model nilai tukar dolar kanada terhadap …/model... · structural change is a pattern change...
Post on 06-Feb-2018
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA
TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV
SWITCHING GARCH
oleh
YUNITA EKASARI
NIM. M0108072
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2012
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Yunita Ekasari, 2012. MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TER-HADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH . Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Dolar Kanada merupakan salah satu dari mata uang komoditas yang aktifdiperdagangkan di pasar valuta asing. Data nilai tukar dolar Kanada terhadaprupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 memiliki sifat heteroske-dastisitas dan juga terdapat perubahan struktur. Model GARCH mampu me-modelkan adanya heterokedastisitas dengan baik namun tidak memperhitungkanadanya perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahanpola yang terjadi pada data runtun waktu. Markov Switching (MS ) merupakanalternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur.Dalam MS, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatuhasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak tera-mati. Dalam literatur sering disebut state. Banyaknya state diasumsikan ada duayaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi.
Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu yang sesuai un-tuk nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Data nilai tukar dolar Kanadaterhadap rupiah dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada modelGARCH atau sering disebut MS-GARCH. Hasil penelitian menunjukkan modeluntuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Fe-bruari 2002 sampai 29 Februari 2012 untuk state nol adalah ARMA(1,0) sebagaimodel rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi bersyarat.Sedangkan untuk state satu ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat danGARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat.
Kata kunci : dolar Kanada, heteroskedastisitas, perubahan struktur, MS-GARCH.
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Yunita Ekasari, 2012. EXCHANGE RATE MODEL OF CANADIAN DOLLAR TO RUPIAH USING MARKOV SWITCHING GARCH. Faculty of Ma-thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Canadian dollar is one of commodity currencies traded actively in foreigncurrency market. The data of Canadian dollar exchange rate to rupiah duringFebruary 1, 2002 to February 29 2012 period have heteroscedasticity property anda structural change, too. GARCH can model the presence of heteroscedasticitycorrectly but does not take into account the presence of structural change. Thestructural change is a pattern change occurring in the data time series. Markovswitching(MS) is an alternative of time series data modeling having structuralchange. In Markov Switching, change of model structural that occured is notconsidered as a result of deterministic event but a result of random anobservedvariable. In literature, it is called state. It is assumed that there are two numberof states : state zero for low volatility and state one for high volatility.
The purpose of this final project is to determine an appropriate time seriesmodel for exchange rate of Canadian dolar to rupiah. The data is modeled byinvolving Markov Switching in GARCH model or frequently called MS-GARCH.The result of research shows that a model to forecast the exchange rate of Cana-dian dolar to rupiah during February 1, 2002 to February 29 2012 period for statezero is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,0) as conditional variancemodel, while state one is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,1) asconditional variance model.
Key words : Canadian dollar, heteroscedasticity, structural change, MS-GARCH.
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MOTO
Tidak ada simpul yang tidak dapat diurai, tidak ada masalah yang tidak dapat
diselesaikan asalkan kita mempunyai kesabaran
Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu dengan
kesiapan
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Ibu dan Bapakku tercinta,
Adikku Tony Hendra Prasetya,
Keluargaku Tisanda 2,
Elza, Agatha, Indriya dan Umi.
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain
itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah mem-
bantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada Bapak Drs. Sugiyanto,
M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Drs. Pangadi, M.Si. selaku Dosen
Pembimbing II atas kesabarannya membimbing dan memotivasi penulis dalam
penyusunan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Juli 2012
Penulis
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Isi
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II LANDASAN TEORI 5
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Model Runtun Waktu dan Stasioneritas . . . . . . . . . . 7
2.1.2 ACF dan PACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.4 Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Estimasi Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.6 Uji Autokorelasi Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.7 Uji Heterokedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.8 Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.9 Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.10 Kriteria Informasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.11 Model Markov Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.12 Model Markov Switching GARCH . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.13 Probabilitas Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.14 Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat 21
2.1.15 Fungsi Likelihood MS-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.16 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH . . . 25
2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IIIMETODE PENELITIAN 28
IVPEMBAHASAN 30
4.1 Deskripsi Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Pengujian Karakteristik Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Pembentukan Model Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.1 Identifikasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.2 Estimasi Parameter Model ARMA . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.3 Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 34
4.4.3.1 Uji Autokorelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.3.2 Homokesdastisitas Variansi . . . . . . . . . . . . 35
4.4.4 Uji Efek Heteroskedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.4.1 Uji Korelasi Kuadrat Residu . . . . . . . . . . . . 36
4.4.4.2 Uji Lagrange Multiplier . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.5 Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4.6 Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.7 Model Markov Switching GARCH . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.8 Peramalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.8.1 Peramalan Volatilitas . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.8.2 Peramalan Rata-Rata Bersyarat . . . . . . . . . . 41
4.4.9 Validasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V PENUTUP 44
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
DAFTAR PUSTAKA 45
x
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Tabel
2.1 Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . . 9
4.1 Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return . . . . . . . 34
4.2 Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . . 35
4.3 Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 37
4.4 Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0) . . . . . . 38
4.5 Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 39
4.6 Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan . . . 40
4.7 Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Inte-
rval Konfidensi 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.8 Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam
Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% . . . . . . . . 42
4.9 Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . 42
4.10 MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . 42
xi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Gambar
4.1 Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . 30
4.2 Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah 31
4.3 Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . 31
4.4 Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar
Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar
Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada ter-
hadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Plot Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0) . . . . 36
xii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR NOTASI
Pt : data pada waktu ke-t
rt : log return pada waktu ke-t
T : jumlah observasi
E() : harga harapan
γk : autokovariansi pada lag-k
ρk : autokorelasi pada lag-k
ϕkk : autokovariansi parsial
ϕ : parameter autoregressive
θ : parameter rata-rata bergerak
p : orde parameter autoregressive
q : orde parameter rata-rata bergerak
µ : rata-rata
σ2 : variansi
x : variabel bebas
S∗ : jumlah kuadrat residu
εt : residu rata-rata bersyarat pada waktu t
ut : deret white noise berdistribusi normal dengan variansi satu
Ψt : himpunan semua observasi samapai waktu ke-t
α : parameter GARCH
β : parameter GARCH
st : state
f() : fungsi densitas probabilitas
α : parameter GARCH
pij : probabilitas transisi state i akan diikuti state j
pjt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt−1
xiii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Ij(st) : fungsi indikator bernilai nol atau bernilai satu
φjt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt
lt : fungsi log likelihood pada waktu ke-t
Θ : vektor parameter MS-GARCH
χ2 : statistik uji Breuch-Godfrey
ξ∗ : statistik uji Lagrange Multiplier
Q : statistik uji Ljung Box
F : statistik uji Chow Break Point
H0 : hipotesis nol
H1 : hipotesis alternatif
xiv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan hampir semua negara di
dunia menganut sistem perekonomian terbuka. Perekonomian terbuka meng-
gambarkan suatu kondisi dimana antar negara melakukan suatu hubungan, baik
secara ekonomi melalui perdagangan internasional maupun politik. Perdagang-
an internasional mengakibatkan munculnya masalah baru yakni perbedaan mata
uang antar negara-negara yang bersangkutan. Harga suatu mata uang terhadap
mata uang yang lainnya disebut nilai tukar (kurs). Nilai tukar merupakan alat
untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara.
Sejak 14 Agustus 1997, Indonesia menganut sistem nilai tukar mengambang
bebas (free floating exchange rate system). Nilai tukar rupiah dibiarkan secara
bebas bergerak berdasarkan mekanisme pasar. Akibatnya nilai tukar rupiah ter-
hadap mata uang asing sangat berfluktuasi. Salah satu mata uang yang dapat
mempengaruhi pergerakan perekonomian dunia adalah dolar Kanada yang me-
rupakan salah satu dari commodity currency yang aktif diperdagangkan di pasar
valuta asing (Haruko [9]). Fluktuasi nilai tukar memberikan dampak yang besar
terhadap perekonomian sehingga diperlukan manajemen nilai tukar yang baik,
yang menjadikan nilai tukar stabil. Fluktuasi nilai tukar dolar Kanada terhadap
rupiah dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu karena merupakan
himpunan observasi terurut.
Menurut Cryer [4], salah satu model runtun waktu untuk data stasioner
adalah Autoregressive Moving Average (ARMA). Model ARMA memiliki asumsi
variansi eror yang konstan, yang dikenal dengan istilah homoskedastisitas. Da-
ta runtun waktu finansial sering mengalami perubahan volatilitas dari waktu
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ke waktu sehingga variansi dari eror berubah setiap waktu (heteroskedastisitas).
Hal ini mengakibatkan asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi. Berdasarkan
kenyataan tersebut, diperlukan model yang dapat menggambarkan pergerakan
variansi eror.
Engle [5] memperkenalkan model Autoregressive Conditional Heteroscedas-
ticity (ARCH ) untuk memodelkan variansi eror. Model ARCH dalam penera-
pannya memiliki kelemahan yaitu ketika diperoleh orde ARCH yang besar me-
nyebabkan presisi estimator berkurang. Bollerslev [2] memperkenalkan model
Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH ) yang me-
rupakan generalisasi dari model ARCH. Namun, baik model ARCH maupun
GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktur serta tidak dapat mende-
teksi pergeseran volatilitas.
Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching(MS ) sebagai alternatif
pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktur. Perubahan
struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu.
Dalam Markov Switching, perubahan struktur yang terjadi tidak dianggap seba-
gai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random
tak teramati(unobservable) dan dalam literatur sering disebut state atau regime.
