan el marco de referencia y los parámetros de transformación
con los sistemas clásicos, por zonas delimitadas en latitud, con precisión de ±5
metros:
SIRGAS A PSAD-56
17° - 26° 26° - 36° 36° - 49°
TX = 302 328 352
TY= -272 -340 -403
TZ = 360 329 287
SIRGAS A SAD-69
17° - 26° 26° - 36° 36° - 49° 49° AL SUR
TX= 59 64 72 79
TY = 11 0 -10 -13
TZ = 52 32 32 14
(tarea: investigar como se comporta la diferencia de traslación en las coordenadas
horizontales, en metros)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 64 de 90
SISTEMA TOPOCÉNTRICO
Un sistema de coordenadas con origen en la superficie terrestre, con el eje “n”
paralelo al meridiano local, el eje “h” sobre la normal y “e” perpendicular a los
anteriores, forman un sistema dextrógiro.
λολολολο
h0Z
X
Y
n
e
h
φφφφοοοο
λολολολο
h0Z
X
Y
n
e
h
φφφφοοοο
Este sistema denominado por Leick, sistema geodésico local, es topocéntrico.
Como se nota existen dos rotaciones entre los sistemas (X,Y,Z) y (u,v,h):
en torno a X: R1 = (90º–φ)
en torno a Z: R3 = (90º+λ)
Expresado matricialmente:
ZoZ
YoY
XoX
RR
h
n
e
oo
−−−
⋅λ+⋅φ−= )90(3)90(1
)90cos()90(0
)90()90cos(0
001
)90(1
oo
ooo
sen
senR
φ−φ−−φ−φ−=φ−
100
0)90cos()90(
0)90()90cos(
)90(3 oo
oo
o sen
sen
R λ+λ+−λ+λ+
=λ+
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 65 de 90
resulta:
ZoZ
YoY
XoX
sensen
sensensen
sen
h
n
e
ooooo
ooooo
oo
−−−
⋅φλ⋅φλ⋅φφλ⋅φ−λ⋅φ−
λλ−=
coscoscos
coscos
0cos
Una alternativa, actualmente en uso, es la adopción de una proyección cartográfica
local, como el sistema Transersal de Mercator Local.
Este tópico se verá en detalles junto con los conceptos de proyección TM.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 66 de 90
ALTIMETRÍA.
h = H + N
SUPERFICIETERRESTRE
GEOIDE
ELIPSOIDE
H
hN
P
La superficie de referencia altimétrica es el geoide, el cual está definido como la
superficie equipotencial (de igual valor de atracción gravitacional) que coincide con la
superficie de los océanos en reposo, extendida sobre los continentes, su
denominación más común es Nivel Medio del Mar – NMM. La altura sobre el geoide
(o sobre el NMM) se denomina “altura ortométrica”, también referida como altitud o
elevación.
La “altura ortométrica” se definie como la distancia vertical desde el geoide a un punto
en la superficie de la Tierra. La altura elipsóidica se mide por la normal al punto en la
superficie terrestre, como muestra la figura. Para fines prácticos ellas se consideran
colineales, aunque rigurosamente no lo son. La relación entre la superficie elipsoidal
y la superficie del geoide está dada por la “ondulación geoidal” , designada por “N”,
ella representa en un punto la altura del geoide respecto al elipsoide. El conocimiento
de este valor es necesario para la reducción de alturas elipsóidicas a alturas sobre el
NMM, de acuerdo a la expresión: h = H + N. La altura elipsóidica sólo interesa en
posicionamiento con GPS.
El tratamiento matemático del geoide es un problema complejo que se resuelve
puntualmente y el usuario debe recurrir a modelos geoidales. Los modelos existentes
están presentes en algunos programas computacionales de procesamiento GPS o se
puede recurrir externamente a modelos continentales o aún, modelos globales
modernos como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996), para obtener valores de
ondulación. El EGM96 es de uso público y está a disposición un programa de
extracción automática, con su respectivo banco de datos, en el “web site” de la NASA
(http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html o
http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html). Aún así, los usuarios deben estar
atentos a nuevos modelos globales, continentales o regionales mejor adaptados a
nuestro país.
(tarea: investigar EGM96)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 67 de 90
René Zepeda
Se obtienen desniveles a partir de medición de ángulos cenitales (o verticales), a
través de solución de triángulos planos.
Antiguamente fue denominado también como nivelación “geodésica”, porque era
ejecutado en las triangulaciones, al contrario de la “geométrica” que se transporta a lo
largo de las vías camineras.
Con los distanciómetros electrónicos (EDM) la nivelación trigonométrica tuvo un papel
más importante en las operaciones de apoyo al mapeo.
hmhitgDhH
hmhiZDhH
hmhiDiH
hmhiZDiH
−+α⋅=∆−+⋅=∆
−+α⋅=∆−+⋅=∆
cot
sen
cos
CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD.
Debido al efecto de la curvatura terrestre.
Se adopta el modelo esférico. Sean dos
puntos A y B en la horizontal de A
encuentra al B’, “e” representa el efecto
esfericidad. Es siempre positivo (se
suma al desnivel).
