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16-03-2012 RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 1 de 90

GEODESIA GEOMÉTRICA

René Zepeda G. marzo 2006


(en blanco)


---- G E O D E S I A G E O M É T R I C A

---- RENÉ ZEPEDA G. – versión marzo 2004

APUNTE PROVISORIO, SUJETO A REVISIÓN Y CAMBIOS, NO REEMPLAZAN ANOTACIONES EN CLASES

Petr Vaniceck: “... la llave del conocimiento reside en el dominio de sus conceptos ...”

INTRODUCCIÓN

La palabra Geodesia, tiene como origen la palabra griega Geodaisia, que significa

“división de tierras” (geo = Tierra y daisia = dividido)

Según diversas enciclopedias y diccionarios, Geodesia puede ser definida como una

ciencia cuyo objetivo es determinar la forma de la Tierra y calcular sus dimensiones.

Posee dos campos de pesquisa: uno teórico, que examina la configuración de la

Tierra en su conjunto, considerando los factores internos y externos que la

determinan; otro más práctico, que partiendo de la elaboración de los dados teóricos,

prepara las soluciones apropiadas para representación cartográfica de la superficie

terrestre.

Camil Gemael (1981), “el objetivo de la Geodesia es la determinación de la forma y de

las dimensiones de la Tierra. Encontrándose dividida en: Geométrica, Física y

Celeste. la Geodesia Geométrica es ejecutada a través de la medición de los ángulos

y/o distancias, proporcionando el cálculo de las coordenadas elipsoidales de un punto

en la superficie física de la Tierra, sobre el modelo de referencia. La Física se

preocupa con el estudio de la gravedad y sus aplicaciones geodésicas, mientras que

la Celeste permite la determinación de la posición relativa o absoluta de puntos de la

superficie terrestre.”

Torge (1980), “la Geodesia puede ser dividida en global (global geodesy), de

levantamientos (geodetic survey) y de levantamientos planos (plane surveying). La

Geodesia Global es responsable por la determinación de la figura de la Tierra, incluido

el campo de gravedad externa. La Geodesia de Levantamientos es responsable por la

definición de las redes nacionales establecidas en los países. El Levantamiento Plano

(levantamiento topográfico, catastral, etc.) es responsable por el detalle de la

superficie; siendo o plano horizontal, normalmente, superficie de referencia en este

caso. La integración entre ellas, se da de la siguiente forma: La Geodesia Global es

responsable por la definición de los parámetros que determinan la forma de la tierra y,


en consecuencia, de las medidas realizadas o conducidas, en su superficie. El

Levantamiento Plano, a su vez, hace uso de los puntos de control establecidos por el

Levantamiento Geodésico, y que son utilizados para el mapeo nacional y en los

catastros estatales.”

Langley (1992), dice que “es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la

Tierra, incluido su campo de gravedad, en cuatro dimensiones, espacio-tiempo”.

Considerando esta definición, es necesario por lo tanto, definir el sistema de

coordenadas a ser adoptado, describir el campo de gravedad global y estudiar las

variaciones temporales de posiciones, sean ellas por causas naturales o no. Aún en

esta línea, Langley (1992) afirma que “cuando la Geodesia se refiere la superficie de

la Tierra, significa referirse la superficie equipotencial. Aunque existan diversas

superficies equipotenciales, apenas una tiene especial significado, es aquella que

más se aproxima de la superficie de los océanos en reposo, y no a su nivel, cuando

eles se prolongan bajo os continentes y se encuentran libres de los efectos de las

mareas, ondas, vientos, corrientes, etc. Esta superficie es llamada geoide.”

La forma real de la Tierra, según Torge (1991), “es el geoide, definido como la

superficie equipotencial, que en cualquier lugar es perpendicular a la vertical dada por

un hilo de plomo y que coincide con o nivel medio no perturbado de los mares.”

Como el geoide es una superficie irregular, no puede ser matemáticamente definida;

es importante no solo para la investigación científica así también, para diversas

actividades cotidianas. A través del mapeo del geoide, se puede verificar la estructura

de la costra terrestre y acompañar la evolución de la tectónica de placas; en

actividades cotidianas, su uso pode ser comprobado la través de las altitudes

referidas a la superficie, altitudes ortométricas, que normalmente son empleadas en el

mapeo topográfico.

Como el geoide es de difícil representación, la forma de la Tierra ha sido

matemáticamente definida por un elipsoide de revolución; que es la figura geométrica

que más se aproxima a la forma real de la tierra: achatada en los polos y alargada en

el Ecuador. La superficie elipsoidal es conveniente como referencia y facilita las

operaciones matemáticas. En razón de ello, esta es la superficie de referencia mas

ampliamente empleada en levantamientos y mapeos; pues por ser una superficie

matemáticamente desarrollada, es largamente utilizada en proyecciones cartográficas

y en el establecimiento de coordenadas horizontales de las redes geodésicas,

permitiendo la ejecución de cálculos diversos, con una precisión necesaria para la

cartografía de grandes áreas.

El elipsoide (superficie elipsoidal) es menos usado como superficie de referencia para

las coordenadas verticales (altitudes), ya que no refleja una superficie física de nivel,

pero sí una superficie geométrica. “La determinación de altitud, respecto al nivel


medio de los mares es la operación normalmente ejecutada en nivelación. Esta altitud

pode ser interpretada como la altura ortométrica, ya que o geoide es muy próximo al

Nivel Medio de los Mares (NMM)”.

Bomford (1975) destaca que “cabe la Geodesia establecer una red de puntos que

pueda ser empleada para control de los levantamientos efectuados”.

Objetivos de la geodesia � Práctico: entregar referencias precisas para el control de levantamientos

topográficos � Determinación de la forma y dimensiones de la Tierra (y otros cuerpos celestes) Definiciones / conceptos: � Ciencia de medir o levantar la Tierra o parte de ella � Ciencia que determina la figura geométrica de la Tierra y su interrelación con

puntos seleccionados en su superficie � Hosmer: Ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la

superficie de la Tierra � Zakatov: Estudio de la figura (forma y medidas) y del campo gravitacional exterior

de la Tierra � Comittee on Geodesy – EEUU: Es el ramo de la metemática aplicada que

determina, por medio de observaciones y mediciones, la exacta posición de puntos, figuras y áreas de grandes porciones de la superficie terrestre, la forma y tamaño de la Tierra y las variaciones de la gravedad terrestre

� National Research Council – Canadá: Es la disciplina que lidia con mediciones y representación de la Tierra, incluyendo su campo de gravedad, con variaciones en el espacio-tiempo

� Comunidad Europea: todas las actividades de evaluación, manejo de tierras, prueba de suelos, cartografía, levantamientos subterráneos, mapeo nacional, levantamiento de limites y SIG.

� OSU: Geodesia es una ciencia interdisciplinar la cual usa mediciones espaciales, aéreas y terrestres para estudiar la forma y tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar precisamente posición y velocidad de puntos y objetos en la superficie u órbita de los planetas, dentro de un sistema de referencia terrestre y aplicar esos conocimientos a una variedad de aplicaciones científicas y de ingeniería, usando herramientas de la matemática, física, astronomía y computación.

Para lograr su objetivo puede valerse de operaciones geométricas realizadas sobre la

superficie terrestre (medidas angulares y de distancias) asociadas a determinaciones

astronómicas y gravimétricas; o más modernamente efectuadas sobre satélites

artificiales.

Áreas de la Geodesia: Geodesia Geométrica, Geodesia Física y Geodesia Celeste

(incluye la Geodesia Satelital).


Bajo otro punto de vista: Geodesia Teórica: que estudia el elipsoide y el geoide (y su

relación); Geodesia Aplicada: descripción de la superficie terrestre.

Problemas típicos:

� Conocimiento de la forma y dimensión de la Tierra;

� Estudio del elipsoide como superficie de referencia;

� Resolver problemas geométricos: métodos, fórmulas, aproximaciones;

� Representar el elipsoide de acuerdo a sistemas de proyección (cartografía y

topografía);

� Estudio de redes geodésicas nacionales o globales;

� Estudio del campo gravitacional de la Tierra (fuerza de la gravedad y desvío de la

vertical);

� Conocimiento del geoide (mapas geoidales);

� Determinación de alturas y del NMM;

� Estudio del movimiento de las placas terrestres;

� Procedimientos de terreno para apoyar trabajos de levantamientos;

� Establecer referenciales para proyectos de ingeniería.

Historia de la Geodesia

� 2400aC: Mapa más antiguo - valle del río Eufrates;

� 1333aC – 1300aC: catastro del valle del Nilo – Ramses II;

� Pitágoras (580 – 500aC) fue el primero a suponer la Tierra como esférica

� Aritósteles (384 – 322aC) observó el contorno circular de la sobra de la Tierra

proyectada en la Luna durante los eclipses; estimó el diámetro de la esfera

terrestre en 400.000 estadios (84.000 a 63.000km, dependiendo de la conversión).

� Arquímedes (287 – 212aC) calculó en 300.000 estadios (63.000 a 47.000km)

usando diferente longitud de estadio

� Eratóstenes (276 – 194aC) filósofo y matemático, director de la biblioteca de

Alejandría.

Observó en Syene (margen derecha del Nilo) que el Sol cruzaba el meridiano en el

cenit y en Alejandría el Sol causaba una sombra de 1/50 de circunferencia (7º12’). La

distancia entre las dos ciudades es de 5.000 estadios (medido por los “geomensores”

reales en días a camello).

Suponiendo (errado) que ambas ciudades están en el mismo meridiano:

∆Z = ∆φ ; d = 5.000 estadios ; π = 256/81 = 3,16 y 1 estadio ≈ 157m

501 círculo = 5.000 estadios

R = (5.000 x 50) / 2π = 39.556,96 estadios = 6.210km (error < 2%)


� Poseidonius (135 – 50aC). Un siglo después a través de la distancia Alejandría –

Rodas recalculó el radio de la Tierra usando la estrella Canopus, obteniendo un

valor semejante.

� I-Hing (China siglo IIXaC), monje budista matemático y astrónomo midió un arco

de 11.440li (1 li ≈442m) resultando P ≈ 56.700km y R ≈ 9.000km

� Edad Media. obscuridad: prohibidos Copérnico, Kepler, Galileo, etc;

� Jean Fernel (Francia). En 1525 se midió el arco de 1º entre París y Amiens

usando las revoluciones de una rueda. Fue obtenido 56.746 toesas (= 110.600

metros)

� Jean Picard (Francia 1620 – 1682) introdujo el telescópico para observar alturas

de estrellas y ángulos en la traingulación; midió dos bases con reglas de madera.

Calculó que 1º = 57.060 toesas (1 toesa ≈ 1,95m) 111.210m, R=6.372km

� Isaac Newton (Inglaterra 1642 – 1727) se valió de los resultados de Picard para

sus estudios sobre gravitación, considerando la Tierra achatada en los polos

� Giovanni Cassini (Francia 1625 – 1712) concluyó que la longitud de un arco de

meridiano disminuye con el aumento de la latitud: achatada en los polos> Demarca

el inicio de la Geodesia Moderna.

� 1735 con el auspicio de la Academia de París organizan dos mediciones de arcos

de 1º: a Perú (hoy Ecuador) con Pierre Bouguer, La Condamine y Godin

resultando 110.613m y, a Laponia con Clairaut, Maupertuis y Camus, resultando

111.948m. Se adoptó el elipsoide de revolución; a= 6.376,45km y b= 6.355,88km

� 1790 se crea el metro

� 1924 la Asamblea General de la Asociación de Geodesia de la Unión de Geodesia

y Geofísica Internacional (UGGI) realizada en Madrid resolvió adoptar el elipsoide

de Hayford como de Referencia Internacional

� 1953 El IAGS (Servicio Geodésico Interamericano) terminó la triangulación desde

México hasta el sur de Chile

� 1956 se recomienda para América del Sur el elipsoide de Referencia Internacional.

Se adopta el PSAD56, con punto datum La Canoa (Venezuela) con deflexión de la

vertical igual a cero.

� 1969 la UGGI recomienda para América del Sur el elipsoide de referencia 1967.

Lleva a la definición del SAD69 con elipsoide GRS-67, con punto datum en Chua

(Brasil)

� 1995 se efectúa la primera campaña del proyecto SIRGAS (Sistema de Referencia

Geocéntrico para América del Sur). Red científica medida con GPS, referida a

ITRF95,4 que en la práctica es igual a WGS84. La segunda campaña se realiza

en al año en 2000.


� 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000.

En Chile se destacan, de cuerdo a información de los Anuarios del IGM, los siguientes

hechos:

� 1893 medición de la Red de Triangulación entre Santiago y Batuco

� 1896 primeros trabajos de Astronomía Geodésica en Chile, con la determinación

de los azimutes Bases de Paine – Maipú.

� 1906 Determinación del Azimut Astronómico fundamental Observatorio Quinta

Normal – Renca

� 1929 nivelación línea Cartagena – Pelequén – Almahue

� 1931 a 1934 nivelación hasta Santiago

� 1949 se inician los trabajos en conjunto con el IAGS (Interamerican Geodetic

Survey)

� 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000.

UNIDADES DE MEDIDA

En la antigüedad la relación geométrica entre dos puntos dependía de las unidades,

donde era adoptada y en que época

Por ejemplo, no hay equivalencia exacta para el estadio en la medición entre

Alejandría y Syene. Historiadores evalúan entre 157,5 y 190 m aproximadamente.

Unidades Angulares

Egipto: se pensaba que el Sol giraba la Tierra en 360 días, por ese motivo se asoció

la traslación de 1 día a 1 grado. gon: 400

1 circunferencia

Unidades Lineales Estadio: al menos en dos diferentes lugares del mundo antiguo (Grecia y Roma), “carrera del estadio” Real Codo Egipcio: conocido como “auna”, empleado para construir pirámides; = 52.3 cm Legua: origen en Galia, Francia. 1 legua = 1,5 millas = 1500 pasos Milla: (mil) de los militares romanos; 1000 paso (doble paso); 1 paso = 5 pies romanos. Milla marítima: distancia entre dos puntos en la misma longitud y separados por 1’ en latitud (1.852m) Palma: mayor distancia entre el pulgar y el meñique Pulgada: Segunda falange del pulgar


Pié: Inglaterra y EEUU; 12 pulgadas Yarda: girth: faja o cinturón; distancia medida, con el brazo extendido, de la nariz a la punta de los dedos; = 0.914 m Vara: trozo de madera con 5 palmas de longitud o 16 pies (Inglaterra); el juez poseía la “vara” legal. En Inglaterra: “ ... a la salida de la iglesia, después del oficio religioso, dieciséis hombres tomados al azar entre los fieles, altos y bajos, se colocarán en línea recta con sus respectivos pies izquierdos, unos enseguida de los otros ...” Vara Española: = 0.836 m Toesa: en Francia 1 toesa = 1.949 m

Metro: � 1791 Comisión de Pesos y Medidas (Francia), se adopta la unidad metro

como el “ 000.000.101 parte del cuadrante de meridiano terrestre”; los

submúltiplos adoptan prefijos latinos (deci, centi, mili) y los múltiplos prefijos griegos (deca, hecto, kilo).

� 1973: adopción del sistema métrico provisional, 1 metro = 36 pulgadas, 11,46 líneas de la toesa del Perú

� 1795: se estableció la longitud del metro; 1 metro = cuadragésima millonésima parte del meridiano terrestre.

� 1 cuadrante = 5.130.740 toesas; 1 metro = 443,2959 líneas; 1 toesa (Perú) = 6 pies = 72 pulgadas = 864 líneas = 1,949 metros; 1m = 0,5130740 toesas.