Hamilton [7] melibatkan Markov Switching pada model Autoregressive dan meng-
hasilkan model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dengan baik, namun
belum bisa menjelaskan adanya pergeseran volatilitas. Selanjutnya, Hamilton
dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, dikenal de-
ngan model MS-ARCH. Model ini mampu menjelaskan perubahan struktur dan
mendeteksi pergeseran volatilitas pada data. Gray [6] memperkenalkan model
Markov Switching GARCH (MS-GARCH ) yang mempunyai karakteristik yang
sama dengan MS-ARCH namun melibatkan parameter yang lebih sederhana. Pe-
nelitian tentang model (MS-GARCH ) banyak diterapkan dalam asset’s return,
diantaranya oleh Marcucci [12] dan Klaasen [10] pada stock market. Marcucci
[12] menggunakan rata-rata keseluruhan data sebagai rata-rata bersyarat MS-
GARCH. Dalam penelitian ini, (MS-GARCH ) akan diterapkan pada nilai tukar
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012
dengan rata-rata bersyarat model Autoregressive.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun perumusan masalah
sebagai berikut.
1. Bagaimana menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap
rupiah menggunakan MS-GARCH.
2. Bagaimana ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan
MS-GARCH untuk periode 1 Maret samapi dengan 8 Maret 2012.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penulisan skripsi ini diberikan untuk membatasi ru-
ang lingkup pembahasan masalah yaitu data yang digunakan adalah data harian
nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari Senin-
Jumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari
2012. Model yang digunakan adalah MS-GARCH dengan asumsi terdapat dua
state yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas
tinggi.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai
berikut.
1. Menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah meng-
gunakan MS-GARCH.
2. Menentukan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan
MS-GARCH.
3
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan, khu-
susnya dalam pengembangan model variansi eror yang melibatkan perubahan
state atau regime. Sedangkan manfaat praktisnya bagi pemerintah diharapkan
hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada dapat membantu dalam antisipasi kon-
disi perekonomian negara dan bagi pelaku pasar modal dapat membantu dalam
pengambilan keputusan.
4
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Tinjauan pustaka adalah pembahasan mengenai penelitian-penelitian se-
belumnya yang mendasari penelitian penulis. Penelitian tersebut diantaranya,
Engle [5], Bollerslev [2], Hamilton [7], Hamilton dan Susmel [8], Gray [6] Mar-
cucci [12] dan Klaasen [10].
Pemodelan variansi eror pertama kali diperkenalkan oleh Engle [5] meng-
gunakan model ARCH. Engle [5] membandingkan hasil estimasi antara model
standar yakni model klasik OLS dengan model ARCH melalui penaksiran mak-
simum likelihood. Data yang digunakan adalah data inflasi di U.K. periode 1958
sampai 1977. Hasil penelitian memperlihatkan bahwa model ARCH lebih baik
daripada model klasik OLS.
Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH yang merupakan genera-
lisasi dari model ARCH dengan mengikutsertakan variansi masa lalu untuk men-
jelaskan variansi masa yang akan datang. Model ini diterapkan pada data GNP
U.S. periode 1948 sampai 1983. Hasil penelitian menunjukkan modelGARCH (1,1)
lebih akurat daripada model ARCH (8).
Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching sebagai alternatif pemo-
delan data time series yang mengalami perubahan struktural. Model Markov
Switching dikombinasikan dengan model Autoregressive dan diterapkan pada da-
ta GNP U.S. periode 1952 sampai 1984. Hasil penelitian masih belum men-
deskripsikan volatilitas data.
Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH,
dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini diterapkan pada data harga saham
New York periode 31 juli 1962 sampai 29 desember 1987. Hamilton dan Susmel
5
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
[8] menggunakan dua sampai empat state dengan distribusi dari Gaussian dan
Student t. Hasil penelitian memperlihatkan model MS-ARCH mampu menje-
laskan pergeseran volatilitas dengan baik. Model ini memperlihatkan state yang
terbentuk ada tiga dan distribusi Student t lebih baik daripada Gaussian.
Gray [6] memperkenalkan model MS-GARCH yang diterapkan pada data
suku bunga U.S. periode Januari 1970 sampai April 1994. Gray [6] menggunakan
path-independent switching GARCH, dimana setiap conditional variance hanya
bergantung pada informasi di masa lalu. Model MS-GARCH lebih mudah dalam
menaksir parameter karena melibatkan parameter yang lebih sederhana.
Marcucci [12] menggunakan model standar GARCH dan Markov Regime
Switching GARCH pada data indeks saham S and P100 periode 1 Januari 1988
sampai 15 Oktober 2003. Masing-masing model menggunakan tiga distribusi yang
berbeda yaitu Normal, Student t dan Genaralised Error Distribution (GED).
Hasil penelitian menunjukkan model Markov Regime Switching GARCH dengan
distribusi normal lebih baik dibandingkan model lainnya.
Klaasen [10] menerapkan model GARCH dan MS-GARCH pada data ni-
lai tukar dolar Amerika terhadap GBP, mark Jerman dan yen Jepang periode 3
Januari 1978 sampai 23 Juli 1997. Hasil penelitian menunjukkan model GARCH
menghasilkan ramalan yang terlalu tinggi pada beberapa periode dan dapat dia-
tasi menggunakan model MS-GARCH.
Penelitian-penelitian tersebut membuat penulis tertarik untuk menerapkan
model Markov Switching GARCH pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap
rupiah. Penulis menggunakan model Autoregressive pada model rata-rata bersya-
ratnya dan menggunakan identifikasi model untuk menentukan ordeMS-GARCH.
Beberapa hal yang mendasari penelitian penulis diantaranya pengertian menge-
nai model runtun waktu dan stasioneritas, ACF dan PACF, log return, model
ARMA, model GARCH, model Markov Switching dan model Markov Switching
GARCH.
6
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.1 Model Runtun Waktu dan Stasioneritas
Pemodelan runtun waktu digunakan untuk meramalkan data periode waktu
ke depan. Menurut Makridakis et al [11], peramalan kuantitatif dapat diterap-
kan apabila memenuhi tiga kondisi, yaitu tersedia informasi tentang masa lalu,
informasi tersebut dapat dibentuk menjadi data numerik, dan dapat diasumsi-
kan bahwa aspek pola data di masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang.
Asumsi yang diperlukan untuk menentukan model adalah data dalam keadaan
stasioner.
Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada da-
ta. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak
tergantung pada waktu dan tidak memperlihatkan perubahan variansi yang sig-
nifikan dari waktu ke waktu. Selain dari plot data, kestasioneran dapat dilihat
dari plot ACF.
2.1.2 ACF dan PACF
Autocorrelation Function(ACF ) merupakan fungsi yang menunjukkan be-
sarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu
sebelumnya. Sedangkan Partial Autocorrelation Function( PACF ) adalah fungsi
yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t
dengan pengamatan waktu sebelumnya.
Menurut Cryer [4], proses Yt dikatakan stasioner apabila E(Yt) = µ, V ar(Yt) =
σ2 adalah konstan dan
Cov(Yt, Yt+k) = E(Yt − µ, Yt+k − µ) = γk, (2.1)
dengan Cov(Yt, Yk) adalah fungsi dari selisih waktu |t − k|. Korelasi antara
(Yt, Yt+k) adalah
ρk = Corr(Yt, Yt+k) =Cov(Yt, Yt+k)√
V ar(Yt)√V ar(Yt+k)
=γkγ0, (2.2)
7
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dengan γ0 = V ar(Yt) = V ar(Yt+k) dan ρk adalah fungsi autokorelasi atau ACF.
ACF diestimasi oleh
ρ̂k =
∑Tt=k+1(Yt − Y )(Yt+k − Y )∑T
t=1(Yt − Y )2. (2.3)
Jika suatu runtun waktu stasioner, maka estimasi nilai ACF turun secara
cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag (selisih waktu). Sedang-
kan jika estimasi ACF turun secara perlahan mendekati nol atau nilai yang keluar
dari interval konfidensi membentuk pola tertentu maka runtun waktu tidak sta-
sioner.
Autokorelasi parsial antara Yt dan Yt+k adalah korelasi antara Yt dan Yt+k
setelah hubungan linearnya dengan Yt+1, Yt+2, ..., Yt+k−1 diabaikan. Autokorelasi
parsial antara Yt dan Yt+k dinotasikan dengan
ϕkk = Corr[Yt, Yt+k|Yt+1, Yt+2, ..., Yt+k−1] =ρk −
∑k−1j=1 ϕk−1,jρk−j
1−∑k−1
j=1 ϕk−1,jρk−j
, (2.4)
dengan ϕkk disebut fungsi autokorelasi parsial atau PACF.
2.1.3 Log Return
Return diinterpretasikan sebagai hasil yang diperoleh dari suatu investasi.
Studi mengenai ekonomi dan finansial lebih dititikberatkan pada return daripada
nilai sebenarnya. Menurut Tsay [13], log return dirumuskan sebagai berikut
rt = ln(Pt
Pt−1
) (2.5)
dengan rt adalah log return pada waktu ke t dan Pt adalah nilai tukar dolar
Kanada terhadap rupiah pada waktu ke t. Setelah data stasioner selanjutnya
data dimodelkan dengan ARMA.
