transformasi laplace dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ? jika jawabannya adalah tidak...
Post on 03-Feb-2018
247 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SISTEM KENDALI KLASIK
Pemodelan Matematika
Analisis
◦ Diagram Bode, Nyquist, Nichols
◦ Step & Impulse Response
◦ Gain / Phase Margins
◦ Root Locus
Disain
Simulasi
MODEL MATEMATIKA
Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.
Mengapa harus dengan model matematika ?
Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.
Misalnya:
Bagaimana hubungan antara input dan output.
Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.
Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari
sistem kendali:
1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).
2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.
RANGKAIAN RLC
V(t)
L
R
Ci(t)
( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t
Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output
Menggunakan KVL:
0
( ) 1( ) ( ) ( )
t
R
di tv t v t L i d
dt C
Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): • Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? • Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan
Ouput dari sistem ? • Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?
Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.
Transformasi Laplace memberikan:
◦ Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.
◦ Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.
Keterbatasan dari Transformasi Laplace :
◦ Bekerja dalam domain frekuensi.
◦ Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..
TRANSFORMASI LAPLACE tambahkan dari buku dspguide
Time Domain
Circuit
Time Domain
Circuit
s-Domain
Circuit
L 1L
x(t) y(t)
X(s) Y(s)s j Complex Frequency
2 Types of s-Domain Circuits
With and Without Initial Conditions
Laplace
Transform
Inverse
Laplace
Transform
TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.
Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.
Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.
Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.
Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.
Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).
VARIABEL KOMPLEKS
Variabel kompleks: s = + j
dengan : adalah komponen nyata
j adalah komponen maya
Bidang s
o
j
j 1 s
FUNGSI KOMPLEKS
Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGy
dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata
Bidang G(s)
O Re
Im
Gy
Gx
G
Besar dari besaran kompleks:
Sudut :
22yx GG)s(G
x
y
G
Gtan 1
TURUNAN FUNGSI ANALITIK
Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:
s
Glim
s
)s(G)ss(Glim)s(G
ds
d
ss 00
Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.
Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda
Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)
yxyx
s
Gj
GGj
Glim)s(G
ds
d
0
Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka
yxyx
s
GGj
j
Gj
j
Glim)s(G
ds
d
0
Jika dua harga turunan ini sama
xyyx Gj
GGj
G
Syarat Cauchy-Riemann yx
GG
xy GG
Contoh Soal
Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?
1
1
s)s(G
Jawab:
yx jGGj
)j(G1
1
dimana
221
1xG
221
yGdan
Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann:
222
22
1
1
yxGG
222
1
12
xy GG
Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.
Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah
Gxj
GyGj
G)s(G
ds
d yx
21
1
j2
1
1
s
Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s
21
1
1
1
ssds
d
Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.
Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole
KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL
• Zeros dari G(s) roots numerator
• Poles dari G(s) roots denominator
• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0
Im
Re
Pola pole-zero poles
zeros
top related