pertemuan minggu ke-10 1. keterdiferensialan 2. derivatif...

Pertemuan Minggu ke-10

1. Keterdiferensialan

2. Derivatif berarah dan gradien

3. Aturan rantai


▪ Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x

berarti keujudan derivatif f ’(x).

▪ Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis

singgung tak-tegak di x.

Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu

fungsi dua peubah ?


▪ Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu

fungsi dua peubah, perhatikan

Perhatikan:

- Nilai f identik dengan 0 sepanjang

dua sumbu.

- Pada sumbu y = x kecuali di (0,0)

nilainya ½ .

- fx(0,0) = fy(0,0) = 0

artinya, grafik ini tidak

mempunyai garis singgung di titik

asal.


Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah ?

▪ Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan

menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y.

▪ Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).


▪ Ingat kembali bahwa

(1)

▪ Analogi kelihatannya berupa

namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.


(1)

▪ Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut:

(2)

dengan (h) 0 pada h 0.

▪ Dari Persamaam 2, definisi f ’(p) dapat dijabarkan

(lihat slide selanjutnya).


Definisi

Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p

(terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q

sedemikian sehingga


• Jika vektor q ada, vektor q adalah unik.

• Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan

dengan .



Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas:

1. Derivatif f ’(x) adalah bilangan, sedangkan gradien

adalah vektor.

2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua

vektor.

3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.


PERHITUNGAN GRADIEN

Teorema A

Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka

derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan

Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan

terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka


PERHITUNGAN GRADIEN

Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan

g dapat didiferensialkan.

Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p ?

Teorema B

Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari

p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat

didiferensialkan di p.


PERHITUNGAN GRADIEN

Contoh 1:

Perlihatkan bahwa f(x,y) = x ey + x2 y terdiferensialkan di mana-

mana dan hitung gradiennya.

Penyelesaian:

Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema

B, f terdiferensialkan di mana-mana.

Lebih lanjut, menurut Teorema A:


PERHITUNGAN GRADIEN

Contoh 2:

Untuk f(x, y, z) = x sin z + x2 y, cari

Penyelesaian:

Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada.

Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah:

Jadi


ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN

▪ Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif.

▪ Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator

adalah linear.

▪ Demikian juga halnya operator , yang seringkali disebut

operator del.



Teorema C

adalah operator linear; yakni

(i)

(ii)

Juga, kita mempunyai aturan hasil kali

(iii)

Buktikan !



Bukti

Kita buktikan tanpa

menuliskan titik p agar lebih singkat.


KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN

Teorema D

Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p.

Bukti

Karena f terdiferensialkan di p.

Ingat kembali



Bukti

Karena f terdiferensialkan di p.

Ingat kembali

Jadi



Bukti (lanjutan)

Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga

Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f

di p.

2. Derivatif Berarah dan Gradien

• Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y).

• Derivatif fx(x,y) dan fy(x,y) mengukur laju perubahan dan

kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y.

• Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada

sebarang arah.

• Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan

dengan gradien.

• Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan

vektor.


• Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada

arah x dan y positif.

• Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut:

• Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan

hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan

sebarang u.


Definisi

Untuk tiap vektor satuan u, andaikan

Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u.

Jadi, Di f(p) = fx(p) dan Dj f(p) = fy(p).

Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan Du f(x,y).


Gambar di samping memberikan

taksiran geometrik dari Du f(x0,y0).

Vektor u menentukan suatu garis L di

bidang xy yang melalui (x0,y0).

Bidang yang melalui L tegak lurus

bidang xy memotong permukaan

z = f(x,y) menurut suatu kurva C.

Garis singgungnya di titik

(x0, y0, f(x0,y0)) mempunyai

Kemiringan Du f(x0,y0).


KAITAN DENGAN GRADIEN

Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh

Teorema A

Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f

mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan

u = u1i + u2j dan

yakni



Contoh 1:

Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada

arah vektor a = 4i + 3j.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah

Kemudian,



Contoh 1(lanjutan penyelesaian):



Contoh 2:

Cari derivatif berarah dari

fungsi f(x, y, z) = xy sin z

di titik (1, 2, Π/2)

pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah

Kemudian,



Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):


LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM

Pertanyaan:

Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p,

pada arah mana fungsi berubah paling cepat ?

Jawab:

Pada arah dimana Duf(p) yang terbesar

dengan θ sudut antara u dan f(p).

Jadi, Du f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan

pada waktu θ = Π.



Teorema B

Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien

(dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah

berlawanan dengan laju .



Contoh 3:

Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik

hiperbol z = y2 – x2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah

mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan

berapa kemiringan pada waktu ia memulai ?



Penyelesaian:

Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah

-2i + 2j dengan kemiringan sebesar


KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN

▪ Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke

bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan

bidang z = k yang sejajar bidang xy.

▪ Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama

adalah konstan (Gambar di bawah).