2.1.4 Model ARMA
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan model runtun
waktu stasioner yang mengidentifikasikan persamaan regresi data dengan meng-
gunakan nilai masa lalunya atau kombinasi nilai masa lalu dan residual masa
8
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
lalunya. Menurut Cryer [4], ARMA mengandung dua komponen yaitu model AR
(Autoregressive) dan MA (Moving Average) dengan p adalah orde model AR dan
q adalah orde model MA.
Menurut Tsay [13], model AR(p) dinotasikan sebagai berikut
rt = ϕ1rt−1 + ϕ2rt−2 + ...+ ϕprt−p + εt (2.6)
dengan ϕ1, ϕ2, ..., ϕp adalah parameter model AR dan εt adalah eror model AR.
Sedangkan model MA(q) dinotasikan
rt = εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q (2.7)
dengan θ1, θ2, ..., θq adalah parameter model AR dan εt adalah eror model MA.
Model ARMA(p, q) merupakan gabungan dari model AR(p) dan MA(q) sehingga
dapat dituliskan sebagai berikut
rt − ϕ1rt−1 − ϕ2rt−2 − ...− ϕprt−p = εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q
rt = ϕ1rt−1 + ϕ2rt−2 + ...+ ϕprt−p + εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q.(2.8)
Menurut Bollerslev [2], ACF dan PACF digunakan sebagai alat untuk
mengidentifikasi model ARMA (p, q).
Tabel 2.1. Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q)
Model ACF PACF
AR(p) Turun secara eksponensial Terpotong setelah lag p
MA(q) Terpotong setelah lag q Turun secara eksponensial
ARMA(p, q) Terpotong setelah lag (q − p) Terpotong setelah lag (q − p)
Pada model ARMA (p, q) terdapat parameter ϕ1, ϕ2, ..., ϕp dan θ1, θ2, ..., θq
yang tidak diketahui sehingga perlu diestimasi.
2.1.5 Estimasi Model ARMA
Menurut Cryer [4], untuk mengestimasi nilai terbaik parameter-parameter
dalam model ARMA dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara me-
9
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
minimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu dinotasikan sebagai
S∗(ϕ, θ) =n∑
t=1
ε2t (2.9)
dengan εt adalah eror model ARMA. Fungsi S∗ akan mempunyai suatu nilai ϕ̂ dan
θ̂ yang minimum jika menyamakan turunan parsial pertama fungsi S∗ terhadap
ϕ dan θ dengan nol sehingga didapatkan estimasi akhir parameter ϕ̂ dan θ̂. Nilai
fungsi S∗ pada persamaan (2.9) akan minimum jika turunan parsial kedua dari
fungsi S∗ terhadap ϕ ataupun θ memenuhi
(S∗)ϕϕ.(S∗)θθ − [(S∗)ϕθ]2 > 0
(S∗)ϕϕ > 0, (S∗)θθ > 0.
Misal dipunyai model ARMA(1, 1) sebagai berikut
rt − ϕ1rt−1 = εt − θ1εt−1. (2.10)
Dari persamaan (2.10) diperoleh nilai residual
εt = rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1
sehingga
S∗(ϕ, θ) =n∑
t=1
ε2t =n∑
t=1
(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2.
Estimasi dari θ̂ dapat dicari dengan menyamakan ∂S∗(ϕ,θ)∂θ
dengan nol, sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut
∂∑n
t=1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2
∂θ= 0
2n∑
t=1
εt−1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1) = 0
n∑t=1
[εt−1(rt − ϕ1rt−1) + θ1ε2t−1] = 0
n∑t=1
εt−1(rt − ϕ1rt−1) +n∑
t=1
θ1ε2t−1 = 0
n∑t=1
εt−1(rt − ϕ1rt−1) = −n∑
t=1
θ1ε2t−1
10
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
θ̂1 = −∑n
t=1(rt − ϕ1rt−1)∑nt=1 εt−1
. (2.11)
Estimasi dari ϕ̂ dapat dicari dengan menyamakan ∂S∗(ϕ,θ)∂ϕ
dengan nol, sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut
∂∑n
t=1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2
∂ϕ= 0
2n∑
t=1
(−rt−1)(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1) = 0
n∑t=1
(−rt−1)[(rt + θ1εt−1)− ϕ1rt−1] = 0
n∑t=1
ϕ1r2t−1 − rt−1(rt + θ1εt−1) = 0
n∑t=1
ϕ1r2t−1 = rt−1(rt + θ1εt−1)
ϕ̂1 =
∑nt=1(rt − θ1rt−1)∑n
t=1 rt−1
. (2.12)
2.1.6 Uji Autokorelasi Residu
Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada auto-
korelasi dalam residu yang dihasilkan. Hal ini dapat dilihat dari plot ACF dan
PACF. Apabila tidak ada nilai yang signifikan berbeda dengan nol berarti sudah
tidak ada autokorelasi dalam residu dan mengindikasikan bahwa model sudah
cukup baik. Bentuk plot ACF dan PACF merupakan indikasi awal adanya auto-
korelasi. Uji statistik perlu dilakukan untuk meyakinkan indikasi awal. Menurut
Cryer [4], autokorelasi pada residu model rata-rata dapat diperiksa melalui uji
Ljung-Box. Hipotesisnya adalah
H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata
H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata
Statistik uji Ljung-Box dirumuskan sebagai
Q = T (T − 2)
q∑k=1
ρ̂2kT − k
,
dengan T merupakan ukuran sampel, k adalah jumlah lag yang diuji, dan ρ̂k
adalah nilai autokorelasi setiap lag. Statistik uji Q dibandingkan dengan nilai
11
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
tabel χ2k. H0 ditolak jika nilai Q lebih besar dari nilai χ2
k.
Setelah dilakukan uji autokorelasi residu, kemudian menguji efek heteroke-
dastisitas dalam residu menggunakan uji Lagrange Multiplier.
2.1.7 Uji Heterokedastisitas
Menurut Bollerslev [2], efek heteroskedastisitas dapat diperiksa melalui uji
Lagrange Multiplier yang dilakukan pada residu model conditional mean. Prinsip
dalam uji Lagrange Multiplayer adalah dengan meregresikan kuadrat residu εt
dengan lag nya sendiri. Uji hipotesisnya adalah
H0 : tidak terdapat efek ARCH sampai lag-k
H1 : terdapat efek ARCH sampai lag-k
Statistik uji dirumuskan sebagai
ξ = TR2,
dengan T merupakan ukuran sampel dan R2 adalah adalah koefisien determinasi.
Statistik uji ξ dibandingkan dengan nilai tabel χ2k. H0 ditolak jika nilai ξ lebih
besar dari nilai χ2k.
Jika terdapat efek heteroskedastisitas maka digunakan model yang dapat
menggambarkan pergerakan variansi eror.
2.1.8 Uji Perubahan Struktur
Model yang mengandung perubahan struktur adalah model dengan nilai
parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktu tertentu. Waktu ter-
jadinya perubahan struktur (waktu break) tersebut ada yang diketahui dan ada
yang tidak diketahui kapan terjadinya. Perubahan struktur ini sering terjadi di
bidang ekonomi. Perubahan struktur dapat disebabkan oleh perubahan kebi-
jaksanaan, perubahan harga minyak, perang, atau bencana alam. Uji perubahan
struktur pertama kali diperkenalkan oleh Chow ([3]) dan dikenal dengan uji Chow
Break Point. Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur pada da-
ta adalah sebagai berikut :
12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data
H1 : terdapat perubahan struktur pada data
Statistik uji dirumuskan sebagai
F =RSS1/k
RSS2/(n1 + n2 − 2k),
dengan RSS1 adalah residual kuadrat dari model dengan keseluruhan data diku-
rangi residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, RSS2 adalah
residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, k adalah banyaknya
parameter, n1 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur,
n2 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur . H0 ditolak
jika nilai F lebih besar dari F tabel dengan derajat bebas (k, n1 + n2 − 2k).
2.1.9 Model GARCH
Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH untuk menggambarkan per-
gerakan variansi eror. Model GARCH merupakan pengembangan dari model
ARCH [5]. Model GARCH mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menje-
laskan variansi masa yang akan datang, sehingga dapat diperoleh estimasi yang
akurat untuk variansi. Conditional variance (σt) digunakan sebagai fungsi dari
eror dimasa lalu. Diberikan ψt adalah himpunan semua informasi untuk εt dari
waktu lampau sampai dengan waktu t. εt adalah eror model ARMA dan dapat
dimodelkan sebagai
εt = utσt
dengan ut adalah proses white noise berdistribusi normal dengan mean nol dan va-
riansi satu, σ2t = E(ε2t |ψt−1) adalah conditional variance dari eror dan E(εt|ψt−1) =
0. Secara umum proses εt disebut GARCH (p, q) jika
εt|ψt−1 ∼ N(0, σ2t )
dengan
σ2t = α0 +
q∑i=1
αiε2t−i +
p∑j=1
βjσ2t−i
13
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dan p ≥ 0, q ≥ 0, α0 ≥ 0, αi ≥ 0 untuk i = 1, 2, ..., q dan βj ≥ 0 untuk
j = 1, 2, ..., p. Jika p = 0 maka model GARCH tereduksi menjadi model AR-
CH (q). Jadi model ARCH adalah bentuk khusus dari model GARCH.
