matriks 2

Matriks 2

1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2

Jika matriks A = dengan det A = ad-bc

, maka invers dari matris A ditentukan oleh

A-1 =

Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0

dc

ba

ac

bd

bcad

1

Langkah Penyelesaian

1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan

2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+)

3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.

Tentukanlah invers matriks berikut ini.

Jawab:

Det A =

Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah

24

35A

212104).3()2.(524

35

25

24

23

22

1

54

32

2

1A

1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo

tiga yang disajikan dalam bentuk:

Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matrisk A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari

matriks A, dilambangkan dengan |Mij|

Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.

Contoh:

Diketahui matriks A =

Tentukanlah minor-minor dari matriks A.

341

431

321

Jawab:

63.43.234

32

13.14.141

31

14.13.131

41

74.43.334

43

2121

1313

1212

1111

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

12.13.131

21

13.14.141

31

13.34.243

32

22.14.141

21

03.13.131

31

3333

3232

3131

2323

2222

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

b. Pengertian Kofaktor

Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A,

maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij.

Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.

Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus

αij = (-1)i+j |Mij|

Contoh:

Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11|

Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12|

Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13|

Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21|

Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22|

Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23|

Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31|

Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32|

Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|

c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3

Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:

Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:

adj A =

Dengan αij adalah kofaktor dari aij

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

332313

322212

312111

d. Invers matriks berorodo 3 x 3

Misalkan matriks A adalah matriks

berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A

dirumuskan dengan aturan:

0detdet

11 AuntukAadjA

A

Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.

Jawab:

Jadi matriks A mempunyai invers

021

130

121

A

1)023()020(

2

3

2

1

0

1

021

130

121

det

A

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:

202

12

321

30

101

10

202

13

21

13

12

11

330

21

110

11

113

12

421

21

101

11

33

32

31

23

22

Matriks adjoinnya:

Adj A= =

A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 =

332313

322212

312111

343

111

122

343

111

122

343

111

122

Penyelesaian persamaan matriks.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:

Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1. B

Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1

Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.

4x + 5y = 172x + 3y = 11

Jawab:Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.

11

17

32

54

y

x

Langkah 2:

Langkah 3:

Langkah 4:

X = -2 dan y = 5

25.23.432

54det,

32

54

AmakaA

42

53

2

11A

5

2

11

17

42

53

2

1

y

x

Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:

2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -94 i1 - i2 + 2i3 = 8

Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.

Jawab:Langkah 1:Mengubah persamaan dalam bentuk matriks

BIA

i

i

i

.

8

9

13

.

214

321

112

3

2

1

35)268()1128(

1

2

1

4

1

2

214

321

112

det

A

Kofaktor- kofaktor dari matriks A

521

12

531

12

532

11

614

12

33

32

31

23

824

12

121

11

714

21

1424

31

721

32

22

21

13

12

11

Matriks adjoin :

567

5814

517

AAdj

I = A-1 . B

I = 1/det A . Adj A . B

3;2;4

3

2

4

8

9

13

567

5814

517

35

1

321

3

2

1

3

2

1

iii

i

i

i

i

i

i