ω=∆=≈
⋅==∆
cos'
cos:
11
1
BBBBBB
ZDBBtobservadodesnivel A
Ángulo central ω:
HR
D
R
S
+==ω
S
S’
R
A
B
∆H
∆
e
ω
ω
B’
ZA
B0
∆ t
B1
desnivel
observado
corrección
esfericidad
S
S’
R
A
B
∆H
∆
e
ω
ω
B’
ZA
B0
∆ t
B1
desnivel
observado
corrección
esfericidad
NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
i
m
Zα
Di
Dh
Di´
∆Hi
m
Zα
Di
Dh
Di´
i
m
Zα
Di
Dh
Di´
∆H
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 68 de 90
Ejemplo, para S = 2.000 m el ángulo entre las dos normales:
ω =0º 01´ 04,7”
BB1=∆t=S cos ZA=1256,430m
BB´=∆= BB1/cosω=1256,455m; � BB1= BB´
Corrección de esfericidad (o curvatura): e = B0B’
Del triángulo O-A-B’: (R+e)2 = R2 +AB’2 pero; pero: S2 ≈ S’2 = AB´2
R2 + 2eR + e2 = R2 + S2
2eR = S2 R
Se
⋅=
2
2
Corrección por esfericidad
0255075100125150175200225250275300325350
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Distancia [m]Cor
recc
ión
[mm
] Corrección por esfericidad
0255075100125150175200225250275300325350
0255075100125150175200225250275300325350
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Distancia [m]Cor
recc
ión
[mm
]
REFRACCIÓN TERRESTRE.
El fenómeno refracción está presente en todas las
operaciones geodésicas (astronomía, EDM, geodesia
satelital, triangulación (lateral)). En las visadas de un
vértice a otro, la refracción terrestre “levanta” el punto,
obteniéndose elevaciones angulares aparentes más
grandes que la verdadera. La refracción depende de las
condiciones atmosféricas (temperatura, presión y
humedad relativa)
En condiciones de observaciones simultaneas la curvatura provocada por al
refracción puede ser representada por un arco circular de radio R´ mucho menor que
R
Del triángulo OAB´ : R´2+D2=(R´+r)2 � ´2
2
RD
r =
D (m) e (m) 100 0.0008 110 0.001 200 0.003 500 0.020 1000 0.078 2000 0.314 3000 0.706 5000 1.960
R
ρρρρρρρρ
r
r
ωωωω
R´
A
B
B´
O O
R
ρρρρρρρρ
r
r
ωωωω
R´
A
B
B´
O O
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 69 de 90
Como no es posible conocer R´ se introduce un factor K representado por:
´2
1RR
K ⋅= � ´
2RR
K = llamado coeficiente K de refracción
reescribiendo: K
RR
2´=
resulta: KR
Dr
2=
Adoptando las hipótesis simplificadoras de Biot y Bouger, se admite que:
Para una estación el ángulo de refracción ρ es proporcional a la distancia de la visada
(S), o sea, al ángulo central correspondiente (w), a veces también llamado (c).
definiendo la relación para el coeficiente m de refracción
ωρ=m � ρ = m·w
De la figura siguiente, en que ρ es el mismo en ambas estaciones (por ser
simultaneas):
en el punto A: ρ+Za+A=180º
en el punto B: ρ+Zb+B=180º
sumando: 2ρ+(Za+Zb)+A+B=360º
pero: A+B+w=180º
entonces: 2ρ+(Za+Zb)-w=180º
2ρ=180º+w-(Za+Zb) (para observaciones simultaneas)
tomando Zm como la media de los cenitales )(
21 ZbZaZm +=
2ρ=(180º+w)-2·Zm � ρ= 90º+(w/2)-Zm
pero como: ρ = m·w y w=S/R
resulta ρ = (m·S)/R
R2S
(90º-Zm) Zm-)2RS
(90º RS
m +=+=
21
)90(2
)90( +⋅−=⋅+⋅−=SR
ZmSR
RS
SR
Zmm oo
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 70 de 90
SR
Zmm o ⋅−=− )90()5,0( donde RS=ω
)90()5,0( oZmm −=ω⋅− fórmula para el cálculo de coeficiente de refracción
En algunas publicaciones se define K como
K = (0,5-m) (DEBE SER CALCULADO PARA UNA ZONA ESPECÍFICA)
Obviamente es necesario el conocimiento de K, este es un valor calculado por
regiones, varia entre ~0,07 y 0,17. En diversas publicaciones se asume un valor
medio de 0,08 y si R=6378km.
Las correcciones por curvatura y refracción se pueden aplicar juntas:
KR
Dr ⋅=
2 � )5,0(
2m
RD
r −⋅=
En algunos libros y publicaciones aparece también m como K
CORRECCIÓN CONJUNTA (CURVATURA Y REFRACCIÓN).