Menurut Bollerslev [2], parameter dari model GARCH (p, q) dapat dies-
timasi menggunakan metode Berndt Hall Hall Hausman (BHHH ). Metode ini
ditemukan oleh Berndt et al yang dinyatakan sebagai
ρ(i+1) = ρ(i) + λi[T∑t=1
(gtg′
t)]−1g(ρ(i)), (2.13)
dengan gt =∂Lt
∂ρ, λi adalah variabel step length dan
gρ = [∂Lt
∂ρ1,∂Lt
∂ρ2, ...,
∂Lt
∂ρn],
Metode BHHH menggunakan turunan pertama fungsi log likelihood untuk meng-
estimasi parameter model. Persamaan regresi yang dimiliki adalah
rt = x′
tµ+ εt,
rt = µ0 + µ1xt + εt, t = 1, 2, ..., T,
dengan εt adalah eror dari model regresi dan xt adalah variabel eksogen (variabel
bebas), dengan
εt = utσt
εt|ψt−1 ∼ N(0, σ2t )
dengan
σ2t = α0 +
q∑i=1
αiε2t−i +
p∑j=1
βjσ2t−i
Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter Θ yang dinyatakan sebagai
Θ = [µ0, µ1, α1, α2, ..., αq, β1, β2, ..., βp]t = [µt, φt]t,
dengan µt = [µ0, µ1] dan φt = [α0, α1, α2, ..., αq, β1, β2, ..., βp].
Menggunakan asumsi normalitas, fungsi densitas probabilitas dari εt|ψt−1
adalah
f(εt|ψt−1) =1√2πσ2
t
e− 1ε2t
2σ2t
14
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah
lt = logf(εt|ψt−1) = log(1√2πσ2
t
e− 1ε2t
2σ2t )
=1
2log(2πσt)−
1
2
ε2tσ2t
= −1
2log2π − 1
2logσ2
t −1
2
ε2tσ2t
.
(2.14)
Vektor parameter variansi yaitu φ diestimasi menggunakan turunan per-
tama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.14) terhadap parameter φ,
yaitu∂lt∂φ
=∂lt∂σ2
t
∂σ2t
∂φ
= (− 1
2σ2t
+ε2t2σ4
t
)∂σ2
t
∂φ
=1
2σ2t
(ε2t2σ2
t
− 1)∂σ2
t
∂φ.
dengan vt =∂σ2
t
∂φdan wt =
ε2tσ2t− 1. Menggunakan metode BHHH diperoleh
bentuk iterasi estimasi parameter variansi yang dirumuskan sebagai
φ(i+1) = φ(i) + λi[T∑t=1
(1
2σ22
vtwt)(1
2σ22
vtwt)′]−1(
T∑t=1
1
2σ22
vtwt). (2.15)
Iterasi pada persamaan (2.15) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai
φ(i+1) = φ(i) + λi[T∑t=1
(G G′)]−1G
′C,
dengan
G =
g1
g2...
gT
=
∂l1∂α0
∂l1∂α1
. . . ∂l1∂αq
∂l1∂β1
. . . ∂l1∂βp
∂l2∂α0
∂l2∂α2
. . . ∂l1∂αq
∂l2∂β2
. . . ∂l1∂βp
......
......
...
∂lT∂α0
∂lT∂α2
. . . ∂l1∂αq
∂lT∂βT
. . . ∂lT∂βp
dengan
∂l1∂α0
= − 1σ2t(ε2tσ2t− 1),
∂l1∂αi
= − 1σ2t(∑q
i=1 ε2t−i)(
ε2tσ2t− 1),
∂l1∂βi
= − 1σ2t(∑p
j=1 ε2t−j)(
ε2tσ2t− 1),
dengan t = 1, 2, ..., T, i = 1, 2, ..., q, j = 1, 2, ..., p dan C = [11...1]′ adalah matriks
15
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
T × 1.
Mengestimasi parameter rata-rata yaitu µ, menggunakan turunan pertama
dari fungsi likelihood pada persamaan (4.3) terhadap parameter µ, yaitu
∂lt∂µ
=∂lt∂εt
∂εt∂µ
+∂lt∂σ2
t
∂σ2t
∂µ
=εtx
tt
σ2t
+1
σ2t
∂σ2t
∂µ(ε2tσ2t
− 1).
(2.16)
Misal ft =∂σ2
t
∂µdan wt =
ε2tσ2t− 1 maka persamaan (2.16) menjadi
∂lt∂µ
=εtx
tt
σ2t
+1
2σ2t
ftwt.
Iterasi untuk estimasi parameter rata-rata adalah
µ(i+1) = µ(i) + λi[(T∑t=1
(εtx
tt
σ2t
+1
2σ2t
ftwt)(εtx
tt
σ2t
+1
2σ2t
ftwt)t)]−1(
εtx2t
σ2t
+1
2σ2t
ftwt).
(2.17)
dengan
ft =∂σ2
t
∂µ= −2
q∑i=1
αixtt−iεt−i +
p∑j=1
βft−j.
Persamaan (2.17) dapat ditulis ke dalam notasi matriks sebagai
µ(i+1) = µ(i) + λi[BB′)]−1B′C,
dengan B untuk model GARCH (p, q) adalah
B =
∂l1∂µ0
∂l1∂µ1
∂l2∂µ0
∂l2∂µ1
......
∂lT∂µ0
∂lT∂µ1
∂lk∂µh
=εtx
tt
σ2t
+1
σ2t
− 2
q∑i=1
αixtt−iεt−i +
∑j=1
(ε2tσ2t
− 1).
dengan h = 0, 1 dan k = 1, 2, ..., T dan C = [11...1]′ adalah matriks T × 1.
Selanjutnya menentukan model GARCH terbaik menggunakan kriteria in-
formasi berdasarkan nilai AIC dan SC.
16
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.10 Kriteria Informasi
Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih
berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC ) dan Schwarz Criterion (SC ). Kedua
kriteria tersebut dirumuskan sebagai berikut
AIC = −2l
T+ 2
k
T,
SC = −2l
T+ k
log(T )
T,
dengan l adalah fungsi log likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi
dan T adalah jumlah observasi. Model yang dipilih untuk meramalkan data ada-
lah model dengan AIC dan SC terkecil.
Model GARCH mampu menjelaskan variansi eror dengan baik, namun ti-
dak memperhitungkan perubahan struktural.
2.1.11 Model Markov Switching
Model Markov Switching merupakan alternatif pemodelan data runtun
waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam Markov Switching, peru-
bahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa
deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati dan dalam
literatur sering disebut state. Sebagai contoh model berikut,
zt = µ0 + ϕ1zt−1 + εt
yang bersesuaian dengan runtun waktu pada ti, ti+1,..., ti+m. Sementara
zt = µ1 + ϕ2zt−1 + εt
yang bersesuaian dengan runtun waktu pada tj, tj+1,..., tj+m. Kasus ini meng-
gambarkan adanya pergeseran model antara model pertama dan model kedua
yang terjadi pada runtun waktu yang sama pada waktu yang berbeda. Secara
umum, kedua model tersebut dapat dituliskan sebagai
zt = µst + ϕstzt−1 + εt,
17
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dimana st bernilai nol atau bernilai satu, yang merepresentasikan periode state
yang berbeda. st bernilai nol bersesuaian dengan model pada periode ti, ti+1,...,
ti+m sedangkan st bernilai satu bersesuaian dengan model pada periode tj, tj+1,...,
tj+m.
Hamilton [7] menggunakan ordo pertama markov chain untuk memodelkan
state. Jika probabilitas st sama dengan nilai tertentu sebesar j, untuk jϵ{0, 1}
yang dependen terhadap nilai masa lalunya hanya berdasarkan nilai st−1 yang
terkini (most recent value) maka probabilitas transisinya dapat dituliskan sebagai
berikut
P [st = j|st−1 = i, st−2 = k, ...] = P [st = j|st−1 = i] = pij
pij adalah probabilitas transisi bahwa state i akan diikuti oleh state j untuk
i, jϵ{0, 1} dengan asumsi probabilitas perubahan st hanya tergantung st−1. Proses
ordo pertama markov chain dapat dituliskan sebagai berikut
P [st = 0|st−1 = 0] = p00
P [st = 1|st−1 = 0] = p01
P [st = 1|st−1 = 1] = p11
P [st = 0|st−1 = 1] = p10
dan dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yaitu
P =
p00 p01
p10 p11
.
Penjumlahan seluruh probabilitas untuk tiap st−1 adalah 1.
1∑j=0
pij = 1,
untuk setiap bilangan i = 0, 1.
Model Markov Switching pada proses Autoregressive mampu menjelaskan
perubahan struktur, namun tidak bisa menjelaskan pergeseran volatilitas. Se-
hingga perlu model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dan pergeseran
antar volatilitas, yaitu model Markov Switching GARCH.
18
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.12 Model Markov Switching GARCH
Model Markov Switching GARCH dapat dituliskan sebagai berikut
rt = µst + εt
σ2t = ωst + αstε
2t−1 + βstσ
2t−1
εt = ut√σ2t
ut ∼ NIID
dengan µst mewakili model rata-rata bersyarat untuk setiap state. Distribusi
probabilitas yang mendasari rt pada setiap state adalah distribusi normal ([6] dan
[12]) dengan nilai parameter yang berbeda untuk setiap state, dapat dituliskan
sebagai berikut
rt|Ψt−1 ∼
N(µ0t, σ20), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1)
N(µ1t, σ21), dengan probabilitas Pr(St = 1|Ψt−1).
(2.18)
yang berakibat pola erornya menjadi
εt|Ψt−1 ∼
N(0, σ20), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1)
N(0, σ21), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1).