� 1789: fueron fabricadas 4 barras bimetálicas en capas de cobre y platino � 1870: primera tentativa internacional con la creación del “Bureau

Internationale des Poids et Mésures” � 1889: 30 copias fueron hechas y distribuidas a diferentes países � 1890: surge el patrón natural en función de la longitud de onda de la

radiación cadmio rojo � 1960: redefinición como la longitud de onda de la luz – 1.650.763,73λ del

gas cripton-86 en el vacío. Precisión 4 partes en 109 � 1983: La Conferencia General de Pesos y Medidas en París redefine en

función del tiempo. La longitud que viaja la luz en el vacío durante 1/299.792.458 segundos. Precisión 1 parte en 1010

1 metro =

1 vara Chile = 1 milla terrestre = 1 milla marítima =

1 legua marítima = 1 legua métrica =

1 pié ingles = 1 yarda =

39,7 pulgadas 0,835 metros 1.609,31 metros 1.851,85 metros 5.555,55 metros 5.500 metros 0,30479 metros 0,91438 metros


En Chile se adopta el Sistema Internacional (SI) de Unidades, homologada por la

Norma Chilena NCh-30 de INN.

Notación: Metro: m Gramo: g Segundo: s

Múltiplos y submúltiplos: 10-6 : µ (micro) 10-3 : m (mili) 103 : k (kilo) 106 : M (mega)


PROBLEMAS GEODESICOS Y TOPOGRÁFICOS PRÁCTICOS.

� Transportar coordenadas: problema directo (α,D) � (X,Y)

� Calcular distancia y acimut: problema inverso (X,Y) � (α,D)

� Determinar forma de la Tierra (geoide)

α+=α+=

cos

sen

BCCB

BCCB

dYY

dXX

YX

YXdBC

∆∆=α

∆+∆=

arctg

22

En triangulación: Ley de los senos B

bA

aˆsenˆsen

=

sitgdhh

siDZdhh

sidih

siDZdih

−+α⋅=∆−+⋅=∆

−+α⋅=∆−+⋅=∆

cot

sen

cos

∑∑ −=∆ adelanteatrásABh


COORDENADAS ASTRONÓMICAS

Todos los cuerpos en la Tierra están sujetos al campo gravitacional, resultante de la

fuerza de atracción ejercida por la Tierra y la fuerza centrífuga.

Superficies equipotenciales W=constante, denominados “geopes”.

Líneas de fuerza perpendiculares a los geopes: líneas de fuerza de campo =

verticales, representa la dirección del vector gravedad (eje de plomo o eje principal del

teodolito).

Latitud astronómica: ángulo entre la vertical e su proyección ecuatorial.

Meridiano astronómico: plano vertical paralelo al eje de rotación terrestre

Longitud astronómica: ángulo diedro entre el y el meridiano astronómico y el

meridiano medio astronómico de Greenwich (origen).

Por consecuencia del movimiento de los polos terrestres que alteran el eje de rotación

y consecuentemente del ecuador, las coordenadas astronómicas son función del

tiempo. Deben ser reducidas a una misma época.

SUPERFICIES DE REFERENCIA

En geodesia se relacionan 3 superficies:

1. Superficie física terrestre: donde se realizan las operaciones de medida

2. Superficie del modelo geométrico de referencia, elipsoide de revolución: donde se

realizan los cálculos geodésicos

3. Geoide, superficie que representa la forma real de la Tierra en función de su

campo gravitacional; es una superficie equipotencial; un geope que más se

aproxima al Nivel Medio del Mar (NMM); coincide con la superficie de los océanos

en reposo extendida idealmente sobre los continentes; es una superficie

“horizontal”; es el origen para las altitudes o altura ortométrica (distancia por la

vertical de un punto al geoide). Se obtiene por nivelación geométrica asociada a

gravimetría.

Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la determinación

de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal)


yx

zGeóide

Elipso

ide

h = H + N

SUPERFICIETERRESTRE

GEOIDE

ELIPSOIDE

H

hN

P

concen

tración

de ma

sa

vertica

les

superficieequipotencial

(tarea: investigar las 2 superficies de referencia, elipsoide y geoide)

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE

Elipsoide de revolución: cuerpo geométrico generado por la rotación de una elipse

alrededor del eje menor, el eje menor coincide con el eje polar terrestre.

FQ + F´Q = constante = 2·a

En el elipsoide tri-axial: a=c=b � esfera

c=b � elipsoide de revolución

El elipsoide de revolución es la “forma matemática de la Tierra”, donde se realizan los

cálculos


F F´

a

b

a

o

d

φ

Q

X

Z

90+φF F´

a

b

a

o

d

φ

Q

X

Z

90+φ

Ecuación de la elipse generatriz: 12

2

2

2=+

b

z

a

x

Ecuación del elipsoide de revolución: 12

2

2

22

=++b

z

a

yx

La excentricidad es la distancia focal expresada en términos del semi eje mayor (a)

2

2

2

222

22 1

a

b

a

ba

a

de

ad

aFO

e

−=−==

==

El achatamiento es la razón de la diferencia entre los semi ejes, respecto del semi eje

mayor:

Achatamiento (f) : ab

aba

f −=−= 1

1a excentricidad (e): 2

2

2

222 1

a

b

a

bae −=−=

2a excentricidad (e’): 1'2

2

2

222 −=−=

b

a

b

bae

Otras relaciones:

22 2 ffe −⋅= 2

22

'1

'

e

ee

+=

2

22

1'

e

ee

−=

2'11

ebf

ba +⋅=

−= 21)1( eafab −⋅=−⋅= )1( 222 eab −⋅=


COORDENADAS GEODÉSICAS

Basadas en un elipsoide de revolución generado por una elipse girada en torno al eje

polar; es el modelo matemático de la Tierra.

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

O

Z1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

O

Z1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

� Sección Normal: sección que contiene la normal al elipsoide en P

� Sección Meridiana: sección normal particular, contiene el eje menor (polar)

� Sección 1º vertical: perpendicular a la sección meridiana en P

� Gran Normal: segmento PQ de la normal; desde P hasta el eje polar

� Pequeña Normal: segmento PR, hasta el plano ecuatorial

� Meridiano Geodésico: intersección de la sección meridiana con el elipsoide

� Paralelo Geodésico: intersección de un plano paralelo al ecuador y el elipsoide, es

un círculo

� Latitud Geodésica: ángulo formado por la normal en P y su proyección en el

ecuador; (-) al sur del ecuador; varía de +90º a -90º

� Longitud Geodésica: ángulo formado entre el meridiano origen y la sección

meridiana en P; (-) al este de Greenwich; varía 0º a 360º o a +/-180º

� Altura Geométrica o Elipsoidica: distancia por la normal entre el elipsoide (P) y el

punto P1


Desvío de la Vertical (δ): ángulo entre la vertical local (en P1) y la normal al elipsoide;

ayuda a transformar magnitudes astronómicas a geodésicas:

Componente meridiana ξ = φa – φ

Componente 1º vertical η = (λa – λ) cos φ = (Aa – A) cot φ

Ecuación de Laplace: A = Aa – (λa – λ) sen φ

Usada en astronomía geodésica para orientar redes geodésicas. En vértices de

triangulación que se realizan determinaciones astronómicas de azimut y longitud, se

denominan “puntos de Laplace”

Datum

PSAD-56 SAD-69 WGS-84 Sirgas

Elipsoide Internacional 24 (GRS-67) WGS-84 GRS-80

a 6378388 6378160 6378137 6378137

1/f 297 298.25 298.257223563 298.257222101

b 6356911.946 6356774.719 6356752.3142 6356752.3141

e2 0.00672267002 0.00669454185 0.00669437999 0.00669438002

e´2 0.00676817020 0.00673966080 0.00673949674 0.00673949677

(tarea: investigar los sistemas PSAD56, SAD69 y WGS 84)


LATITUDES GEOCÉNTRICA Y REDUCIDA

P

Q Q’O

P’

M

M’

µµµµ ψψψψ φφφφ

b

a

x

zρρρρ

φφφφ : latitud geodésicaψψψψ : latitud geocéntricaµµµµ : latitud reducida

H

P

Q Q’O

P’

M

M’


b

a

x

zρρρρ

φφφφ : latitud geodésicaψψψψ : latitud geocéntricaµµµµ : latitud reducida

H

En los problemas prácticos de la geodesia interfiere solo la latitud geodésica, pero en

aspectos teóricos son útiles otros dos tipos de latitud:

� Latitud geocéntrica (ψ): ángulo entre el radio vector de un punto M con su

proyección en el ecuador;

� Latitud reducida (µ): ángulo formado por el radio (M´O) y su proyección en el

ecuador; M´O formado por la prolongación de la ordenada en M, hasta la

circunferencia circunscrita de radio “a”.

M

M’


b

x

z

a

a

b

z´M

M’


b

x

z

a

a

b

z´


φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ

φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ

Z = N’ senφ = x tgψ

N’= N(1-e2) y x = N cosφ

N(1-e2) senφ = N cosφ tgψ

x = a cosµ y z = b senµ

µ⋅−=µ⋅⋅=µ⋅µ⋅==ψ tgetg

ab

asenb

xz

tg )1(cos

2

φ⋅−=ψ tgetg )1( 2

φ⋅−=µ tgetg )1( 2


RADIOS DE CURVATURA DE SECCIONES NORMALES

En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, la

intersección de estos con el elipsoide forman las secciones normales, todas ellas con

curvatura diferente, pero hay dos principales, mutuamente perpendiculares, cuyas

curvaturas son máxima (sección normal meridiana) y mínima (sección normal del

primer vertical), con radios de curvatura denotados por M y N respectivamente.

Gran Normal (N): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con eje

Z (H)

Pequeña Normal (N’): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con

ecuador

Elipse meridiana: 12

2

2

2=+

b

z

a

x (1)

Sarcodeliacióngenteladedireccióndeiación

S vartanvar

Curvaturaτ=

∆τ∆=

Radio de curvatura K

R1= (2)

y=f(x)

dsdydx

x

ydx

dy

τ

y=f(x)

dsdydx

x

ydx

dy

τ

Según [Gemael, Rapp, Zakatov], para una curva plana z = f(x), el radio de curvatura

es:

2

2

23

2)(1

dx

zd

dxdz

R

+= (3)


Deducción:

222 dydxds += ==> 22

1

+=

dxdy

dxds

==> dxdxdy

ds2

1

+=

dxdy

d =τ ==>

=τdxdy

arctg ; diferenciando:

=τdxdy

arctgdd siendo: 2

´

1)(

u

uuarctg

dud

+= , resulta:

( ) dxd

dxdy

dx

yd

2

2

2

1+=τ ; pero

τ=

dds

R

reemplazando:

( ) dx

dxdxdy

R

dxdy

dx

yd

2

2

2

2

1

1

+

+= =

2

2

23

2

1

dx

yd

dxdy

+

Continuando:

la tangente (pendiente) en el punto(x,y) es: φ−=φ+= gtgdxdz

cot)90( (4)

pero. de 12

2

2

2

=+b

z

a

x → 222222 bazaxb =+ (5) , diferenciando:

022 =⋅+⋅ dzzadxxb → φφ−=−=

senzx

a

bdxdz cos

2

2

→ φ⋅=φ⋅ cos22 zasenxb (6)

al cuadrado: 0cos224224 =φ⋅−φ⋅ zasenxb (7)

multiplicando la (5) por (-b2 sen2φ) y sumando a la (7):

212222

2

)cos( φ+φ

φ=senba

senbz (8)


de la misma manera se encuentra x:

212222

2

)cos(

cos

φ+φ

φ=senba

ax (9)

pero 2

222

a

bae

−= → 2

122 )1(

cos

φ−

φ=sene

ax y

( )2

122

2

)1(

1

φ−

φ−=sene

seneaz (10)

PRIMER CAMINO:

diferenciando:

[ ] φφ⋅+φ−−φ−φ⋅=

φφ−⋅φ⋅φ⋅⋅φ−φ−φ−=−

−−

desenesenesena

dsenesenesenesenadx

22222322

23222

212

122

cos)1()1(

))1(cos2cos)1(( (11)

2

322

2

)1(

)1(

φ−

φ−−=φ

sene

seneaddx

(12) [Rapp]

análogamente: 2

322

2

)1(

cos)1(

φ−

φ−=φ sene

eaddz

reemplazando en la 2ª derivada de:

φφ

=φφ

=

ddxsendx

d

sendx

zd 111222

2 (13)

))1(

)1(32

232

2

2

φ−φ−−=

senea

sene

dx

zd (14)

:2

2

Rendx

zdy

dxdz

doreemplazan

Designando por M el radio de curvatura 2

322

2

)1(

)1(

φ⋅−

−⋅=sene

eaM (15)


De la figura:

x = N cosφ y z = N’ senφ

φ⋅−=

221 sene

aN (16)

φ⋅−

−⋅=22

2

1

)1('

sene

eaN (17)

)1(' 2eNN −= (18)

SEGUNDO CAMINO:

2

2

2

2

22222 1

+=+=+=+=φ⋅=dzdx

dzdz

dx

dz

dzdzdxdz

dzdz

dxdzdMds

pero φ−= gdxdz

cot → φ−= tgdzdx

23

22

2

)1(

cos)1(

φ−

φ−=φ sene

eaddz

φ⋅=φ

=φ+= dMdz

tgdscos

1 2 → φφ

=ddz

Mcos

1

luego: 2

322

2

)1(

)1(

φ−

−=sene

eaM

Secciones principales (para un punto):

� Sección meridiana, radio de curvatura mínimo

� Sección 1o vertical (acimut 90º), radio de curvatura máximo

φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ

φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ


Radio de curvatura de la sección meridiana (M):

2322

2

)1(

)1(

φ⋅−

−⋅=sene

eaM

Radio de curvatura de la sección del primer vertical (N):

φ⋅−=

221 sene

aN

Radio de curvatura de una sección normal cualquiera con acimut α (Rα): Teorema de Euler:

Nsen

MRα+α=

α

22cos1 �

α⋅+α⋅⋅=α

22cos senMN

MNR

En los Polos α = 90º En el Ecuador α = 0º

Sección meridiana b

a2

oPPP R N M === a

b2

E M =

Sección 1er vertical PP N M = a NE =

Radio medio de curvatura (Ro) φ⋅−

==221 sene

bMNRo

Radio de un paralelo (r): φ⋅= cos r N

r tiene valor máximo en el ecuador (=a) y nulo en los polos


LONGITUD DE UN ARCO DE ELIPSE MERIDIANA

[Geodesia Geométrica, DMA 1982, Richard

Rapp]

Para el caso de un arco circular: S = R·α

Arco PP’ de la elipse meridiana. Radio de

curvatura no varía.