18,15][
42,0)5,0(2
22222 kmDR
DK
RD
KR
DR
Dre =⋅=−⋅=⋅−=−
Para observaciones simples:
)(cos rehshiZSH −+−+⋅=∆ S: distancia geodésica
Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh
donde Kh es la reducción al NMM Kh = (R+H)/R
o Dh = S + Rh donde Rh = ( S * H)/R
En razón que el coeficiente de refracción debe se determinado, o tabulado, para cada
región, cualquier corrección que incluya un modelo de refracción será aproximado,
especialmente en Chile, donde existen a lo largo del territorio, grandes diferencias de
temperatura y humedad.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 71 de 90
OBSERVACIONES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS.
En los puntos A y B se miden los ángulos cenitales ZA y ZB ; sus alturas son HA y HB;
e y r son los efectos de esfericidad y refracción.
Sean: a = R + HA y
b = R + HB
donde a+b=2R + HA + HB
a-b = HA - HB = ∆H
los ángulos en A y B:
)(200ˆ
)(200ˆ
ρ+−=
ρ+−=
Bg
Ag
ZB
ZA
)ˆˆ(
)ˆˆ(
2121
BAtg
BAtg
baba
−+
=−+
Donde:
A+B = 200 - ω
A-B = ZB – ZA
Z: ángulo con refracción
ρ: ángulo de refracción r: efecto de refracción C: efecto de curvatura
R
ω
ZA
B
ZB
ρ ρ r
geoide
A
r
HA HB
B` A`
c c
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 72 de 90
Reemplazando: )(
)200(2
2121
ABBA
BA
ZZtg
tg
H
HHR
−
ω−=
∆++⋅
)200(
)()2(
21
21
ω−
−⋅++⋅=∆
tg
ZZtgHHRH
ABBA
)()(
)()22(2
2;
2)(:
)()100(cot)200(cot
)200(cot)()2(
21
21
2
2221
21
21
ABm
ABm
BAm
ABBA
ZZtgHRRS
H
ZZtgHRR
SH
HHH
RS
tgfiguralade
tggg
gZZtgHHRH
−⋅+=∆
−⋅+=∆
+==
=−=ω−
ω−−⋅++⋅=∆
ω
ωω
Luego:
)()1( 21
ABm ZZtg
RH
SH −⋅+⋅=∆
haciendo: )(
21
AB ZZZ −=∆ con Za y Zb cenitales corregidos a la línea
)()1(21
ABm ZZtg
R
HSH −⋅+⋅=∆
S: distancia geodésica
Nótese que KHR
HRR
Hm =+=+ )1( es la reducción de la distancia horizontal al NMM
(o al elipsoide si se considera h).
Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh
)(21
AB ZZtgDhH −⋅=∆
ZB y ZA corregidos a la línea
en algunos libros se agrupan algunas correcciones:
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 73 de 90
A = (1+H/R) corrección a la distancia al NMM
B = 1+(S/2R)tg∆Z corrección a la distancia por el desnivel entre estaciones
C = 1+S2/12R2 corrección a la distancia por curvatura
El término A es significativo y B es significativo de pendiendo de la distancia y
desnivel.
Por lo tanto otra forma de expresar el cálculo del desnivel por observaciones
recíprocas y simultaneas es:
CBAZtgSH ⋅⋅⋅∆⋅=∆ con la distancia geodésica, normalmente en
triangulación
ZtgDiH ∆⋅=∆ con la distancia inclinada, normalmente en poligonales
electrónicas
Esta proporciona el desnivel entre los dos puntos, sin intervenir la refracción ni la
esfericidad, pero requiere medidas recíprocas (ZA y ZB) y simultaneas (iguales
condiciones atmosféricas).
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 74 de 90
REDUCCIÓN DEL ÁNGULO AL TERRENO (A LA LÍNEA)
Es necesario considerar la altura del instrumento y del prisma.
cZZZZc −=−= ´´
ssenZim
cZsen
scsenim ⋅−=→=− )()(
como c es pequeño: Z´ = Z s
senZimc
´)( ⋅−=
si Z´ es próximo al horizonte: senZ´ ≈ 1 s
imc
)( −= (c en radianes)
CALIDAD DE LOS CENITALES
ZA + ZB – ω – 200g + refracción = error de la medición recíproca
RKD*=ρ
ZA + ZB – ω – 200g + 2*ρ = error de la medición recíproca
Si ZA y ZB tiene igual precisión (medidos con el mismo tipo de
equipo, equipo, operador y procedimiento), se puede suponer que el
error proviene de ambos cenitales en partes iguales, por lo tanto:
2
erroreZA =
Este error no se puede compensar en la medición recíproca, sirve para controlar la
calidad de la medición conjunta.
