pertemuan 7 - integral

INTEGRAL 1

INTEGRAL• Anti Turunan• Luas Daerah di Bawah Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Integral Taktentu• Aturan Substitusi• Teknik Integrasi• Penerapan Integral

INTEGRAL 2

AntiturunanDefinisi. Fungsi disebut antiturunan dari padainterval jika ( ) ( ) untuk semua dalam .

Teorema. Jika antiturunan dari pada interval ,maka antiturunan dari pada yang paling umumad

F fI F x f x x I

F f If I

′ =

alah: ( ) dengan konstanta sebarang.F x C C+

INTEGRAL 3

Tabel Rumus Antiturunan

1

2

Fungsi Antiturunan khusus( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( 1)1

cos sin sin -cos sec tan

sec tan sec

nn

cf x cF xf x g x F x G x

xx nn

x xx xx x

x x x

+

+ +

≠ −+

INTEGRAL 4

Contoh:

2

2

1. Carilah antiturunan yang paling umum dari fungsi-fungsi berikut. (a) ( ) 6 8 3 (b) ( ) 3 cos 4 sin 2. Carilah fungsi jika (a) ( ) 6 12 (b) ( ) cos

f x x xf x x x

ff x x xf x

= − += −

′′ = +′′ = x

INTEGRAL 5

Luas Daerah di Bawah Kurvay

a b

y=f(x)

Sx

INTEGRAL 6

x0=a x1 x2 x3

yy=f(x)

1i ix x x −∆ = −

Sx

xn-1 xn=b

1 2

H am piran un tuk luas daerah S m enggunakan batas kanan selang bagian :

( ) ( ) ( )n nR f x x f x x f x x= ∆ + ∆ + + ∆L

INTEGRAL 7

x0=a

yy=f(x)

S1i ix x x −∆ = −

xx1 x2 x3 xn-1 xn=b

0 1 1

Hampiran untuk luas daerah S menggunakan batas kiri selang bagian:

( ) ( ) ( )n nL f x x f x x f x x−= ∆ + ∆ + + ∆L

INTEGRAL 8

x0=a

yy=f(x)

S1i ix x x −∆ = −

xx1 x2 x3 xn-1 xn=b

[ ]*1

* * *1 2

Hampiran untuk luas daerah S menggunakan , , 1, 2, , .

Hampiran luas ( ) ( ) ( )i i i

n

x x x i n

f x x f x x f x x−∈ =

= ∆ + ∆ + + ∆

K

L

Integral Tentu

[ ]

0 1 2

Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang , menjadi selang-

bagian berlebar sama ( ) / . Kita misalkan( ), , , , ( ) berupa titik ujung selang-

bagian ini dan

fa x b a b n

x b a nx a x x x b

≤ ≤

∆ = −= =K

[ ]

* * *1 2*

1

*

1

n kita pilih titik sampel , , ,

di dalam selang-bagian ini, sehingga , . Maka integral tentu dari sampai adalah:

( ) lim ( ) .

n

i i i

nb

iain

x x x

x x xf a b

f x dx f x x

−

=→∞

∈

= ∆∑∫

K

INTEGRAL 9

INTEGRAL 10

Sifat-sifat Integral Tentu

[ ]

1. ( ) ( ) , dengan

2. ( ) 0

3. ( ) dengan konstanta sebarang

4. ( ) ( ) ( ) ( )

a b

b a

a

a

b

a

b b b

a a a

f x dx f x dx b a

f x dx

c dx c b a c

f x g x dx f x dx g x dx

= − >

=

= −

± = ±

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

INTEGRAL 11

5. ( ) ( ) ( )

6. Jika ( ) 0, , maka ( ) 0

7. Jika ( ) ( ) untuk , maka

( ) ( )

