matriks dan determinan

MATRIKS DAN DETERMINANBAB IX

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

9.1 Matriks

Mtk.Diskrit (M)Str. Data (S)

Pemrogr.(P) Basis Dt.(B)Tek. Informatika 40 42 29 29Sist. Informasi 45 35 30 40Tek. Komputer 42 31 22 37Mnj. Informatika 37 40 45 30Komp. Akuntasi 39 26 35 27

Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,

Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n.

Umumnya suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks dapat juga ditulis sebagai A = [aij ]. Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujursangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebutdiagonal matriks.

Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j.

Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 9.2 Matriks Bentuk Khusus

Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom).

9.2.1 Vektor Kolom

12403225

Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah9.2.2 Vektor Baris

[ 4 2 5 1 ]Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom).

9.2.3 Matriks Persegi

Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. 9.2.4 Matriks Segitiga

Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga atas atau untuk setiap i> j, aij = 0

Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, aij = 0.

Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk setiap i ≠ j, aij=0.

9.2.5 Matriks Diagonal

9.2.6 Matriks SkalarMatriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn

9.2.7 Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1.

Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0. 9.2.8 Matriks 0 9.2.9 Matriks TransposeContoh 9.1 , maka AT = Jika A =

Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = AT ) maka matriks tersebut adalah matriks simetri.9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri

Contoh 9.2Jika A = , maka AT =

Karena A = AT, maka A adalah matriks simetri. Sedangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang memenuhi –A = AT.Contoh 9.3

Karena –A = AT , maka A adalah matriks skew-simetri.

Misal A = ,maka AT = , –A =

Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks.9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks

Misal terdapat matriks A = [aij ] dan B = [bij] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama.

9.3.1 Penjumlahan

Contoh 9.4 B =

Misal A =

Maka A + B = C

9.3.2 Perkalian Skalar dengan MatriksJika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.aij], atau dapat ditulis dalam bentuk:cA = c

Contoh 9.5

maka 3A =

Jika A =

Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sama. 9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks

Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, ditulis AB, adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran m x p.

Nilai dari cij adalah,

Jika terdapat matriks C = A.B, maka Diketahui B = A =

Contoh 9.6

C =

9.3.4 Kombinasi linier matriksJika A1, A2, … , Ap adalah matriks yang mempunyai ukuran Sama, dan k1, k2, … , kp adalah skalar, maka k1 A1 + k2 A2 + … + kp Ap disebut kombinasi linier dari A1, A2, … , Ap Jika ,Contoh 9.7A1 = A2 = A3 =

tentukan A1 + 3A2 – 2A3Penyelesaian

A1 + 3A2 –2A3

9.3.5 Sifat-sifat Operasi MatriksJika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku:

i) A + B = B + A hukum komutatif penjumlahan ii) A + (B + C) = (A + B) + C hukum asosiatif penjumlahan iii) A(BC) = (AB)C hukum asosiatif perkalian iv) A(B ± C) = AB ± AC hukum distributif kiri v) (B ± C)A = BA ± CA huklum distributif kanan vi) a(B ± C) = aB ± aC vii) (a ± b)C = aC ± bCviii) (ab)C = a(bC) ix) a(BC) = (aB)C = B(aC) x) (AT)T = A xi) (A + B)T = AT ± BT xii) (cA)T =cAT xiii) (AB)T = BT AT

Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier, 9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix)

Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien,

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika memenuhi: i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumnya.

9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris

Contoh 9.8Matriks dalam bentuk eselon baris

Contoh 9.9Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris

Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris.

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon barisii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1) dan satu-satunya elemen matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan.Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks eselon baris tereduksi

9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi

Contoh 9.10

Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap matriks tersebut.

Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu matriks adalah: i) Perkalian sembarang baris dengan skalar ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentuiii) Penjumlahan antara i) dan ii).Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE)Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris dan kolom: i) R3 2R3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali baris ke tiga ii) R1 R2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertukarkan.iii) R2 R2 + 3R3 artinya baris kedua diganti dengan baris kedua ditambah dengan tiga kali baris ketiga

9.7 Operasi Baris Elementer

2 1 – 15 3 44 7 5

Elemen pivot

Elemen dieliminasi

Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks eselon baris tereduksi.Contoh 9.11

Penyelesian

Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris pertama dengan 1/2.Langkah pertama

R½ 1–5R1+R2–4R1+R3

2R2

9.8 DeterminanDeterminan adalah besaran atau nilai yang berhubungan dengan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi tersebut mempunyai balikan (inverse). Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan.

Jika terdapat matriks , maka determinan dari matriks A adalah

Tentukan determinan dariPenyelesaianContoh 9.12

9.8.1 Sifat-sifat determinan i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau det A = det AT

ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnyaiv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A

v) Jika matriks dan c adalah konstanta, makaa) b)

vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Misal A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya ditulis Mij). Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan sebagai,

9.8.2 Kofaktor

Diketahui Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a13 Penyelesaian

Contoh 9.9

Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut.Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah

9.8.3 Determinan dari matriks n x n

Tentukan determinan dari

PenyelesaianKarena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1Dari rumus 9.4a didapat, det A =

Contoh 9.10

det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus.

Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2.

Jika terdapat matriks

A = a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12

–( ) –( ) –( )

+( ) +( ) +( )

Maka det A =

9.9 Adjoin MatriksJika terdapat matriks A = [aij], maka

Contoh 9.11, tentukan adjoin A

Penyelesaian

Jika matriks A = [aij] adalah matriks persegi n x n, maka balikan (inverse) dari A dilambangkan dengan A-1 merupakanmatriks n x n sehingga memenuhi9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix)

9.10.1 Menentukan balikan matriks dengan rumus

Salah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah dengan mencari adjoin dan determinan dari matriks yang dicari balikannya terlebih dahulu. Setelah itu gunakan rumus Contoh 9.12, tentukan

Penyelesaian

Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi Gauss-Jordan berarti kita harus melakukan eliminasi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi. 9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

BuktiAB = I A-1 AB = A-1 I IB = A-1 B = A-1 atau A|I AB |B I|A-1

Misal A adalah matriks non-singular n x n.AB = I jika dan hanya jika B =A-1

Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi A|I menjadi I|X, maka kita dapat memastikan bahwa X = A-1

Dari contoh 9.12, tentukan A-1 dengan metode eliminasiGauss-Jordan Contoh 9.13Penyelesaian

R2 –2/3 R1R3 –R1

R3 –6/7 R2

R1 + 2/3R2R2 +4/7R3R1–9/7R3