pertemuan minggu ke-10 1. keterdiferensialan 2. derivatif...

Pertemuan Minggu ke-10

1. Keterdiferensialan

2. Derivatif berarah dan gradien

3. Aturan rantai

1. Keterdiferensialan

▪ Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x

berarti keujudan derivatif f ’(x).

▪ Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis

singgung tak-tegak di x.

Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu

fungsi dua peubah ?

1. Keterdiferensialan

▪ Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu

fungsi dua peubah, perhatikan

Perhatikan:

- Nilai f identik dengan 0 sepanjang

dua sumbu.

- Pada sumbu y = x kecuali di (0,0)

nilainya ½ .

- fx(0,0) = fy(0,0) = 0

artinya, grafik ini tidak

mempunyai garis singgung di titik

asal.

1. Keterdiferensialan

Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah ?

▪ Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan

menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y.

▪ Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).

1. Keterdiferensialan

▪ Ingat kembali bahwa

(1)

▪ Analogi kelihatannya berupa

namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.

1. Keterdiferensialan

(1)

▪ Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut:

(2)

dengan (h) 0 pada h 0.

▪ Dari Persamaam 2, definisi f ’(p) dapat dijabarkan

(lihat slide selanjutnya).

1. Keterdiferensialan

Definisi

Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p

(terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q

sedemikian sehingga

dengan (h) 0 pada h 0.

• Jika vektor q ada, vektor q adalah unik.

• Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan

dengan .

1. Keterdiferensialan

dengan (h) 0 pada h 0.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas:

1. Derivatif f ’(x) adalah bilangan, sedangkan gradien

adalah vektor.

2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua

vektor.

3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.

1. Keterdiferensialan

PERHITUNGAN GRADIEN

Teorema A

Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka

derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan

Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan

terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka

1. Keterdiferensialan

PERHITUNGAN GRADIEN

Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan

g dapat didiferensialkan.

Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p ?

Teorema B

Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari

p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat

didiferensialkan di p.

1. Keterdiferensialan

PERHITUNGAN GRADIEN

Contoh 1:

Perlihatkan bahwa f(x,y) = x ey + x2 y terdiferensialkan di mana-

mana dan hitung gradiennya.

Penyelesaian:

Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema

B, f terdiferensialkan di mana-mana.

Lebih lanjut, menurut Teorema A:

1. Keterdiferensialan

PERHITUNGAN GRADIEN

Contoh 2:

Untuk f(x, y, z) = x sin z + x2 y, cari

Penyelesaian:

Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada.

Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah:

Jadi

1. Keterdiferensialan

ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN

▪ Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif.

▪ Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator

adalah linear.

▪ Demikian juga halnya operator , yang seringkali disebut

operator del.

1. Keterdiferensialan

ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN

Teorema C

adalah operator linear; yakni

(i)

(ii)

Juga, kita mempunyai aturan hasil kali

(iii)

Buktikan !

1. Keterdiferensialan

ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN

Bukti

Kita buktikan tanpa

menuliskan titik p agar lebih singkat.

1. Keterdiferensialan

KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN

Teorema D

Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p.

Bukti

Karena f terdiferensialkan di p.

Ingat kembali

1. Keterdiferensialan

KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN

Bukti

Karena f terdiferensialkan di p.

Ingat kembali

Jadi

1. Keterdiferensialan

KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN

Bukti (lanjutan)

Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga

Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f

di p.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

• Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y).

• Derivatif fx(x,y) dan fy(x,y) mengukur laju perubahan dan

kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y.

• Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada

sebarang arah.

• Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan

dengan gradien.

• Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan

vektor.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

• Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada

arah x dan y positif.

• Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut:

• Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan

hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan

sebarang u.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

Definisi

Untuk tiap vektor satuan u, andaikan

Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u.

Jadi, Di f(p) = fx(p) dan Dj f(p) = fy(p).

Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan Du f(x,y).

2. Derivatif Berarah dan Gradien

Gambar di samping memberikan

taksiran geometrik dari Du f(x0,y0).

Vektor u menentukan suatu garis L di

bidang xy yang melalui (x0,y0).

Bidang yang melalui L tegak lurus

bidang xy memotong permukaan

z = f(x,y) menurut suatu kurva C.

Garis singgungnya di titik

(x0, y0, f(x0,y0)) mempunyai

Kemiringan Du f(x0,y0).

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh

Teorema A

Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f

mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan

u = u1i + u2j dan

yakni

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Contoh 1:

Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada

arah vektor a = 4i + 3j.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah

Kemudian,

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Contoh 1(lanjutan penyelesaian):

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Contoh 1(lanjutan penyelesaian):

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Contoh 2:

Cari derivatif berarah dari

fungsi f(x, y, z) = xy sin z

di titik (1, 2, Π/2)

pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah

Kemudian,

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KAITAN DENGAN GRADIEN

Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):

2. Derivatif Berarah dan Gradien

LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM

Pertanyaan:

Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p,

pada arah mana fungsi berubah paling cepat ?

Jawab:

Pada arah dimana Duf(p) yang terbesar

dengan θ sudut antara u dan f(p).

Jadi, Du f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan

pada waktu θ = Π.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM

Teorema B

Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien

(dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah

berlawanan dengan laju .