(2.19)
dengan Ψt−1 adalah informasi atau data yang dihimpun sampai pada waktu t−1.
Fungsi densitas bersyarat dari rt berdasarkan variabel random st yang bernilai j
adalah
f(rt|st = j,Ψt−1) =1√2πσ2
j
e−
(rt−µj)2
2σ2j . (2.20)
Nilai probabilitas untuk sebuah state sebagai variabel random yang tidak tera-
mati dinotasikan dengan
P (st = j|Ψt−1) = pjt, untuk j = 0, 1. (2.21)
Sehingga fungsi distribusi bersama dari (2.20) dan (2.21) dapat dituliskan sebagai
berikut
P (rt, st = j|Ψt−1) = f(rt|st = j,Ψt−1)P (st = j|Ψt−1) =pjt√2πσ2
j
e−
(rt−µj)2
2σ2j .
(2.22)
19
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Fungsi densitas dari rt didapatkan dengan menjumlahkan persamaan (2.22) untuk
semua kemungkinan nilai j
f(rt|Ψt−1) =2∑
j=1
P (rt, st = j|Ψt−1). (2.23)
Setelah memperoleh nilai densitas dari rt, maka dapat dicari nilai probabilitas
bersyarat dari st dengan cara membagi persamaan (2.22) untuk setiap nilai j
dengan persamaan (2.23) sehingga menghasilkan persamaan
P (st = j|rt,Ψt−1) =P (rt, st = j|Ψt−1)
f(rt|Ψt−1). (2.24)
2.1.13 Probabilitas Transisi
Komponen penting yang membentuk model Markov Switching adalah vari-
abel st yang berperan sebagai indikator state yang berlaku pada saat t. Variabel
st tidak akan bisa diobservasi oleh peneliti, namun dalam model Markov Swi-
tching variabel ini akan ditentukan probabilitasnya untuk masing-masing state
pada saat t. Terdapat dua perhitungan untuk menentukan probabilitas terjadi-
nya state pada saat t, yaitu ex ante probability ([6]) dan filtered probability ([7]).
Ex ante probability merupakan terjadinya state pada saat t berdasarkan
informasi Ψt−1, yakni P (st = j|Ψt−1) = pjt,∑1
j=0 pjt = 1 seperti pada (2.18).
Probabilitas ini merupakan probabilitas marjinal dari probabilitas gabungan an-
tara st dan st−1, yakni
pjt = P (st = j|Ψt−1)
=1∑
j=0
P (st = j, st−1 = k|Ψt−1)(2.25)
Mengacu pada struktur markov chain, probabilitas pjt hanya bergantung pada
state yang terjadi saat t− 1, sehingga (2.25) akan menjadi
pjt =1∑
j=0
P (st = j|st−1 = k,Ψt−1)P (st−1 = k|Ψt−1). (2.26)
Selain ex ante probability, terdapat juga filtered probability yang digunakan
untuk menjelaskan probabilitas terjadinya masing-masing state. Filtered proba-
bility merupakan probabilitas terjadinya state j saat t berdasarkan informasi Ψt,
20
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
yakni φjt = P (st = j|Ψt). φjt dapat dituliskan kembali sebagai fungsi dari ex
ante probability, sebagai berikut
P (st = j|Ψt) = P (st = j|Ψt,Ψt−1)
= P (st = j|rt,Ψt−1)
=f(rt, st = j|Ψt−1
f(rt,Ψt−1)
(2.27)
dimana f(rt,Ψt−1) berbentuk distribusi normal mixture seperti pada (2.18) se-
hingga
P (st = j|Ψt) =f(rt, st = j|Ψt−1P (st = j|Ψt−1)∑1
j=0 f(rt|st = j,Ψt−1)P (st = j|Ψt−1)(2.28)
dengan demikian, sesuai (2.26) dan (2.28) dapat dilihat bahwa pjt dan φjt dapat
dihitung secara rekursif diantara keduanya.
2.1.14 Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi
bersyarat
Pada penelitian ini menggunakan model umum ARMA sebagai model rata-
rata bersyarat ([6]). Berikut model rata-rata bersyarat yang digunakan :
rt = µst + εt (2.29)
dengan µst adalah rata-rata bersyarat untuk setiap state.
Rata-rata bersyarat untuk MS-GARCH pada penelitian ini mengacu pada
([6]) yakni GARCH (1,1) dengan parameter mengikuti proses switching
σ2t = α0 + α1ε
2t−1 + β1σ
2t−1
(2.30)
Untuk menghindari ketergantungan komponen ε2t−1 dan σ2t−1 dalam (2.30)
terhadap kombinasi state, Gray ([6]) memberikan solusi alternatif untuk meng-
21
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
hitung Ψ2t−1 dan σ2
t−1, yakni
ε2t−1 = rt−1 = E[rt−1|Ψt−2]
=1∑
j=0
pjtE[rt|st = j,Ψt−2]
=1∑
j=0
pjtµjt
= p1tµ0t + (1− p1t)µ1t
(2.31)
dengan demikian
ε2t−1 = rt−1 − [p1tµ0t + (1− p1t)µ1t]. (2.32)
Untuk mendeskripsikan σ2t−1 akan dihitung E[r2t |Ψt−1] berdasarkanGARCH
tanpa melibatkan perubahan state yakni:
E[r2t |Ψt−1] = E[(µt + εt)
= E[µ2t + 2µtεt + ε2t ]
= E[µ2t ] + 2µtE[εt] + E[ε2t ]
Karena εt ∼ N(0, σ2t−1), maka E[εt] = 0 dan
var[εt] = σ2t = E[ε2t ]− [E(εt)
2]
= E[ε2t ]− 0
= E[ε2t ],
(2.33)
sehingga
E[r2t |Ψt] = E[µ2t ] + E[ε2t ]
= µ2t + σ2
t ,(2.34)
dan untuk masing-masing state
E[r2t |St = 0,Ψt−1] = µ0t + σ20t,
E[r2t |St = 1,Ψt−2] = µ1t + σ21t.
(2.35)
Melalui cara yang sama dengan (2.31), formula E[r2t |Ψt−1] yang melibatkan
22
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
switching regime dapat dihitung
E[r2t |Ψt−1] =
∫r2t f(rt|Ψt−1)drt
=
∫r2t
[1∑
j=0
pijf(rt|St = i,Ψt−1)drt
]
=1∑
j=0
pij
[∫r2t f(rt|St = i,Ψt−1)drt
]
=1∑
j=0
pijE[r2t |St = i,Ψt−1)drt],
(2.36)
sehingga dengan substitusi (2.35) pada (2.36) maka diperoleh
E[r2t |Ψt−1] =1∑
j=0
P (st = j|Ψt−1)(µ2jt + σ2
jt),
= P (st = 0|Ψt−1)(µ20t + σ2
0t) + P (st = 1|Ψt−1)(µ21t + σ2
1t),
= p0t(µ20t + σ2
0t) + (1− p0t)(µ21t + σ2
1t),
(2.37)
sehingga σ2t−1 dapat dicari melalui substitusi (2.31) dan (2.37) yakni
σ2t−1 = E[r2t−1|Ψt−2]− [E[r2t−1|Ψt−2]]
2,
= p0t−1(µ20t−1 + σ2
0t−1) + (1− p1t−1)(µ21t−1 + σ2
1t−1)
− [p0t−1µ0t−1 + (1− p1t−1)µ1t−1],
(2.38)
sesuai dengan (2.32) dan (2.38), maka komponen ε2t−1 dan σ2t−1 pada (2.30) ti-
dak akan tergantung pada kombinasi state sebelumnya yakni (st, st−1, st−2, ..., s1)
sehingga pada tahap penyusunan fungsi likelihood tidak menimbulkan kesulitan
dalam optimasinya.
2.1.15 Fungsi Likelihood MS-GARCH
Untuk menentukan fungsi likelihood pada MS-GARCH, pertama kali yang
dilakukan adalah meninjau distribusi dari return rt untuk setiap state, yakni
distribusi mixture seperti pada (2.18). Sedangkan untuk menentukan probabilitas
transisi diperlukan penjabaran pjt ke dalam bentuk yang memuat φt. Mengacu
23
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
pada (2.26), pjt untuk state nol adalah
p0t = P (st = 0|Ψt−1) =1∑
j=0
P (st = 0|st−1 = j,Ψt−1).P (st−1 = j|Ψt−1)
=1∑
j=0
P (st = 0|st−1 = j).P (st−1 = j|Ψt−1)
= P11φ1t + P2tφ2t
= Pφ1t + (1−Q)(1− φ2t)
(2.39)
dan untuk state satu
p1t = P (st = 1|Ψt−1) = 1− P (st = 0|Ψt−1) = 1− p0t.
Fungsi likelihood untuk Markov Switching GARCH yakni:
L(Θ|rt,Ψt−1) =T∏t=1
f(rt|Θ,Ψt−1), (2.40)
dimana Θ = µ0, µ1, k0, k1, α0, α1, β0, β1, P,Q atau dalam bentuk log likelihood
lnL(Θ|rt,Ψt−1) = ΣTt=1lnf(rt|Θ,Ψt−1). (2.41)
Fungsi likelihood ini dibentuk dari distribusi mixture normal dengan asumsi bah-
wa setiap datanya telah diketahui masuk ke state 0 atau 1. Artinya, ketika
diketahui bahwa suatu data adalah anggota state 0, maka nilai f(rt|Ψt−1) akan
bernilai nol pada state 1, demikian juga sebaliknya ([7]). Berdasarkan distibusi
mixture normal, log likelihood pada (2.41) akan menjadi :
lnL(Θ|rt,Ψt−1) = ΣTt=1ln[Σ
1j=0f(rt|st = j,Ψt−1)pjt]
= ΣTt=1ln[f(rt|st = 0,Ψt−1)p0t + f(rt|st = 1,Ψt−1)p1t]
= ΣTt=1ln[f(rt|st = 0,Ψt−1)p0t + f(rt|st = 1,Ψt−1)(1− p0t)].
