relasi dan fungsi

RELASI DAN FUNGSI

0leh:Drs. Markaban, M.SiWidyaiswara PPPPTK

Matematika

disampaikan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK

Jenjang Dasar

DI PPPPTK Matematika YOGYAKARTA

RELASI DAN FUNGSIContoh Relasi

Perhatikan Daftar Harga di sebuah Warung

Makanan/MinumanHarga

Bakso Rp 2.500,00Soto Rp 2.500,00Kerupuk Rp 200,00Teh Panas Rp 750,00Es Teh Rp 1.000,00

Di bawah ini adalah nomor telepon penting dicatat dari buku telepon

Hubungan Interlokal 100Hubungan Internasional 101Informasi Waktu 103Penerangan Lokal 108Informasi Tagihan 109Polisi 110Dinas Kebakaran 113Gangguan Telepon 117

Makanan/Minuman HargaBakso Rp 2.500,00Soto Rp 2.500,00Kerupuk Rp 200,00Teh Panas Rp 750,00Es Teh Rp 1.000,00

Jenis Makanan/ Minuman

Soto

Kerupuk

Teh PanasTeh Panas

Es Teh

Harga

Rp 200,00

Rp 750,00

Rp 1.000,00

Bakso Rp 2.500,00

relasinya adalah “harganya”

Jenis Makanan/ Minuman Harga

Soto

Kerupuk

Teh Panas Teh Panas

Es Teh

Rp 200,00

Rp 750,00

Rp 1.000,00

Bakso

Rp 2.500,00

JIKA “ARAHNYA” DIBALIK

Relasinya: “harga untuk”

Jenis Makanan/ Minuman

Soto

Kerupuk

Teh PanasTeh Panas

Es Teh

Harga

Rp 200,00

Rp 750,00

Rp 1.000,00

Bakso Rp 2.500,00

relasinya adalah “harganya”

Jenis Makanan/ Minuman

Harga

Soto

Kerupuk

Teh Panas Teh Panas

Es Teh

Rp 200,00

Rp 750,00

Rp 1.000,00

Bakso Rp 2.500,00Relasinya:

“harga untuk”

FUNGSI

BUKAN FUNGSI

SALING

INVERS

Jenis Makanan/ Minuman

Soto

Kerupuk

Teh PanasTeh Panas

Es Teh

Harga

Rp 200,00

Rp 750,00

Rp 1.000,00

Bakso Rp 2.500,00

relasinya adalah “harganya”

A B

2

4

6

8

1 2 3 4

relasinya adalah “dua kali dari”

Perhatikan anak

panahnya

x

f(x)

2

1

4

2

6

3

8

4

f(x) 221 42

1 621 82

1

rumus pemetaannya f(x) = x21

5 2 1010 50x 5

x=f(x)

f:x 5 x Perhatikan fungsi f berikut:

xMasukan

Funggsif

f(x)Keluaran

Fungsi kita bayangkan sebagai suatu mesin yang digambarkan:

CONTOH FUNGSI

Perhatikan tumpukan gelas berikut

12 cm18 cm24 cm30 cm36 cm

12_

Banyak gelas

2

3

4

5

18_24_30_36_

1

Tin

ggi t

umpu

kan

gela

s

Contoh Fungsi Kuadrat

Pengertian Fungsi :Pengertian Fungsi :

SuatuSuatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu B adalah suatu relasirelasi yang memasangkan yang memasangkan setiap setiap elemen dari A secara tunggalelemen dari A secara tunggal , dengan elemen , dengan elemen

pada Bpada B

. . . .

.

.

.

.

.

.

.

BfA

Beberapa cara penyajian fungsi :Beberapa cara penyajian fungsi :

Dalam diagram panahDalam diagram panah f : D f : D K. Lambang fungsi tidak harus f. K. Lambang fungsi tidak harus f.

