modul ke: matematika bisnis · pdf file• presentasi materi berupa teori, contoh soal, dan...

Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNIS

Sri Purwaningsih,SE.,M.AkEKONOMI BISNIS

Manajemen dan Akuntansi

Sesi 1 ini akan membahas manfaat dari mempelajari Matematika Bisnis dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam perekonomian

www.mercubuana.ac.id

Defenisi Matematika Bisnis danTeori Himpunan dan Bilangan

Matematika Bisnis Sesi 1

DESKRIPSI MATA KULIAH

• Mata kuliah ini merupakan alat untukmenyederhanakan penyajian dan pemahamanmasalah dengan menggunakan bahasamatematik, suatu masalah dapat menjadi lebihsederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisadan dipecahkan.

KOMPETENSI• Mahasiswa mampu menerapkan konsep-

konsep matematika dalam bidang ekonomi.

METODE PEMBELAJARAN

1. Masing-masing mahasiswa diwajibkan membawa buku yang sama dengan buku yang dipakai oleh dosen supaya transfer ilmu bisa berjalan lebih baik.

2. Mahasiswa diharapkan siap untuk berpartisipasi aktif dalam kuliah dan diharapkan juga untuk secara mandiri aktif menemukan (discover) pengetahuan.

3. Di luar kelas, mahasiswa diharapkan aktif berdiskusi dengan teman-temannya.

4. Mahasiswa diwajibkan mempresentasikan hasil diskusi mengenai materi sesuai dengan pembagian kelompok.

5. Dosen akan memberikan kuis mendadak di awal atau akhir kuliah.

6. Mahasiswa diwajibkan membuat seluruh tugas yang diberikan.

Sesi MATERI KULIAH

1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus .Kegunaan Matematika secara

umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangan

2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis

3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan

Pertumbuhan penduduk

4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (Keseimbangan

pasar, pajak dan subsidi)

6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan fungsi

konsumsi)

7 Fungsi Kuadrat

8 MIDTEST

9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan

Bisnis

10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk

11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan

Bisnis

12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu

13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen)

14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)

15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)

16 U A S

PENILAIAN• UTS/Mid Tes 20%• UAS/Final Tes 30%• Presentasi Materi berupa teori, contoh soal,

dan jawaban 40%• Kehadiran 10%

TATA TERTIB PERKULIAHAN

• Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuaidengan jadwal atau kesepakatan kelas.

• Toleransi keterlambatan 15 menit.• Apabila mahasiswa terlambat tetap

diperbolehkan masuk untuk mengikutiperkuliahan namun dianggap tidak hadirtanpa alasan (bolos) dalam presensi.

• Apabila dosen terlambat makamahasiswa yang datang sebelumnyamendapatkan point bonus 5.

• Jumlah kehadiran minimal 75% daritatap muka (tatap muka minimal 12 kalidan maksimal 14 kali).

• Apabila mahasiswa tidak dapatmemenuhi maka tidak akanmendapatkan nilai (walaupun mengikutiseluruh perkuliahan).

• Bolos (tidak masuk tanpa ijin) maksimal 3kali

• Tidak masuk karena sakit atau ijinmenggunakan surat tidak dianggap bolos

• Apabila dosen tidak dapat hadir makaperkuliahan tetap ada dengan diberikantugas yang dikerjakan oleh mahasiswa. Bagimahasiswa yang masuk (menandatanganidaftar hadir) serta mengumpulkan tugasakan diberi point bonus 10

• Ketentuan ini berlaku apabila dosen sudah tidak hadir lebih dari 25% tatap muka minimal (tatap muka minimal 12 kali dan maksimal 14 kali).

• Menggunakan kemeja atau kaos berkerah, bercelana panjang atau rok, bersepatu, dan tidak mengenakan topi selama perkuliahan berlangsung

• Dosen wajib menyerahkan nilai akhir sesuai dengan tanggal pengumuman nilai di kalender akademik. Apabila ada pertanyaan mengenai nilai, dilayani sampai dengan 1 (satu) minggu setelah tanggal tersebut.

