modul kalkulus

Click here to load reader

Post on 03-Jul-2015

5.503 views

Category:

Documents

44 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

MODUL KALKULUS I Dosen Pembimbing Dra. Lusia Sugiyati Tim Penyusun Fisca Nandya Agustina (08.5644) Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647) Gilang Alip Utama (08.5651) Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665) I Gede Heprin Prayasta (08.5667) Jamiatul Mualifah (08.5686) Lidya Indah Aribi (08.5699) M. Aulia Rahman (08. 5709) Moh. Safiudin (08.5727) Muhamad Anwar (08. 5731) Nana Khaira (08.5737) SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Tahun Akademik2008 / 2009 KATA PENGANTAR Puji Syukur kami panjatkan kehadirat TuhanYang Maha Esa karena atas berkat dan rahmatBeliaulahkamidapatmerampungkanmodulmatakuliahKalkulusinitepatpada waktunya. Adapuntujuanpenyusunanmodulmatakuliahkalkulusiniadalahuntukmemenuhi tugasakhirsemestergenapini.Selainitukamiberharapmodulinidapatdigunakansebagai panduandalamsatuanacaraperkuliahanmatakuliahKalkulusI.Padamodulinikami berusahamenampilkanseluruhmateriangtercantumdalamsilabusacaraperkuliahanmata kuliahKalkulustahunakademik2008/2009,sertadidukungolehbeberapalatihansoal dilengkapi dengan pembahasannya. AkhirkatakamiucapkanterimakasihkepadaIbuLusiaSugiyatiselakudosen pembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satupersatuyangtelahmembantukamidalamprosespenyusunanmodulini.Kami menyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saran yangbersifatmembangunsangatdiharapkandemikesempurnaankaryakamiberikutnya. Terima Kasih. Jakarta, 28 Juli 2009 Penulis DAFTAR ISI Halaman Judul........................................................................................................................ i Kata Pengantar ......................................................................................................................... ii Daftar Isi................................................................................................................................ iii Fungsi Invers Trigonometri ..................................................................................................... 1 Integral Fungsi Trigonometri ................................................................................................... 7 Integral Parsial ......................................................................................................................... 7 Rumus Reduksi Trigonometri .................................................................................................8 Integral Substitusi Trigonometri ............................................................................................ 14 Integral Fungsi Rasional ........................................................................................................ 16 Integral Substitusi Lain .......................................................................................................... 26 Improper Integral ....................................................................................................................29 Fungsi Gamma & Fungsi Beta............................................................................................... 32 Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan ......................................40 Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi .............................................................. 42 Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin ...................................................................... 50 Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi ..................................................................... 50 Fungsi dua Variabel, Domain, Range ...................................................................................53 Turunan parsial, Aturan Rantai .............................................................................................. 55 Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang ......................................................................... 57 FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI I.TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 1.Turunan Fungsi Invers Sinus Perhatikangrafiky=sinx,kitamencatatbahwapadainterval2 / 2 / H s s H xpembatasansinxmenjadikannyasatu-satu.Kemudiankitamendefinisikansin-1 xsebagai fungsi inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi, 1.sin-1 x = y jika dan hanya jika sin y = x. 2.Domain sin-1 x adalah [-1,1]. 3.Range sin-1 x adalah [-/2, /2]. Grafik sin-1 x diperoleh dari grafik sin x dengan merefleksikan pada garis y= x.

1.1 2.Turunan Fungsi Invers Cosinus Jika kita membatasi domain cos x pada [0, ], kita mendapatkan fungsi satu-satu dengan range [-1,1]. Jadi kita mendefinisikan cos-1 x sebagai invers dari pembatasan tersebut. 1.cos-1 x = y jika dan hanya jika cos y = x. 2.Domain cos-1 x adalah [-1,1]. 3.Range cos-1 x adalah [0, ]. Grafik cos-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cos x pada garis y= x. 1.2 3.Turunan Fungsi Invers Tangen 211'] [sinUUUdxd= 211'] [cosUUUdxd= Dengan membatasi domain tan x pada interval (-/2, /2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah tan-1 x. Maka : 1.tan-1 x = y jika dan hanya jika tan y = x. 2.Domain tan-1 x adalah (-,+). 3.Range tan-1 x adalah (-/2, /2). Grafik tan-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = tan x pada garis y= x. 1.3 4.Turunan Fungsi Invers Cot Dengan membatasi domain cot x pada interval (0, ) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cot-1 x. Maka : 1.cot-1 x = y jika dan hanya jika cot y = x. 2.Domain cot-1 x adalah (-,+). 3.Range cot-1 x adalah (0, ). Grafik cot-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cot x pada garis y= x. 1.4 5.Turunan Fungsi Invers Sec Dengan membatasi domain sec x pada interval (0, /2) dan (, 3/2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah sec-1 x. Maka : 1.sec-1 x = y jika dan hanya jika sec y = x. 2.Domain sec-1 x adalah1 > y . 3.Range sec-1 x adalah (0, /2) dan (, 3/2). 1.5 211'] [tanUUUdxd+= 211'] [cotUUUdxd+= 1'] [sec21=U UUUdxd 6.Turunan Fungsi Invers Cosec Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0, /2) dan (, 3/2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cosec-1 x. Maka : 1.cosec-1 x = y jika dan hanya jika cosec y = x. 2.Domain cosec-1 x adalah1 > y . 3.Range cosec-1 x adalah (0, /2) dan (, 3/2). 1.6 Sumber : Schaum Kalkulus hlmn. 105 dan 106. II.INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral. 1.Integral Fungsi Invers Sin dan Cos 2.1 2.2 2.Integral Fungsi Invers Tan dan Cot 2.3 1'] [cos21=U UUU ecdxd C u C uudu+ = + = 1 12cos sin1 CauCauu adu+ = + = 1 12 2cos sina>0 C u C uudu+ = + =+ 1 12cot tan1 2.4 3.Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec 2.5 2.6 Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.