Q O

P

φφφφ

b

a

P’

∆φ∆φ∆φ∆φ

M

ds

x

y

Z

X

Ya

b

o

A

B

D

C

∆λ∆λ∆λ∆λ

M: radioEl radio de curvatura (M) de la sección meridiana es expresado como:

φ⋅= dMds

S

αR


de ese modo el arco S se obtiene integrando:

φφ⋅−⋅−⋅== −φ

φ

φ

φ ∫∫ dseneeadsS 2/3222

1

22

1)1()1(

Haciendo: )1( 22 φ⋅−= seneW

φ⋅−⋅= ∫∫φ

φ

φ

φd

Weads

3

2

1

22

1

1)1(

Usando el desarrollo en serie de McLaurin:

...128315

1635

815

23

11 88664422

3+φ+φ+φ+φ+= senesenesenesene

W

Se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples:

φ+φ−φ+φ−=φ

φ−φ+φ−=φ

φ+φ−=φ

φ−=φ

8cos128

16cos

161

4cos327

2cos167

12835

6cos321

4cos163

2cos3215

1615

4cos81

2cos21

83

2cos21

21

8

6

4

2

sen

sen

sen

sen

[

...)]1010(101

)88(81

)66(61

)44(41

)22(21

)1(

121212

1212122

+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−

−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅−⋅=

sensenFsensenEsensenD

sensenCsensenB)(Aeas

...131072

693

...655363465

16384315

...13107231185

2048315

51235

...1638410395

40962205

256105

645

...6553672765

20482205

512525

1615

43

...6553643659

1638411025

256176

6445

43

1

10

108

1086

10864

108642

108642

+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=

eF

eeE

eeeD

eeeeC

eeeeeB

eeeeeA


Para el cuadrante meridiano: φ1 = 0º ; φ2 = 90º � s = a(1-e2) A π/2

Para SAD69 � s = 10.002.001,23m [Rapp]

Zakatov en 1962:

[ ]2cos81

)4cos6415

2cos163

643

()2cos43

41

1 2242mmmm ee(eas φ⋅φ∆⋅⋅+φ⋅−φ⋅+⋅−φ⋅+⋅−⋅φ∆⋅=

Se considera exacta para líneas hasta 600km

Zakatov simplificada:

Mm = radio de curvatura de la latitud media.

]2cos81

1[ 22mm eMs φ⋅φ∆⋅⋅+⋅φ∆⋅= precisión 1mm hasta aprox. 400 km

.Para distancias muy cortas se puede simplificar por: φ∆⋅= mMs precisión 1mm hasta aprox. 1 km

LONGITUD DE UN ARCO PARALELO

Puntos de longitudes λ1 y λ2 en el mismo paralelo, sea L el arco:

r = N cosφ λ∆⋅φ⋅=λ∆⋅= cosNrL

(Calcular la distancia por el paralelo desde el Meridiano Greenwich a Santiago)

(tarea: calcular y graficar 1” de arco meridiano y paralelo para diferentes

latitudes en Chile)

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO ELIPSOIDICO

Considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos (d y

d ).

AB = CD = M dφ

AD = BC = N cosφ dλ

Ärea diferencial: dA = AB * AD = M N cosφ dφ dλ

∫∫ ∫φ

φ

φ

φ

λ

λ

ϕ⋅ϕ⋅⋅λ−λ=λ⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅=2

1

12

2

1

2

1

cos)(cos dNMddNMA

Área de la zona elipsoidica (dφ x 2π)


1051238

23045

10512158

25656

1121

10512458

6456

1614

803

10256458

192356

1634

1632

61

10256638

128356

1654

832

21

'

'

'

'

1'

eeE

eeeD

eeeeC

eeeeeB

eeeeeA

+=

++=

+++=

++++=

+++++=

212

12φ+φ

=φφ−φ=φ∆ my

Área del cuadrilátero elipsóidico (dφ x dλ) ...]5cos5'3cos3'cos'[2 2 −φ⋅φ∆⋅+φ⋅φ∆⋅−φ⋅φ∆⋅λ∆⋅⋅= −senCsenBsenAbA mm

2; 12

1212φ+φ

=φλ−λ=λ∆φ−φ=φ∆ my

APROXIMACIÓN ESFÉRICA

En ciertos problemas la aproximación esférica (considerar la Tierra como esfera)

puede ser suficiente, para triángulos geodésicos pequeños.

Se adopta una familia de esferas con radios entre b2/a y a2/b, que son los radios

medio de curvatura en el ecuador y en los polos, respectivamente.

A cada triángulo corresponde un radio NMR ⋅=0 calculado en función de la latitud

media del triángulo.

Radio de esfera con media aritmética de los 3 ejes: 3

2 baR

+⋅=

Radio de una esfera de igual área que el elipsoide (RA):

...)95

74

53

32

1(4

8642 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=π

= eeeebA

R EA

Radio de una esfera de igual volumen que el elipsoide (RV): 3

34

VESFERA RV ⋅π⋅= baVELIPSOIDE ⋅⋅π⋅= 2

34

6 23 2 )1( eabaRV −=⋅=

CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE

SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS

Sección normal directa respecto al punto “A”: sección normal en A que contiene el

punto.

Sección normal recíproca respecto al punto “A”: sección normal en C que contiene el

punto.


En general, para puntos distintos, las normales en A y C no son coplanares �

secciones normales directa e inversa no son coplanares � “camino” normal A-C ≠

“camino” normal C-A.

Coplanares solo si los puntos están en la misma latitud o misma longitud.

Se fuera posible calar con un teodolito, instalado en el elipsoide según la normal, los

planos de observación A-C es diferente a C-A, o sea, son diferentes direcciones.

Para punto más al sur � curva directa más al sur.

Secciones normales no definen un triángulo geodésico.

El mejor camino entre los dos puntos es una curva, generalmente reversa,

comprendida entre los planos directo y recíproco, denominada línea geodésica.

SEPARACIÓN ENTRE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS

Considérense dos puntos sobre el elipsoide (A y B) en diferentes latitudes y

longitudes. Al estar a diferentes latitudes sus normales no son colineales (no se

intercectan en el mismo punto sobre el eje de rotación). La visual directa (A→B) está

contenida en la sección normal A→B, mientras que la visual recíproca (B→A) está en

la sección normal recíproca B→A. Esto quiere decir que la intersección entre los

planos directo y reciproco se produce en la cuerda AB.

Z

X

Ya

A

BSección Normal A��B

Sección Normal B��A

Normal en A

Normal en B

φφφφBφφφφA

Z

X

Ya

A

BSección Normal A��B

Sección Normal B��A

Normal en A

Normal en B

φφφφBφφφφA


A

B

φφφφA

NA

NB

φφφφB

A

B

φφφφA

NA

NB

φφφφB

A

B

Sección normal A-B

Sección normal B-A

cuerda A-B

Ángulo entre planos normales

A

B

Sección normal A-B

Sección normal B-A

cuerda A-B

Ángulo entre planos normales

En la práctica interesan las diferencias en distancia y acimut entre secciones

normales recíprocas.

Ángulo auxiliar (β [Gemael]

φ⋅φ⋅−φ⋅⋅+φ⋅φ⋅−φ⋅⋅

=βsensenNsenNeN

senNsenNetg

)(

cos)(

112

112

Ángulo ortogonal (V):

[Gemael] senAV ⋅β=

A: acimut

Z: ángulo cenital

[Rapp]: AsenNS

eV m 2cos)(21 2

1

2 ⋅φ⋅⋅=

S: distancia geodésica

A: acimut

Para S = 100km; φm = 45º; A = 45º : V = 6” (valor máximo en A = 45º)


Separación acimutal (θ):

A1

BN

AA’

θθθθ/32θθθθ/3

S

A1

BN

AA’


S

Ángulo en el plano tangente (horizontal) en N [Gemael]: gZsenA cot⋅⋅β=θ

[Rapp]: AsenNSe

m 2cos)(4

22

1

2⋅φ⋅⋅=θ

[Jordan]: )2

(coscos)(2 1

112121

22

1

2

NStg

AsenANSe ⋅

φ−⋅⋅φ⋅⋅=θ

Para φm = 0º y A = 45º

S 200km 100km 50km

θ” 0,36” 0,09” 0,023”


S 150km 100km 30km

θ” 0,057” 0,032” 0,003”

En la práctica se hacen correcciones a distancias > 30km

SEPARACIÓN ENTRE ARCOS

En el punto medio entre A y C, la separación “L” será máxima:

[Gemael]: 2

232

16

2cos

N

AsenSeL

⋅

⋅φ⋅⋅=


S 200km 100km 50km

L máximo 0,050m 0,006m 0,0008m


S 150km 100km 30km

L máximo 0,013m 0,0038m 0,0001m


REDUCCIONES GEODÉSICAS ANGULARES

1- Corrección del acimut debido a la altura del pun to observado Las direcciones se miden entre puntos sobre la superficie terrestre, sin embargo los

cálculos se efectúan sobre la superficie del elipsoide, por lo tanto existe influencia de

la altura del punto visado en el acimut calculado.

Desde A se cala B, a altura h.

� Acimut deseado: A;

� Acimut observado: Ah

Puesto que el elipsoide es achatado, se debe considerar la diferencia (A – Ah)

A

B

δδδδ2B´

b’AAh

NANB

A

B

δδδδ2B´

b’AAh

NANB

[Rapp] ABmm

AeMS

coscos222 ⋅φ⋅⋅=δ

⋅⋅φ⋅⋅=−=δ ABmm

h AseneMh

AA 2cos2

22

La corrección no depende de la distancia entre los puntos. Esta corrección se aplica

solamente cuando el punto calado (B) está en altura, independiente si el punto origen

(A) de las visadas está en altura.

(tarea: hacer gráfico de corrección por altura, par a diferentes latitudes)


LÍNEA GEODÉSICA

A

B

normal A-B

normal B-A

Geodésica entreA y B

A

B

C

meridiano

tangente

Para obtener un único triángulo elipsóidico, los vé rtices deben estar

conectados por líneas geodésicas.

Línea geodésica, yacente a una superficie, es la que en todos sus puntos el plano

osculador es normal a la superficie � Es única entre dos puntos � Es la distancia más corta sobre la superficie � En el plano es una recta � En una esfera es un arco de círculo máximo � En el elipsoide es reversa (curvatura espacial) ; no es plana

Propiedad importante: la normal principal de la geodésica coincide, en cualquier

punto, con la normal del elipsoide. La normal (principal) está contenida dentro del

plano osculador que pasa por tres puntos infinitamente cercanos en la curva. La

sección normal no tiene esta propiedad.

característica: r senA = constante

(¿Paralelos y meridianos son líneas geodésicas?)


2- Corrección ángulo geodésica – sección normal. Se necesita transformar el acimut de una sección normal en el acimut correspondiente

de la línea geodésica, ya que esta representa sin ambigüedad el lado de un triángulo

geodésico.

La línea geodésica divide el ángulo “θ” de las secciones normales recíprocas (excepto

en los casos de acimut 90º o 270º), en razón 1:2, estando siempre más cerca de la

sección normal directa. Designando por “τ” la corrección:

A1

BN

AA’


S

A1

BN

AA’


S

"]22

2[cos12

'3

22

22"" ρ⋅⋅φ⋅−⋅φ⋅⋅=−=θ=τ

NsenAsenS

AsenN

SeAA

AsenN

SeAA 2cos

12'

32

2

22"⋅φ⋅⋅=−=θ=τ

(tarea: calcular la reducción anterior para diferen tes distancias en azimut 45º)

Si los dos puntos están sobre el mismo meridiano, solo existe una sección normal

entre ellos, la geodésica es el meridiano (τ = 0). Pero .....

Si los dos puntos están sobre el mismo paralelo, solo existe una sección normal entre

ellos, sin embargo la geodésica NO coincide con esta sección normal. La geodésica

estará fuera de las secciones normales. La diferencia no influye en la distancia.

r = N cos φ N cosφ sen A = cte = K Ecuador A = 90º � K = N Meridiano A = 0 � K = 0


3- Corrección por deflexión de la vertical.

A

(cenit geodésico)Z

Z’

ξξξξ

ηηηηe meridiano

Debido a que las mediciones no se efectúan sobre el elipsoide y sí sobre la Tierra

verdadera, bajo influencia del campo gravitacional, los ángulos se miden en la

horizontal local (perpendicular a la vertical) y deben ser llevados al plano

perpendicular a la normal del elipsoide.

La diferencia se llama deflexión de la vertical, con componentes ξ (componente

meridional) y η (componente en el 1er vertical).

"1

)cos(3 ρ⋅⋅η−ξ−=δtgZ

AsenA ABAB

Z: distancia cenital del punto observado = (90-φ)

")90(

1)cos(3 ρ⋅

φ−⋅η−ξ−=δtg

AsenA ABAB

Esta corrección es normalmente muy pequeña

Corrección total:

3δ+τ+δ+= oc AA


TRIANGULACIÓN

Cabe resaltar que las triangulaciones están en desuso, actualmente la materialización

de redes geodésicas se realiza mediante GPS de alta precisión, siendo este al menos

10 veces más preciso que las triangulaciones. Sin embargo la densificación puede

ser realizada por poligonación de precisión, alcanzando precisiones de las

triangulaciones (10 ppm).

La materialización del sistema cartográfico se efectuaba por un proceso llamado de

“triangulación” (proviene de la época en que se formaban solo triángulos adyacentes)

y los puntos llamados “vértices geodésicos”. La marca física se llama marco o

monolito y representan geométricamente las visadas realizadas con teodolito. Las

medidas son hechas sobre el terreno.

Imposiciones iniciales:

� Posición; punto origen (o datum) de coordenadas geodésicas conocidas,

amarración al elipsoide (evita translación);

� Orientación; conocer un acimut de partida (evita rotación);

� Escala; base geodésica inicial medida y reducida, significa imponer una escala.

Con las 4 imposiciones iniciales se puede proyectar la triangulación sobre el elipsoide

y se pueden transportar coordenadas.

El problema del datum

La mayoría de las triangulaciones geodésicas se caracterizan por la imposición inicial:

ξ0 = η0 = N0 = 0

Desvío de la vertical = 0; ξ: componente meridiana; η: componente 1o vertical

Coinciden en el punto origen la normal y la vertical y, elipsoide con geoide �

coincidencia entre coordenadas geodésicas y astronómicas.

φ0 = φa ; λ0 = λa ; A0 = Aa

De esta manera fueron definidas 3 de las imposiciones iniciales, por determinaciones

astronómicas. La escala se define “midiendo” una base.

PSAD-56. Con origen en el vértice La Canoa (Venezuela); elipsoide Hayford

(Internacional).

Hito XVIII = PSC-63 (Provisional Southern Chile 63). Origen en el Hito XVIII; elipsoide

Internacional.

SAD-69. Origen en vértice Chuá (Brasil); elipsoide SAD-69 (GRS-67).

φ0 = 19º 45’ 41,6527”S ; λ0 = 48º 06’ 04,0639”W ; Aa = 271º 30’ 04,05”


φa = 19º 45’ 41,34” S ; λa = 48º 06’ 07,80” W ; Aa = 271º 30’ 05,42”

ξ0 = 0,31” ; η0 = 3,59” ; N0 = 0

Paralelo al sistema terrestre medio.

1980: UGGI definió el GRS-80 adoptado por Transit y después por GPS.

Cálculo de la triangulación.

� Operaciones astronómicas: puntos de Laplace (φ y A)

� Operaciones geodésicas:

- Medida de base geodésica inicial y de verificación.

- Medida de ángulos o direcciones horizontales.

- Medida de ángulos verticales.

La triangulación (y cualquier medición) está sujeta a errores observación

(accidentales) � figuras no cierran � coordenadas dependen del “camino” utilizado.

Después de eliminar los errores sistemáticos, se procede al ajuste por el Método de

los Mínimos Cuadrados (MMC) � solución única � coordenadas únicas.

Precisión nominal ..... 1/100.000 ó 10ppm.

Los ángulos verticales se usan en la nivelación trigonométrica, no tan precisa como

nivelación geométrica. Esta es conducida en redes separadas a la triangulación.

Rigidez.

La figura básica de la triangulación es el cuadrilátero completo, con lados y

diagonales visados en ambas direcciones. Rigidez es un concepto precursor de las

técnicas modernas de optimización basadas en elipses de errores. En la práctica ya

no se usa. Consiste, a partir de la ley de propagación de errores, en el error probable

del logaritmo de un lado, calculado por la solución de uno o varios triángulos.

Medición de Ángulos Horizontales por reiteración. Reiteración. Se usa diferentes

partes del limbo horizontal.

Reconocimiento. Objetivo: adoptar una figura prefijada; asegurar intervisibilidad;

lugares accesibles y permanentes; evitar refracción lateral.