• Pengajuan ujian susulan, baik UTS maupun UAS, hanya dilayani apabila mahasiswa mengajukan surat permohonan yang disetujui oleh Ketua Jurusan S-1 Manajemen FE UMB. Alasan tidak dapat mengikuti ujian yang diterima adalah:

• sakit (melampiri surat keterangan dokter ataubukti mondok di rumah sakit)

• keluarga sakit keras/meninggal dunia (suratketerangan dari pengurus RT)

• INFORMASI TAMBAHANBila ada pertanyaan dapat menghubungi:Sri Purwaningsih0881.376.6157sri.purwaningsih2003@gmail.com

Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya kitatidak akan pernah terlepas dari kegiatanekonomi.Beberapa istilah-istilah dalamperekonomian keuangan perlu dipahamidiantaranya bunga tunggal, diskontotunggal, bunga majemuk, system kredit-cicilan, dan anuitas.

Sebelum membicarakan tentang bahasanbunga tunggal, bunga majemuk danseterusnya akan diberikan defenisimatematika dan pembahasan tentangprinsip-prinsip matematika yangdigunakan dalam ekonomi dan bisnis.

DEFENISI MATEMATIKA• Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari

atau belajar. Dengan mempelajarimatematika, seseorang akan terbiasamengatur jalan pemikirannya dgnsistematis.

• Berpikir matematis: Seseorang yg hendakmenem-puh jarak 2 mil akan MEMILIHnaik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jikawaktunya banyak terluang atau sedangberolah raga.

• Untuk dapat mengenderai mobil, harusbelajar menyupir. Untuk dapat supir mobilyang baik, dia perlu pengetahuanmatematika. Matematika, merupakansarana = pendekatan untuk suatu analisa.

• Dengan mempelajari matematika,membawa seseorang kepada kesimpulandalam waktu yang singkat.

PENGGOLONGAN DAN JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI

JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI 1. ILMU DESKRITIF.GAMBARAN TENTANG SUATU KONDISI ATAUKEADAAN DENGAN SEBENARNYA.CONTOH : TURUN NILAI KURS RUPIAH TERHADAP US DOLLAR.

2. TEORI ILMU EKONOMI.(TEORI EKONOMI).DIDASARKAN PADA KONDISI NYATA YANG TERJADI PADA MASYARAKAT TERUTAMA SIFAT-SIFAT HUBUNGAN EKONOMI.CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIKJIKA HARGA TURUN, SEBALIKNYA PERMINTAAN AKAN TURUN JIKA HARGA NAIK.

3. TEORI EKONOMI APLIKASI.MENGANALISA DAN MENELAAH TENTANG HAL-HAL YANG PERLU DILAKUKAN MENGENAI SUATU KEJADIAN DALAM PEREKONOMIAN.

Ekonomi dan MatematikaEkonomi

Analisis ekonomi tidak berbeda jikamenggunakan pendekatan matematisdibanding dengan tanpa pendekatanmatematis. Bedanya/keuntungannya:

a. Dengan pendekatan matematis, persoalanatau pokok bahasan menjadi sederhana.

b. Dengan pendekatan matematis, berartimengaktifkan logika dengan asumsi-asumsinya.

Dapat memakai sebanyak n variabel dalammenggambarkan sesuatu (hubungan antar

variabel)Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), dimana:Pr = harga komoditi yang bersangkutanInc = pendapatan, Pi = harga komoditi substitusi

Kelemahannya pendekatan matematis:a. Bahasa matematis tidak selalu mudah

dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga seringmenimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimanamengartikan persamaan matematistersebut,misal dalam: permintaan, produksi,pendapatan nasional, dan lain-lain sehingga ahliekonomi sulit memetik keuntungan darimatematika.

a. Seorang ahli ekonomi yang memilikipengetahuan dasar matematika, adakecenderungan:1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan

persoalan secara matematis2. Membuat beberapa asumsi yang kurang

tepat demi memudahkan pendekatanmatematis atau statistis. Artinya, lebihbanyak berbicara matematika dan statistikadari pada prinsip/ teori ekonomi.