Contoh Soal : 1.Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos-1 (x2) Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 EdisiKelima hlmn. 419. Jawab : 3) 1 3 (=dxx d 42 112 )) ( (cosxxdxx d= 42 11) 2 () 1 3 ( ) ( cos 3xxx xdxdy + = 422 11) 6 2 () ( cos 3xx xxdxdy+ = C u ec C uu udu+ = + = 1 12cos sec1 CauaCaua u adu+ = + =+ 1 12 2cot1tan1a>0 CauecaCauaa u udu+ = + = 1 12 2cos1sec1a>0 2.Tentukan dy/dx dari |.|

\|+=xxy11tan1 Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419. Jawab : 2 2 2) 1 (2) 1 (1 1) 1 () 1 ( ) 1 )( 1 ( 11xxxx xxx xdxxxd+=+ + =+ + + =|.|

\|+ 22111) 1 (2|.|

\|+++=xxxxdxdy

1 2 222 1 2 12) 1 () 1 ( ) 1 () 1 (22 2 2 222 22+=+=+ + + +=+ + ++=xxxxx x x xxxx xxx 3.Tentukan dy/dx dari y = 7 cos-1 x 2Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419. Jawab : xdxx d21 2= 24 27) 2 1 ( 272 1217x xx x xxdxdy==||||.|

\| =4.Tentukan Integral dari +2 /02cos 1sintuuudSumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 420. Jawab : + =+2 /022 /02cos 1sincos 1sint tuuuuuud d +=02 /2cos 1sintuuud ) (cos tan102 /ut== tan-1 (1) tan-1 (0) 404t t= =5.Seorangberdiridiatassebuahbukitverticalkira-kira200kakidiatassebuahdanau.Dia melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik. Berapalajuperubahansudutpenglihatanapabilaperahuberadapadajarak150kakidari bukit itu? Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418. Jawab : Orang 200 XPerahu Dari gambar tampak bahwa Sudut depresi memenuhi hubungan|.|

\|=x200tan1uMakadtdxx dtdxx x dtd40000) 200 ( ) 200 () / 200 ( 112 2 2+=+=u Apabila kita substitusikan x = 150 dan dx/dt = 25, kita memperoleh d/dt=-0,08 radian tiap detik. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Apabilapengintegralan denganmetodesubstitusi tidak berhasil, denganmenerapkanmetode penggunaanganda,yanglebihdikenaledenganpengintegralanparsialdapatmemberikanhasi. Metode ini didasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi. Andaikan u=u(x) dan v=v(x). MakaDx[u(x)v(x)]= u(x)v(x) + v(x)u(x) dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh u(x)v(x) = +atau = u(x)v(x) - Karena dv = v(x) dx dan du = u(x) dx, persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut. Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah = uv Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah = [uv- Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral yangkeduadenganmetodeyangsamatetapipangkatdarixlebihkecil.Jadidisinipangkatdarix direduksiagarsamakinkecil,sehinggamasalahnyadapatdiselesaikan.Tekniksemacaminidikenal sebagai rumus reduksi, yang bentuk umumnya , dengan 0 < k < n. a.Rumus reduksi untuk Misalkan u = dan dv =, maka du =dx dan v =. Jadi kita mempunyai rumus reduksi - b.Rumusreduksiuntuk dan, n bilangan asli Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,..., == = -dan == =. Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu, = Misalkanu = dan dv = maka du = (n 1)danv = -akibatnya,