(2.42)
Namun karena setiap data tidak diketahui akan masuk ke state yang mana, maka
optimisasi log likelihood tidak dapat dilakukan dengan metode numerik standar.
Likelihood pada (2.42) seringkali disebut incomplete likelihood. Untuk mengatasi
hal ini, optimisasi log likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter dilakukan
melalui Algoritma EM.
24
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.16 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS
GARCH
State (st) adalah variabel yang unobservable, sehingga dapat dianggap
sebagai missing. Bila didefinisikan variabel acak st akan bernilai j adalah pjt
maka dapat dibuat fungsi untuk st sebagai berikut:
f(st) = P (st = j|Ψt−1) =1∏
t=0
pIj(st)jt . (2.43)
dimana Ij(st) adalah fungsi indikator bernilai 0 dan 1, yakni :
Ij(st) =
1, st = j
0, lainnya.
(2.44)
Fungsi indikator ini menentukan observasi mana yang akan masuk ke masing-
masing state. Algoritma EM akan melibatkan st ini dalam fungsi likelihood pada
iterasinya. Bila fungsi indikator (2.44) diterapkan pada distribusi probabilitas
dari rt maka :
f(rt|st = j,Ψt−1) =1∏
t=0
f(rt|st = j,Ψt−1)Ij(st). (2.45)
Sedangkan bila (2.44) diterapkan pada joint distribusi st dan rt maka
f(rt|st = j,Ψt−1) =T∏t=0
f(rt|st = j,Ψt−1)Itst . (2.46)
Bila diasumsikan bahwa diketahui observasi yang menjadi anggota masing-
masing state, maka akan terdapat pasangan observasi (rt, st) pada setiap data
ke t, dan fungsi likelihood (2.40) akan dimaksimumkan berdasarkan distribusi
bersama anatara st dan rt, yakni :
L(Θ|rt, st,Ψt−1) =T∏t=0
f(rt, st = j,Ψt−1) =T∏t=0
1∏j=0
[pjtf(rt|st = j,Ψt−1)Itst ].
(2.47)
atau dalam log likelihood dapat dituliskan lagi sebagai :
ln(Θ|rt, st,Ψt−1) = ΣTt=0Σ
1j=0[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))
Itst ]
= ΣTt=0Σ
1j=0Ij(st)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]
= ΣTt=0Σ
1j=0Ij(st)[lnpjt + lnf(rt|st = j,Ψt−1)]
(2.48)
25
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Estimasi parameter untuk setiap state dapat dilakukan mengacu pada optimisasi
untuk (2.48).
Karena tidak ada petunjuk tetang observasi yang bersesuaian dengan sta-
te nol atau satu maka fungsi indikator pada (2.44) tidak akan bisa digunak-
an. Untuk mengatasi hal ini fungsi indikator diganti dengan ekspektasinya yakni
E[Ij(st)|Ψt−1]:
E[Ij(st)|Ψt] = Σ1It(st)=0Ij(st)P (st = j|Ψt)
= 1.P (st = j|Ψt−1) + 0.P (st = j|Ψt)
= P (st = j|Ψt)
(2.49)
dan mengacu pada filtered probability seperti pada maka didapatkan ekspektasi
dari fungsi indikator adalah :
E[Ij(st)|Ψt] = P (st = j|Ψt) = φjt =pjtf(rt|st = j)∑1j=0 pjtf(rt|st = j)
(2.50)
yang akan digunakan untuk menyusun algoritma EM.
Berdasarkan (2.49), maka complete data likelihood (2.48) akan menjadi:
Q = E[lnL(Θ|rt, st,Ψt−1)|rt,Ψt−1]
= EΣTt=1Σ
1j=0Ij(st)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]
= ΣTt=1Σ
1j=0E[Ij(st)Ψt−1][ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]
= ΣTt=1Σ
1j=0P (st = jΨt−1)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]
Fungsi Q tersebut akan dimaksimumkan menggunakan metode Sequential Qua-
dratic Programming.
2.2 Kerangka Pemikiran
Deretan observasi dari variabel random nilai tukar dolar Kanada terha-
dap rupiah merupakan suatu data runtun waktu. Model ARMA adalah salah
satu model runtun waktu untuk data stasioner. Transformasi dan diferensia-
si data menjadi bentuk Log return dapat digunakan untuk membentuk runtun
waktu yang stasioner. Model ARMA memiliki asumsi homokedastisitas, sedangk-
an data kurs dolar Kanada merupakan data finansial yang cenderung memiliki
26
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
heteroskedastisitas.Hal ini menyebabkan model ARMA tidak relevan untuk di-
gunakan. Sehingga dapat digunakan model GARCH yang untuk memodelkan
heterokesdastisitas, namun model GARCH tidak memperhitungkan perubahan
struktural.
Model Markov Switching adalah alternatif pemodelan data runtun waktu
yang mengalami perubahan struktural. Pada model Markov Switching perubah-
an struktural merupakan hasil variabel random tak teramati (state). Data runtun
waktu nilai tukar Dolar Kanada memiliki heteroskedastisitas dan mengalami pe-
rubahan struktural dapat dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pa-
da proses GARCH. Model GARCH untuk melihat kedinamisan volatilitas dalam
suatu state. Sedangkan model Markov Switching akan menentukan perpindahan
GARCH dari suatu state ke state lain.
27
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penerapan model de-
ngan menggunakan data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah
yang diambil pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional periode 1
Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data ini diperoleh dari website Bank
Indonesia yaitu www.bi.go.id [1].
Langkah-langkah analisis data dalam penelitian ini diuraikan sebagai
berikut.
1. Membuat plot data untuk melihat kestasioneran data dalam mean dan
variansi.
2. Melakukan transformasi log return apabila data belum stasioner baik dalam
rata-rata maupun variansi.
3. Membuat plot ACF dan PACF dari fungsi log return. Jika data stasioner
maka dimodelkan dengan menggunakan proses ARMA. Jika data masih
belum stasioner kembali ke langkah dua.
4. Mengestimasi parameter model ARMA.
5. Memeriksa autokorelasi dalam kuadrat residu model ARMA, jika memiliki
autokorelasi maka terdapat efek heteroskedastisitas. Efek heteroskedastisi-
tas juga dapat diuji dengan uji Lagrange Multiplier.
6. Memeriksa adanya perubahan struktur.
7. Membentuk model GARCH
(a) mengestimasi parameter model GARCH untuk memodelkan heteros-
kedastisitas dari residual model ARMA,
28
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
(b) menentukan model terbaik dari model GARCH yang telah diperoleh
dengan melihat nilai AIC dan SC yang terkecil,
(c) mengestimasi secara bersama parameter model ARMA dan GARCH,
(d) menguji kecocokan model dengan memeriksa efek heteroskedastisitas,
autokorelasi dan asumsi distribusi dari residu terstandar.
8. Membentuk model Markov Switching GARCH
(a) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada setiap
waktu,
(b) menentukan probabilitas transisi dan matrik transisi antar state.
9. Mencari nilai estimasi parameter model GARCH yang melibatkan peru-
bahan state dengan metode Maximum Likelihood (MLE ).
(a) menentukan fungsi likelihood berdasarkan fungsi densitas return yang
melibatkan probabilitas masing-masing state dan probabilitas transisi,
(b) menerapkan algoritma EM untuk mengestimasi parameterMS-GARCH.
10. Melakukan peramalan
(a) menentukan banyaknya ramalan sepanjang f periode yang akan dila-
kukan,
(b) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada waktu
t+ f melalui proses markov chain,
(c) meramalkan nilai log return menggunakan model ARMA untuk men-
cari nilai ramalan kurs jual dolar Kanada terhadap rupiah,
(d) meramalkan volatilitas log return menggunakan model MS-GARCH
yang telah diperoleh.
29
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab IV
PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi Data
Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data harian nilai tukar
jual dolar Kanada terhadap rupiah. Data diambil pada hari Senin-Jumat dan
selain hari libur nasional mulai 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data
ini berjumlah 2466 observasi yang diperoleh dari website Bank Indonesia ([1]).
Plot data pada Gambar 4.1 memperlihatkan bahwa data berfluktuasi dari
waktu ke waktu. Hal ini mengindikasikan bahwa data tidak stasioner baik dalam
rata-rata maupun variansi.
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
500 1000 1500 2000
KURS
PERIODE
Gambar 4.1. Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah
Indikasi bahwa data tidak stasioner dapat diperkuat menggunakan plot
ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 menunjukkan nilai ACF signifikan berbeda dengan nol dan me-
luruh secara perlahan menuju nol. Hal ini berarti data nilai tukar dolar Kanada
terhadap rupiah tidak stasioner.
30
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 4.2. Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah
4.2 Log Return
Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah tidak stasioner sehingga
perlu diubah ke bentuk log return untuk menstasionerkan data. Plot dari log
return disajikan pada Gambar 4.3.
