modul kalkulus

MODUL

Kalkulus 2

Dosen : Diah Aryani M.Kom

Disusun Oleh :

Maylan Asmarani 1021464601

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN DAN ILMU KOMPUTER

STMIK RAHARJA

TANGERANG

(2013/2014)

MODUL 1

INTEGRAL TAK TENTU

1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu dan dapat

mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar Teori

Integral itu sendiri adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral

ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana

matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan

dengan solusi diferensiasi.

Lambang dari integral yaitu

Macam-macam integral terbagi dua, yaitu Integral tak tentu dan tentu. Bedanya

adalah  integral tak tentu tidak memiliki batas bawah dan batas atas sedangkan

integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah

Rumus-rumus integral tak tentu :

Jika f dan g dapat di integralkan atau memiliki anti turunan dan k dan c adalah

konstanta, maka:

3. Alat Dan Bahan

Alat Tulis

Grafik

4. Langkah Kegiatan

Contoh Soal :

Penyelesaian : (Untuk fungsi pangkat gunakan rumus No.3,)

Soal No 4

Penyelesaian : (Ubah kedalam bentuk pangkat,)

Soal No 5

Penyelesaian : (Ubah dahulu bentuk akar kedalam bentuk pangkat!)

Soal no 6

Penyelesaian : Untuk integral dan selisih gunakan rumus No. 4

Soal no 7 :

Penyelesaian : Ubah dulu bentuk akar ke dalam bentuk pangkat

Soal no 8 :

Penyelesaian : buka dahulu tanda kurung menggunakan rumus jumlah kuadrat

5. Tugas

MODUL 2

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI

TRIGONOMETRI

1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu fungsi

trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar Teori

Integral trigonometri atau lebih dikenal dengan Integral fungsi trigonometri

adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan invers

atau kebalikan dari turunan fungsi.

Rumus Integral Trigonometri

3. Alat Dan Bahan

Alat Tulis

Grafik 

4. Langkah Kegiatan

Contoh Soal dan Penyelesaian

a. ∫ cos x

√sin xdx

Penyelesaian :

= ∫ cos x

√sin xdx

=∫sin−12 x cos x dx

=1

−12

+1sin

−12

+1x+c

2 sin12 x+c2√sinx+c

b. ∫6 sin13 x cos5 xdx

Penyelesaian :

∫6 sin13 x cos5 xdx

=6.12∫ (sin (13x+5 x )+sin (13 x−5x ) )dx

=3∫ (sin 18 x+sin 8 x )dx

=3(−118

cos18x−18

cos8 x )+c=−16

cos18 x−38

cos8 x+c

c. ∫cos 2x cos3 x dx

Penyelesaian :

∫cos 2x cos3 x dx

=12∫ {cos (2 x+3 x )+cos (2x−3x ) }dx

=12∫ (cos5 x+cosx )dx

=12¿

=1

10sin 5 x+ 1

2sinx+c

d. ∫¿¿

Penyelesaian

∫¿¿

=∫(sin2¿x+2 sinx cosx+cos2 x)dx ¿

=∫(1+2 sinx cosx)dx

=∫¿¿

=x−12

cos 2x+c

e. ∫¿¿

Penyelesaian

∫¿¿

=∫( tan2¿x+2 tanxcotx+cot2 x)dx ¿

=∫{(sec2¿x−1)+(2. tanx .1tanx )+(cosec 2 x−1)}dx ¿

=∫ ( sec2 x−1+2+cosec x−1 )dx

=∫(sec 2¿x+cosec 2 x)dx ¿

=tan x−cot x+c

5. Tugas

∫¿¿ =………..

∫sin3 x dx = ………….

∫sin3 x cosx dx = ………

∫ cos2 xsin x−cos x

dx=…………..

∫sin23 x dx=………

MODUL 3

INTEGRAL DALAM SUBSTITUSI

TRIGONOMETRI

1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral dalam substitusi

trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar Teori

Integral subtitusi merupakan salah satu teknik penyelesaian integral khusus

termasuk juga teknik integral parsial. Oleh karena itu prasyarat mempelajari

materi integral subtitusi ini yaitu integral tak tentu fungsi aljabar , integral tak tentu

fungsi trigonometri serta integral tertentu.