Materialización. Marcos o monolitos de concreto con identificación y marca de

centrado. Mediciones de 1er orden se efectúan normalmente en la noche, por causa

de menos refracción y visibilidad. Se necesitan lámparas eléctricas.


Centrado. En caso de no haber visibilidad se construye una torre de madera o metal.

Las prefabricadas usadas por el DMA se llaman Torres Bilby de hasta 38m; consiste

en dos torres concéntricas independientes. Plomo óptico ni cualquier otro sirve para

instalar el teodolito; se usa un colimador vertical.

MEDICIONES DE BASES GEODÉSICAS.

Distanciómetros mecánicos. Hasta fines del siglo 19 eran medidas con reglas rígidas

bimetálicas. En 1885 en Suecia se inventó la liga Invar (acero con 35% níquel) con

bajo coeficiente de dilatación.

Coef. dilatación acero ~ 0,000 01

Coef. dilatación invar ~ 0,000 000 04 (250 X); más blando y menos elástico

que acero. Se usó hasta unos 40 años atrás.

Hilos (o cinta) de invar eran de 24 o 50m y poseían en los extremos pequeñas reglas

graduadas de 8 centímetros . Se debía estacar cada 24 o 50m ±15cm. Se aplican

tensores de 10kg en los extremos. Se hace nivelación geométrica en las estacas

para reducir al horizonte más correcciones de temperatura, flecha, variación de

tensión, etc. Después era reducida al geoide. .... semanas de trabajo para medir una

base.

Distanciómetros electrónicos. En 1947 se inventó en Suecia el Geodímeter (Geodetic

Distance Meter) basado en onda luminosas; en 1957 en Sudáfrica se inventó el

Telurómetro (microondas), el más popular en geodesia.


REDUCCIONES GEOMÉTRICAS

Para convertir la distancia electrónica en distancia geodésica se deben efectuar

algunas correcciones geométricas.

1- Reducción de distancia geométrica a distancia in clinada

REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ELECTRÓNICAS.

Se debe considerar que los distanciómetros, incorporados a las Estaciones Totales (ET),

determinan las distancias electrónicamente, y es por ello que la magnitud original de la

distancia está afectada principalmente de dos factores, constante del prisma y refracción

atmosférica.

Constante de prisma: usualmente las ET traen incorporada, en su configuración, los valores de

las constantes de los diversos prismas que pueden ser utilizados, o bien, se considera una

constante cero para el prisma que usa por defecto.

Refracción atmosférica: generalmente la obtención de la distancia electrónica es calibrada

para valores de una atmósfera estándar (Leica 12°, Topcon 15°, Trimble 20°), 60% de

humedad y 1013 hPa (mb) de presión (760 mm/Hg). De las tres variables que influencian la

distancia, la humedad es la que menos la afecta, no así la temperatura y la presión. Entre los

diversos modelos de corrección por refracción, se encuentra el siguiente para Estaciones

Totales Leica:

+−

+−= X

T

h

T

PppmCd 10·

*003660.01

*0004126.0

*003660.01

*29065.08.281)(

7857.03.237

*5.7 ++

=T

TX

Sin considerar la humedad h:

)(*003660.01

][*2904.08.281)( Leica

T

hPaPppmCd

+−=

)(479.272

][*146.79255)( Trimble

T

hPaPppmCd

+−=

)(15.273

]/[*033.10666.279)( Topcon

T

HgmmPppmCd

+−=

La influencia de las variaciones de temperatura y presión, en la corrección por refracción, para

las Estaciones Totales Leica, es:


( )2

2

2

22

2

*003660.01

00366.0**2904.0

*003660.01

2904.0dT

T

PdP

TdD

++

+−=

La sensibilidad de la corrección es del orden de 1 ppm por cada 1ºC de variación de

temperatura y 3 ppm para cada 10 mb de variación de presión, de esa manera, en trabajos de

precisión geodésica, los valores de temperatura y presión deben ser tomados, al instante de la

medición, con precisión absoluta de 1ºC y 3 mb, respectivamente.

Como resultado de las correcciones anteriores, se obtiene la distancia geométrica (DG) entre

los centros del distanciómetro y del prisma.

REDUCCIONES GEOMÉTRICAS.

Cálculo de la distancia inclinada (Di)

Sean los datos de terreno:

i: altura instrumental

m: altura del prisma

Z´: ángulo cenital observado

DG: distancia geométrica

i

m-i

m

DG

Di

Di

Dh

Z´

Z

Cz

i

m-i

m

DG

Di

Di

Dh

Z´

Z

Cz

Cálculo de la distancia inclinada (Di).

Di puede ser determinada por medio de la expresión proveniente de la aplicación del teorema

del coseno:

´cos*)(**2)( 22 ZimDGimDGDi −−−+=

Reducción de los ángulos cenitales a la línea.

Aunque esta reducción tiene mayor relevancia en la Nivelación Trigonométrica Recíproca y

Simultánea, se revisará en este tópico.

Z = Z´+cz

Z: cenital reducido a La línea


Z´: cenital medido en terreno

cz: reducción a la línea

teorema del seno:

Di

senZimcz

Zsen

Di

czsen

im ´)(

´)(

⋅−=→=−

Cálculo de la distancia horizontal (Dhz) Dhz se determina a partir de Di y el ángulo cenital Z reducido a la línea, o de DG y Z´ (de

terreno)

2- Reducción al horizonte.

La distancia electrónica (Di) es inclinada y la distancia horizontal (Dh) es:

Dh = Di * cosα ; α = ángulo vertical respecto al horizonte, o

Dh2 = Di2 - ∆H2 ; ∆H = desnivel

Siendo la corrección Ch = Dh – Di = (Di2 - ∆H2)1/2 – Di

3- Reducción al geoide (NMM).

Designando por H la altura ortométrica conocida (al geoide)

de la base, o del lado de la poligonal; por De el lado

proyectado en el elipsoide:

sea la corrección Ce = Dh – Dr

...)(2

2+−⋅=

R

HRH

DC hP

R: radio de la sección normal del acimut. Fórmula de Euler. En ciertos casos se

puede tomar un radio medio.

(notar semejanza con la corrección al NMM, deducida por otro camino)

MA

NAsen

RA

22 cos1 +=

En rigor la corrección debe hacerse al elipsoide (superficie donde serán realizados los

cálculos), pero recordar que H = h – N, y cuando N ó h eran desconocidos

terreno

NMMelipsoide

BA

hm

Rm

Dh

DrS

terreno

NMMelipsoide

BA

hm

Rm

Dh

DrS


(antiguamente), los geodestas reducían las bases al geoide, no obstante los cálculos

de la triangulación fueran realizadas en el elipsoide.

Reducción al elipsoide

Otra forma de realizar la reducción al elipsoide, es a través de un factor de escala

debido a la altura (h) sobre el elipsoide, denominado factor de escala debido a la

altura (Kh).

De la semejanza de triángulos:

RhR

DD

e

h += = constante para un mismo h = Kh

Kh relaciona (como factor de escala) Dh y De.

RNHR

RhR

Kh++=+=

Si no se conoce h (elipsoidal), se debe usar H (ortométrica) y N (ondulación geoidal).

En caso de desconocer N, que en Chile varía entre 10 y 30 metros, aproximadamente

respecto a WGS-84, se introduce un error, por ejemplo a N=20 m:

kmmm

N RNR

K 7.41.000004706378000

206378000 ==+=∆+=∆ ∆

Nótese que aquí se ha usado un radio aproximado R=6378 km, debido a que siendo

la variable del numerador (∆N ó h) de la expresión de Kh, muy pequeña respecto al

radio, la precisión de Kh casi no es afectada.

4- Reducción al arco elíptico.

Esta corrección es aditiva (contrario a las anteriores)

...)482

(22

23

+α−α⋅=α⋅=

α⋅=

RsenRD

RS

e

αR

S

De

αR

S

De


24)

482(2

33 α⋅+α⋅−α⋅=α−α−α⋅=−= RRRRRDeSCG

2

33

2424 R

DeRDeSCG =α⋅=−=

(Analizar si esta corrección es significativa)

De [km] corr [m] PPM

1 0.000

2 0.000

5 0.000

10 0.001

20 0.008

30 0.028

40 0.066

50 0.128


TRIÁNGULO GEODÉSICO.

El objetivo inmediato de la geodesia es determinar coordenadas de puntos en la

triangulación, trilateración y poligonales de precisión. Las coordenadas son

transportadas vértice a vértice. Significa que todos los lados deben ser conocidos y

surge el problema de resolver los triángulos geodésicos.

No se pueden utilizar los valores observados, pues las coordenadas dependerían del

camino utilizado. Debe haber solución “única”, para eso los valores deben ser

ajustados. Aquí no se abordará el ajuste por el Método de los Mínimos Cuadrados

(MMC).

El ajuste presupone una resolución preliminar de los triángulos geodésicos.

El modelo geométrico adoptado es el elipsoide, por lo tanto los triángulos geodésicos

son elipsóidicos y no esféricos. Pero como el elipsoide tiene poca excentricidad, se

puede asumir como esféricos, siempre que se les atribuya una esfera correspondiente

de radio igual a el radio medio R0 en función de la latitud del centro de gravedad del

triángulo, o latitud media. NMR ⋅=0

En un triángulo esférico, la suma de los ángulos interiores es mayor que 180º

(excluyendo errores de medición)

EXCESO ESFÉRICO

Es el valor que excede dos ángulos rectos.

ε = A+B+C-180º ó =A+B+C-200g

TEOREMA DE LEGENDRE. Se conservan los lados y varían los ángulos. A

BC

S

α

βγ

A’

B’ C’

S’

α'

β'γ’

Sean dos triángulos, esférico y plano, cuyos lados correspondientes son iguales en

longitud:

α = α’ ; β = β’ ; γ = γ’ Condiciones del teorema de Legendre:

1. Los dos triángulos tienen la misma área (S = S´)

2. Los ángulos del triángulo esférico son iguales a los correspondientes del triángulo

plano, más 1/3 del exceso esférico (ε)


(A-A´=ε/3)

En la práctica:

� Se miden triángulos elipsóidicos.

� Se suponen esféricos

� Se calcula el exceso esférico � se “transforman” en planos

� Se calculan los lados

� Se transportan coordenadas

"2

´

sup´:

'"

21

2

'

ρ⋅α⋅β=ε

=⋅α⋅β⋅=

=ε

MN

senA

MNRsenAS

esféricotriánguloerficieSR

S

'";"

21

: senAmMN

mesféricoexcesodefactor ⋅α⋅β⋅=ερ=

Cálculo provisorio del triángulo.

El cálculo definitivo de los triángulos es después del ajuste de los ángulos y este

presupone conocer el exceso esférico, que a su vez exige el cálculo preliminar de los

triángulos.

Recordando que cuando los ángulos de un triángulo tienen el mismo peso, son

corregidos en 1/3 del error de cierre (E). Por Legendre, los ángulos planos corregidos

se obtienen de los ángulos esféricos “observados”.

3180

3

3180

3

:3

1803

'

'

'

o

o

o

CBAC

ECC

CBAB

EBB

cierredeerrorECBA

AE

AA

−++−=+ε−=

−++−=+ε−=

−++−=+ε−=

Resuelto el cálculo provisorio (ángulos A´,B´ y C´), se determina el exceso esférico

(ε), posteriormente se ajustan los triángulos y finalmente se transportan las

coordenadas.

Reducción de valores observados.


Obviamente los valores brutos no pueden ser considerados en los cálculos

geodésicos. Ellos vienen con errores de medición debido al observador, al equipo y a

los efectos ambientales. Después de la eliminación de los errores sistemáticos, las

observaciones son ajustadas.

Como las observaciones son realizadas en la superficie física de la Tierra y los

cálculos son en el elipsoide, ellas deben ser reducidas.

1 Ángulos horizontales.

1.1 reducción geométrica: efecto de la altura de la mira y ángulo sección normal

- geodésica

1.2 reducción física: medidas sobre la vertical y cálculos en el elipsoide:

corrección del desvío de la vertical

2 distancias.

2.1 Reducciones geométricas: al horizonte; al elipsoide; al arco

2.2 Ángulos verticales. Se verá en nivelación trigonométrica.

MÉTODO DE LOS ADITAMENTOS (O AGREGACIONES). Se mantienen fijos los

ángulos y se modifican los lados

Permite resolver triángulos geodésicos como triángulos planos

Del triángulo plano: ''

βα=

senBsenA

2

3

6'

R

α−α=α 2

3

6'

R

β−β=β 2

3

6'

R

χ−γ=γ

aditamentos que convierte el triángulo esférico en plano

Este procedimiento es poco usado, pero tiene la ventaja que de una serie de

triángulos solo el primer lado es convertido a plano; de allí en adelante se resuelven

todos como planos.


TRANSPORTE DE COORDENADAS

N

NA12

S12A21

1

2

43

A23

S23

α

β

Problema directo de la geodesia.

Dadas las coordenadas de un punto P1 en el elipsoide, la distancia y acimut a un

punto P2, determinar las coordenadas de P2.

(φ1, λ1, S1-2, A1-2) calcular (φ2, λ2, A21)

φ2 = φ1 + ∆φ ; λ2 = λ1 + ∆λ ; A21 = A12 + ∆A + 180º

Este es el objetivo inmediato de la geodesia (transporte de coordenadas).

Problema inverso de la geodesia.

Dadas las coordenadas de dos puntos P1 y P2 en el elipsoide, determinar la distancia

y los azimutes entre P1 y P2.

Z

X

A

dS

N cosφdλ

N cosφ dλ

M dφ


(φ1, λ1, φ2, λ2) calcular (S1-2, A1-2, A2-1)

Se pueden considerar dos hipótesis:

� Distancias pequeñas < 50km, fórmulas son equivalentes en precisión

� Distancias grandes > 50km, fórmulas pierden precisión respecto a la distancia y

deben ser tratados con más cuidado.

senAN

tgdsdA

dssenAdN

dsAdM

φ=

⋅=λ⋅φ⋅⋅=φ⋅

cos

cos

desarrollando en serie:

dsd

sendsd

dsdsendA λφ−λ=λφ−=γ

FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA DIRECTO)

Las fórmulas derivadas por el geodesta

francés Puissant son las más utilizadas en

líneas hasta 80km [Rapp].

Latitud

Se utiliza la esfera de Jacobi en el teorema

de Dalby para el transporte de latitud. La

esfera auxiliar es tangente al elipsoide en el

1er vértice.

P1 es el vértice conocido y B2 es el vértice a

determinar.

PP1 y PP2 son los meridianos geodésicos;

P’P1 y P’P2 son los respectivos esféricos.

Elipsoide y esfera tienen en común el

paralelo (φ) de P1, su radio coincide con la

Gran Normal (N’) en ese punto, su centro es

en (o); significa que en el vértice P1 las

P

P’

P1

N

φφ

Ecuador elipsoide

Ecuador esfera

elipso

ide

esfe

ra

A12

90-φ 1’

90-φ

2’

s

H

P2 φ2

φ1

P

P’

P1

N

φφ

Ecuador elipsoide

Ecuador esfera

elipso

ide

esfe

ra

A12

90-φ 1’

90-φ

2’

s

H

P2 φ2

φ1


latitudes esférica y geodésica son iguales. El acimut y la distancia son iguales en la

esfera y en el elipsoide.