i
m-i
m
DG
Di
Di
Dh
Z´
Z
Cz
ZA
ZB
ω
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 75 de 90
EJEMPLO
OBS DIR OBS RECIP
DE: Astro Guallali Buenos Aires
A: Buenos Aires Astro Guallali
Zenital (gg mm ss) 86.45388 93.14407
hi 0.280 1.430
hj 2.500 0.280 1.150
H aprox 978 1280 302 1129.0
Di 5349.718 5349.718
Dh 5341.171 5341.14
gg 86 93 A 1.000177
mm 45 14 B 1.000024
ss 38.8 40.7 C 1.000000
Zenital (gg.ggg) 86.76077778 93.24463889
Zenital (rad) 1.514261234 1.627425958 0.200
Corr. Línea (c) (rad) 0.000414312 -0.00021462 0.007
Corr. Línea (c) (") 85.45801449 -44.26855423 0.000
Zenital Corregido (rad) 1.514675546 1.627211338 S 0.207
w(") angulo central 172.71
err + ang central (") (desn m) -112.02 -1.453
Corr Curvatura (m) 2.244 2.244
Corr Refracción (m) 0.359 0.359
Corr conjunta (curv/refr) 1.885
Desn topográfico c/(hi-hj) 300.066 -301.641 -1.575 -0.001
Desn topográfico c/c línea 300.073 -301.644 -1.572 0.005
Desn corr curv y refrac 301.957 -299.760 2.198 0.005
∆H recíproco 300.854 m
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 76 de 90
OBS DIR OBS RECIP OBS DIR OBS RECIP
DE: Astro Guallali Buenos Aires DE: CH-IX-9 CH-IX-10
A: Buenos Aires Astro Guallali A: CH-IX-10 CH-IX-9
Zenital (gg mm ss) 86.45388 93.14407 Zenital (gg mm ss) 83.26101 96.34496
hi 0.280 1.430 hi 1.575 1.607
hj 2.500 0.280 hj 1.480 1.510
H aprox 978 1280 H aprox 806.92 745
Di aprox 5349.72 5349.72 Di aprox 532.8 532.8
Dh 5341.17 5341.14 Dh 529.31 529.29
Zenital (gg.ggg) 86.76077778 93.24463889 Zenital (gg.ggg) 83.43613889 96.58044444
Zenital (rad) 1.514261234 1.627425958 Zenital (rad) 1.456235339 1.685646749
Corr. Línea (c) (rad) 0.000414312 -0.00021462 Corr. Línea (c) (rad) -0.000177135 -0.000180858
Corr. Línea (c) (") 85.45798254 -44.26853768 Corr. Línea (c) (") -36.53662085 -37.30456889
Zenital Corregido (rad) 1.514675546 1.627211339 Zenital Corregido (rad) 1.456058204 1.685465891
w(") angulo central 172.98 w(") angulo central 17.23
err + ang central (") (desn m) -112.29 -1.456 err + ang central (") (desn m) -31.37 -0.041
Corr Curvatura (m) 2.244 2.244 Corr Curvatura (m) 0.022 0.022
Corr Refracción (m) 0.359 0.359 Corr Refracción (m) 0.004 0.004
Corr conjunta (curv/refr) 1.885 Corr conjunta (curv/refr) 0.019
Desn topográfico c/(hi-hj) 300.066 -301.641 Desn topográfico c/(hi-hj) 61.000 -60.961
Desn topográfico c/c línea 300.073 -301.644 Desn topográfico c/c línea 60.998 -60.962
Desn corr curv y refrac 301.958 -299.760 Desn corr curv y refrac 61.017 -60.943
recíproco c/Di (A) 300.854 recíproco c/Di (A) 60.981
OBS DIR OBS RECIP OBS DIR OBS RECIP
DE: Astro Guallali CX-IX-9 DE: CH-IX-11 CH-IX-12
A: CX-IX-9 Astro Guallali A: CH-IX-12 CH-IX-11
Zenital (gg mm ss) 86.58159 93.00003 Zenital (gg mm ss) 88.32495 91.28091
hi 0.280 1.550 hi 1.470 1.640
hj 1.750 2.460 hj 2.480 2.450
H aprox 978 1121 H aprox 1843 1954
Di aprox 2739.4 2739.4 Di aprox 4343.1 4343.1
Dh 2735.57 2735.65 Dh 4341.70 4341.67
Zenital (gg.ggg) 86.97108333 93.00008333 Zenital (gg.ggg) 88.54708333 91.46919444
Zenital (rad) 1.517931758 1.623157659 Zenital (rad) 1.545438147 1.596438607
Corr. Línea (c) (rad) 0.000535864 0.000331734 Corr. Línea (c) (rad) 0.000232478 0.000186441
Corr. Línea (c) (") 110.5299263 68.42510102 Corr. Línea (c) (") 47.95203351 38.45630267
Zenital Corregido (rad) 1.518467622 1.623489393 Zenital Corregido (rad) 1.545670625 1.596625049
w(") angulo central 88.58 w(") angulo central 140.42
err + ang central (") (desn m) -13.42 -0.089 err + ang central (") (desn m) 4.59 0.048
Corr Curvatura (m) 0.588 0.588 Corr Curvatura (m) 1.479 1.479
Corr Refracción (m) 0.094 0.094 Corr Refracción (m) 0.237 0.237
Corr conjunta (curv/refr) 0.494 Corr conjunta (curv/refr) 1.243
Desn topográfico c/(hi-hj) 143.280 -144.283 Desn topográfico c/(hi-hj) 109.111 -112.165
Desn topográfico c/c línea 143.284 -144.281 Desn topográfico c/c línea 109.112 -112.164
Desn corr curv y refrac 143.778 -143.786 Desn corr curv y refrac 110.354 -110.922
recíproco c/Di (A) 143.780 recíproco c/Di (A) 110.638
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 77 de 90
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA.