Kesimpulan dari bahasa adalah:1. Matematika merupakan pendekatan bagi

ilmu ekonomi.2. Pendekatan matematis merupakan “

mode of transportation” yaitu membawapemikiran kepada kesimpulan dengansingkat (model)

PRINSIP-PRINSIP MATEMATIKA YANGDIGUNAKAN DALAM EKONOMI DAN BISNIS

Dalam ilmu matematika, dikenalkan konsepbarisan dan deret aritmetika dan geometri.Konsep dari barisan dan deret tersebut dalambidang ekonomi antara lain digunakan dalammembahas tentang: model perkembanganusaha, model pertumbuhan penduduk, bungamajemuk, nilai masa datang dari anuitas, dancadangan, nilai sekarang dari anuitas, danpenyisihan pinjaman

• Jika perkembangan variable variable tertentudalam kegiatan usaha (misalnya: produksi,biaya,pendapatan,penggunaan tenagakerja,penanaman modal) berpola seperti barisanaritmetika, maka prinsip-prinsip barisanaritmetika dapat digunakan untuk menganalisaperkembangan variabel tersebut.

• Penerapan deret ukur yang paling konvensionaldibidang ekonomi adalah dalam halpenghitungan pertumbuhan penduduk,karenapenduduk dunia tumbuh mengikuti pola deretukur.

HIMPUNAN dan BILANGAN

DEFINISI HIMPUNAN

• Konsep himpunan adalah suatu konsepyang paling mendasar bagi IlmuMatematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis padakhususnya.

• Dalam bidang ekonomi dan bisnisterutama dalam hal pembentukan modelkita harus menggunakan sehimpunan atausekelompok data observasi dari lapangan

HIMPUNANPengertian HimpunanHimpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurungkurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atauobjeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukananggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasipembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurangatau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

-5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }3. D = { x | x < 20 , x ∈ A }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya

Jawaban:

= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }

3. D = { x | x < 20 , x ∈ A }

Keanggotaan Suatu Himpunan

Contoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 ∈ A 1 ∉ B3 ∈ A 3 ∉ B5 ∈ A 5 ∉ B7 ∈ A 7 ∉ B9 ∈ A 9 ∉ B

2 ∈ B 2 ∉ A4 ∈ B 4 ∉ A6 ∈ B 6 ∉ A8 ∈ B 8 ∉ A

10 ∈ B 10 ∉ A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

12 ∈ B 12 ∉ A

Catatan: Lambang ∈ dibaca “elemen” atau anggotaLambang ∉ dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau ∅

Contoh:

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yangtingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilanganprima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Himpunan LepasDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika keduahimpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling LepasDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyaianggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P ⊄ Q

Himpunan SemestaDefinisi :Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan

Contoh :

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

D = { 2,3,5,7,11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Olehkarena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapiangka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunansemesta dari himpunan E

HIMPUNAN BAGIANDefinisi:A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiapanggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A ⊂ B

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggotahimpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagiandari himpunan A, jadi B ⊂ A

b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat didalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagiandari himpunan A, jadi C ⊄ A

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) makabanyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)

Contoh:Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dariB adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dariC adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan Sama

Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunanitu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan EkuivalenDefinisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota keduahimpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Contoh :P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlahanggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∩ Q

P ∩ Q = { d, e }Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B adalah himpunan semuaobjek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggotahimpunan BContoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∪ Q

Jawab : P ∪ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

Komplemen (Complement)

{ }AxxA ∉= /'

• Komplemen dari himpunan A adalah himpunanyang terdiri dari unsur-unsur yang terdapat dalamhimpunan semesta U tapi tidak merupakan unsurdari himpunan A.

• Notasi : A’ atau Ā, maka

U

A’

Gabungan (Union) • Gabungan dari himpunan A dan B adalah

suatu himpunan dimana unsur-unsurnyaadalah unsur yang berada di A atau di B ataudikeduanya.

U

A B

BA ∪

Irisan (Intersection)

• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatuhimpunan yang unsur-unsurnya dimiliki oleh Adan juga dimiliki oleh B secara bersamaan.

U

A B

BA ∩

Selisih Himpunan (Set Difference)

• Selisih dari dua himpunan A dan B adalahsuatu himpunan yang semua unsur-unsurnyatermasuk di A tetapi tidak termasuk di B.