Misalnya, uMisalnya, unn = n = n2 2 + 2n atau u(n) = n+ 2n atau u(n) = n2 2 + 2n+ 2n Dalam diagram KartesiusDalam diagram Kartesius Dalam bentuk aturan-aturan atau kata-kataDalam bentuk aturan-aturan atau kata-kata Dalam bentuk aljabarDalam bentuk aljabar Dalam bentuk persamaanDalam bentuk persamaan Penyajian parametrikPenyajian parametrik Penyajian pasangan berurutanPenyajian pasangan berurutan Dalam bentuk tabelDalam bentuk tabel

Contoh :Contoh : grafik fungsi grafik fungsi

4 disebut bayangan (peta) dari 2 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. dan juga dari –2.

– – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan fdan dilambangkan f–1–1(4) = 2 atau (4) = 2 atau – 2.– 2.

Grafik Kartesius merupakan Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu hanya memotong di tepat satu titik saja. titik saja.

Grafik sebuah fungsi : f: x Grafik sebuah fungsi : f: x f(x) = x f(x) = x22 DDff = {–2, –1, 0, 1, 2}, R = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rff = {0, 1, 4}. = {0, 1, 4}.

O

(1,1)

(2,4)(–2,4)

(–1,1)

(0,0) X

Y

Beberapa Fungsi KhususBeberapa Fungsi Khusus

1). Fungsi Konstan1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap jika f(Fungsi genap jika f(x) = f(x), danx) = f(x), danFungsi ganjil jika f(Fungsi ganjil jika f(x) = x) = f(x)f(x)

5).5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat TerbesarFungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b [[ x ] = {b | b x < b + 1, b bilangan bulat, x x < b + 1, b bilangan bulat, xR} R} Misal, jika Misal, jika 2 2 x < x < 1 maka [[x] = 1 maka [[x] = 22

6).6). Fungsi LinearFungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan8). Fungsi Turunan

Jenis FungsiJenis Fungsi 1. Injektif ( Satu-satu)1. Injektif ( Satu-satu)

Fungsi f:AFungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-adalah fungsi satu-

satu satu dan f(x) = xdan f(x) = x22 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2)bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2)..

2. Surjektif (Onto)2. Surjektif (Onto)Fungsi f: AFungsi f: AB maka apabila f(A) B maka apabila f(A) B dikenal fungsi into. B dikenal fungsi into.

Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = xFungsi f(x) = x2 2 bukan fungsi yang onto bukan fungsi yang onto

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f: AApabila f: A B merupakan fungsi injektif dan B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”

Fungsi LinearFungsi Linear

Sebidang tanah dengan harga Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp. 50.000.000,00 perolehan Rp. 50.000.000,00 diperkirakan mengalami tingkat diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan Rp. 200.000,00 per kenaikan konstan Rp. 200.000,00 per tahun dalam kuruntahun dalam kurun waktu 5 tahun. waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah tanah tersebut dan harga tanah pada pada akhir tahun ke-akhir tahun ke-5 !5 !

Pengalaman Belajar

Fungsi Linear dan Garis Fungsi Linear dan Garis LurusLurus

Persamaan fungsi linear f: x Persamaan fungsi linear f: x f(x)=mx f(x)=mx + n, m + n, m 0 adalah y = mx + n 0 adalah y = mx + n

PPersamaan garis melalui (xersamaan garis melalui (x11,y,y11) dengan ) dengan gradien atau koefisien arah mgradien atau koefisien arah m adalah adalah

y – yy – y11 = m(x – x = m(x – x11 ) ) .. Persamaan garis melalui dua titik (xPersamaan garis melalui dua titik (x11,y,y11) )

dan (xdan (x22,y,y22) adalah : ) adalah : Persamaan garis dapat dinyatakan Persamaan garis dapat dinyatakan

dalam bentuk implisit: dalam bentuk implisit: Ax + By + C = 0Ax + By + C = 0

1x

2x

1xx

1y

2y

1yy

Fungsi KuadratFungsi Kuadrat Pak Budi mempunyai sebidang tanah Pak Budi mempunyai sebidang tanah

yang berbentuk persegi panjang yang berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 20 meter.dengan kelilingnya 20 meter.

