met num 7

56

5. 5 Metode Dekomposisi LU

Pada metode merupakan hasil dari pengembangan dari metode sebelumnya dengan

beberapa manipulasi matriks aljabar.

5. 5. 1 Metode Dekomposisi LU Naif

Persamaan yang dipecahkan dalam bentuk notasi matriks :

[A] {X} = {C} (5. 5. 2)

yang dapat disusun

[A] {X} – {C} = 0 (5. 5. 3)

Jika persamaan (5. 5. 2) dapat dinyatakan ulang sebagai sistem segitiga atas dengan angka

1 pada diagonal :

4

3

2

1

34

2423

141312

x

x

x

x

1000

u100

uu10

uuu1

=

4

3

2

1

d

d

d

d

(5. 5. 4)

atau dalam bentuk matriks dapat disusun kembali

[U] {X} – {D} = 0 (5. 5. 5)

Misalkan terdapat matriks diagonal bawah :

44342414

332313

2212

11

llll

0lll

00ll

000l

(5. 5. 6)

Persamaan (5. 5. 3) jika dikalikan dengan (5. 5. 6) maka,

[L]{[U] {X} – {D}} = [A] {X} – {C} (5. 5. 7)

Jika persamaan ini berlkau maka,

[L] [U] = [A] (5. 5. 8)

dan

[L] {D} = {C} (5. 5. 9)

Persamaan (5. 5. 8) diacu sebagai persamaan LU dekomposisi dari [A]. Dari persamaan ini

dapat diperoleh penyelesaian dengan prosedur subtitusi dua langkah dengan menggunakan

[L] dan [U].

Satu cara untuk membuktikan rumusan ini adalah membuat metode Gauss dalam

bentuk dekomposisi LU, untuk mempermudah pengertian dapat ditunjukan illustrasi dari

metode ini.

57

Contoh 5. 5. 10

Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)

0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)

0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)

Penyelesaian

Dengan menyatakan dalam bentuk matriks,

[A] =

102.03.0

3.071.0

2.01.03

setelah eliminasi maju, diperoleh matriks segitiga atas,

[U] =

0120.1000

293333.000333.70

2.01.03

faktor – faktor yang dipakai untuk memperoleh matriks segitiga atas dapat dibuat menjadi

suatu matriks segitiga bawah. Sehingga elemen-elemen a21 dan a31 dihilangkan dengan

menggunakan,

f21 = 3

1.0 = 0. 0333333 f31 =

3

3.0 = 0. 100000

dan akhirnya elemen f32 dihilangkan dengan menggunakan faktor,

f32 = 00333.7

2.0 = - 0. 0271300

[ A ] { X } = { C }

(a) Dekomposisi

[ U ] [ L ]

[ L ] { D } = { C }

(b) Maju

{ D }

Pensubtitusian

[ U ] { X }={ D }

(c) Mundur

{ X }

58

Jadi matriks segitiga bawah, adalah

[L] =

10271300.0100000.0

010333333.0

001

sehingga dekomposisi LU adalah,

[A] = [L] [U] =

10271300.0100000.0

010333333.0

001

0120.1000

293333.000333.70

2.01.03

dimana hasilnya dapat diperiksa dengan,

[L] [U] =

99996.92.03.0

3.070999999.0

2.01.03

102.03.0

3.071.0

2.01.03

5. 5. 2 Metode Dekomposisi Crout

Salah satu cara yang paling efektif diantara metode – metode perbaikan ini disebut

dekomposisi crout yang merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] atas

[L] dan [U], metode ini dikenal juga sebagai metode reduksi (metode reduksi Cholesky

atau metode Dolittle).

Misalkan matriks 3 x 3 berikut :

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

L =

1ll

01l

001

3231

21 U =

33

2322

131211

u00

uu0

uuu

Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U dapat ditulis,

LU =

3323321331223212311331

2313212212211121

131211

uululululul

uuluulul

uuu

= A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Sehingga,

u11 = a11, u12 = a12, u13 = a13 baris pertama U

l21u11 = a21 l21 = 11

21

u

a dan l31u13 = a31 l31 =

11

31

u

a kolom pertama L

59

l21u12 + u22 = a22 u22 = a22 – l21u12 baris pertama U

l21u13 + u23 = a23 u23 = a23 – l21u13 baris pertama U

l31u12 + l32u22 = a23 l32 = 22

123132

u

ula kolom kedua L

l31u13 + l32u23 + u33 = a33 u33 = a33 – (l31u13 + l32u23) baris Ketiga U