Rumus substitusi trigonometri

Teknik pengintegralan berikutnya adalah integral subtitusi trigonometri yaitu integral

yang memuat bentuk-bentuk seperti dibawah ini,

Hasil subtitusinya seperti tabel 1 dibawah ini:

3. Alat Dan Bahan

• Alat Tulis

• Grafik

4. Langkah Kegiatan

Contoh Soal :

a.

Penyelesaian :

b.

Penyelesaian :

c.

Penyelesaian :

d.

Penyelesaian :

e.

Penyelesaian (gunakan cara subsitusi jadi lakukan permisalan dahulu)

lakukan substitusi ,

f.

Penyelesaian

misalkan

lakukan substitusi

g.

Penyelesaian

ingat rumus penjumlahan sudut

h.

Penyelesaian

ingat rumus trigonometri dan

i.

Penyelesaian

ubah dulu kebentuk yang untuk permisalan dan substitusi

misalkan

substitusi dan selesaikan integralnya

5. Tugas

∫cos3 x sin x dx = ……

∫sin5 x dx =……….

∫ cos3 xsin2 x

dx = ………..

MODUL 4

INTEGRAL PARSIAL

1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral parsial dan dapat meng-

implementasikannya dengan baik.

2. Dasar Teori

Integral parsial merupakan salah satu teknik pengintegralan jika teknik

integral yang lain tidak dapat diselesaikan seperti teknik integral

subtitusi atau integral tak tentu secara umum. Metode integral parsial didasarkan pada

integrasi untuk turunan hasil kali dua fungsi.

Jika u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integral parsial adalah:

Ada dua hal yang sangat penting dalam integral parsial dan akan menentukan berhasil

atau tidaknya pengintegralan, yaitu:

1. Pemilihan u dan dv yang tepat, memilih dv sehingga v dapat ditentukan

melalui v = ∫ dv

2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibandingkan ∫ u dv

3. Alat dan Bahan

Alat Tulis

Grafik

4. Langkah Kegiatan

a.

Penyelesaian :

b.

Penyelesaian :

c.

Penyelesaian :

Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan

mempertimbangkan prioritas permisalan, kita  

dan 

lalu

lakukan substitusi integral parsial

bentuk menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan

metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :

dan sama seperti sebelumnya

Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi

d.

Penyelesaian

berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan dan

lalu

lakukan substitusi dengan menggunakan integral parsial

lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan

kali ini dengan memilih lagi, dengan

. Karena persamaan u sama, langsung saja ke

persamaan dv,

substitusi untuk

tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

e.

Penyelesaian :

lakukan permisalan dan

substitusikan ke rumus integral parsial

untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi

biasa. Kita misalkan

lanjutkan substitusi

f.

Penyelesaian :

sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih permisalan

dan .

dan

masukan ke dalam rumus integral parsial

5. Tugas

MODUL 5

INTEGRASI FUNGSI RASIONAL

1. Tujuan

Mahasiswa mampu memahami integrasi fungsi rasional dan dapat

mengimplementaskannya dengan baik di mata kuliah kalkulus 2

2. Dasar Teori

Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk , dengan

p(x) dan q(x) masing-masing suatu polinom derajat m dan n, (m < n).

disebut polynomial derajat m.

Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk

menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial .

Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.

3. Alat dan Bahan

Alat Tulis

Grafik

4. Langkah Kegiatan

Contoh :

dx = dx

= dx + dx

A dan B dapat dicari melaui hubungan :

=

=

2x + 1 = A(x – 2) + B(x  -1)

2x + 1 = (A + B)x – 2A – B

(A + B) = 2 dan -2A – B = 1

A = -3 dan B = 5

= dx + dx

misal : u = x – 1 du = dx

v = x – 2 dv = dx

= du + dv

= -3 ln(u) + 5 ln(v) + C

= -3 ln(x-1) + 5 ln(x-2) + C

= ln + C

Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk sebagai berikut :

1. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor tersebut

berbentuk :

2. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor

tersbut berbentuk :

Agar lebih jelas tentang aturan tersebut, diberikan contoh-contoh berikut :

Contoh :

1. =

=

dengan A = B = D = 1 dan C = 0

2.

dengan A = 4, B = -1, dan C = 2

3.

dengan A = 1, B = -1, C = 3 D = -5 dan E = 0.