Tentukan :Tentukan : a). Luas tanah tersebut apabila a). Luas tanah tersebut apabila

panjangnya 6 meter.panjangnya 6 meter. b). Ukuran persegi panjang agar b). Ukuran persegi panjang agar

luasnya 21 mluasnya 21 m22

c). Luas maksimum persegi panjang c). Luas maksimum persegi panjang tersebut beserta ukurannyatersebut beserta ukurannya

Bentuk umum fungsi kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat f:f: xxaxax22+bx+c dengan a,b, c +bx+c dengan a,b, c R dan a R dan a

0 0

y = axy = ax22 + bx + c + bx + c

cxxa ab 2

cxxa ab

ab

ab 4

2

22 2

aacb

abxa 4

42

2

2

Persamaannya dapat dijabarkan:

Maka Puncak Parabola P( , )a

b

2

a

D

4

Contoh:Contoh: Grafik sebuah fungsi kuadrat berpuncak Grafik sebuah fungsi kuadrat berpuncak

di titik (1, –8) dan memotong sumbu X di titik (1, –8) dan memotong sumbu X positif berabsis 3. positif berabsis 3. Tentukan pTentukan persamaan ersamaan grafik fungsi tersebutgrafik fungsi tersebut??

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat

Terhadap Sumbu XTerhadap Sumbu X

X(i) X

(ii)X(iii)

a > 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

X

(iv)

X

(v)

X

(vi)

a < 0D > 0

a < 0D = 0

a < 0D < 0

Grafik Fungsi KuadrGrafik Fungsi Kuadratat

FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI EKSPONEN, DOMAIN BILANGAN BULATDOMAIN BILANGAN BULAT

D = domain

2– 2

2– 1

20

21

22

23

...

f(x) =2XX

– 3– 2– 1

0123

...

n 2n

2– 3

2–2

2– 1

20

21

22

23

...

– 3 –2 – 1

0 1 2 3

...

n 2n

2– 3

K = kodomain

Fungsi eksponen f: x f(x) = 2x merupakan fungsi bijektif

XO

Y

Grafik f: x f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah:

(0,1)(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

FUNGSI EKSPONENFUNGSI EKSPONENPerkembangan amuba merupakan fungsi eksponen, dan domainnya adalah himpunan bilangan cacah.

Perubahan panas,

sedangkan waktu berjalan secara kontinyu, bukan diskrit. Ini mengindikasikan bahwa domain fungsi eksponensial dapat berupa himpunan bilangan real

perubahan sifat logam karena pendinginan dari waktu ke waktu ternyata juga terkait dengan fungsi eksponen,

Apakah domain fungsi eksponen hanya himpunan bilangan cacah, atau bulat, atau himpunan bilangan real?

PERHATIKAN YANG BERIKUT INI

Tabel nilai perpangkatan bilangan 2: f(x) = 2x , x rasional

x f(x) = 2x

3 23 = 8

2 42 5,657 21

2 4

1 22 2,828 21

2 1,41421

0 1

– 0,520,707 21

–1 0,5

–1 0,353

21 2

21

21

–2 0,25

BILANGAN REAL

Bagaimana jika x bilangan irasional?

misal: x = 2 = 1,41421356237309504880168872...22 = ? real atau bukan real?

21,41421356237309500 < 22 < 21,41421356237309510

2,6651441426902250... < 22 < 2,6651441426902252 ...

2,665144142690225 < 22 < 2,665144142690225

Jadi 22 = 2,665144142690225 (15 tempat desimal)

BILANGAN REALBILANGAN REAL

S A M AS A M AS A M A

22 bilangan real

dapat ditunjukkan bahwa 2 dan secara umum bilangan positif dipangkatkan

bilangan real hasilnya bilangan real

Grafik f(x) = 2Grafik f(x) = 2x x dan g(x) =dan g(x) =

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)= 2x g(x) =

x

21

x

21

xxRR

SifatSifat

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8 f(x)= 2x g(x) =x

21

Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

Grafik f: x 2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x x

21

merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif)

Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

untuk berbagai nilai x real x21

(0,1)

(1,2)

(3,8)

(4,16)

XO

Y

(2,1/4)

A B

14

D

C

(2,4)

(1, ½ )

CONTOH

1. Berapa nilai

213

2

Dari x = 3,5 tariklah garis tegak, memotong kurva di sebuah titik, misalkan titik A.