∑∑ −=∆ adelanteatrásABH
La nivelación geométrica es el método más preciso para la obtención de desniveles.
Las condiciones principales son:
� visadas horizontales (tangente al geop que pasa por el nivel)
� miras en la vertical
� graduaciones perfectamente calibradas.
Las líneas de nivelación deben ser en circuitos cerrados y se extienden a lo largo de
vías terrestres de comunicación. Debido a que las miras no son, generalmente, más
altas que 3m, dificulta la medición en zonas de alta pendiente. Las líneas son
niveladas y contra-niveladas, con visadas no superiores a 100m, recomendable
máximo 50m. Los puntos son materializados se llaman “referencias de nivel” y son
construidas con una placa metálica incrustada en bloque de concreto o clavada en
lugar estable.
La línea comprendida entre dos marcas de “referencia de nivel”, se llama “sección”,
con longitud media de 3km.
Errores que pueden ser evitados.
Debido a la curvatura terrestre, un trecho de 110m tiene una corrección (por
curvatura) de 1mm, es decir cada 110m se cometería un error de 1mm. Por esta y
otras razones, se debe instalar el instrumento en el punto medio del tramo medido.
Errores evitados al instalar en el punto medio del tramo:
� curvatura terrestre
� refracción, la influencia es la misma a las dos lecturas (trasera y delantera)
� colimación de eje.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 78 de 90
D1d1A
B
l1
L1
D2d2A
B
L2l2
Error de colimación.
El eje óptico del nivel puede no encontrarse perfectamente horizontal, la lectura será
más efectada mientras más alejado de la mira. Si el instrumento es colocado
exactamente al medio de las miras, el desnivel no será sujeto al error. Para verificar
el instrumento se puede operar como indica la figura, a distancias desiguales de las
miras.
Sea “e” el error de lectura proporcional a la distancia.
∆H = L1 – e D1 – (l1 – e d1) en la posición (1)
∆H = l2 – e d2 – (L2 – e D2) en la posición (2)
L1 – e D1 – l1 + e d1 = l2 – e d2 – L2 + e D2
)(
)(
2121
2121
ddDD
llLLe
+−++−+
=
La corrección será: )(
)(
2121
2121
ddDD
LLllc
+−++−+
=
O de otra manera:
∑ ∑∑ ∑
−
−=
cercanasmásmirasciasdisalejadasmásmirasciasdis
alejadasmáslecturascercanasmáslecturasc
tantan
Las lecturas antes de entrar en las ecuaciones deben corregirse de la curvatura y
refracción o provenir de visadas equidistantes a la mira.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 79 de 90
PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)
Algoritmos del Sistema de Proyección TM
Gerhardus Mercator, nombre latinizado de Gerhard Kramer (1462-1532) creó la
proyección cilíndrica entre 1511 y 1513 como ayuda a la navegación, situando el eje
de un cilindro coincidente con el eje del mundo. En 1559, Edward Wright desarrolló la
proyección matemáticamente. El inconveniente de la proyección es que las
superficies se deforman significativamente con el aumento de la latitud.
Johan Heirich Lambert (1782-1777) resolvió el problema de pérdida de escala y
resolvió colocar el cilindro perpendicular al eje del mundo (transversal) pero fue Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) que la desarrolló matemáticamente a partir de 1822,
posteriormente L. Krugger, entre 1912 y 1919 publicó las fórmulas referentes al
elipsoide.
En Europa la proyección es conocida como Gauss-Krugger mientras que en otros
países se la denomina como Transversal de Mercator - TM.
Los meridianos y paralelos no son proyectadas como rectas, sino como curvas
complejas, excepto el ecuador y el meridiano central.
En 1947 Estados Unidos adoptó la TM estandarizada recibiendo el nombre de
Universal Transversal de Mercator – UTM, con constantes definidas y de uso entre las
latitudes 80ºN y 80ºS.
La proyección Transversal de Mercator es conforme, es decir mantiene en la
proyección la magnitud de los ángulos infinitesimales formados en el elipsoide, es
equivalente a decir que mantiene las formas infinitesimales.
La proyección se forma implantando un cilindro cuyo eje es transversal al eje terciario
del elipsoide adoptado (eje Z) y coincidente con el ecuador.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 80 de 90
Elipsoide Meridiano Central
Huso UTM
Plano UTMElipsoide Meridiano
Central
Huso UTM
Plano UTM
01
1918
60
λ=0ºMeridiano
Origen
λ=180º
Este
Polo Sur
01
1918
60
λ=0ºMeridiano
Origen
λ=180º
Este
Polo Sur
Husos UTM
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 81 de 90
Se adoptaron husos de 6º de amplitud en longitud,
numerados desde 1 a 60, partiendo del anti meridiano
origen, en sentido Este. A Chile continental le
corresponden los Husos 18 y 19.
