relasi dan fungsi
Post on 20-Mar-2016
134 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Relasi dan Fungsi
Matematika Diskrit
Relasi Relasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan
anak, dll Dalam aritmatika: Relasi “Lebih besar” atau
“Lebih kecil” digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang berbeda
Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek
Relasi dalam himpuanan Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya Memetakan setiap anggota pada himpunan A (x
∈ A) dengan anggota pada himpunan B (y ∈ B) Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga
merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu, contoh (x,y) ∈ R
Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)
Notasi Relasi antara dua buah objek dinyatakan
dengan himpunan pasangan berurutan(x,y) ∈ R
contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}
xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y
Contoh Humpunan A : himpunan nama orang A={Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan B={es krim, coklat, permen}
Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:
Contoh
via
Andre
Ita
permen
coklat
es krim
A BR
R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A
Cara menyatakan relasi Diagaram panah Himpunan pasangan berurutan Diagram Cartesius Tabel Matriks Graph Berarah
Cara menyatakan relasi
via
Andre
Ita
permen
coklat
es krim
permencoklatEs krim
• R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}
A BR• Diagram Panah
Cara menyatakan relasi Himpunan pasangan berurutan
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Diagram Kartesius
via andre ita
permen
coklat
es krim
Cara menyatakan relasi Tabel
Nama MakananVia PermenVia CoklatAndre CoklatAndre Es KrimIta Es Krim
Cara menyatakan relasi Matriks
Baris = domain Kolom = kodomain
100110011
ItaAndreVia
Perm
en C
okla
tEs
krim
permen
coklat Es krim
Via 1 1 0
Andre 0 1 1
Ita 0 0 1
Cara menyatakan relasi Graph berarah
hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan).
Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex)
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a
ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex) Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari
simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop
Cara menyatakan relasi Contoh graph berarah
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
Latihan 1 Z = {1,2,3,4}; R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z} Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk
Himpunan pasangan berurutan Matrix Graf
Sifat- sifat relasiREFLEKSIF (REFLEXIVE)TRANSITIF (TRANSITIVE) SIMETRIK (SYMMETRIC)ASIMETRIK (ASYMMETRIC)EQUVALENTPOSET
Refleksif Sebuah relasi dikatakan refleksif jika
sedikitnya: x ∈ A, xRx
Minimal
Transitif Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika: xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A Contoh:
R = {(a,d),(d,e),(a,e)}
Simetrik Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika: xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A Cotoh:
A={a,b,c,d}R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}
Asimetrik Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi
simetrik Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R Contohnya R = {(a,b), (a,c), (c,d)}
Equivalen Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika
memenuhi syarat: Refelksif Simeteris Transitif
Partially Order Set (Poset) Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian
(POSET) jika memenuhi syarat: Refleksif Antisimetri Transitif
Latihan 2
A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A !
Apakah relasi berikut asimetris, transitif?R = {(1,2),(3,4),(2,3),(3,3)}
Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?
Operasi dalam relasi Operasi himpunan seperti irisan, gabungan,
selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi
Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh operasi relasi Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : R1 ∩ R2 = {(a, a)} R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 − R2 = {(b, b), (c, c)} R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
Operasi dalam bentuk matriks Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada
himpunan A dinyatakan oleh matriks
Maka:
Komposisi relasi Misalkan
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan T, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ T }
Komposisi relasi Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C
= {s, t, u} Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Maka komposisi relasi R dan T adalah
T o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}
Komposisi relasi T o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t),
(c,u)}
top related