Fórmula de los 4 elementos aplicado al lado P’P1 del triángulo esférico y el valor

angular (σ) del arco P1P2 , o sea σ = s/N

121

11

12 coscoscos ANs

senNs

sensen ⋅⋅φ+⋅φ=φ

121

11

11 coscoscos)'( ANs

senNs

sensen ⋅⋅φ+⋅φ=φ∆+φ

6'

cos62

cos'3

1231

3

122

121

2

121

φ∆+⋅−⋅φ⋅−⋅=φ∆ AN

sAsentg

N

sA

Ns

Una mejor aproximación en la iteración es:

122

121

2

121 2

cos' AsentgN

sA

Ns ⋅φ⋅−⋅=φ∆

...)31(cos62

cos' 12

122

1231

3

122

121

2

121

+φ+⋅⋅⋅−⋅φ⋅−⋅=φ∆ tgAsenAN

sAsentg

N

sA

Ns

Hasta ahora se trabajó en una esfera de radio N y debe cambiar ∆φ’ (medido en la

esfera de radio N1) por ∆φ a lo largo del meridiano. Para eso se asume que N1 ∆φ’ en

la esfera es igual a la distancia correspondiente en el elipsoide. Permitiendo que Mm

sea el radio meridiano de curvatura en la latitud media.

mn M

NMN ⋅φ∆=φ∆⇒φ∆⋅=φ∆⋅ ''

δφ: diferencia aproximada en latitud entre P1 y P2

2

1222

1222

12 )(cos δφ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=φ∆ DAsenshEAsensCAsB

Con:

1

122

1

12

122

112

11

1

1

12

12122

211

3

1122

11

2

121

cos

6

31

)1(2

cos32

1

)31(cos62

cos

MAs

hN

tgE

sene

seneD

NMtg

CM

B

tgAAsenNM

stgAsen

NMs

AMs

⋅=

φ+=

φ⋅−φ⋅φ⋅

=φ

==

φ+⋅⋅⋅−φ⋅⋅−⋅=δφ


φ∆+φ=φ 12

Esta serie es rápidamente convergente. Los términos C y D son negativos en el

hemisferio sur. Antiguamente (sin computadores) los cálculos eran realizados con

tablas de logaritmos de B, C, D, y E.

Longitud.

Analogía de los senos al triángulo elipsóidico, supuesto esférico P1P2P’ (de radio N)

con φ2 conocido.

21222

12

22

12

2

seccoscos

φ⋅⋅=λ∆⇒φ

⋅=λ∆⇒φ

=λ∆senA

Ns

sensensenA

Ns

sensensenA

Ns

sen

sen

Desarrollado en serie:

)]cos

1(6

1[cos 2

212

2

22

2

2

12

2 φ−⋅−⋅

φ⋅=λ∆ Asen

N

ssenANs

Contra acimut

Usando las analogías de Napier:

A

B C

bc

Acb

cbCBtg

21

2121

21 cot

)(cos

)(cos)( ⋅

+

−=+

B = A12 ; b = 90º-φ2

C = 360º-A21 ; c = 90º-φ1

A = ∆λ

A21 = A12 + ∆A + 180º

∆A : convergencia meridiana

))(cos)cos(

(12)cos(

213

3

21

3

21 φ∆

φ−

φ∆φ⋅λ∆+

φ∆φ⋅λ∆

=∆ mmm sensensenA

Resumen

� Calcular M y N

� Calcular ∆φ’ aproximado


� Calcular ∆φ y φ2

� Calcular N2

� Calcular ∆λ y λ2

� Calcular ∆Α y A21

FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA INVERSO)

(φ1, λ1, φ2, λ2) calcular (S1-2, A1-2, A2-1)

usando la ecuación directa de la longitud de Puissant.

X

AsenN

s

NsenAs =

φ⋅−⋅−

φ⋅λ∆⋅=⋅

)]sec1(6

1[

cos

22

122

22

222

12 (1)

])([1

cos

])([1

cos

22212

212

2212

2212

δφ⋅+⋅⋅−⋅+φ∆⋅=⋅

δφ⋅+⋅⋅−⋅⋅+φ∆⋅=⋅

DXhEXCB

As

DAsenshEAsensCB

As (2)

12

1212 cos As

senAstgA

⋅⋅

= (3)

Estas fórmulas son iterativas, acimut (A12) y distancia (s) están presentes en las

ecuaciones.

� Calcular N1 , N2 y M1

� Usando solo el denominador de (1) calcular (s*senA12), reemplazar en (2) y

calcular (s*cosA12)

� Calcular (tgA12) con (3), resulta A12 aproximado

� Usando (1) o (2) calcular “s”

� Realizar iteraciones.


COORDENADAS CARTESIANAS.

Comenzaron a tener uso más amplio con la geodesia satelital y los sistemas de

referencia globales.

Los cálculos 3-dimensionales se facilitan, pero tiene el inconveniente que es no es

apto a la cartografía.

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

O

Z1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

O

Z1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

φ

φ

N

x=(N+h)cosφ

z=(N+h)senφ

h

N´

φ

φ

N

x=(N+h)cosφ

z=(N+h)senφ

h

N´


Relación entre coordenadas geodésicas y cartesianas.

φ⋅+−⋅=

λ⋅φ⋅+=λ⋅φ⋅+=

senheNZ

senhNY

hNX

))1((

cos)(

coscos)(

2

)1('

cos

cos)(

2

22

eNN

sendY

dX

YXhNd

−⋅=

λ⋅=λ⋅=

+=φ+=

N: Gran Normal

N’: Pequeña Normal

Fórmulas directas de Bowring.

Ncos

dh

]X

Yarctan[λ

]ψcosead

ψsene'bZarctan[

1

1

32

321

−φ

=

=

⋅⋅−

⋅⋅+=φ

]dbZa

arctan[ψ

)Y(Xd

:auxiliaresvaloresb

bae':adexentricid2

22

2

222a

⋅⋅=

+=

−=

SISTEMAS DE REFERENCIA CONVENCIONAL

Sistema de Referencia Celeste Convencional (CCRS): Eje Xc apunta al equinoccio

vernal medio de las 12h del 1º de enero de 2000 (día Juliano 2451545,0 – J2000); eje

Zc apunta en la dirección del polo norte celeste medio de la misma época; eje Yc

completa el sistema dextrógiro.


Sistema de Referencia Terrestre Convencional (CTRS):

� Geocéntrico; centro de masa de la Tierra (Tierra y atmósfera) coincide con el

origen

� Fijo a la Tierra - ECEF

� Orientación dada por el BIH (Bureau International de L’Heure) en la época 1984,0

� Sin rotación

Eje Z en la dirección del polo terrestre convencional (CTP); eje X en la dirección del

meridiano medio de Greenwich . Se recomienda usar el elipsoide GRS80. El CTRS

es definido como un ITRF (International Terrestrial Reference Frame) el cual es

mantenido por el IERS (International Earth Rotation Service)

La transformación entre CCRS y CTRS se efectúa usando rotaciones que consideran

precesión, nutación rotación y orientación de la Tierra (incluyendo el movimiento del

polo)

Precesión: movimiento secular cónico del eje de rotación respecto a la eclíptica

Nutación: movimiento del eje de rotación respecto del eje de la figura; es parte del

movimiento del polo

ITRS (International Terrestrial Reference System), es la idealización de un sistema

CTRS definido por el IERS.

ITRF (International Terrestrial Reference Frame), es el Marco de Referencia Terrestre

Internacional del IERS - International Earth Rotation Service (Servicio Internacional de

la Rotación Terrestre) es un referencial geocéntrico global de orden científico,

tetradimensional

SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas. Sistema ITRF y

elipsoide GRS80 (del WGS84). Materializado por 58 estaciones en ITRF 1995,4. En

la prática identico al WGS84. En Chile 8 estaciones SIRGAS.

SIRGAS2000, materialización en el año 2000 de SIRGAS, referencia ITRF2000, es el

nuevo Sistema Geodésico en Chile.

(tarea: investigar el sistema ITRF)

SISTEMAS DE REFERENCIA.

Sistema Geodésico: adopta un elipsoide de referencia fijado espacialmente respecto

al cuerpo terrestre.

Los sistemas de referencia continentales o nacionales no son geocéntricos y a veces

no paralelos al CTS.


Un sistema de referencia puede ser :

� DEFINIDO: sistema abstracto

- IDEAL: para no ser implementado

- CONVENCIONAL: asociado a la implementación (constantes y modelos

físicos), ejemplo es el ITRF

� REALIZADO: asume características físicas. Un sistema realizado es una Red de

Referencia.

La realización no siempre corresponde a la definición. La realización depende de las

técnicas utilizadas. Ejemplo, SAD-69 es definido de forma única y realizado de

formas diferentes.

Se puede definir un sistema local pero al realizarlo se introducen errores. Al

relacionar estos pueden aparecer rotaciones producto de las deformaciones naturales

de la realización.

CATEG REDES ORDEN ORDEN “CLÁSICO”

PRECISIÓN PPM

PRECISIÓN 1/X

GEODINÁMICA ITRF - SIRGAS AA - 0,01 100.000.000

REF NAC PRIMARIA DEFORMAC

A - 0,1 10.000.000

REDES LOCALES INGENIERÍA

B - 1 1.000.000

CONTROL MAPEO

C 1er orden 10 100.000

? D 2o orden 20 50.000

RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE SISTEMAS GEODÉSICOS.

La transformación de sistemas se puede realizar de varias formas.

� Parámetros geocéntricos

- 3 parámetros: solo translación (sistemas paralelos)

- 6 parámetros: translación (3) y rotación (3)

- 7 parámetros: translación, rotación y escala

- n parámetros: distorsiones


� Modelos diferenciales: ej. Rapp, Veis, Molodensky, simplificadas de Molodensky,

Vincenty.

� Modelos Cartesianos (o matriciales): más fáciles de “comprender”

Ángulos de Euler.

X1

Y1

Z1ω

ω

ωX2

Y2

X2

Y2

Z1

ε

ε

εZ2

Y3

X2

Y3

Z2

ψ

ψ

ψ

Z3

X3 Haciendo rotar el eje Z en ω: X`= d+a Y´= -c+b a = Y senω b = Y cosω c = X senω d = X cosω X´= X cosω + Y senω Y´= -X senω + Y cosω

Y

X

sen

sen

Y

X.

cos

cos

´

´

ωω−ωω

= ≡

Z

Y

X

sen

sen

Z

Y

X

.

100

0cos

0cos

´

´

´

ωω−ωω

=

100

0cos

0cos

)(3 ωω−ωω

=ω sen

sen

R

Haciendo rotar el eje Y en ε: Z`= h+e X´= -g+f e = X senε f = X cosε g = Z senε h = Z cosε

ωωωω

Y

ωωωωXZ

X´

Y´

X

Y

ωωωω

ωωωω

X´Y´

X´

adc

b ωωωω

Y

ωωωωXZ

X´

Y´

X

Y

ωωωω

ωωωω

X´Y´

X´

adc

b

εεεε

X

εεεεZY

Z´

X´

Z

X

εεεε

εεεε

Z´X´

Z´

e

hg

f εεεε

X

εεεεZY

Z´

X´

Z

X

εεεε

εεεε

Z´X´

Z´

e

hg

f


X´= X cosε - Z senε Z´= X senε +Z cosε

Z

X

sen

sen

Z

X.

cos

cos

´

´

εεε−ε

= ≡

Z

Y

X

sen

sen

Z

Y

X

.

cos0

010

0cos

´

´

´

εε

ε−ε=

εε

ε−ε=ε

cos0

010

0cos

)(2

sen

sen

R

⋅ω⋅ε⋅ψ=

⋅ψ=

⋅ω⋅ε=

⋅ε=

⋅ω=

Z

Y

X

RRR

Z

Y

X

R

Z

Y

X

Z

Y

X

RR

Z

Y

X

R

Z

Y

X

Z

Y

X

R

Z

Y

X

)()()()(

)()()(

)(

312

2

2

2

2

3

3

3

31

1

1

1

1

2

2

2

3

1

1

1

ψψ

ψ−ψ=ψ

εε−εε=ε

ωω−ωω

=ωcos0

010

0cos

)(

cos0

cos0

001

)(

100

0cos

0cos

)( 213

sen

sen

R

sen

senRsen

sen

R

ψ⋅εψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωεε⋅ωε⋅ω−

ψ⋅ε−ψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ω=ψ⋅ε⋅ω

coscoscoscoscoscos

coscoscos

coscoscoscoscos

)(2)(1)(3sensensensensensen

sensen

sensensensensensensen

RRR

considerando que las rotaciones son pequeñas:

sen(α ) = α ; cos(α )= 1 ; sen(α) sen( α) = 0

ε−ψεω−ψ−ω

=1

1

1

E

−++−−+

=1

1

1

RxRy

RxRz

RyRz

E


ε−ψεω−ψ−ω

⋅+

=

1

1

1

3

3

3

1

1

1

Z

Y

X

k

TZ

TY

TX

Z

Y

X

Generalizando:

Lky

Z

Y

X

Z

Y

X

∆+=

=

1

3

3

3

LZYXZZZ

LYZXYYY

LXZYXXX

∆⋅+⋅ε−⋅ψ++∆=∆⋅+⋅ε+⋅ω−+∆=∆⋅+⋅ψ−⋅ω++∆=

Este corresponde al modelo completo de 7 parámetros:

� 3 traslaciones de origen (TX, TY, TZ)

� 3 rotaciones (ω, ε, ψ)

� escala (k)

Los sistemas geodésicos son (generalmente) definidos y realizados (casi) paralelos al

los sistemas convencionales; se utilizan mediciones modernas que no introducen

escala. Se eliminan las rotaciones y escala.

+

=

1

1

1

3

3

3

Z

Y

X

TZ

TY

TX

Z

Y

X

La estimación de parámetros se realiza mediante técnica de Mínimos Cuadrados,

usando como datos las coordenadas de varios puntos con coordenadas conocidas en

ambos sistemas.

SISTEMAS GLOBALES DE REFERENCIA.

El posicionamiento con GPS, así como su homólogo ruso GLONASS (GLobal

NAvigation Satellite System), requiere sistemas de referencia bien definidos y

consistentes, globales y geocéntricos, esto implica que consideran todo el globo

terrestre y tienen su origen en el centro de masa de la Tierra.


Sistema ITRF.

El Sistema de Referencia Terrestre Internacional – ITRF (International Terrestrial

Reference Frame), materializa un sistema global de carácter científico establecido por

el Servicio Internacional de Rotación Terrestre - IERS (International Earth Rotation

Service) y está materializado por redes geodésicas continentales implantadas a

través de técnicas geodésicas espaciales modernas.

Debido a la precisión alcanzada en la implantación y a los movimientos tectónicos

sufridos en la corteza terrestre, las coordenadas asignadas a las estaciones deben

ser reducidas a una época de referencia común t0. Significa esto la puesta en

práctica de la geodesia global 4D (tetra-dimensional), donde a las coordenadas

geocéntricas 3D les son asignadas sus variaciones o velocidades, o sea, las

coordenadas pasan a tener validez respecto a una determinada época.

SISTEMA WGS-84.

El Sistema Geodésico Mundial 1984 – WGS-84 (WorldGeodetic System 1984), es el

sistema de referencia para el GPS y compatible con un ITRF básicamente bajo los

siguientes aspectos:

� Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo

océanos y atmósfera;

� Orientación:

- eje Z en la dirección del Polo de Referencia IERS;

- eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano ecuatorial;

- eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido mano derecha).

Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también de WGS-84. Este

elipsoide posee los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 – GRS-

80.

Refinamientos del WGS-84 han llevado a la realización del denominado WGS-84

(G730), WGS-84 (G873) y WGS-84 (G1150). El último WGS-84 es compatible con

ITRF2000

Los parámetros del WG-S84 son: Semieje mayor: a = 6 378 137m Achatamiento: f =1 / 298,257 223 563 Velocidad angular de la Tierra: ω = 7 292 115 *10-11 rad/s Constante gravitacional: µ = 3 986 004,418 *108 m3/s2


SISTEMA SIRGAS.