Las demás constantes son:
Factor de Escala en el Meridiano Central (MC) =
0,9996
Norte Falso (NF) para el hemisferio sur = 10.000 km
Este Falso (EF) = 500 km.
El origen de las coordenadas ortogonales formada
por la cuadrícula es en la intersección de las
proyecciones del ecuador y el meridiano central.
-78 -72 -66-16
-20
-24
-28
-32
-36
-40
-44
-48
-52
-56
Huso 18
-69-75
Huso 19
-78 -72 -66-16
-20
-24
-28
-32
-36
-40
-44
-48
-52
-56
Huso 18
-69-75
Huso 19
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 82 de 90
HUSO UTM PARA EL HEMISFERIO SUR
ESTE
NORTE
NF = 10.000 km EF = 500 km Meridianos y Paralelos
ProyectadosCuadrícula
UTM
Origen: Meridiano
Central / Ecuador
NV NC NC NV
ESTE
NORTE
NF = 10.000 km EF = 500 km Meridianos y Paralelos
ProyectadosCuadrícula
UTM
Origen: Meridiano
Central / Ecuador
NV NCNV NC NC NVNC NV
Ko=0,9996
K=1 K=1
Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km
K>1K>1
Ko=0,9996
K=1 K=1
Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km
K>1K>1
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 83 de 90
ELEMENTOS DE LA PROYECCIÓN
ECUADOR
MC
ESTEEF= 500 km
NF=10.000 km
NVNC
O
E’1
N’1B
1
meridiano de P1
paralelo de P1
N
CM
polo
NVNC CM
2
φ1
φ2E’2
∆λ1
∆λ2
t 1-2
T1-2
t 2-1
T 2-1
N’2
N=NF+N´
E=EF+E´
t: azimut plano
T: azimut geodésico proyectado
α: ángulo observado
β: ángulo plano de cuadrícula
3
αβ
ECUADOR
MC
ESTEEF= 500 km
NF=10.000 km
NVNC
O
E’1
N’1B
1
meridiano de P1
paralelo de P1
N
CM
polo
NVNC CM
2
φ1
φ2E’2
∆λ1
∆λ2
t 1-2
T1-2
t 2-1
T 2-1
N’2
N=NF+N´
E=EF+E´
t: azimut plano
T: azimut geodésico proyectado
α: ángulo observado
β: ángulo plano de cuadrícula
3
αβ
Las fórmulas que se presentan a continuación provienen de un estudio realizado en la
Universidad de Sao Paulo, Brasil, y son NO iterativas en el cálculo de la latitud.
Las presentes fórmulas son diferentes a las expuestas en el Volumen 2 del Manual de
Carreteras, Edición 2001, las cuales son de más amplio conocimiento pero son
iterativas. Los resultados numéricos usando ambos conjuntos de fórmulas son
idénticos. El lector puede utilizar unas u otras, de acuerdo a su facilidad de uso.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 84 de 90
ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM
Valores auxiliares
10
)e1(aF
8
)e1(aE
6
)e1(aD
4
)e1(aC
2
)e1(aB)e1(aA
222
22
o
2
−⋅⋅=ξ−⋅⋅=ε−⋅⋅=δ
−⋅⋅=γ−⋅⋅=βρ
−⋅⋅=α (1)
...e131072
639F
...e65536
3465e
16384
315E
...e131072
31185e
2048
315e
512
35D
...e16384
10395e
4096
2205e
256
105e
64
15C
...e65536
72765e
2048
2205e
512
525e
16
15e
4
3B
...e65536
43659e
16384
11025e
256
175e
64
45e
4
31A
1"sen
1 56424709635512062648,06
"3600*180
...082513779295,57180
10
108
1086
10864
108642
108642
o"
oo
o
+=
++=
+++=
++++=
+++++=
++++++=
==π
=ρ
=π
=ρ
(2)
2
222
2
222
2
222
b
ba'e
a
bae
a
baf
e1
e'e)f2(fe
−=−=
−=−
=−= (3)
TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS PLANAS (ESTE Y NORTE)
N = NF + N’ (=10.000.000m + N’)
N (-) al sur del Ecuador
E = EF + E’ (=500.000m + E’)
E (+) al este del MC
E (-) al oeste del MC
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 85 de 90
( )( )222265
16
7201
422431
4241
21
221
0
t350720t5861"1sencossenN"3N
49t5"1sencossenN"2N
"1sencossenN"1N
)3N2N1NB(k'N
η−η+−⋅φφλ∆=
η+η+−⋅φφλ∆=
φφλ∆=
+++⋅=
(4)
( )( )2224255
15
1201
22331
361
1
0
t5814tt185"1sencosN"3E
t1"1sencosN"2E
"1sencosN"1E
)3E2E1E(k'E
η−η++−⋅φλ∆=
η+−⋅φλ∆=
φλ∆=++⋅=
(5)
con
φ=ηφ=
=φξ−φε+φδ−φγ+φβ−φα=
⋅λ−λ=λ∆
φ−
cos'etgt
N
10sen8sen6sen4sen2senB
3600)("
22 sene1
a1
o
0oo
(6)
φ latitud del punto considerado λ longitud del punto considerado λ0 longitud del MC del huso ∆λ diferencia en longitud entre el punto considerado y el MC del huso B arco de meridiano desde el ecuador, sobre el MC correspondiente a la latitud