Untuk kasus nbm yaitu derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial ,

maka sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan

lebih dulu.

Contoh :

dx = …

Dalam hal ini = x3 - 1 berderajat 3 dan = x3 + x juga berderajat 3.

dx = (1 + + ) dx

= 1 dx + dx + dx

= 1 dx – dx + d –

= 1 dx – dx + d(x2 + 1) –

= x – ln x + ln(x2 + 1) – tan-1 x + C

Contoh :

Penyelesaian dibawah ini

Contoh :

Gunakan rumus di atas

5. Tugas

a.∫ (3 x2−22x+19 )dx

( x+2 ) ( x−3 )2=. ..

b.∫ dx

x3+x=. ..

c.∫ 2 x3+x+3

(x2+2 )2dx= .. .

d. ∫ 2x+1

x2−3 x+2dx=…

e. ∫ x3−1x3+x

dx=…

MODUL 6

INTEGRASI TERTENTU

( DEFINITE INTEGRAL)

1. Tujuan

Mahasiswa mampu memahami integrasi tertentu ( definite integral ) dengan

baik dan mampu mengimplementasikannya di mata kuliah kalkulus 2

2. Dasar Teori

Integral tertentu adalah nilai dari jumlah luas dibawah suatu kurva tertentu

dalam interval a ≤ x ≤ b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral

tertentu. Sebelum pembahasan lebih jauh saya yakin anda sudah menguasai materi

integral tak tentu, tapi kalau lupa silahkan direview lagi halaman lain blog ini, klik

tulisan berwarna. Integral tertentu dituliskan dalam notasi    disebut

integral tertentu karena hasilnya berupa nilai tertentu dan tidak lagi mengandung

konstanta.

Rumus dan Bentuk umum integral tertentu 

3. Alat dan Bahan

Alat Tulis

Grafik

4. Langkah Kegiatan

Contoh soal :

Penyelesaian :

Perhatikan bentuk harga mutlaknya. Dengan menggunakan definisi harga mutlak,

bentuk integral bisa dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk inverval dan

Contoh Soal : ∫−1

2

(4 x−6 x2 )dx

Penyelesaian :

∫−1

2

(4 x−6 x2 )dx=4∫−1

2

x dx−6∫−1

2

x2dx= 4

[ x2

2 ]−1

2

−6 [ x3

3 ]−1

2

= 4( 4

2−1

2 )−6 (83+ 1

3 ) = 12

5. Tugas

a. ∫ 1

√ x−3√ xdx=........

b. ∫1

4

(6 x2¿−2x2 )dx ¿=.......

c. ∫1

4

¿¿=......

MODUL 7

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

1. Tujuan

Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan

integral tertentu.

Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan

menggunakan integral tertentu.

Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan

menggunakan integral tertentu.

Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan

integral tertentu.

2. Teori Dasar

A. Luas Suatu Luasan

a) Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

R adalah bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik

y=f ( x ) , x=a , x=b , dan y=0

Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

A(R )=∫a

b

f ( x )dx

Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai

negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral

tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam

bentuk

A(R )=∫

a

b

− f ( x )dx=|∫a

b

f ( x )dx|

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-

langkah sebagai berikut :

a) Gambar daerah yang bersangkutan

b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu

c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang

d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut

e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh

integral tertentu.

b) Daerah antara 2 Kurva

Perhatikan kurva-kurva y=f ( x )dan y=g (x ) denganf ( x )≥g( x )pada

selang [a ,b ] , seperti gambar berikut :

ΔA≈ ( f ( x )−g( x ))Δx

Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:

A(R )=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah

kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan

dengan

A(R )=∫c

d

( f ( y )−g( y ))dy

c) Volume Benda Putar

o Pemutaran mengelilingi sumbu X

o Pemutaran mengelilingi sumbu Y

1. V=π∫

c

d

x2dy

2. V=π∫

c

d

( x12−x11

2 )dy

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung

dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi

tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali

antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi

benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat

dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

V=∫a

b

A ( x )dx

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu

daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua

buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

d) Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan

sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung

dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah

tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a ,b ] .

Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram

dinyatakan :

A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :

V=∫a

b

π ( f ( x ))2 dx

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x=g( y ) , x=0 , y=c dan y=d

diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

V=∫c

d

π (g( y ))2 dy

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 , f ( x )≥g (x )untuk

setiap x∈ [a ,b ] , x=a dan x=b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka

volume:

V=∫a

b

π ( f 2( x )−g2( x )) dx

Bila daerah yang dibatasi oleh x=f ( y )≥0 , x=g ( y )≥0 , f ( y )≥g ( y ) untuk

setiap y∈ [c ,d ] , y=c dan y=d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka

volume :

V=∫c

d

π ( f 2( y )−g2 ( y )) dy

e) Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume

benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan

dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai

tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang

akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita

lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-

turut r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

ΔV=(πr2−πr1)h=2π rh Δr

dengan :r2−r1

2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x ) , y=0 , x=a , x=b diputar

mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari

r=x dan Δr=Δx dan tinggi tabung h=f (x ) Oleh karena itu volume benda

putar yang terjadi adalah

V=∫a

b

2 π xf (x )dx

Misal daerah dibatasi oleh kurva

y=f ( x ) , y=g ( x ) , f ( x )≥g ( x ) , x∈ [a ,b ] , x=a dan x=bdiputar mengelilingi

sumbu Y. Maka volume benda putar

V=∫a

b

2 πx ( f ( x )−g ( x )) dx

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan

x=f ( y ) , x=0 , y=c , y=d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

V=∫c

d

2 πy ( f ( y )) dy

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

x=f ( y ) , x=g ( y ) , f ( y )≥g( y ) , y∈ [c ,d ] , dan y=c dan y=d diputar

mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan

dengan

V=∫c

d

2 πy ( f ( y )−g( y )) dx

3. Alat dan Bahan

Alat Tulis

Grafik

4. Langkah Kegiatan

Luas Suatu Luasan

Contoh Soal :

o Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam

koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan

integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

y

C (3,7)

x

B(3,0 )A(0,0 )

Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus

y− y Ax−xA

=y c− yAxc−x A

Diperoleh persamaan

y−0x−

=7−03−0

3 y=7 x atau y=7 x3

Sehingga luas yang dicari dinyatakan denA(R )=∫

a

b

f ( x ) dx

⇔∫0

37 x3dx=( 7

6x2)

0

3

=( 76

9)=10 ,5

Contoh Soal Volume Benda Putar

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y=x2

dan

y2=8 x diputar mengelilingi

a. sumbu X.

b. sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang [ 0,2 ] ,√8 x≥x2 .

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh

V=π∫0

2

( (√8x )2−(x2)2) dx=485π

b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2

8

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

V=π∫0

2

( (√ y )2−( y2

8 )2) dy=48

5π

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

y=2−x2 , y=−x dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis y=−2

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di (−1,1 ) dan (2 ,−2 ) . Pada selang [−1,0 ] berlaku

2−x2≥−x .

Jarak kurva y=2−x2 , y=−x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat

dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4−x ) dan

(2−x ).

Sehingga volume benda putarnya adalah:

V=π∫−1

0

( ( 4−x2)2−(2−x )2) dx=365π

Contoh :

3. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama

dibawah parabola

Jawab

y=2−x2 dan di atas parabola y=x

2 diputar mengelilingi sumbu Y.

V=2π∫0

1

x [ (2−x2)−x2 ]dx=π

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian

yaitu : pada selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu Y sedang pada

selang dibatasi 1≤ y≤2

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

V=π∫0

1

(√ y )2dx+π∫1

2

(√2− y )2dy=π

4. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 ,

sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda

pejal, (1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x

). Oleh karena itu,

volume benda putar :

V=2π∫−1

0

(1+x ) (1−x2)dx=56π

5. Tugas

I. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2−2 dan

y = 2 x2+x−4

II. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan

y = 5 – x

III. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = √ x dan y = -x + 6