AADari titik A, tariklah garis mendatar, memotong sumbu Y di titik B

B B

Ordinat titik B yaitu 11,3 menyatakan nilai 213

2

2. Berapakah x, jika 2x = 14?

Dengan kata lain 2log 14 = x, x = ...?

Dari (0, 14) pada sumbu Y, tariklah sebuah garis mendatar ke kanan, memotong kurva, misalnya di titik C.

14 14 CC

Dari titik C tariklah sebuah garis sejajar sumbu Y memotong sumbu X di titik D.

DDDDD

Absis titik D tersebut yaitu 3,8 merupakan nilai pangkat dari 2 yang menghasilkan 14 atau 2log 14 = 3,8

Gambar 5

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8g(x) = 2–x f(x)= 2x

Naik turunnya f(x) dan g(x)

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = sin x

amplitudo

1 pereode

FUNGSI FUNGSI TRIGONOMETRITRIGONOMETRI

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = 2 sin x

2

-2

Pereode 3600

Amlpitudo 2

Y=sin x

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Y=sin x

450 1350 2250 3150

pereode

amplitudo

Grafik y = sin 2x

-900

1

-1

00 900 1800 2700

Grafik y = cos x

amplitudo

1 pereode

Grafik y = 2cos x

-900

1

-1

00 900 1800 2700

2

-2Y=cos x

amplitudo

periode

Penerapan FungsiPenerapan Fungsi Penerapan Fungsi dalam Penerapan Fungsi dalam

EkonomiEkonomi

1.1. Fungsi PermintaanFungsi Permintaan

2.2. Fungsi penawaranFungsi penawaran

3.3. Keseimbangan pasarKeseimbangan pasar

4.4. Analisis Pulang PokokAnalisis Pulang Pokok Penerapan Fungsi dalam Penerapan Fungsi dalam

Kehidupan Sehari-hariKehidupan Sehari-hari

Analisis Pulang PokokAnalisis Pulang Pokok

Biaya tetap

Kerugian

Jumlah penjualan

Biaya variabel

KeuntunganTitik pulang pokok

Pendapatan

Biaya total

SoalSoal Seorang siswa akan membuat kotak tanpa tutup dengan Seorang siswa akan membuat kotak tanpa tutup dengan sehelai karton yang berukuran 20 cm x 30 cm dengan cara sehelai karton yang berukuran 20 cm x 30 cm dengan cara

menggunting keempat sudutnya. Tentukan panjang sisi yang menggunting keempat sudutnya. Tentukan panjang sisi yang digunting pada sudut karton tersebut agar luas alasnya sebesar digunting pada sudut karton tersebut agar luas alasnya sebesar

200 cm200 cm22

2. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh seorang pengrajin tas kulit 2. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh seorang pengrajin tas kulit sebesar Rp.2.250.000,00 sedang biaya variabelnya Rp. sebesar Rp.2.250.000,00 sedang biaya variabelnya Rp.

5.000,00. Jika tas tersebut di pasar laku Rp. 12.500,00 per unit, 5.000,00. Jika tas tersebut di pasar laku Rp. 12.500,00 per unit, tentukan banyaknya tas yang harus terjual agar pengrajin tas tentukan banyaknya tas yang harus terjual agar pengrajin tas

memperoleh keuntungan Rp. 1.500.000,00 memperoleh keuntungan Rp. 1.500.000,00 3. Jika permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh 3. Jika permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh

persamaan P = 15 - x, sedangkan penawarannya P = 3 + ½persamaan P = 15 - x, sedangkan penawarannya P = 3 + ½ x x dan pemerintah bermaksud mengenakan pajak sebesar t atas dan pemerintah bermaksud mengenakan pajak sebesar t atas

setiap unit barang yang dijual. Berapa besar pajak per unit yang setiap unit barang yang dijual. Berapa besar pajak per unit yang harus ditetapkan agar penerimaan pajak atas barang tersebut harus ditetapkan agar penerimaan pajak atas barang tersebut

maksimum ?maksimum ?