U

A B

BA −

Diagram VennLangkah-langkah menggambar diagram venn

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupianggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana

segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilahanggotanya apabila belum lengkap

Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

6

3

2 4

15

8 10

9

12

A

B

C

S

7

111314

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

0

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B = {siswa gemar menari} n(B) = 16

A ∩ B = {siswa gemar keduanya} n(A ∩ B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11 6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B }M = { x | x > 15, x ∈ S }N = { x | x > 12, x ∈ S }Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x > 15, x ∈ S } = { 16,17,18,19,20}N = { x | x > 12, x ∈ S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}M ∩ N = { 16,17,18,19,20 }

16

17

18

1920

MN

13

14 15

S

11

12

Diagram Vennya adalah sbb:

Contoh 4:Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

Maka A ∩B = {suka keduanya}(A ∩B)c = {tidak suka keduanya} n((A ∩B)c) = 5

n(A ∩B) = x{siswa suka bakso saja} = 20 - x{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

xA B20 - x 46 - x

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+560 = 71 - x

X = 71 – 60 = 11a. Yang suka keduanya adalah x

= 11 orangb. Yang suka bakso saja adalah

20-x = 20-11= 9 orangc. Yang suka siomay saja adalah

46-x = 46-11= 35 orang

Latihan 1Dari survei terhadap 270 orang didapatkanhasil sbb :64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang,26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dankacang, 22 suka bolu dan kacang, 14 sukaketiga jenis makanan tersebut.Berapa orang tidak suka makan semua jenismakanan yang disebutkan di atas ?

PenyelesaianA = {orang yang suka donat}B = {orang yang suka bolu}C = {orang yang suka kacang }|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| –

|B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154

Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanantersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang jenissayur

Penyelesaian64 suka donat,94 suka bolu58 suka kacang,

26 suka donat & bolu,28 suka donat & kacang,22 suka bolu & kacang14 suka ketiga jenis makanan tsb

a + b + d + e = 64b + c + e + f = 94d + e + f + g = 58

b + e = 26d + e = 28e + f = 22e = 14

b= 12

e = 14

d = 14 f = 8

c = 60a = 24

g = 22

KACANG

DONAT BOLU

yang tidak suka makanan = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116

Latihan 2Gambarkan sebuah diagram venn untukmenunjukkan himpunan universal U danhimpunan-himpunan bagian A serta B jika :U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

Himpunan Bilangan Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunanbilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam),yaitu ,1,2,3,... Notasinya adalah N.Himpunan N tertutup terhadap operasi-operasi perkalian danpertambahan. Artinya bila kita lakukan operasi-operasitersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya jugamerupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi pengurangandan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutupterhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bilakita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilanganasli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru.a – b akan menghasilkan bil asli bila a > ba : b akan menghasilkan bil asli bila a merupakan kelipatan darib

Beberapa operasi himpunan diantaranya :1.2.3.4.5.67.

Operasi Himpunan (Set Operation)

ABBA ∪=∪

ABBA ∩=∩

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩

( ) ''' BABA ∩=∪

( ) ''' BABA ∪=∩

( ) AA =' '

ABBA −≠−

Adapun operasi penambahan dan perkalian padabilangan asli tunduk pada hukum-hukum berikut:

1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan 2.(a+b)+c=a+(b+c); hukum asosiasi penjumlahan 3. axb = bxa ; hukum komutasi perkalian 4. (a+b)xc = ac+bc ; hukum distribusi perkalian

• Karena bilangan asli tertutup untuk operasipengurangan dan pembagian, maka paramatematikawan menciptakan bilangan nol, bilanganbulat negatif dan bilangan pecahan.

• Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal.Desimalnya selalu berakhir atau berulang.Misal: ½ = 0,5

13/11 = 1.1818181818...2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang)

11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)

• Gabungan bilangan bulat dan bilanganpecahan disebut bilangan rasional. Ternyatabilangan rasional juga tidak mampu untukmemenuhi akan bilangan matematika. Makapada tahun 500 SM, Phytagorasmemperkenalkan suatu bilangan yang disebutbilangan Irrasional.Misal: = 1,414213562...

