multistage sampling

MULTISTAGE SAMPLING

Oleh: J. Purwanto Ruslam

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

PERTEMUAN 10-MPC 2 TEORI

POKOK BAHASAN

1

TWO STAGE SAMPLING

(PPS WR-SRS WR)

Two Stage Sampling (PPS WR-SRS WR)

› Misalkan suatu survei dilakukan dengan penarikan sampel dua

tahap (two stage sampling), dengan tahapan sebagai berikut :

– Tahap pertama, dari N unit penarikan sampel tahap pertama

dipilih n unit dengan menerapkan metode penarikan sampel

sebanding terhadap ukuran unit Xi dengan pemulihan (PPS WR).

Nilai-nilai Xi untuk seluruh unit untuk penarikan sampel tahap

pertama harus tesedia sehingga dapat dihitung

– Tahap kedua, misalkan pada setiap unit psu yang terpilih

memuat Mi unit ssu, selanjutnya dipilih mi unit dengan

menerapkan metode acak sederhana dengan pemulihan (SRS

WR).

Two Stage Sampling (PPS WR-SRS WR)

› Skema Sampling (Sampling Scheme)

› Overall sampling fraction merupakan perkalian fraksi sampling antartahap penarikan sampel, yaitu:

› Design weight merupakan kebalikan dari overall sampling fraction, yaitu:

Tahap Indeks Unit Populasi Sampel Metode Peluang Fraksi sampling

1 psu PPS WR

2 ssu SRS WR

Two Stage Sampling (PPS WR-SRS WR)

› Jika merupakan nilai karakteristik yang diteliti pada psu ke-i ssu ke-j maka :

Unbiased estimator untuk total karakteristik yang hanya didasarkan pada psu ke-i adalah:

Unbiased estimator untuk total karakteristik berdasarkan seluruh sampel psu adalah:

› Unbiased estimator untuk sampling varians adalah:

POKOK BAHASAN

2

TWO STAGE SAMPLING

(PPS WR-PPS WR)

Two Stage Sampling (PPS WR-PPS WR)

› Misalkan suatu survei dilakukan dengan penarikan sampel dua

tahap (two stage sampling), dengan tahapan sebagai berikut :

– Tahap pertama, dari N unit penarikan sampel tahap pertama

dipilih n unit dengan menerapkan metode penarikan sampel

sebanding terhadap ukuran unit Xi dengan pemulihan (PPS

WR). Nilai-nilai Xi untuk seluruh unit untuk penarikan sampel

tahap pertama harus tersedia sehingga dapat dihitung

– Tahap kedua, misalkan pada setiap unit psu yang terpilih

memuat Mi unit ssu, selanjutnya dipilih mi unit dengan

menerapkan metode PPS WR dengan size .

Two Stage Sampling (PPS WR-PPS WR)

› Skema Sampling (Sampling Scheme)

› Overall sampling fraction merupakan perkalian fraksi sampling antartahap penarikan sampel, yaitu:

› Design weight merupakan kebalikan dari overall sampling fraction, yaitu:

Tahap Indeks Unit Populasi Sampel Metode Peluang Fraksi sampling

1 psu PPS WR

2 ssu PPS WR

Two Stage Sampling (PPS WR-PPS WR)

› Jika merupakan nilai karakteristik yang diteliti pada psu ke-i ssu ke-j maka :

Unbiased estimator untuk total karakteristik yang hanya didasarkan pada psu ke-i adalah:

Unbiased estimator untuk total karakteristik berdasarkan seluruh sampel psu adalah:

› Unbiased estimator untuk sampling varians adalah:

POKOK BAHASAN

3

PENENTUAN UKURAN SAMPEL UNTUK TWO STAGE SAMPLING

Penentuan Ukuran Sampel

› Secara umum tujuan daripada penarikan sampel adalah untuk menduga parameter-parameter populasi dengan presisi yang ditentukan pada biaya yang minimum.

› Presisi dalam hal ini biasanya dinyatakan dengan varians daripada statistik yang dihasilkan. Semakin rendah varians yang diharapkan, maka semakin tinggi biaya yang harus disiapkan.

