matriks dan operasinya
Post on 01-Jul-2015
148 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Operasi pada Matriks NolOperasi pada Matriks NolDefinisi Matriks NolDefinisi Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.elemennya nol.
Sifat operasi pada matriks nolSifat operasi pada matriks nol
1. A 1. A + + OO = = OO + + AA = = OO2. A – A = O
3. O – A = -A
4. AO4. AO = = OO ; ; OAOA = = OO
Apakah sifat-sifat pada matriks sama Apakah sifat-sifat pada matriks sama seperti sifat-sifat operasi pada bilangan seperti sifat-sifat operasi pada bilangan real?real? Selidiki apakah pada matriks berlaku hukum
pembatalan?
20
10
43
11
43
52
00
13
Transpos Suatu MatriksTranspos Suatu Matriks
Definisi 1.8
Jika A adalah sebarang matriks m x n, makatranspos matriks A, dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks n xm yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A: yaitu , kolom pertama dari AT adalah aris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris pertama dari A.
Teorema
1. (AT)T = A2. (A + B)T = AT + BT dan (A – B)T= AT - BT
3. (kA)T = kAT dengan k sebarang skalar.4. (AB)T = BTAT
Matriks-Matriks TerpartisiMatriks-Matriks Terpartisi
Matriks terpartisi adalah matriks yang diperoleh dengan menyelipkan garis horizontal dan/atau vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan
Hasil Kali Matriks sebagai Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linear Kombinasi Linear
Misalkan
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
....
...
21
22221
11211
nx
x
x
X
.
.
.2
1
Maka
mn
n
n
n
mmnmnmm
nn
nn
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
AX
.
.
....
.
.
.
.
.
.
....
.
....
...
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
2211
2222121
1212111
Contoh:
Hasil kali matriks
Dapat ditulis sebagai kombinasi linear
3
2
3
2
1
3
1
1
1
1
2
3
2
1
3
311
231
312
Dapat dikatakan bahwaa. hasil kali AX dari sebuah matriks A
dengan sebuah matriks kolom X adalah sebuah kombinasi linear matriks-matriks kolom dari matriks A dengan koefisien-koefisien skalar yang berasal dari matriks X.
b. hasil kali YA dari sebuah matriks baris Y dengan sebuah matriks A adalah sebuah kombinasi linear dari matriks-matriks baris A dengan koefisien-koefisien skalar yang berasal dari Y.
Bentuk Matriks dari Suatu Sistem LinearBentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear
Tinjau sebarang sistem m persamaan linear dengan n peubah
11313212111 ... bxaxaxaxa nn
22323222112 ... bxaxaxaxa nn
mnmnmmm bxaxaxaxa ...332211
Dapat dinyatakan sebagai
atau AX = B
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaa
aaa
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
....
...
2
1
2
1
21
22221
11211
A disebut matriks koefisien dai sistem.
Sedangkan matriks lengkap dari sistem:
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
. ...
...
21
222221
111211
Jenis-Jenis MatriksJenis-Jenis Matriks
1. Matriks bujur sangkar
Yaitu matriks yang banyak baris dan kolomnya sama, atau berukuran nxn , tetapi sering juga dikatakan berukuran n.
Bentuk umum:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
....
...
21
22221
11211
Trace suatu matriks bujur sangkarTrace suatu matriks bujur sangkar
Definisi • Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar,
maka trace A, dinyatakan dengan tr(A), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen diagonal utama. Trace A tidak terdefinisi apabila matriks A bukan matriks ujur sangkar.
Atau tr(A) = nnaaa ...2211
2. Matriks segitiga2. Matriks segitiga
• Matriks segitiga atas
yaitu matriks bujur sangkar yang semua anggota di bawah diagonal utamanya nol atau matriks bujur sangkar yang untuk i > j, semua elemen ke- ij = 0.
Bentuk umum
nn
n
n
a
aa
aaa
...00.
.
.
...
...
...
.
.
0
.
.
....0
...
222
11211
• Matriks segitiga bawah, yaitu matriks bujur sangkar yang semua anggota di atas diagonal utamanya nol atau matriks bujur sangkar yang untuk i < j, semua elemen ke-ij = 0.