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
500 1000 1500 2000
LOG_RETURN
PERIODE
Gambar 4.3. Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah
Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah sudah stasioner dalam rata-
rata tetapi variansinya tidak konstan. Variansi yang tidak konstan mengindika-
sikan adanya efek heteroskedastisitas dalam log return.
31
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.3 Pengujian Karakteristik Log Return
Karakteristik data log return dalam pembentukan model heteroskedastisi-
tas adalah adanya volatility clustering. Volatility clustering dapat dilihat dari plot
data absolut log return, kuadrat log return dan bentuk kurtosis dari distribusi
data log return yang leptokurtik.
0
200
400
600
800
1,000
1,200
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
Series: LOG_RETURN
Sample 1 2466
Observations 2465
Mean 0.000138
Median 0.000235
Maximum 0.131018
Minimum -0.131120
Std. Dev. 0.008612
Skewness 0.582335
Kurtosis 61.10713
Jarque-Bera 346927.8
Probability 0.000000
Gambar 4.4. Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar
Kanada terhadap Rupiah
Gambar 4.5. Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar
Dolar Kanada terhadap Rupiah
Berdasarkan Gambar 4.4, diperoleh kurtosis yaitu 61,10713. Nilai kurtosis-
nya lebih besar dari 3 sehingga dapat disimpulkan kurtosisnya berupa leptokurtik.
Kurtosis yang berbentuk leptokurtik mengindikasikan volatility clustering. Ada-
nya volatility clustering juga diperkuat dengan berkumpulnya sekelompok aset
return yang bernilai besar kemudian diikuti sekelompok aset return bernilai kecil
yang ditunjukkan Gambar 4.5.
32
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4 Pembentukan Model Stasioner
4.4.1 Identifikasi Model
Autokorelasi dalam data log return dapat dilihat dari plot ACF dan PACF
yang ditunjukkan pada Gambar 4.6.
Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terha-
dap Rupiah
Plot ACF dan PACF dapat digunakan untuk identifikasi model ARMA.
Gambar 4.6 menunjukkan nilai ACF meluruh menuju nol kemudian terputus
setelah lag pertama dan nilai PACF meluruh menuju nol kemudian terputus se-
telah lag pertama sehingga memungkinkan model yang sesuai adalah ARMA(1,0),
ARMA(0,1)dan ARMA(1,1). Estimasi model ARMA untuk log return mengha-
silkan model ARMA( 1,1) dengan koefisien yang tidak signifikan sehingga model
ARMA(1,1) tidak dapat digunakan untuk memodelkan data log return. Model
ARMA yang sesuai untuk memodelkan data log return adalah ARMA(1,0) dan
ARMA(0,1).
33
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4.2 Estimasi Parameter Model ARMA
Hasil uji pada identifikasi model awal menghasilkan model ARMA( 1,0) dan
ARMA(0,1) adalah model yang tepat untuk memodelkan data log return. Hasil
Tabel 4.1. Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return
Model Variabel Koefisien Probabilitas
ARMA(1,0) ϕ1 -0,149455 0,000
ARMA(0,1) θ1 -0,155889 0,000
uji statistik untuk model ARMA(1,0) dan ARMA(0,1) disajikan pada Tabel 4.1.
Hasil estimasi parameter menunjukkan nilai ϕ dan θ signifikan tidak sama dengan
nol karena memiliki probabilitas yang kurang dari α = 0, 05. Model ARMA(1,0)
yang diperoleh adalah
rt = −0, 149455rt−1 + εt,
dan model ARMA(0,1) adalah
rt = −0, 155889εt−1 + εt,
dengan rt adalah log return pada waktu t dan εt adalah residu yang dihasilkan
model pada waktu t. Pada penelitian ini akan menggunakan model ARMA(1,0)
sebagai model conditional mean mengacu pada Gray([6]).
4.4.3 Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0)
Model ARMA(1,0) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut. Mo-
del ARMA(1,0) diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam memodelkan rata-rata
bersyarat pada data runtun waktu log return dari nilai tukar dolar Kanada terha-
dap rupiah. Pemeriksaan model ARMA(1,0) mencakup pemeriksaan autokorela-
si residu dan homokedastisitas residu. Model ARMA(1,0) dikatakan baik untuk
memodelkan efek heteroskedastisitas jika residu yang dihasilkan tidak terdapat
autokorelasi dan efek homoskedastisitas.
34
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4.3.1 Uji Autokorelasi
Model ratarata bersyarat dikatakan baik jika residu yang dihasilkan sudah
tidak memiliki autokorelasi. Autokorelasi residu dapat dideteksi menggunakan
uji statistik Breusch-Godfrey dengan hipotesis
H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat
H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat.
Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0)
Koefisien Probabilitas
Uji Breusch-Godfrey 0,4231
ARMA(1,0) 1,529553 0,5650
Residu pada lag-1 -1,534067 0,5639
Residu pada lag-2 0,198099 0,6185
Residu pada lag-3 -0,060538 0,3344
Residu pada lag-4 0,019380 0,3792
Residu pada lag-5 -0,004950 0,8066
Statistik uji Breusch-Godfrey untuk residu sampai lag-10 pada model AR-
MA(1,0) disajikan pada Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey untuk model ARMA(1,0)
memberikan nilai probabilitas 0,4613 yang lebih besar dari tingkat signifikansi
α = 0, 05 sehingga H0 tidak ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa di dalam
residu model ARMA(1,0) tidak memiliki autokorelasi.
4.4.3.2 Homokesdastisitas Variansi
Homokedastisitas variansi residu model ARMA(1,0) dapat dilihat pada
Gambar 4.7. Plot memperlihatkan variansi yang tinggi pada beberapa periode
dan variansi yang kecil pada periode yang lain. Oleh karena itu, diindikasikan
residu model ARMA(0,1) tidak memiliki variansi yang konstan atau terdapat
efek heteroskedastisitas.
35
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
500 1000 1500 2000
RESID_AR
PERIODE
Gambar 4.7. Plot Residu Model ARMA(1,0)
4.4.4 Uji Efek Heteroskedastisitas
4.4.4.1 Uji Korelasi Kuadrat Residu
Residu model ARMA(1,0) perlu dilakukan uji efek heteroskedastisitas. Uji
efek heteroskedastisitas pada model meliputi uji autokorelasi pada residu dan re-
sidu kuadratnya. Heteroskedastisitas pada suatu model akan teridentifikasi jika
di dalam residu model tersebut tidak terdapat autokorelasi dan residu kuadrat
model tersebut terdapat autokorelasi. Sebelumnya telah dibuktikan bahwa model
ARMA(1,0) mempunyai residu yang sudah tidak berautokorelasi lagi. Kemudi-
an untuk mengetahui autokorelasi pada residu kuadrat modelARMA(1,0) dapat
dilihat dari plot ACF dan PACF pada Gambar 4.8.
Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0)
36
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bardasarkan Gambar 4.8 memperlihatkan bahwa ada nilai yang berbeda
signifikan dengan nol yang berarti terdapat autokorelasi di dalam kuadrat residu
modelARMA(1,0). Hal ini diperkuat dengan uji Ljung-Box Q statistik sampai
lag-20 yang memberikan probabilitas lebih kecil dari α maka dapat disimpulkan
bahwa di dalam kuadrat residu modelARMA(1,0) terdapat autokorelasi. Adanya
autokorelasi di dalam residu model ARMA(1,0) dapat disimpulkan residu model
ARMA(1,0) terdapat efek heteroskedastisitas.
4.4.4.2 Uji Lagrange Multiplier
Efek heteroskedastisitas juga dapat diketahui menggunakan uji Lagrange
Multiplier. Hasil uji Lagrange Multiplier dari residu model ARMA(1,0) disajikan
pada Tabel 4.3. Uji hipotesis dari uji Lagrange Multiplier sampai dengan lag10
adalah
H0 : tidak ada efek ARCH sampai lag10
H1 : paling tidak terdapat efek ARCH pada sebuah lag.
Tabel 4.3. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)
Koefisien Probabilitas
Uji Lagrange Multiplier 0,0000
α0 4,64×10−5 0,0000
α1 0,441022 0,0000
α2 -0,186368 0,0000
α3 0,125827 0,0000
α4 -0,077204 0,0006
α5 0,079656 0,0004
α6 -0,052371 0,0206
α7 0,021476 0,3414
α8 0,005096 0,8203
α9 -0,003643 0,8692
α10 0,007987 0,6930
37
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa statistik uji sampai lag-10 untuk residu
model ARMA(1,0) menghasilkan nilai probabilitas 0,000000. Nilai ini lebih kecil
dari α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa pada residu
model ARMA(1,0) terdapat efek ARCH atau efek heteroskedastisitas.
4.4.5 Uji Perubahan Struktur
Pengujian perubahan struktur perlu dilakukan untuk mengetahui ada ti-
daknya perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah.
Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur adalah sebagai berikut
:
H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada ter-
hadap rupiah
H1 : terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap
rupiah
Tabel 4.4. Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0)
Break F Probabilitas
1624 8,865309 0,002935
Tabel 4.4 menghasilkan nilai probabilitas 0,002935. Nilai ini lebih kecil da-
ri α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan terdapat perubahan
struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah.