8. Jika ( ) untuk , maka

( ) ( ) ( )

b c b

a a cb

a

b b

a a

b

a

f x dx f x dx f x dx

f x a x b f x dx

f x g x a x b

f x dx g x dx

m f x M a x b

m b a f x dx M b a

= +

≥ ≤ ≤ ≥

≥ ≤ ≤

≥

≤ ≤ ≤ ≤

− ≤ ≤ −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

INTEGRAL 12

Contoh:

( )

12

11 1

0 01 4

0 0

4 3

3 1

1. Hitung cos .

12. Jika ( ) , hitunglah 5 6 ( ) .3

3. Jika ( ) 2 ( ) 6, dan

( ) 1, carilah ( ) .

x x dx

f x dx f x dx

f t dt f t dt

f t dt f t dt

= −

= = −

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

INTEGRAL 13

Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1

[ ]

[ ]( )

Jika kontinu pada , , maka fungsi yang

didefinisikan oleh: ( ) ( ) ,

adalah kontinu pada , dan terdiferensialkan

pada , dan ( ) ( ).

Dengan notasi Leibniz: ( ) ( ).

x

a

x

a

f a b g

g x f t dt a x b

a b

a b g x f x

d f t dt f xdx

= ≤ ≤

′ =

=

∫

∫

INTEGRAL 14

Contoh:

( )2

22

0

1 33

20 1 3

Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1untuk mencari turunan fungsi berikut.

(a) ( ) 1 2 (b) ( ) cos

(c) ( ) 1 (d) ( )1

x

x

x

x

g x t dt F x t dt

uh x r dr H x duu−

= + =

= + =+

∫ ∫

∫ ∫

INTEGRAL 15

Teorema Dasar Kalkulus Bagian:

[ ]Jika kontinu pada , , maka

( ) ( ) ( )

dengan antiturunan sebarang dari , yakni suatu fungsi sedemikian sehingga .

b

a

f a b

f x dx F b F a

F fF f

= −

′ =

∫

INTEGRAL 16

Contoh:

3 25

41 1

2 4

50

Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2untuk menghitung integral berikut.

3(a) ( 1) (b)

, 0 1(c) ( ) dengan ( )

, 1 2

x dx dtt

x xf x dx f x

x x

−

+

⎧ ≤ <= ⎨

≤ ≤⎩

∫ ∫

∫

INTEGRAL 17

Integral Taktentu

3 32 2

Integral taktentu adalah anti-turunan dari , atau

( ) ( ) bermakna ( ) ( ).

Contoh:

karena .3 3

f

f x dx F x F x f x

x d xx dx C C xdx

′= =

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫

INTEGRAL 18

Tabel Integral Taktentu

1

( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( )

( 1)1

nn

k dx kx C

k f x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

xx dx C nn

+

= +

=

± = ±

= + ≠ −+

∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫

INTEGRAL 19

Tabel Integral Taktentu …

2

2

sin cos

cos sin

sec tan

csc cot

sec tan sec

csc cot csc

x dx x C

x dx x C

x dx x C

x dx x C

x x dx x C

x x dx x C

= − +

= +

= +

= − +

= +

= − +

∫∫∫∫∫∫

INTEGRAL 20

Contoh:

( )( )

2

2

2

1. Periksa kebenaran rumus berikut dengan pendiferensialan.

(a) 11

(b) cos sin cos

2. Carilah bentuk umum integral taktentu berikut.

(a) 1 2

x dx x Cx

x x dx x x x C

t t dt

= + ++

= + +

− +

∫

∫

∫sin 2 (b) sin

x dxx∫

INTEGRAL 21

Aturan Substitusi pada Integral Taktentu

Jika ( ) adalah fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang dan kontinu pada , maka