▪ Nyatakan L, kurva ketinggian

dari f(x,y) yang melalui titik

pilihan sebarang P(x0, y0) di

wilayah daerah asal f.

▪ Tetapkan vektor satuan u adalah

tegak lurus terhadap L di P.

▪ Karena nilai f sama di semua titik

pada kurva ketinggian L,

derivatif berarahnya Du f(x0,y0),

yang berupa laju perubahan f(x,y)

pada arah u, adalah nol pada

waktu u menyinggung L.



▪ Akibatnya,

sehingga

dan juga (sudut antara u dan )

harus berupa sudut siku-siku.



Teorema C

Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f

yang melalui P.



Contoh 4:

Untuk paraboloid

Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1)

dan berikan sketsanya.

Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien

dengan titik awalnya di P.

Penyelesaian:

▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan

bidang z = k, mempunyai persamaan




▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan

bidang z = k, mempunyai persamaan

Nilai k ?

▪ Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)




▪ Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah

ellips




Persamaan kurva

ketinggian yang melalui

titik P(2,1):

Sketsa




▪ Vektor gradiennya ?




Sehingga gradien di

P (2,1) adalah

Kurva ketinggian dan

gradien di P



• Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan

ketinggian untuk fungsi tiga peubah.

• Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k

dengan k konstanta

k disebut permukaan ketinggian di f.

• Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian:

1. Nilai fungsi adalah sama

2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam

wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari

f melalui P.



• Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan

w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan

ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm.

• Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya

memiliki suhu sama k.

• Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir:

1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni,

dalam arah penurunan terbesar pada suhu)

2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.



• Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase)

pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik,

permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial.

• Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki

potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah

searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan

terbesar pada potensial.



Contoh 5:

Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan

sebagai

Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik

(1,-1,2) ?

Penyelesaian:

Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif

gradien di titik tersebut.




di titik (1, -1, 2) adalah

Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah

3. Aturan Rantai

• Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah

Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang

terdiferensialkan, maka

3. Aturan Rantai

Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal

menanyakan dz/dt.

VERSI PERTAMA

Teorema A

(Aturan Rantai).

Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan

z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)).

Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan

3. Aturan Rantai

Bukti

Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale

Varberg).

Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Maka, karena f dapat didiferensialkan,

Dengan jika .

Bila kita membagi kedua ruas dengan , kita peroleh

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Sekarang

Dan yang belakang mendekati

jika

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Pada waktu , dan keduanya mendekati 0

(ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan).

Ini menyimpulkan .

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Bukti (lanjutan)

Sebagai konsekuensi, pada waktu , kita peroleh

Teorema A

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 1:

Misalkan dengan dan .

Tentukan .

Penyelesaian:

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Contoh 2:

Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,

radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah

pada laju 0,5 cm/jam.

Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat

radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm.

Penyelesaian:

Rumus total luas permukaan sebuah tabung

adalah

Jadi,

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai


Pada r = 10 dan h = 100,

cm2/jam

VERSI PERTAMA

Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah ?

3. Aturan Rantai

Contoh 3:

Andaikan , dengan , ,

dan .

Tentukan dan hitung nilainya di .

Penyelesaian:

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai


Pada ,

VERSI PERTAMA

3. Aturan Rantai

Teorema B

(Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai

derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di

(x(s,t), y(s,t)).

Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang

diberikan oleh

(i)

(ii)

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

Contoh 4:

Jika z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st,

Tentukan z/t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t.

Penyelesaian:

Bagaimana pada fungsi tiga peubah ?

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

Contoh 5:

Jika w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st

y = s – t

z = s + 2t

Tentukan w/t.

Penyelesaian:

VERSI KEDUA

3. Aturan Rantai

▪ Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y

sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar

atau tidak mungkin ditentukan.

▪ Kita masih tetap dapat mencari dy/dx.

▪ Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit

(dibahas di Pasal 3.8).

▪ Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.

FUNGSI IMPLISIT

(Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg)

3. Aturan Rantai

▪ Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan

Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut:

Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:

FUNGSI IMPLISIT

3. Aturan Rantai

Contoh 6:

Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0.

Penyelesaian:

Andaikan F(x,y) = x3 + x2y -10y4.

Maka

FUNGSI IMPLISIT

Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8

Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin

J.Purcell Dale Varberg

Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel ?

3. Aturan Rantai

Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh

persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x

dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan

Jika kita selesaikan untuk z/x

dan dengan mencatat bahwa y/x = 0, maka kita peroleh rumus

Perhitungan yang serupa dengan

mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan

terhadap y, di dapat

FUNGSI IMPLISIT

3. Aturan Rantai

Contoh 7:

Jika mendefinisikan z

secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/x.

Penyelesain:

FUNGSI IMPLISIT

TERIMAKASIH

pertemuan minggu ke-10 1. keterdiferensialan 2. derivatif...

Documents