La comunidad geodésica de América del Sur ha desarrollado un proyecto, aún en

ejecución, denominado SIRGAS (SIstema de Referencia Geocéntrico para las

Américas), con fines de adoptar, para el continente, una red de referencia de precisión

compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, principalmente GPS.

SIRGAS adopta como sistema de referencia el ITRF y elipsoide del WGS-84, que en

la práctica es idéntico al WGS-84. El órgano representativo de Chile ante el Proyecto

SIRGAS, es el Instituto Geográfico Militar – IGM, responsable por la Red Geodésica

Nacional - RGN.

La materialización de SIRGAS se realizó en dos etapas, mayo de 1995 y marzo 2000.

La adopción de SIRGAS por parte de varios países sudamericanos como referencia

para los sistemas geodésicos nacionales, refleja la tendencia global de compatibilizar

éstos a las tecnologías modernas y Chile en el futuro no debe estar fuera de ese

contexto.

Chile cuenta oficialmente con 269 estaciones materializadas en SIRGAS2000.

(tarea: investigar SIRGAS)

SISTEMAS PSAD-56 Y SAD-69.

En las décadas de los años cincuenta y sesenta, para fines geodésicos y

cartográficos fueron definidos los sistemas de referencia sudamericanos Datum

Provisorio Sudamericano 1956 – PSAD-56, con su vértice de origen en La Canoa,

Venezuela y Datum Sudamericano 1969 – SAD-69, con origen en Chua, Brasil.

En Chile, el Instituto Geográfico Militar (IGM) implementó el PSAD-56 como sistema

de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud

43º 30‘ Sur, lo que coincide aproximadamente con el límite entre las regiones X y XI.

En el sur de Chile se usa el SAD-69 como referencia cartográfica, como también el

datum Hito XVIII en el extremo sur de la XII Región. La cartografía sistemática escala

1/50 000 editada por el IGM es referida a los datums PSAD-56, SAD-69 e Hito XVIII,

en cada región correspondiente. Las cartas escala 1/25 000 son referidas al SAD-69.


Datum Elipsoide Semi-eje mayor (a) Achatamiento (1/f) PSAD-56 Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 SAD-69 SAD-69 (UGGI-67) 6 378 160m 298,25

Hito XVIII Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 WGS-84 GRS-80 6 378 137m 298,257223563

Parámetros de Transformación entre Sistemas.

La transformación de coordenadas respecto a diferentes sistemas es de fundamental

relevancia al compatibilizar sistemas de referencia, especialmente en posicionamiento

por GPS, donde esta fase de cálculo se realiza de forma automática por los

programas que acompañan a los equipos y no siempre es clara la metodología ni los

valores utilizados, llevando en algunos casos, al usuario a realizar una transformación

poco rigurosa o incorrecta.

La figura ejemplifica la relación entre el datum GPS, WGS-84 y el datum SAD-69. Por

definición, ellos son considerados paralelos, habiendo en este caso solo translación

tridimensional entre sus orígenes, aunque en su materialización puedan existir

deformaciones que produzcan rotaciones. Por ese motivo, el trío de valores

correspondientes a tal translación, se denominan “parámetros de transformación” –

PT entre datums, a saber ∆X, ∆Y y ∆Z, los que deben ser adicionados (considerando

su signo) a las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) del punto a ser transformado.

XWGS-84

ZWGS-84

YWGS-84

XSAD-69

ZSAD-69

YSAD-69

TX

TZ

TY

Entre los diversos enfoques para la transformación de coordenadas, las

formas más usadas de aplicar los PT, son: las Ecuaciones Diferenciales de


Molodensky y los Modelos Cartesianos, aunque también existe el modelo de

“Regresión Múltiple”, basados en desarrollo polinomial. A continuación se muestran

los dos primeros modelos.

Ecuaciones Diferenciales Simplificadas de Molodensky.

Estas ecuaciones se usaron en el pasado, son de mediana precisión (decímetros)

Este modelo posee la particularidad de transformar coordenadas, del primer datum al

segundo, en un solo modelo de ecuaciones, donde las coordenadas transformadas al

2o datum son dadas por: φ2 = φ1 + ∆φ , λ2 = λ1 + ∆λ y h2 = h1 + ∆h

∆asen∆a)f∆f(asenTZsenλcosTYcosλcosTX∆h

]cosλTYsenλTX[cosN1

∆λ

]cosTZsenλsenTYcosλsenTXsen2∆a)f∆f[(aM1

∆

12

1111111

1111

111111111

−φ⋅⋅+⋅+φ⋅+⋅φ⋅+⋅φ⋅=

⋅+⋅−φ⋅

=

φ⋅+⋅φ⋅−⋅φ⋅−φ⋅⋅+⋅=φ

∆φ = ∆φ ρ ∆λ = ∆λ ρ

Con: 22

3

122

1

211

1 ff2e;

)sene(1

)e(1aM −⋅=

φ⋅−

−⋅=

a1 , f1 : parámetros del primer elipsoide

a2 , f2 : parámetros del segundo elipsoide

∆a = a2 – a1 , ∆f = f2 – f1

TX, TY, TZ : parámetros de translación entre los datums

Modelo Cartesiano.

Este modelo es exacto, se recomienda su uso.

La aplicación de las ecuaciones trigonométricas de transformación de coordenadas

geodésicas a cartesianas, y viceversa, comenzaron a emplearse preferentemente con

el advenimiento de las computadoras y aunque siendo este método de mayor número

fases analíticas, es de más fácil visualización en cuanto a su concepto.


(φ, λ, h)2

(φ, λ, h)1 (X, Y, Z)1

Sist. Geodésico 1

(X, Y, Z)2

Sist. Geodésico 2

Sist. Geodésico 1

Sist. Geodésico 2MOLODENSKII CARTESIANO

Este se basa en la conversión a coordenadas cartesianas y aplicación por separado

de los PT, de acuerdo a las siguientes etapas:

� Convertir las coordenadas geodésicas en el primer sistema a coordenadas

cartesianas en el mismo sistema: (φ,λ,h)1 � (X,Y,Z)

� Aplicar los PT a las coordenadas cartesianas, trasladando el origen del sistema al

segundo sistema: (X,Y,Z)1 + (TX,TY,TZ) = (X,Y,Z)2

� Convertir las coordenadas cartesianas del segundo sistema a coordenadas

geodésicas: (X,Y,Z)2 � (φ,λ,h)2

Valores de Parámetros de Transformación.

Considerando los sistemas geodésicos materializados según la región geográfica de

que se trate, los programas utilizados y la literatura técnica consultada indican

diferentes valores para los PT. Se muestra a título indicativo los valores de PT entre

diferentes datums, calculados y difundidos por la Agencia Nacional Estadounidense

de Imágenes y Mapas – NIMA, usados por muchos programas GPS y SIG:

TRANSFORMACIÓN VALORES [m] OBSERVACIÓN PSAD-56 � WGS-84

TX = -270 ± 25 TY = +183 ± 25 TZ = -390 ± 25

Válidos para Chile, al norte del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 1 estación

PSAD-56 � WGS-84

TX = -305 ± 20 TY = +243 ± 20 TZ = -442 ± 20

Válidos para Chile, al sur del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 3 estaciones

Hito XVIII � WGS-84

TX = +16 ± 25 TY = +196 ± 25 TZ = +93 ± 25

Válidos para Chile, al sur del paralelo 53ºS aproximadamente; calculados con 2 estaciones

SAD-69 � WGS-84

TX = -75 ± 15 TY = -1 ± 8 TZ = -44 ± 11

Válidos para todo Chile, calculados con 9 estaciones


Especial atención merecen las precisiones asociadas a los parámetros de translación.

Programas que acompañan los equipos GPS, pueden tener incorporados diversos

valores de PT, aplicados según diferentes modelos de transformación de sistemas,

incluyendo una opción para que el usuario imponga valores de PT y modelo de

transformación, según su propio criterio.

El año 2003, el IGM anunció oficialmente la adopción de SIRGAS2000 como nuevo

referencia geodésico para Chile. Junto a ello difundió las monografías de los 269

puntos que materializan el marco de referencia y los parámetros de transformación

con los sistemas clásicos, por zonas delimitadas en latitud, con precisión de ±5

metros:

SIRGAS A PSAD-56

17° - 26° 26° - 36° 36° - 49°

TX = 302 328 352

TY= -272 -340 -403

TZ = 360 329 287

SIRGAS A SAD-69

17° - 26° 26° - 36° 36° - 49° 49° AL SUR

TX= 59 64 72 79

TY = 11 0 -10 -13

TZ = 52 32 32 14

(tarea: investigar como se comporta la diferencia de traslación en las coordenadas

horizontales, en metros)


SISTEMA TOPOCÉNTRICO

Un sistema de coordenadas con origen en la superficie terrestre, con el eje “n”

paralelo al meridiano local, el eje “h” sobre la normal y “e” perpendicular a los

anteriores, forman un sistema dextrógiro.

λολολολο

h0Z

X

Y

n

e

h

φφφφοοοο

λολολολο

h0Z

X

Y

n

e

h

φφφφοοοο

Este sistema denominado por Leick, sistema geodésico local, es topocéntrico.

Como se nota existen dos rotaciones entre los sistemas (X,Y,Z) y (u,v,h):

en torno a X: R1 = (90º–φ)

en torno a Z: R3 = (90º+λ)

Expresado matricialmente:

ZoZ

YoY

XoX

RR

h

n

e

oo

−−−

⋅λ+⋅φ−= )90(3)90(1

)90cos()90(0

)90()90cos(0

001

)90(1

oo

ooo

sen

senR

φ−φ−−φ−φ−=φ−

100

0)90cos()90(

0)90()90cos(

)90(3 oo

oo

o sen

sen

R λ+λ+−λ+λ+

=λ+


resulta:

ZoZ

YoY

XoX

sensen

sensensen

sen

h

n

e

ooooo

ooooo

oo

−−−

⋅φλ⋅φλ⋅φφλ⋅φ−λ⋅φ−

λλ−=

coscoscos

coscos

0cos

Una alternativa, actualmente en uso, es la adopción de una proyección cartográfica

local, como el sistema Transersal de Mercator Local.

Este tópico se verá en detalles junto con los conceptos de proyección TM.


ALTIMETRÍA.

h = H + N

SUPERFICIETERRESTRE

GEOIDE

ELIPSOIDE

H

hN

P

La superficie de referencia altimétrica es el geoide, el cual está definido como la

superficie equipotencial (de igual valor de atracción gravitacional) que coincide con la

superficie de los océanos en reposo, extendida sobre los continentes, su

denominación más común es Nivel Medio del Mar – NMM. La altura sobre el geoide

(o sobre el NMM) se denomina “altura ortométrica”, también referida como altitud o

elevación.

La “altura ortométrica” se definie como la distancia vertical desde el geoide a un punto

en la superficie de la Tierra. La altura elipsóidica se mide por la normal al punto en la

superficie terrestre, como muestra la figura. Para fines prácticos ellas se consideran

colineales, aunque rigurosamente no lo son. La relación entre la superficie elipsoidal

y la superficie del geoide está dada por la “ondulación geoidal” , designada por “N”,

ella representa en un punto la altura del geoide respecto al elipsoide. El conocimiento

de este valor es necesario para la reducción de alturas elipsóidicas a alturas sobre el

NMM, de acuerdo a la expresión: h = H + N. La altura elipsóidica sólo interesa en

posicionamiento con GPS.

El tratamiento matemático del geoide es un problema complejo que se resuelve

puntualmente y el usuario debe recurrir a modelos geoidales. Los modelos existentes

están presentes en algunos programas computacionales de procesamiento GPS o se

puede recurrir externamente a modelos continentales o aún, modelos globales

modernos como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996), para obtener valores de

ondulación. El EGM96 es de uso público y está a disposición un programa de

extracción automática, con su respectivo banco de datos, en el “web site” de la NASA

(http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html o

http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html). Aún así, los usuarios deben estar

atentos a nuevos modelos globales, continentales o regionales mejor adaptados a

nuestro país.

(tarea: investigar EGM96)


René Zepeda

Se obtienen desniveles a partir de medición de ángulos cenitales (o verticales), a

través de solución de triángulos planos.

Antiguamente fue denominado también como nivelación “geodésica”, porque era

ejecutado en las triangulaciones, al contrario de la “geométrica” que se transporta a lo

largo de las vías camineras.

Con los distanciómetros electrónicos (EDM) la nivelación trigonométrica tuvo un papel

más importante en las operaciones de apoyo al mapeo.

hmhitgDhH

hmhiZDhH

hmhiDiH

hmhiZDiH

−+α⋅=∆−+⋅=∆

−+α⋅=∆−+⋅=∆

cot

sen

cos

CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD.

Debido al efecto de la curvatura terrestre.

Se adopta el modelo esférico. Sean dos

puntos A y B en la horizontal de A

encuentra al B’, “e” representa el efecto

esfericidad. Es siempre positivo (se

suma al desnivel).

ω=∆=≈

⋅==∆

cos'

cos:

11

1

BBBBBB

ZDBBtobservadodesnivel A

Ángulo central ω:

HR

D

R

S

+==ω

S

S’

R

A

B

∆H

∆

e

ω

ω

B’

ZA

B0

∆ t

B1

desnivel

observado

corrección

esfericidad

S

S’

R

A

B

∆H

∆

e

ω

ω

B’

ZA

B0

∆ t

B1

desnivel

observado

corrección

esfericidad

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

i

m

Zα

Di

Dh

Di´

∆Hi

m

Zα

Di

Dh

Di´

i

m

Zα

Di

Dh

Di´

∆H


Ejemplo, para S = 2.000 m el ángulo entre las dos normales:

ω =0º 01´ 04,7”

BB1=∆t=S cos ZA=1256,430m

BB´=∆= BB1/cosω=1256,455m; � BB1= BB´

Corrección de esfericidad (o curvatura): e = B0B’

Del triángulo O-A-B’: (R+e)2 = R2 +AB’2 pero; pero: S2 ≈ S’2 = AB´2

R2 + 2eR + e2 = R2 + S2

2eR = S2 R

Se

⋅=

2

2

Corrección por esfericidad

0255075100125150175200225250275300325350

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Distancia [m]Cor

recc

ión

[mm

] Corrección por esfericidad

0255075100125150175200225250275300325350

0255075100125150175200225250275300325350

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Distancia [m]Cor

recc

ión

[mm

]

REFRACCIÓN TERRESTRE.