del punto K0 factor de escala en el MC (0,9996 para UTM) NF constante N en el ecuador (10.000.000 para UTM en el hemisferio sur) EF constante E en el MC (500.000 para UTM) N’ distancia plana del punto al ecuador E’ distancia plana del punto al MC a, b, e, e’ constantes del elipsoide del sistema (datum) de referencia
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 86 de 90
TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS GEODÉSICAS (LATITUD Y LONGITUD)
60
61
41
21
21
21
21
41
211
40
41
21
41
41
21
21
21
211
4
20
21
211
2
1
k"1senN720
)t45t162107t45t9061(t'E
k"1senN24
)t93t66t35(t'E
k"1senN2
)1(t'E"c
c
η−η−η+++−
−η−η−η−η++
+η+
−=φ
φ+φ=φ
6
(*)(7)
501
51
21
21
21
41
21
5
301
31
21
21
3
011 k"1sencosN120
)t86t24t285('E
k"1sencosN6
)t21('E
k"1sencosN
'E"
φη+η+++
+φ
η++−
φ=λ∆
(*)(8)
(*) términos de correcciones de la latitud y longitud en segundos, primera
aproximación de φ1:
o0k
'N
ρα=φ (9)
φβ+β+β+β+β+=φ∆
φ∆+φ=φ
decorrección...TTTTTT 65
54
43
32
21
1 (10)
φ1 latitud del pié de la perpendicular del punto al MC; corresponde a la latitud de B.
φξ−φε+φδ−φγ+φβ−ρα= 10cos108cos86cos64cos42cos2L o (11)
Funciones auxiliares: ( )( )( )( )( )φδ+φγ−φβ−=α
φδ−φγ+φβ−=αφδ−φγ+φβ−=αφδ+φγ−φβ−=α
φδ+φγ−φβ−=α
6sen4sen2sen
6cos4cos2cos
6sen544sen2sen
6cos364cos2cos
6sen184sen82sen2
5324
45256
154
L1
5
5324
15128
154
L1
4
332
32
L1
3
332
34
L1
2
L1
1
(12)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 87 de 90
( ) ( )( )φξ+φε−φδ+φγ−φβ=
α+αα+αα+αα+αα+αα+α=β
α+αα+α+αα+α=β
α+αα+α=β
α+α=β
α=β
10sen8sen6sen4sen2senT
4284287
142136
55
2
L1
512
31
2213
21324155
412
21
223144
312133
2122
11
(13)
FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE N, E
++=
+=
4
4
2
2
022
42
024
'
2
'1
24
'2
'
R
E
R
Ek
NM
ENM
Ekk (14)
k medio entre los puntos 1 y 2
( )
∆++=
+++=
220
22022
0
2221
210
2
1121
'12
1''''
31
1Rk
EEkRk
EEEEkk m (15)
Fórmula aproximada
+=
2
2
02
'1
R
Ekk (16)
322
2
220 1
1
1 )sene(
)e(aM
sene
aN
ρk
N'o
mm
φ−
−=φ−
=α
=φ
FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE φφφφ, λλλλ
( ))45("1cos")1("1cos"1 24442412222
21
0 tsensenkk −φλ∆+η+φλ∆+= (17)
Fórmula aproximada
φλ∆+=2cos
122
0kk ∆λ=(λ–λo) en rad (18)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 88 de 90
CORRECCIÓN POR ALTURA.
Es la corrección a las distancias horizontales para ser reducidas a geodésicas,
expresada en términos de factor de escala, de allí su denominación Factor de Escala
debido a la Altura h (Kh). Ella relaciona las distancias por:
Kh * S = Dhz
RNHR
RhR
Kh++=+= (20)
Para H>0 � KH>0
distancia elipsóidica x KH = distancia terreno
También sirve como Factor de Escala para una proyección TM genérica Local, que se
comporta como un Plano Topográfico Local (PTL), es decir, para una proyección cuyo
cilindro pase por el terreno a la altura “h”, convirtiéndose en una proyección
considerada con deformaciones mínimas respecto a las distancias horizontales, tal
como se adopta en el Manual de Carreteras.
CORRECCIÓN ANGULAR (t-T) = ψψψψ :
[ ] )1(6
)32)(( 222
021 m
m
BABA
Rk
FEEENNrad η+⋅−+−=ψ − (21)
Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)
[ ] "·6
)32)(("
220
21ρ−+−=ψ −
m
BABA
Rk
FEEENN Nótese que: 1221 −− ψ−=ψ
De otra fuente:
20
2
2222'
1212
)1()cos1()
31
'(ka
seneeEEN mm
⋅⋅φ⋅−⋅φ⋅+⋅∆⋅−∆−=ψ −
Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)
[ ] "·2
)31
'("
20
2
1
21 ρ⋅⋅
∆⋅−∆−=ψ −
ka
EEN
Debido a que esta corrección es pequeña, se puede reemplazar R por un radio
aproximado, por ejemplo R=6.780.000 m, sin perjudicar la precisión de la corrección.