2. Derivatif Berarah dan Gradien

LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM

Contoh 3:

Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik

hiperbol z = y2 – x2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah

mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan

berapa kemiringan pada waktu ia memulai ?

2. Derivatif Berarah dan Gradien

LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM

Penyelesaian:

Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah

-2i + 2j dengan kemiringan sebesar

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

▪ Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke

bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan

bidang z = k yang sejajar bidang xy.

▪ Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama

adalah konstan (Gambar di bawah).

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

▪ Nyatakan L, kurva ketinggian

dari f(x,y) yang melalui titik

pilihan sebarang P(x0, y0) di

wilayah daerah asal f.

▪ Tetapkan vektor satuan u adalah

tegak lurus terhadap L di P.

▪ Karena nilai f sama di semua titik

pada kurva ketinggian L,

derivatif berarahnya Du f(x0,y0),

yang berupa laju perubahan f(x,y)

pada arah u, adalah nol pada

waktu u menyinggung L.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

▪ Akibatnya,

sehingga

dan juga (sudut antara u dan )

harus berupa sudut siku-siku.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Teorema C

Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f

yang melalui P.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4:

Untuk paraboloid

Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1)

dan berikan sketsanya.

Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien

dengan titik awalnya di P.

Penyelesaian:

▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan

bidang z = k, mempunyai persamaan

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan

bidang z = k, mempunyai persamaan

Nilai k ?

▪ Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

▪ Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah

ellips

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

Persamaan kurva

ketinggian yang melalui

titik P(2,1):

Sketsa

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

▪ Vektor gradiennya ?

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

Sehingga gradien di

P (2,1) adalah

Kurva ketinggian dan

gradien di P

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

• Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan

ketinggian untuk fungsi tiga peubah.

• Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k

dengan k konstanta

k disebut permukaan ketinggian di f.

• Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian:

1. Nilai fungsi adalah sama

2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam

wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari

f melalui P.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

• Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan

w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan

ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm.

• Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya

memiliki suhu sama k.

• Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir:

1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni,

dalam arah penurunan terbesar pada suhu)

2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

• Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase)

pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik,

permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial.

• Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki

potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah

searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan

terbesar pada potensial.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 5:

Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan

sebagai

Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik

(1,-1,2) ?

Penyelesaian:

Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif

gradien di titik tersebut.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):

di titik (1, -1, 2) adalah

Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah

3. Aturan Rantai

• Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah

Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang

terdiferensialkan, maka

3. Aturan Rantai

Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal

menanyakan dz/dt.

VERSI PERTAMA

Teorema A

(Aturan Rantai).

Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan

z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)).

Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan

3. Aturan Rantai

Bukti

Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale

Varberg).

Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Maka, karena f dapat didiferensialkan,

Dengan jika .

Bila kita membagi kedua ruas dengan , kita peroleh

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Sekarang

Dan yang belakang mendekati

jika

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Pada waktu , dan keduanya mendekati 0

(ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan).

Ini menyimpulkan .

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Sebagai konsekuensi, pada waktu , kita peroleh

Teorema A

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 1:

Misalkan dengan dan .

Tentukan .

Penyelesaian:

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 2:

Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,

radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah

pada laju 0,5 cm/jam.

Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat

radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm.

Penyelesaian:

Rumus total luas permukaan sebuah tabung

adalah

Jadi,

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):

Pada r = 10 dan h = 100,

cm2/jam

VERSI PERTAMA

Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah ?

3. Aturan Rantai

Contoh 3:

Andaikan , dengan , ,

dan .

Tentukan dan hitung nilainya di .

Penyelesaian:

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):

Pada ,

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Teorema B

(Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai

derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di

(x(s,t), y(s,t)).

Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang

diberikan oleh

(i)

(ii)

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

Contoh 4:

Jika z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st,

Tentukan z/t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t.

Penyelesaian:

Bagaimana pada fungsi tiga peubah ?

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

Contoh 5:

Jika w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st

y = s – t

z = s + 2t

Tentukan w/t.

Penyelesaian:

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

▪ Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y

sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar

atau tidak mungkin ditentukan.

▪ Kita masih tetap dapat mencari dy/dx.

▪ Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit

(dibahas di Pasal 3.8).

▪ Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.

FUNGSI IMPLISIT

(Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg)

3. Aturan Rantai

▪ Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan

Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut:

Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:

FUNGSI IMPLISIT

3. Aturan Rantai

Contoh 6:

Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0.

Penyelesaian:

Andaikan F(x,y) = x3 + x2y -10y4.

Maka

FUNGSI IMPLISIT

Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8

Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin

J.Purcell Dale Varberg

Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel ?

3. Aturan Rantai

Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh

persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x

dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan

Jika kita selesaikan untuk z/x

dan dengan mencatat bahwa y/x = 0, maka kita peroleh rumus

Perhitungan yang serupa dengan

mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan

terhadap y, di dapat

FUNGSI IMPLISIT

3. Aturan Rantai

Contoh 7:

Jika mendefinisikan z

secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/x.

Penyelesain:

FUNGSI IMPLISIT

TERIMAKASIH