El fenómeno refracción está presente en todas las

operaciones geodésicas (astronomía, EDM, geodesia

satelital, triangulación (lateral)). En las visadas de un

vértice a otro, la refracción terrestre “levanta” el punto,

obteniéndose elevaciones angulares aparentes más

grandes que la verdadera. La refracción depende de las

condiciones atmosféricas (temperatura, presión y

humedad relativa)

En condiciones de observaciones simultaneas la curvatura provocada por al

refracción puede ser representada por un arco circular de radio R´ mucho menor que

R

Del triángulo OAB´ : R´2+D2=(R´+r)2 � ´2

2

RD

r =

D (m) e (m) 100 0.0008 110 0.001 200 0.003 500 0.020 1000 0.078 2000 0.314 3000 0.706 5000 1.960

R

ρρρρρρρρ

r

r

ωωωω

R´

A

B

B´

O O

R

ρρρρρρρρ

r

r

ωωωω

R´

A

B

B´

O O


Como no es posible conocer R´ se introduce un factor K representado por:

´2

1RR

K ⋅= � ´

2RR

K = llamado coeficiente K de refracción

reescribiendo: K

RR

2´=

resulta: KR

Dr

2=

Adoptando las hipótesis simplificadoras de Biot y Bouger, se admite que:

Para una estación el ángulo de refracción ρ es proporcional a la distancia de la visada

(S), o sea, al ángulo central correspondiente (w), a veces también llamado (c).

definiendo la relación para el coeficiente m de refracción

ωρ=m � ρ = m·w

De la figura siguiente, en que ρ es el mismo en ambas estaciones (por ser

simultaneas):

en el punto A: ρ+Za+A=180º

en el punto B: ρ+Zb+B=180º

sumando: 2ρ+(Za+Zb)+A+B=360º

pero: A+B+w=180º

entonces: 2ρ+(Za+Zb)-w=180º

2ρ=180º+w-(Za+Zb) (para observaciones simultaneas)

tomando Zm como la media de los cenitales )(

21 ZbZaZm +=

2ρ=(180º+w)-2·Zm � ρ= 90º+(w/2)-Zm

pero como: ρ = m·w y w=S/R

resulta ρ = (m·S)/R

R2S

(90º-Zm) Zm-)2RS

(90º RS

m +=+=

21

)90(2

)90( +⋅−=⋅+⋅−=SR

ZmSR

RS

SR

Zmm oo


SR

Zmm o ⋅−=− )90()5,0( donde RS=ω

)90()5,0( oZmm −=ω⋅− fórmula para el cálculo de coeficiente de refracción

En algunas publicaciones se define K como

K = (0,5-m) (DEBE SER CALCULADO PARA UNA ZONA ESPECÍFICA)

Obviamente es necesario el conocimiento de K, este es un valor calculado por

regiones, varia entre ~0,07 y 0,17. En diversas publicaciones se asume un valor

medio de 0,08 y si R=6378km.

Las correcciones por curvatura y refracción se pueden aplicar juntas:

KR

Dr ⋅=

2 � )5,0(

2m

RD

r −⋅=

En algunos libros y publicaciones aparece también m como K

CORRECCIÓN CONJUNTA (CURVATURA Y REFRACCIÓN).

18,15][

42,0)5,0(2

22222 kmDR

DK

RD

KR

DR

Dre =⋅=−⋅=⋅−=−

Para observaciones simples:

)(cos rehshiZSH −+−+⋅=∆ S: distancia geodésica

Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh

donde Kh es la reducción al NMM Kh = (R+H)/R

o Dh = S + Rh donde Rh = ( S * H)/R

En razón que el coeficiente de refracción debe se determinado, o tabulado, para cada

región, cualquier corrección que incluya un modelo de refracción será aproximado,

especialmente en Chile, donde existen a lo largo del territorio, grandes diferencias de

temperatura y humedad.


OBSERVACIONES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS.

En los puntos A y B se miden los ángulos cenitales ZA y ZB ; sus alturas son HA y HB;

e y r son los efectos de esfericidad y refracción.

Sean: a = R + HA y

b = R + HB

donde a+b=2R + HA + HB

a-b = HA - HB = ∆H

los ángulos en A y B:

)(200ˆ

)(200ˆ

ρ+−=

ρ+−=

Bg

Ag

ZB

ZA

)ˆˆ(

)ˆˆ(

2121

BAtg

BAtg

baba

−+

=−+

Donde:

A+B = 200 - ω

A-B = ZB – ZA

Z: ángulo con refracción

ρ: ángulo de refracción r: efecto de refracción C: efecto de curvatura

R

ω

ZA

B

ZB

ρ ρ r

geoide

A

r

HA HB

B` A`

c c


Reemplazando: )(

)200(2

2121

ABBA

BA

ZZtg

tg

H

HHR

−

ω−=

∆++⋅

)200(

)()2(

21

21

ω−

−⋅++⋅=∆

tg

ZZtgHHRH

ABBA

)()(

)()22(2

2;

2)(:

)()100(cot)200(cot

)200(cot)()2(

21

21

2

2221

21

21

ABm

ABm

BAm

ABBA

ZZtgHRRS

H

ZZtgHRR

SH

HHH

RS

tgfiguralade

tggg

gZZtgHHRH

−⋅+=∆

−⋅+=∆

+==

=−=ω−

ω−−⋅++⋅=∆

ω

ωω

Luego:

)()1( 21

ABm ZZtg

RH

SH −⋅+⋅=∆

haciendo: )(

21

AB ZZZ −=∆ con Za y Zb cenitales corregidos a la línea

)()1(21

ABm ZZtg

R

HSH −⋅+⋅=∆

S: distancia geodésica

Nótese que KHR

HRR

Hm =+=+ )1( es la reducción de la distancia horizontal al NMM

(o al elipsoide si se considera h).

Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh

)(21

AB ZZtgDhH −⋅=∆

ZB y ZA corregidos a la línea

en algunos libros se agrupan algunas correcciones:


A = (1+H/R) corrección a la distancia al NMM

B = 1+(S/2R)tg∆Z corrección a la distancia por el desnivel entre estaciones

C = 1+S2/12R2 corrección a la distancia por curvatura

El término A es significativo y B es significativo de pendiendo de la distancia y

desnivel.

Por lo tanto otra forma de expresar el cálculo del desnivel por observaciones

recíprocas y simultaneas es:

CBAZtgSH ⋅⋅⋅∆⋅=∆ con la distancia geodésica, normalmente en

triangulación

ZtgDiH ∆⋅=∆ con la distancia inclinada, normalmente en poligonales

electrónicas

Esta proporciona el desnivel entre los dos puntos, sin intervenir la refracción ni la

esfericidad, pero requiere medidas recíprocas (ZA y ZB) y simultaneas (iguales

condiciones atmosféricas).


REDUCCIÓN DEL ÁNGULO AL TERRENO (A LA LÍNEA)

Es necesario considerar la altura del instrumento y del prisma.

cZZZZc −=−= ´´

ssenZim

cZsen

scsenim ⋅−=→=− )()(

como c es pequeño: Z´ = Z s

senZimc

´)( ⋅−=

si Z´ es próximo al horizonte: senZ´ ≈ 1 s

imc

)( −= (c en radianes)

CALIDAD DE LOS CENITALES

ZA + ZB – ω – 200g + refracción = error de la medición recíproca

RKD*=ρ

ZA + ZB – ω – 200g + 2*ρ = error de la medición recíproca

Si ZA y ZB tiene igual precisión (medidos con el mismo tipo de

equipo, equipo, operador y procedimiento), se puede suponer que el

error proviene de ambos cenitales en partes iguales, por lo tanto:

2

erroreZA =

Este error no se puede compensar en la medición recíproca, sirve para controlar la

calidad de la medición conjunta.

i

m-i

m

DG

Di

Di

Dh

Z´

Z

Cz

ZA

ZB

ω


EJEMPLO

OBS DIR OBS RECIP

DE: Astro Guallali Buenos Aires

A: Buenos Aires Astro Guallali

Zenital (gg mm ss) 86.45388 93.14407

hi 0.280 1.430

hj 2.500 0.280 1.150

H aprox 978 1280 302 1129.0

Di 5349.718 5349.718

Dh 5341.171 5341.14

gg 86 93 A 1.000177

mm 45 14 B 1.000024

ss 38.8 40.7 C 1.000000

Zenital (gg.ggg) 86.76077778 93.24463889

Zenital (rad) 1.514261234 1.627425958 0.200

Corr. Línea (c) (rad) 0.000414312 -0.00021462 0.007

Corr. Línea (c) (") 85.45801449 -44.26855423 0.000

Zenital Corregido (rad) 1.514675546 1.627211338 S 0.207

w(") angulo central 172.71

err + ang central (") (desn m) -112.02 -1.453

Corr Curvatura (m) 2.244 2.244

Corr Refracción (m) 0.359 0.359

Corr conjunta (curv/refr) 1.885

Desn topográfico c/(hi-hj) 300.066 -301.641 -1.575 -0.001

Desn topográfico c/c línea 300.073 -301.644 -1.572 0.005

Desn corr curv y refrac 301.957 -299.760 2.198 0.005

∆H recíproco 300.854 m


OBS DIR OBS RECIP OBS DIR OBS RECIP

DE: Astro Guallali Buenos Aires DE: CH-IX-9 CH-IX-10

A: Buenos Aires Astro Guallali A: CH-IX-10 CH-IX-9

Zenital (gg mm ss) 86.45388 93.14407 Zenital (gg mm ss) 83.26101 96.34496

hi 0.280 1.430 hi 1.575 1.607

hj 2.500 0.280 hj 1.480 1.510

H aprox 978 1280 H aprox 806.92 745

Di aprox 5349.72 5349.72 Di aprox 532.8 532.8

Dh 5341.17 5341.14 Dh 529.31 529.29

Zenital (gg.ggg) 86.76077778 93.24463889 Zenital (gg.ggg) 83.43613889 96.58044444

Zenital (rad) 1.514261234 1.627425958 Zenital (rad) 1.456235339 1.685646749

Corr. Línea (c) (rad) 0.000414312 -0.00021462 Corr. Línea (c) (rad) -0.000177135 -0.000180858

Corr. Línea (c) (") 85.45798254 -44.26853768 Corr. Línea (c) (") -36.53662085 -37.30456889

Zenital Corregido (rad) 1.514675546 1.627211339 Zenital Corregido (rad) 1.456058204 1.685465891

w(") angulo central 172.98 w(") angulo central 17.23

err + ang central (") (desn m) -112.29 -1.456 err + ang central (") (desn m) -31.37 -0.041

Corr Curvatura (m) 2.244 2.244 Corr Curvatura (m) 0.022 0.022

Corr Refracción (m) 0.359 0.359 Corr Refracción (m) 0.004 0.004

Corr conjunta (curv/refr) 1.885 Corr conjunta (curv/refr) 0.019

Desn topográfico c/(hi-hj) 300.066 -301.641 Desn topográfico c/(hi-hj) 61.000 -60.961

Desn topográfico c/c línea 300.073 -301.644 Desn topográfico c/c línea 60.998 -60.962

Desn corr curv y refrac 301.958 -299.760 Desn corr curv y refrac 61.017 -60.943

recíproco c/Di (A) 300.854 recíproco c/Di (A) 60.981

OBS DIR OBS RECIP OBS DIR OBS RECIP

DE: Astro Guallali CX-IX-9 DE: CH-IX-11 CH-IX-12

A: CX-IX-9 Astro Guallali A: CH-IX-12 CH-IX-11

Zenital (gg mm ss) 86.58159 93.00003 Zenital (gg mm ss) 88.32495 91.28091

hi 0.280 1.550 hi 1.470 1.640

hj 1.750 2.460 hj 2.480 2.450

H aprox 978 1121 H aprox 1843 1954

Di aprox 2739.4 2739.4 Di aprox 4343.1 4343.1

Dh 2735.57 2735.65 Dh 4341.70 4341.67

Zenital (gg.ggg) 86.97108333 93.00008333 Zenital (gg.ggg) 88.54708333 91.46919444

Zenital (rad) 1.517931758 1.623157659 Zenital (rad) 1.545438147 1.596438607

Corr. Línea (c) (rad) 0.000535864 0.000331734 Corr. Línea (c) (rad) 0.000232478 0.000186441

Corr. Línea (c) (") 110.5299263 68.42510102 Corr. Línea (c) (") 47.95203351 38.45630267

Zenital Corregido (rad) 1.518467622 1.623489393 Zenital Corregido (rad) 1.545670625 1.596625049

w(") angulo central 88.58 w(") angulo central 140.42

err + ang central (") (desn m) -13.42 -0.089 err + ang central (") (desn m) 4.59 0.048

Corr Curvatura (m) 0.588 0.588 Corr Curvatura (m) 1.479 1.479

Corr Refracción (m) 0.094 0.094 Corr Refracción (m) 0.237 0.237

Corr conjunta (curv/refr) 0.494 Corr conjunta (curv/refr) 1.243

Desn topográfico c/(hi-hj) 143.280 -144.283 Desn topográfico c/(hi-hj) 109.111 -112.165

Desn topográfico c/c línea 143.284 -144.281 Desn topográfico c/c línea 109.112 -112.164

Desn corr curv y refrac 143.778 -143.786 Desn corr curv y refrac 110.354 -110.922

recíproco c/Di (A) 143.780 recíproco c/Di (A) 110.638


NIVELACIÓN GEOMÉTRICA.

∑∑ −=∆ adelanteatrásABH

La nivelación geométrica es el método más preciso para la obtención de desniveles.

Las condiciones principales son:

� visadas horizontales (tangente al geop que pasa por el nivel)

� miras en la vertical

� graduaciones perfectamente calibradas.

Las líneas de nivelación deben ser en circuitos cerrados y se extienden a lo largo de

vías terrestres de comunicación. Debido a que las miras no son, generalmente, más

altas que 3m, dificulta la medición en zonas de alta pendiente. Las líneas son

niveladas y contra-niveladas, con visadas no superiores a 100m, recomendable

máximo 50m. Los puntos son materializados se llaman “referencias de nivel” y son

construidas con una placa metálica incrustada en bloque de concreto o clavada en

lugar estable.

La línea comprendida entre dos marcas de “referencia de nivel”, se llama “sección”,

con longitud media de 3km.

Errores que pueden ser evitados.

Debido a la curvatura terrestre, un trecho de 110m tiene una corrección (por

curvatura) de 1mm, es decir cada 110m se cometería un error de 1mm. Por esta y

otras razones, se debe instalar el instrumento en el punto medio del tramo medido.

Errores evitados al instalar en el punto medio del tramo:

� curvatura terrestre

� refracción, la influencia es la misma a las dos lecturas (trasera y delantera)

� colimación de eje.


D1d1A

B

l1

L1

D2d2A

B

L2l2

Error de colimación.

El eje óptico del nivel puede no encontrarse perfectamente horizontal, la lectura será

más efectada mientras más alejado de la mira. Si el instrumento es colocado

exactamente al medio de las miras, el desnivel no será sujeto al error. Para verificar

el instrumento se puede operar como indica la figura, a distancias desiguales de las

miras.

Sea “e” el error de lectura proporcional a la distancia.

∆H = L1 – e D1 – (l1 – e d1) en la posición (1)

∆H = l2 – e d2 – (L2 – e D2) en la posición (2)

L1 – e D1 – l1 + e d1 = l2 – e d2 – L2 + e D2

)(

)(

2121

2121

ddDD

llLLe

+−++−+

=

La corrección será: )(

)(

2121

2121

ddDD

LLllc

+−++−+

=

O de otra manera:

∑ ∑∑ ∑

−

−=

cercanasmásmirasciasdisalejadasmásmirasciasdis

alejadasmáslecturascercanasmáslecturasc

tantan

Las lecturas antes de entrar en las ecuaciones deben corregirse de la curvatura y

refracción o provenir de visadas equidistantes a la mira.


PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)

Algoritmos del Sistema de Proyección TM

Gerhardus Mercator, nombre latinizado de Gerhard Kramer (1462-1532) creó la

proyección cilíndrica entre 1511 y 1513 como ayuda a la navegación, situando el eje

de un cilindro coincidente con el eje del mundo. En 1559, Edward Wright desarrolló la

proyección matemáticamente. El inconveniente de la proyección es que las

superficies se deforman significativamente con el aumento de la latitud.

Johan Heirich Lambert (1782-1777) resolvió el problema de pérdida de escala y

resolvió colocar el cilindro perpendicular al eje del mundo (transversal) pero fue Carl

Friedrich Gauss (1777-1855) que la desarrolló matemáticamente a partir de 1822,

posteriormente L. Krugger, entre 1912 y 1919 publicó las fórmulas referentes al

elipsoide.

En Europa la proyección es conocida como Gauss-Krugger mientras que en otros

países se la denomina como Transversal de Mercator - TM.

Los meridianos y paralelos no son proyectadas como rectas, sino como curvas

complejas, excepto el ecuador y el meridiano central.