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 89 de 90
CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE φφφφ, λλλλ
)2(cos)231(cos 245
1514223
31 tsensensenCM −φφλ∆+η+η+φφλ∆+φλ∆= (22)
Fórmula simplificada: φλ∆= senCM
Nótese que las unidades en que resultará expresada la CM dependerán de las
unidades de ∆λ.
CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE N, E
[ ] )352(15
')21(
3
'' 41
215
15
0
15
41
21
213
13
0
13
10
1 ttNk
tgEt
Nk
tgENk
tgEradCM ++
φ+η−η−+
φ−
φ= (23)
Fórmula simplificada:
[ ] "·'
"10
1 ρφ
=NktgE
CM
Secuencia de cálculo para conversión de coordenadas: Dados (φ, λ) � calcular (N, E) 1- Definir parámetros del elipsoide:
a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ usando (1)
y (2) 4- Calcular ∆λ” usando (6) 5- Calcular B usando (6) 6- Calcular N’ usando (4) 7- Calcular E’ usando (5)
Dados (N, E) � calcular (φ, λ) 1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ, ρo usando (1) 4- Calcular N’ 5- Calcular φ usando (9) 6- Calcular función auxiliar L y T usando (11)
y (13) 7- Calcular los αi usando (12) 8- Calcular los βi usando (13) 9- Calcular φ∆ usando (10) 10- Calcular φ1 usando (10) 11- Calcular N1, t1 y η1 usando (6) 12- Calcular E’ = E – EF 13- Calcular φ usando (7) 14- Calcular ∆λ usando (8)
16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 90 de 90
DATOS DE EJEMPLO DE TRANSFORMACION UTM →→→→ GEODESICAS (GG.MMSS) DATOS DE ENTRADA (WGS84) : A,E^2,E, 6378137.00000000 0.669437999014132D-002 0.818191908426215D-001 N,E,H,MC 6297641.737 343637.923 546.490000000000 -69 A,B,C,D,E,F: 1.00505250178821 0.506310859723875D-002 0.106275901587118D-004 0.208203782644488D-007 0.393237129380285D-010 0.655454778252015D-013 ALFA,BETA ,... 111132.952547913 16038.5086626504 16.8326131614633 0.219843738776170D-001 0.311416246803449D-004 0.415259397939981D-007 57.2957795130823 DEQ(E'),FIMEDIO -3702358.26300000 -0.581683451896783 ELE(L) 6354692.54940169 T -0.231535674055095D-002 ALFA1, ALFA2... 0.461913030138781D-002 -0.135271845489754D-002 0.156547935730516D-002 -0.251396118487884D-003 0.607054662959559D-003 BET1, BET2... 0.461913030138781D-002 -0.131004572541514D-002 0.153473022052833D-002 -0.203119388634888D-003 0.585263273219358D-003 FIMEDIO,DELTAFIM,FI1,FI1(GRAD) -0.581683451896783 -0.231533196165746D-002 -0.583998783858441 -33.4606655558614 N,t,n,E' 6384637.02633239 -0.660898736573758 0.684884784189982D-001 -156362.077000000 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LATITUD (SEG) FI11-12-13 -41.1055412559478 -0.129466677784492D-001 -0.446447776928301D-005 FI1,DALAT(SEG),DALAT9RAAD) -0.583998783858441 -41.0925990526471 -0.199222542130721D-003 LAT,LAT(GRAD) -0.583799561316310 -33.4492509450135 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LONGITUD DEA1,DEA2 .. -6057.45672639476 -1.13824006053108 -0.397469044983469D-003 DEA(SEG),DEA(RAAD) -6056.31888380328 -0.293618625202986D-001 LON(RAD),ALON(GRAD) -1.23363904639639 -70.6823108010565 CONVERGENCIA A PARTIR DE PLANAS TÉRMINOS CP1,CP2,CP3,CP(SEG),CP(GRAD) 3339.86587050979 0.956983923071687 0.381576390025727D-003 3338.90926816310 0.927474796711974 CONV RAD 0.161874889318890D-001 A PARTIR DE GEODESICAS TÉRMINOS CG1,CG2,CG3,CG(SEG),CG(GRAD) 3338.23185212101 0.931649828744238 0.125350663919404D-003 3339.16362730041 0.927545452027893 M: 6354816.89348335 ESCALA RIGU (PLANAS),PPM 0.999901190776070 -98.8092239301108 ESCALA APRX (PLANAS),PPM 0.999901175652225 -98.8243477752311 ESCALA RIGU (GEOD),PPM 0.999901431488548 -98.5685114520022 ESCALA APRX (GEOD),PMM 0.999899975205923 -100.024794077512 FACT ESCALA ALTURA, PPM 1.00008579512130 85.7951212997262 FACT ESCALA COMB, PPM 1.00018462258764 184.622587644538
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