• Bentuk umum
nnnn aaa
aa
a
...0
.
.0
...
...
...
.
.
.
.
.
.0...
0...0
21
2221
11
Tentukan matriks-matriks berikut termasuk matriks Tentukan matriks-matriks berikut termasuk matriks segitiga atas atau bawah atau bukan keduanya!segitiga atas atau bawah atau bukan keduanya!
01
02A
30
10B
000
120
031
C
025
123
001
D
000
020
001
E
3. Matriks diagonal3. Matriks diagonal
• Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dimana semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utama bernilai nol.
• Bentuk umum
nd
d
d
...000
.
.0
...
...
...
.
.
0
.
.
.0...0
0...0
2
1
Apabila k suatu bilangan bulat positif, berlaku
nn
n
n
d
d
d
...000
.
.0
...
...
...
.
.
0
.
.
.0...0
0...0
2
1
4. Matriks skalar dan matriks identitas4. Matriks skalar dan matriks identitas
• Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya suatu skalar k. Dengan kata lain, suatu matriks bujur sangkar A dikatakan matriks skalar, jika
aij = k, k skalar, untuk i = j dan
aij = 0, untuk i j.
Apabila pada matriks skalar, k = 1, maka matriksnya juga disebut matriks satuan atau matriks identitas. Umumnya dilambangkan dengan I atau In ( matriks identitas yang berukuran n).
5. Matriks baris dan matriks kolom5. Matriks baris dan matriks kolom
• Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.
• Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
6. Matriks simetris6. Matriks simetris
• Suatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A = AT atau suatu matriks A simetris jika dan hanya jika aij = aji untuk semua nilai i dan j. Dengan demikian semua matriks diagonal adalah simetris.
• Teorema
Jika A dan B adalah matriks-matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah sebarang skalar, maka:
– AT simetris– A + B dan A – B simetris– kA adalah matriks simetris– hasil kali dua matriks simetris adalah
simetris jika dan hanya jika matriks-matriks tersebut komutatif.
• Jika A suatu matriks m n , maka AT adalah suatu matriks nm, sehingga hasil kali AAT dan ATA keduanya adalah matriks bujur sangkar: matriks AAT berukuran m m, sedangkan mariks ATA berukuran nn. Hasil kali ini selalu simetris, karena
(AAT )T= (AT)T AT = AAT
ATA (ATA)T = AT(AT)T = ATA
7. Matriks Nol
Invers MatriksInvers Matriks
• Definisi
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan bisa dibalik dan B disebut invers matriks A
Contoh
Apakah matriks B = merupakan
invers dari matriks A =
Contoh 1.26Tentukan apakah matriks B =
21
53
merupakan invers dari matriks A =
31
52
Teorema Teorema Jika Jika BB dan dan CC keduanya adalah invers keduanya adalah invers matriks matriks AA, maka , maka BB = = CC..
Teorema
Matriks A = dapat dibalik jika
ad –bc 0, dan inversnya adalah
dc
ba
ac
bd
bcadA
11
• Teorema
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:
1. AB dapat dibalik
2. (AB) -1 = B-1A-1
Contoh
Diketahui matriks A = dan matriks
B = Hitung (AB) -1!
32
21
41
42
Pangkat Suatu MatriksPangkat Suatu Matriks
Definisi
• Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar , maka berlaku
A0 = I
(n > 0)
Selanjutnya, apabila A bisa dibalik, maka
faktorn
...AAAAn
faktorn
1111 ...)( AAAAA nn
Teorema Teorema Jika Jika A A adalah sebuah matriks bujur sangkar dan adalah sebuah matriks bujur sangkar dan rr dan dan ss adalah bilangan bulat, maka: adalah bilangan bulat, maka:
AArrAAss = = AAr+sr+s dan ( dan (AArr))ss = = AArsrs
• Teorema Jika A suatu matriks yang dapat dibalik, maka
– A-1 dapat dibalik dan (A-1) -1 = A– An dapat dibalik dan (An) -1= (A-1) -n, untuk n = 0, 1, 2,
3, …– Untuk sebarang scalar tak nol k, matriks kA dapat
dibalik dan (kA) -1= 11 A
k
top related