› Fungsi biaya yang sederhana dalam kaitannya dengan rancangan penarikan sampel dua tahap dapat dinyatakan sebagai persamaan sebagai berikut :

atau

› Biaya tetap seperti biaya penentuan desain, analisis dan sebagainya yang tidak dipengaruhi besarnya sampel tidak dimasukkan dalam perhitungan.

Penentuan Ukuran Sampel› Ukuran sampel optimum dengan kendala varians minimum (diusahakan

sekecil mungkin dengan biaya telah ditentukan) adalah sebagai sebagai berikut :

› Keterangan:

, bila penarikan sampel tahap pertama SRS

Penentuan Ukuran Sampel

› Total varians:

› Bila varians (tingkat presisi), misalnya telah ditetapkan,

maka ukuran sampel tahap pertama yang optimum adalah:

› Ukuran sampel tahap kedua yang optimum dapat juga

dinyatakan dalam kaitannya dengan intra-class correlation

(rho), yaitu :

POKOK BAHASAN

4

STRATIFIED TWO STAGE SAMPLING

(SRS WR-SRS WR)

Stratified Two Stage Sampling

› Rancangan penarikan sampel bertahap dapat juga dilaksanakan di bawah

rancangan penarikan sampel berstrata.

› Oleh sebab itu, sebelum penarikan sampel dilaksanakan, unit-unit penarikan

sampel tahap pertama (psu) terlebih dahulu dikelompokkan berdasarkan

kemiripan karakteristik yang dimilikinya.

› Variabel yang digunakan untuk dasar pembentukan strata dapat berupa

variabel kuantitatif maupun variabel kategorik.

› Misalkan suatu populasi dibagi habis menjadi L strata, menyatakan banyaknya

psu dalam strata ke-h sehingga:

› menyatakan banyaknya ssu pada psu ke-i dalam strata ke-h dan menyatakan

banyaknya unit penarikan sampel tahap kedua (secondary sampling unit – ssu )

pada seluruh strata.

Stratified Two Stage Sampling

› Misalkan nh adalah banyaknya sampel psu yang ditarik dari strata

ke-h, dan mhi menyatakan banyaknya sampel ssu yang ditarik dari

psu ke-i strata ke-h.

› Secara skematis kerangka sampel penarikan sampel dua tahap

dalam rancangan penarikan sampel berstrata sebagai berikut:

Strata 1 (N1= 4) Strata 2 (N2 = 3) Strata 3 (N3 = 2)     

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)

› Estimator tak bias bagi total karakteristik dalam strata dinyatakan sebagai .

› menyatakan nilai karakteristik pada ssu ke-j dalam psu ke-i strata ke-h (h = 1, 2, 3, …,L ; i =1, 2, 3,… dan j = 1, 2, 3, …,).

› Penarikan sampel tahap pertama pada setiap strata menerapkan metode penarikan sampel acak sederhana dengan pemulihan, yaitu dari unit dipilih sebanyak unit, demikian juga penarikan sampel pada tahap kedua dari ssu dipilih unit dengan menerapkan penarikan sampel acak sederhana dengan pemulihan.

› Jumlah sampel pada penarikan sampel tahap pertama dan kedua masing-masing adalah

.

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)

› Sampling Scheme untuk strata ke-h

Tahap Unit Populasi Sampel Metode PeluangFraksi

sampling

1 psu srs wr

2 ssu srs wr

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)

› Misalkan merupakan nilai karakteristik y pada strata ke-h psu ke-i ssu ke-j, maka:

• Unbiased estimator untuk total karakteristik pada strata ke-h berdasarkan psu ke-i dirumuskan:

• Unbiased estimator untuk total karakteristik y pada strata ke-h berdasarkan keseluruhan sampel psu di strata ke-h dirumuskan:

• Estimasi sampling varians untuk estimasi total karakteristik di strata ke-h adalah:

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)

• Unbiased estimator untuk total karakteristik populasi merupakan penjumlahan dari estimasi total karakteristik untuk semua strata, dirumuskan:

• Estimasi sampling varians untuk estimasi total karakteristik populasi adalah:

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)› Jika total ukuran sampel tahap pertama (n) dialokasikan sebanding

terhadap ukuran strata (Nh), dan fraksi sampling pada penarikan sampel

tahap kedua sama, yaitu sebesar k untuk seluruh unit penarikan sampel tahap pertama, maka akan diperoleh estimator yang tertimbang secara otomatis (self-weighting estimator).