4.4.6 Model GARCH
Residu model ARMA(1,0) mengandung efek heteroskedastisitas dapat di-
modelkan menggunakan model GARCH. Estimasi parameter menggunakan meto-
de BHHH memberikan hasil bahwa model GARCH yang dapat digunakan untuk
memodelkan residu model ARMA(1,0) adalah GARCH (1,1) dan GARCH (1,2).
Pemilihan awal model yang sesuai berdasarkan signifikansi parameter model yang
disajikan pada Tabel 4.5.
38
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Tabel 4.5. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)
Parameter GARCH (1,1) GARCH (1,2)
α0 1,10×10−5 1,45×10−5
prob α0 0,0000 0,0000
α1 0,185615 0,231897
prob α0 4,64E-05 0,0000
β1 0,671527 0.238028
prob β1 0,0000 0,0001
β2 - 0.336637
prob β2 - 0,0000
AIC -6,912568 -6,914858
SC -6,905495 -6,905427
Model yang dipilih adalah model yang memiliki AIC dan SC terkecil. Oleh
karena itu, untuk memodelkan heteroskedastisitas dari residu model ARMA(1,0)
menggunakan model GARCH (1,1). Model yang diperoleh adalah
σ2t = 1, 10× 10−5 + 0, 185615ε2t−1 + 0, 671527σ2
t−1.
4.4.7 Model Markov Switching GARCH
Data return nilai tukar dolar Kanada mengindikasikan adanya perbedaan
antara state volatilitas tinggi dan volatilitas rendah. Model GARCH konvensio-
nal tidak mampu mendeteksi adanya perubahan state dari volatilitas tinggi ke
rendah atau sebaliknya sehingga diperlukan model MS-GARCH. Sesuai dengan
identifikasi model, rata-rata bersyarat yang digunakan adalah ARMA(1,0) dan
variansi bersyarat yang digunakan adalah GARCH(1,1). Hasil estimasi parame-
ter MS-GARCH sebagai berikut
rt =
−0, 00145400,untuk state nol
0, 00022500,untuk state satu.
39
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
σ2t =
0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1,untuk state nol
0, 00003000 + 0, 08454900ε2t−1 + 0, 00012900σ2t−1,untuk state satu.
P =
0, 8532020 0, 1467980
0, 0105534 0, 9894466
.
Matriks transisi P memberikan penjelasan bahwa probabilitas terjadinya
periode volatilitas rendah diikuti periode volatilitas rendah sebesar p00=0,8532020,
sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas rendah
sebesar 1-p00= 0,1467980. Hal ini berarti nilai tukar dolar Kanada terhadap rupi-
ah akan mengalami volatilitas tinggi setiap 1/(p01)= 7 hari. Sedangkan probabi-
litas terjadinya periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas tinggi sebesar
p11= 0,9894466, sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode
volatilitas rendah sebesar 1-p11= 0,0105534. Hal ini berarti nilai tukar dolar Ka-
nada terhadap rupiah akan mengalami volatilitas rendah setiap 1/(p10)=95 hari.
4.4.8 Peramalan
4.4.8.1 Peramalan Volatilitas
Ramalan volatilitas log return dari waktu t menggunakan model MS-
GARCH dihitung berdasarkan persamaan variansi bersyarat
σ2t =
0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1,untuk state nol
0, 00003000 + 0, 08454900ε2t−1 + 0, 00012900σ2t−1,untuk state satu.
Hasil ramalan volatilitas log return untuk enam periode ke depan, yaitu
periode 2467 sampai 2472 dapat dilihat pada Tabel 4.6.
Tabel 4.6. Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan
Periode 2466 2467 2468 2469 2470 2471
Ramalan 0,000061 0,000060 0,000059 0,000059 0,000059 0,000059
40
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4.8.2 Peramalan Rata-Rata Bersyarat
Ramalan nilai log return dihitung berdasarkan persamaan rata-rata ber-
syarat yang dirumuskan sebagai
rt =
−0, 00145400,untuk state nol
0, 00022500,untuk state satu.
Karena terdapat heteroskedastisitas di dalam residu ARMA(1,0), diasum-
sikan bahwa
εt+s ∼ N(0, σ2t+s)
Sehingga interval konfidensi 95% untuk pengamatan berikutnya adalah
r̂t+s ± 1, 96σt+s.
Tabel 4.7. Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Interval
Konfidensi 95%
Periode Nilai ramalan Batas bawah Batas atas
2466 0,00011239 -0.015146583 0.0153714
2467 0,00011239 -0,015030909 0,0152557
2468 0,00011239 -0,014954076 0,0151788
2469 0,00011239 -0,014954067 0,0151788
2470 0,00011239 -0,014954067 0,0151788
2471 0,00011239 -0,014954067 0,0151788
Log return bukan data yang sebenarnya, sehingga bentuk log return harus
diubah ke dalam bentuk semula untuk melihat hasil ramalan nilai tukar dolar
Kanada terhadap rupiah. Persamaan untuk data pada periode t yaitu
Pt = Pt−1ert .
Persamaan tersebut digunakan untuk mencari nilai ramalan nilai tukar dolar Ka-
nada terhadap rupiah berdasarkan nilai ramalan log return. Ramalan nilai tukar
dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode ke depan adalah ramalan
41
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional. Hasil ramalan nilai tukar
dolar Kanada terhadap rupiah untuk periode ke 2367 sampai 2372 atau tanggal
1 Maret sampai 8 Maret 2012 yang disajikan pada Tabel 4.8.
Tabel 4.8. Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam
Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95%
Periode Data asli Nilai ramalan Batas bawah Batas atas
2466 9234,86 9192.61 9053,41 9333,96
2467 9248,43 9192,61 9055,47 9333,93
2468 9290,57 9193,65 9055,47 9333,93
2469 9278,06 9194,70 9056,82 9334,64
2470 9255,28 9195,71 9058,15 9335,36
2471 9236,92 9196,75 9059,07 9336,51
4.4.9 Validasi Model
Ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode
ke depan, yaitu pada tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 menggunakan model
ARMA, GARCH dan MS-GARCH disajikan pada Tabel 4.9.
Tabel 4.9. Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah
Periode 1 Mar 2 Mar 5 Mar 6 Mar 7 Mar 8 Mar
Data Asli 9248,43 9290,57 9278,06 9255,28 9236,92 9234,86
Ramalan ARMA 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62
Ramalan GARCH 9192,22 9192.21 9192.21 9192.21 9192.21 9192.21
Ramalan MS-GARCH 9192,61 9192,61 9193,65 9194,70 9195,71 9196,75
Tabel 4.10. MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah
Model ARMA GARCH MS-GARCH
MSE 4970,52 4666,21 4443.35
42
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Tabel 4.9 menghasilkan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah
menggunakanMS-GARCH yang paling mendekati data aslinya. Hal ini diperkuat
denganMSE dari peramalan modelMS-GARCH lebih kecil apabila dibandingkan
MSE dari peramalan model ARMA dan GARCH.
43
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Model untuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah
periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 adalah ARMA(1,0) se-
bagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi
bersyarat untuk state nol dan ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersya-
rat dan GARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat untuk state satu.
2. Hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam pe-
riode kedepan dari tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 berturut-turut
9192,61, 9192,61, 9193,65, 9194,70, 9195,71, 9196,75.
5.2 Saran
Skripsi ini membahas tentang peramalan menggunakan modelMarkov Swit-
ching dengan variansi bersyarat model GARCH. Model GARCH mengasumsikan
bahwa nilai residu baik positif maupun negatif memberikan pengaruh yang si-
metris terhadap volatilitasnya. Pada data finansil kadang dijumpai pergerakan
volatilitas yang tidak simetris (asimetris). Pembahasan lebih lanjut tentang Mar-
kov Switching dapat menggunakan model variansi bersyarat yang memiliki sifat
volatilitas asimetris seperti EGARCH, APARCH atau TARCH.
44
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR PUSTAKA
[1] BI,Kurs uang kertas asing mata uang dolar kanada, www.bi.go.id, 1 Februari
2012.
[2] Bollerslev, Tim, Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,
Econometrics 31 (1986), 307–327.
[3] Chow, G.C, Tests of equality between sets of coefficient in two linear regres-
sion, Econometrica 28 (1960), no. 3, 591–605.
[4] Cryer, J. D, Time series analysis, PWS Publisherrs Duxbury Press, Boston,
1986.
[5] Engle, R. F, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of
the variance of United Kingdom inflation, Econometrics 50 (1982), 987–1006.
[6] Gray, S. F,Modeling the conditional distribution of interest rates as a regime-
switching process, Econometrics 42 (1996), 27–62.
[7] Hamilton, J. D, A new aproach to the economic analysis of nonstationary
time series and the business cycle, Econometrics 57 (1989), 357–384.
[8] Hamilton, J. D and R. Susmel, Autoregressive conditional heterocedasticity
and changes in regime, Econometrics 64 (1994), 307–333.
[9] Haruko, K, Change in the relationship between currency and commodity,
Bank of Japan, 2012.
[10] Klaseen, F, Improving GARCH volatility forecasts with regime-switching
GARCH, Empirical Economics (2001).
45
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
[11] Makridakis, S., S.C. Wheelwright, and V.E. McGee, Metode dan aplikasi
peramalan, 2 ed., Erlangga, Jakarta, 1995.
[12] Marcucci, J, Forecasting stock market volatility with regime-switching GAR-
CH models, University of California, San Diego, 2005.
[13] Tsay, R. S, Analysis of financial time series, John Wiley and Sons, Canada,
2002.
46
top related