( ( )) ( ) ( )

u g xI f

I

f g x g x dx f u du

=

′ =∫ ∫

INTEGRAL 22

Formula Integral Parsial…Jika ( ) dan ( ), maka turunannyaadalah ( ) dan ( ) . Dengan demikian, menurut Aturan Substitusi, rumus pengintegralan parsial menjadi:

u f x v g xdu f x dx dv g x dx

u dv uv v du

= =′ ′= =

= −∫ ∫

INTEGRAL 23

Contoh: Tentukan integral berikut ∫ dxxln

Cxxxdxx

xxx

duvuvdvudxx

xvdxx

du

dxdvxu

dvudxx

+−=−=

−==

==

==

=

∫

∫∫∫

∫∫

ln1.ln

ln

1ln

ln

INTEGRAL 24

Contoh: Tentukan integral berikutJawab:

INTEGRAL 25

Pengintegralan Fungsi Rasionaldengan Fraksi ParsialTeknik ini digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi rasional dengan menyatakannya sebagai jumlah dari fraksi yang lebih sederhana,yang dinamai fraksi parsial, yang telah kitaketahui bagaimana mengintegralkannya.

INTEGRAL 26

Tahapan Pengintegralan( )Misalkan fungsi rasional ( ) , dimana( )

dan adalah fungsi polinom. Jika derajat kurang dari derajat , maka disebut fungsi rasional sejati. Jika sebaliknya, maka dilakukanpembagian se

P xf xQ x

P Q PQ f

=

( )

hingga dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan fungsi polinom dan fungsi rasionalsejati ( ) ( ) .

f

R x Q x=

INTEGRAL 27

Contoh: Tentukan

Jawab:

INTEGRAL 28

Kasus 1 dari R(x)/Q(x)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 2

1 1 2 2

Jika ( ) adalah hasil kali faktor linear yang berbeda, atau

( ) ,maka terdapat konstanta , , , sehingga

( )( )

k k

k

k

k k

Q x

Q x a x b a x b a x bA A A

AR x A AQ x a x b a x b a x b

= + + +

= + + ++ + +

L

K

L

INTEGRAL 29

Contoh: Tentukan

Jawab:

INTEGRAL 30

INTEGRAL 31

Contoh: Tentukan

Jawab:

INTEGRAL 32

INTEGRAL 33

Kasus 2 dari R(x)/Q(x)

( ) ( ) ( )

1 2

1 22

Jika ( ) adalah berupa faktor linear yangberpangkat , atau

( ) ( )maka terdapat konstanta , , , sehingga

( )( )

r

r

rr

Q xr

Q x a x bA A A

R x A A AQ x ax b ax b ax b

= +

= + + ++ + +

K

L

INTEGRAL 34

Kasus 3 dari R(x)/Q(x)

2 2

2

Jika ( ) adalah mengandung faktor kuadratikyang tak dapat diuraikan, atau

( ) , dengan 4 0,maka terdapat konstanta dan sehingga

( ) .( )

Q x

Q x a x bx c b acA B

R x Ax BQ x a x bx c

= + + − <

+=

+ +

INTEGRAL 35

Contoh: TentukanJawab:

INTEGRAL 36

INTEGRAL 37

Contoh: TentukanJawab:

INTEGRAL 38

INTEGRAL 39

Luas antara Kurva denganPenyekatan pada Sumbu-x

[ ]

[ ]

Luas , suatu daerah yang dibatasi oleh kurva( ), ( ), dan garis , ,

dengan dan kontinu dan ( ) ( ) untuksemua pada selang , adalah

( ) ( )b

a

Ay f x y g x x a x b

f g f x g xx a b

A f x g x dx

= = = =≥

= −∫

INTEGRAL 40

INTEGRAL 41

Cari luas daerah yang dibatasi olehkurva dan

Jawab:

INTEGRAL 42

INTEGRAL 43

Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan x = 5

Jawab:

INTEGRAL 44

INTEGRAL 45

Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan

Jawab:

INTEGRAL 46

INTEGRAL 47

Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah

( ) ( )

Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah

( ) ( )

b

a

y f x y g xx a x b

A f x g x dx

x f y x g yy a y b

A f y g y d

= == =

= −

= == =

= −

∫

b

a

y∫

Kesimpulan:

INTEGRAL 48