En 1947 Estados Unidos adoptó la TM estandarizada recibiendo el nombre de

Universal Transversal de Mercator – UTM, con constantes definidas y de uso entre las

latitudes 80ºN y 80ºS.

La proyección Transversal de Mercator es conforme, es decir mantiene en la

proyección la magnitud de los ángulos infinitesimales formados en el elipsoide, es

equivalente a decir que mantiene las formas infinitesimales.

La proyección se forma implantando un cilindro cuyo eje es transversal al eje terciario

del elipsoide adoptado (eje Z) y coincidente con el ecuador.


Elipsoide Meridiano Central

Huso UTM

Plano UTMElipsoide Meridiano

Central

Huso UTM

Plano UTM

01

1918

60

λ=0ºMeridiano

Origen

λ=180º

Este

Polo Sur

01

1918

60

λ=0ºMeridiano

Origen

λ=180º

Este

Polo Sur

Husos UTM


Se adoptaron husos de 6º de amplitud en longitud,

numerados desde 1 a 60, partiendo del anti meridiano

origen, en sentido Este. A Chile continental le

corresponden los Husos 18 y 19.

Las demás constantes son:

Factor de Escala en el Meridiano Central (MC) =

0,9996

Norte Falso (NF) para el hemisferio sur = 10.000 km

Este Falso (EF) = 500 km.

El origen de las coordenadas ortogonales formada

por la cuadrícula es en la intersección de las

proyecciones del ecuador y el meridiano central.

-78 -72 -66-16

-20

-24

-28

-32

-36

-40

-44

-48

-52

-56

Huso 18

-69-75

Huso 19

-78 -72 -66-16

-20

-24

-28

-32

-36

-40

-44

-48

-52

-56

Huso 18

-69-75

Huso 19


HUSO UTM PARA EL HEMISFERIO SUR

ESTE

NORTE

NF = 10.000 km EF = 500 km Meridianos y Paralelos

ProyectadosCuadrícula

UTM

Origen: Meridiano

Central / Ecuador

NV NC NC NV

ESTE

NORTE

NF = 10.000 km EF = 500 km Meridianos y Paralelos

ProyectadosCuadrícula

UTM

Origen: Meridiano

Central / Ecuador

NV NCNV NC NC NVNC NV

Ko=0,9996

K=1 K=1

Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km

K>1K>1

Ko=0,9996

K=1 K=1

Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km

K>1K>1


ELEMENTOS DE LA PROYECCIÓN

ECUADOR

MC

ESTEEF= 500 km

NF=10.000 km

NVNC

O

E’1

N’1B

1

meridiano de P1

paralelo de P1

N

CM

polo

NVNC CM

2

φ1

φ2E’2

∆λ1

∆λ2

t 1-2

T1-2

t 2-1

T 2-1

N’2

N=NF+N´

E=EF+E´

t: azimut plano

T: azimut geodésico proyectado

α: ángulo observado

β: ángulo plano de cuadrícula

3

αβ

ECUADOR

MC

ESTEEF= 500 km

NF=10.000 km

NVNC

O

E’1

N’1B

1

meridiano de P1

paralelo de P1

N

CM

polo

NVNC CM

2

φ1

φ2E’2

∆λ1

∆λ2

t 1-2

T1-2

t 2-1

T 2-1

N’2

N=NF+N´

E=EF+E´

t: azimut plano

T: azimut geodésico proyectado

α: ángulo observado

β: ángulo plano de cuadrícula

3

αβ

Las fórmulas que se presentan a continuación provienen de un estudio realizado en la

Universidad de Sao Paulo, Brasil, y son NO iterativas en el cálculo de la latitud.

Las presentes fórmulas son diferentes a las expuestas en el Volumen 2 del Manual de

Carreteras, Edición 2001, las cuales son de más amplio conocimiento pero son

iterativas. Los resultados numéricos usando ambos conjuntos de fórmulas son

idénticos. El lector puede utilizar unas u otras, de acuerdo a su facilidad de uso.


ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM

Valores auxiliares

10

)e1(aF

8

)e1(aE

6

)e1(aD

4

)e1(aC

2

)e1(aB)e1(aA

222

22

o

2

−⋅⋅=ξ−⋅⋅=ε−⋅⋅=δ

−⋅⋅=γ−⋅⋅=βρ

−⋅⋅=α (1)

...e131072

639F

...e65536

3465e

16384

315E

...e131072

31185e

2048

315e

512

35D

...e16384

10395e

4096

2205e

256

105e

64

15C

...e65536

72765e

2048

2205e

512

525e

16

15e

4

3B

...e65536

43659e

16384

11025e

256

175e

64

45e

4

31A

1"sen

1 56424709635512062648,06

"3600*180

...082513779295,57180

10

108

1086

10864

108642

108642

o"

oo

o

+=

++=

+++=

++++=

+++++=

++++++=

==π

=ρ

=π

=ρ

(2)

2

222

2

222

2

222

b

ba'e

a

bae

a

baf

e1

e'e)f2(fe

−=−=

−=−

=−= (3)

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS PLANAS (ESTE Y NORTE)

N = NF + N’ (=10.000.000m + N’)

N (-) al sur del Ecuador

E = EF + E’ (=500.000m + E’)

E (+) al este del MC

E (-) al oeste del MC


( )( )222265

16

7201

422431

4241

21

221

0

t350720t5861"1sencossenN"3N

49t5"1sencossenN"2N

"1sencossenN"1N

)3N2N1NB(k'N

η−η+−⋅φφλ∆=

η+η+−⋅φφλ∆=

φφλ∆=

+++⋅=

(4)

( )( )2224255

15

1201

22331

361

1

0

t5814tt185"1sencosN"3E

t1"1sencosN"2E

"1sencosN"1E

)3E2E1E(k'E

η−η++−⋅φλ∆=

η+−⋅φλ∆=

φλ∆=++⋅=

(5)

con

φ=ηφ=

=φξ−φε+φδ−φγ+φβ−φα=

⋅λ−λ=λ∆

φ−

cos'etgt

N

10sen8sen6sen4sen2senB

3600)("

22 sene1

a1

o

0oo

(6)

φ latitud del punto considerado λ longitud del punto considerado λ0 longitud del MC del huso ∆λ diferencia en longitud entre el punto considerado y el MC del huso B arco de meridiano desde el ecuador, sobre el MC correspondiente a la latitud

del punto K0 factor de escala en el MC (0,9996 para UTM) NF constante N en el ecuador (10.000.000 para UTM en el hemisferio sur) EF constante E en el MC (500.000 para UTM) N’ distancia plana del punto al ecuador E’ distancia plana del punto al MC a, b, e, e’ constantes del elipsoide del sistema (datum) de referencia


TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS GEODÉSICAS (LATITUD Y LONGITUD)

60

61

41

21

21

21

21

41

211

40

41

21

41

41

21

21

21

211

4

20

21

211

2

1

k"1senN720

)t45t162107t45t9061(t'E

k"1senN24

)t93t66t35(t'E

k"1senN2

)1(t'E"c

c

η−η−η+++−

−η−η−η−η++

+η+

−=φ

φ+φ=φ

6

(*)(7)

501

51

21

21

21

41

21

5

301

31

21

21

3

011 k"1sencosN120

)t86t24t285('E

k"1sencosN6

)t21('E

k"1sencosN

'E"

φη+η+++

+φ

η++−

φ=λ∆

(*)(8)

(*) términos de correcciones de la latitud y longitud en segundos, primera

aproximación de φ1:

o0k

'N

ρα=φ (9)

φβ+β+β+β+β+=φ∆

φ∆+φ=φ

decorrección...TTTTTT 65

54

43

32

21

1 (10)

φ1 latitud del pié de la perpendicular del punto al MC; corresponde a la latitud de B.

φξ−φε+φδ−φγ+φβ−ρα= 10cos108cos86cos64cos42cos2L o (11)

Funciones auxiliares: ( )( )( )( )( )φδ+φγ−φβ−=α

φδ−φγ+φβ−=αφδ−φγ+φβ−=αφδ+φγ−φβ−=α

φδ+φγ−φβ−=α

6sen4sen2sen

6cos4cos2cos

6sen544sen2sen

6cos364cos2cos

6sen184sen82sen2

5324

45256

154

L1

5

5324

15128

154

L1

4

332

32

L1

3

332

34

L1

2

L1

1

(12)


( ) ( )( )φξ+φε−φδ+φγ−φβ=

α+αα+αα+αα+αα+αα+α=β

α+αα+α+αα+α=β

α+αα+α=β

α+α=β

α=β

10sen8sen6sen4sen2senT

4284287

142136

55

2

L1

512

31

2213

21324155

412

21

223144

312133

2122

11

(13)

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE N, E

++=

+=

4

4

2

2

022

42

024

'

2

'1

24

'2

'

R

E

R

Ek

NM

ENM

Ekk (14)

k medio entre los puntos 1 y 2

( )

∆++=

+++=

220

22022

0

2221

210

2

1121

'12

1''''

31

1Rk

EEkRk

EEEEkk m (15)

Fórmula aproximada

+=

2

2

02

'1

R

Ekk (16)

322

2

220 1

1

1 )sene(

)e(aM

sene

aN

ρk

N'o

mm

φ−

−=φ−

=α

=φ

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE φφφφ, λλλλ

( ))45("1cos")1("1cos"1 24442412222

21

0 tsensenkk −φλ∆+η+φλ∆+= (17)

Fórmula aproximada

φλ∆+=2cos

122

0kk ∆λ=(λ–λo) en rad (18)


CORRECCIÓN POR ALTURA.

Es la corrección a las distancias horizontales para ser reducidas a geodésicas,

expresada en términos de factor de escala, de allí su denominación Factor de Escala

debido a la Altura h (Kh). Ella relaciona las distancias por:

Kh * S = Dhz

RNHR

RhR

Kh++=+= (20)

Para H>0 � KH>0

distancia elipsóidica x KH = distancia terreno

También sirve como Factor de Escala para una proyección TM genérica Local, que se

comporta como un Plano Topográfico Local (PTL), es decir, para una proyección cuyo

cilindro pase por el terreno a la altura “h”, convirtiéndose en una proyección

considerada con deformaciones mínimas respecto a las distancias horizontales, tal

como se adopta en el Manual de Carreteras.

CORRECCIÓN ANGULAR (t-T) = ψψψψ :

[ ] )1(6

)32)(( 222

021 m

m

BABA

Rk

FEEENNrad η+⋅−+−=ψ − (21)

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)

[ ] "·6

)32)(("

220

21ρ−+−=ψ −

m

BABA

Rk

FEEENN Nótese que: 1221 −− ψ−=ψ

De otra fuente:

20

2

2222'

1212

)1()cos1()

31

'(ka

seneeEEN mm

⋅⋅φ⋅−⋅φ⋅+⋅∆⋅−∆−=ψ −

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)

[ ] "·2

)31

'("

20

2

1

21 ρ⋅⋅

∆⋅−∆−=ψ −

ka

EEN

Debido a que esta corrección es pequeña, se puede reemplazar R por un radio

aproximado, por ejemplo R=6.780.000 m, sin perjudicar la precisión de la corrección.


CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE φφφφ, λλλλ

)2(cos)231(cos 245

1514223

31 tsensensenCM −φφλ∆+η+η+φφλ∆+φλ∆= (22)

Fórmula simplificada: φλ∆= senCM

Nótese que las unidades en que resultará expresada la CM dependerán de las

unidades de ∆λ.

CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE N, E

[ ] )352(15

')21(

3

'' 41

215

15

0

15

41

21

213

13

0

13

10

1 ttNk

tgEt

Nk

tgENk

tgEradCM ++

φ+η−η−+

φ−

φ= (23)

Fórmula simplificada:

[ ] "·'

"10

1 ρφ

=NktgE

CM

Secuencia de cálculo para conversión de coordenadas: Dados (φ, λ) � calcular (N, E) 1- Definir parámetros del elipsoide:

a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ usando (1)

y (2) 4- Calcular ∆λ” usando (6) 5- Calcular B usando (6) 6- Calcular N’ usando (4) 7- Calcular E’ usando (5)

Dados (N, E) � calcular (φ, λ) 1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ, ρo usando (1) 4- Calcular N’ 5- Calcular φ usando (9) 6- Calcular función auxiliar L y T usando (11)

y (13) 7- Calcular los αi usando (12) 8- Calcular los βi usando (13) 9- Calcular φ∆ usando (10) 10- Calcular φ1 usando (10) 11- Calcular N1, t1 y η1 usando (6) 12- Calcular E’ = E – EF 13- Calcular φ usando (7) 14- Calcular ∆λ usando (8)


DATOS DE EJEMPLO DE TRANSFORMACION UTM →→→→ GEODESICAS (GG.MMSS) DATOS DE ENTRADA (WGS84) : A,E^2,E, 6378137.00000000 0.669437999014132D-002 0.818191908426215D-001 N,E,H,MC 6297641.737 343637.923 546.490000000000 -69 A,B,C,D,E,F: 1.00505250178821 0.506310859723875D-002 0.106275901587118D-004 0.208203782644488D-007 0.393237129380285D-010 0.655454778252015D-013 ALFA,BETA ,... 111132.952547913 16038.5086626504 16.8326131614633 0.219843738776170D-001 0.311416246803449D-004 0.415259397939981D-007 57.2957795130823 DEQ(E'),FIMEDIO -3702358.26300000 -0.581683451896783 ELE(L) 6354692.54940169 T -0.231535674055095D-002 ALFA1, ALFA2... 0.461913030138781D-002 -0.135271845489754D-002 0.156547935730516D-002 -0.251396118487884D-003 0.607054662959559D-003 BET1, BET2... 0.461913030138781D-002 -0.131004572541514D-002 0.153473022052833D-002 -0.203119388634888D-003 0.585263273219358D-003 FIMEDIO,DELTAFIM,FI1,FI1(GRAD) -0.581683451896783 -0.231533196165746D-002 -0.583998783858441 -33.4606655558614 N,t,n,E' 6384637.02633239 -0.660898736573758 0.684884784189982D-001 -156362.077000000 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LATITUD (SEG) FI11-12-13 -41.1055412559478 -0.129466677784492D-001 -0.446447776928301D-005 FI1,DALAT(SEG),DALAT9RAAD) -0.583998783858441 -41.0925990526471 -0.199222542130721D-003 LAT,LAT(GRAD) -0.583799561316310 -33.4492509450135 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LONGITUD DEA1,DEA2 .. -6057.45672639476 -1.13824006053108 -0.397469044983469D-003 DEA(SEG),DEA(RAAD) -6056.31888380328 -0.293618625202986D-001 LON(RAD),ALON(GRAD) -1.23363904639639 -70.6823108010565 CONVERGENCIA A PARTIR DE PLANAS TÉRMINOS CP1,CP2,CP3,CP(SEG),CP(GRAD) 3339.86587050979 0.956983923071687 0.381576390025727D-003 3338.90926816310 0.927474796711974 CONV RAD 0.161874889318890D-001 A PARTIR DE GEODESICAS TÉRMINOS CG1,CG2,CG3,CG(SEG),CG(GRAD) 3338.23185212101 0.931649828744238 0.125350663919404D-003 3339.16362730041 0.927545452027893 M: 6354816.89348335 ESCALA RIGU (PLANAS),PPM 0.999901190776070 -98.8092239301108 ESCALA APRX (PLANAS),PPM 0.999901175652225 -98.8243477752311 ESCALA RIGU (GEOD),PPM 0.999901431488548 -98.5685114520022 ESCALA APRX (GEOD),PMM 0.999899975205923 -100.024794077512 FACT ESCALA ALTURA, PPM 1.00008579512130 85.7951212997262 FACT ESCALA COMB, PPM 1.00018462258764 184.622587644538

rene zepeda g - geodesia2

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