= 3,141592654...e = 2,718281828...

2π

• Bilangan riil adalah bilangan yang mungkin bulat, mungkin pecahan dan mungkin irrasional.

Skema Himpunan Bilangan

Bilangan Kompleks

Bilangan Nyata (Riil)

Bilangan Irrasional Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Positif Nol Negatif

Bilangan Pecahan

Bilangan Khayal

PangkatAkar

&Logaritma

• Pangkat– Kaidah pemangkatan bilangan– Kaidah perkalian bilangan berpangkat– Kaidah pembagian bilangan berpangkat

• Akar– Kaidah pengakaran bilangan– Kaidah penjumlahan bilangan terakar– Kaidah perkalian bilangan terakar– Kaidah pembagian bilangan terakar

• Logaritma- Basis Logaritma- Kaidah-kaidah Logaritma- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatuindeks yang menunjukkan banyaknyaperkalian bilangan yang sama secaraberurutan.

• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

Pangkat

( )

.5

1 .4

dimana 8. 00 .3

7. .2

6. )0( 1 .1

1

0

b aba

aa

bcax

abba

a

aa

Xx

xx

acxx

x xxx

yx

yxxx

b

=

=

===

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠=

−

Kaidah Pemangkatan Bilangan

( )22515)53(53 :contoh

7293333 :contoh

2222

64242

==⋅=⋅=⋅

===⋅=⋅

+

+

aaa

baba

xyyx

xxx

Kaidah perkalian bilangan berpangkat

259

535:3 :contoh

:

91333:3 :contoh

:

222

24242

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

===

=

−−

−

aaa

baba

yxyx

xxx

Akar• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan

bilangan berpangkat. • Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang

memenuhi bilangan tersebut berkenaan denganpangkat akarnya (a).

• Bentuk umum :

mxxm aa == jika

b

b

b

bbb

ba

b a

bb

yx

yx

xxxy

xx

xx

=

⋅=

=

=

.4

.3

.2

.11

Kaidah pengakaran bilangan

Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar

• Bilangan-bilangan terakar hanya dapatditambahkan atau dikurangkan apabilaakar-akarnya sejenis.

b ab ab a xnmxnxm )( ±=±

bc ac ab

bbb

xx

xyyx

=

=⋅

.sebelumnyaakar -akar daripangkat kali hasilialah akarnyabaru -pangkat an;bersangkutbilangan

daribaru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari gandaAkar

sama. berpangkat akarnya-akar apabiladilakukan dapat hanyaPerkalian a.bilanganny-bilangan

kali hasil dariakar adalah erakar bilangan t-bilangan kali Hasil

Kaidah perkalian bilangan terakar

Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalahakar dari hasil bagibilangan-bilangannya. Pembagian hanyadapat dilakukanapabila akar-akarnyaberpangkat sama.

bb

b

yx

yx =

amxmmx xaa === log

LogaritmaBentuk akar Bentuk pangkat Bentuk

Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakankebalikan dari proses pemangkatan dan/ataupengakaran.

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkanbilangan yang dicari atau hendak dihitung padamasing-masing bentuk

• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama

dengan satu.• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10

(common logarithm)/(logaritma briggs)• logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24

• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier

• ln m berarti elogm

Basis Logaritma

mmxxnmmam

xmax

nmnm

nmmnx

x

nmxxax

mxax

xxxx

xxxx

==⋅⋅=

=⋅=

−==

+==

log .51logloglog 9. loglog .4

1loglog 8. log .3

loglog log 7. 01log .2

loglog log .6 1log .1

Kaidah-kaidah Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencaribilangan yang belum diketahui (bilangan anu)dalam sebuah persamaan, khususnyapersamaan eksponensial dan persamaanlogaritmik.

• Persamaan logaritmik ialah persamaan yangbilangan anunya berupa bilangan logaritma,sebagai contoh :log (3x + 298) = 3

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

• Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk 3x+1 = 27

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3

Latihan

Terima KasihSri Purwaningsih, SE.,M.Ak