› Ukuran sampel pada penarikan sampel tahap kedua akan bervariasi sebanding terhadap ukuran populasi pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang terpilih.

› Suatu rancangan penarikan sampel yang menghasilkan estimator yang tertimbang secara otomatis disebut sebagai rancangan penarikan sampel tertimbang otomatis (self-weighting design)

› Ukuran sampel pada penarikan sampel tahap pertama untuk masing-masing strata adalah

› Ukuran sampel pada penarikan sampel tahap kedua untuk masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama yang terpilih adalah

atau

Stratified Two Stage Sampling (SRS-SRS)

› Dengan demikian, maka unbiased estimator bagi total karakteristik Y adalah

› Estimasi sampling variansnya:

› Keterangan:Penerapan rancangan penarikan sampel tertimbang otomatis pada desain di atas memang menguntungkan bila ditinjau dari aspek pengolahan data (tabulasi), tetapi ditinjau dari aspek lapangan kurang praktis terlebih bila populasi penarikan sampel tahap kedua diperoleh langsung di lapangan.

POKOK BAHASAN

5

STRATIFIED TWO STAGE SAMPLING

(PPS WR-SRS WR)

Stratified Two Stage Sampling (PPS-SRS)

› Estimator tak bias bagi total karakteristik Y dalam strata

dinyatakan sebagai Yh, dan yhij menyatakan nilai karakteristik Y

pada ssu ke-j dalam psu ke-i strata ke-h (h = 1, 2, 3, …L; i =1, 2, 3,

…nh dan j = 1, 2, 3, …mhi).

› Penarikan sampel tahap pertama pada setiap strata

menerapkan metode penarikan sampel berpeluang sebanding

terhadap ukuran Xi, yaitu dari Nh unit dipilih sebanyak nh unit,

sedangkan penarikan sampel pada tahap kedua dari Mhi unit

dipilih mhi unit dengan menerapkan penarikan sampel acak

sederhana dengan pemulihan.

Stratified Two Stage Sampling (PPS-SRS)

› Skema Sampling

Tahap Unit Populasi Sampel Metode PeluangFraksi

sampling

1 psu PPS WR

2 ssu SRS WR

Stratified Two Stage Sampling (PPS-SRS)

› Unbiased estimator untuk total karakteristik di strata ke-h adalah:

› Untuk seluruh strata, estimasi total tak bias merupakan penjumlahan dari seluruh estimasi total dari masing-masing strata, yaitu:

› Estimasi varians sampling:

Keterangan:

POKOK BAHASAN

6

RATIO ESTIMATOR UNTUK STRATIFIED

TWO STAGE SAMPLING

Ratio Estimator

› Misalkan selain variabel Y, variabel X juga merupakan variabel yang diteliti.

› Ratio estimator untuk estimasi strata ke-h:

› Ratio estimator untuk estimasi populasi:

Keterangan:

SOAL LATIHAN 1

It is proposed to estimate the average household expenditure per week on durable goods in a area containing 500 villages. A sample of n villages is to be selected with replacement proportional to the number of households in the village. From a selected village households selected at random are to be asked to report expenditure on durable goods. A preliminary estimate of the mean is known to be 30 drachmas. The variance of the sample average is given by

The cost function is known to be . Find the values of and which minimize the variance for the specified cost. Calculate the minimum variance.

SOAL LATIHAN 2

The village in a population are allocated to 10 strata and a field to field complete enumeration is made to find the total area under a perticular crop. From each stratum two villages are selected with replacement proportional to the number of fields growing the crop. From a selected village, a random sample of two fields growing the crop is taken and a plot of a given size and shape is put up at random in the field. Find the yield per plot and its standard error.

StratumArea

Under Crop

Village 1 Village 2

Plot 1 Plot 2 Plot 1 Plot 2

1 2850 32 247 125 41

2 375 60 72 54 68

3 1458 31 145 167 111

4 6643 205 171 59 110

5 7214 43 237 206 180

6 2920 167 113 178 193

7 2767 92 100 349 169

8 1583 81 69 87 99

9 3504 365 379 330 320

10 1451 86 182 141 185

TERIMA KASIHHave A Nice Sampling