materi kuliah
Post on 30-Oct-2014
38 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 1
KALKULUS II
Pendahuluan
Ir.H. Tjukup Marnoto, MT, PhD
E-mail: tjukup@gmail.com
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 2
DeskripsiMata kuliah Kalkulus II merupakan mata kuliah wajib di Jurusan Teknik Kimia yang mempelajari: Hitung Intergral Intergral Lipat Dan Aplikasinya
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 3
PenilaianPenilaian dilakukan dengan menggunakan kriteria sebagai berikut :
Nilai Rentang
A 75
B 65 – 74,9
C 40 – 59,9
D 30 – 39,9
E ≤ 29,9
Bobot untuk komponen-komponen penilaian:
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk4
Penilaian
Tugas 15%
Kuis 10%
Ujian Tengah Semester 30%
Ujian Akhir Semester 45%
Anti TurunanPada berbagai mesalah matematika mempunyai
pasangan operasi balikan seperti +,-, x,:, ^, akar dsb.
Telah dipelajari hal diferensiasi, jika kita bermaksud menyelesaiakan atau memecahkan persamaan
yang melibatkan diferensiasi/turunan maka memerlukan operasi balikannya, yang disebut
anti turunan atau anti diferensiasi yang disebut integral / integrasi.
Sebut F adalah suatu anti turunan f(x) pada interval I, Jika
IpadaxfxFd x ...)()(
untuk semua x pada I
)()(' xfxF
5
contoh
cxxF
xfdariturunananti
dsb
xxF
xxF
4
4
4
)('
)(...
.
5)('
8)('
Notasi Leinbiz, untuk menyatakan anti turunan atau integral adalah dengan notasi )(Integral
6Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
cxdxx 434
cxdxx 32
3
1
Dx Turunan terhadap x
Anti turunan terhadap x dx........
CxfdxxDx
dan
xfdxxfDx
)()(
)()(
7Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
cn
xdxx
nn
1
1
cxcx
dxx
cxcx
dxx
cxcx
dxx
4/74/7
4/3
33
2
66
5
7
4
4/7
333
6
1
6
cxxdx
cxxdx
sincos
cossin
8Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
Misalkan ada f dan g adalah fungsi x maka berlaku :
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxfk
)()()()(
)()(.
cxxx
xdxxdxdxx
dxxxx
23
2
2
2sin2
4cos23
}4cos23{
9Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk10
Integral standard
cxxdx
cxxdx
sincos
cossin
cxdxx
cxdxx
ca
adxa
cedxe
caxadxcxdx
ncn
xdxx
xx
xx
nn
tan.sec
ln1
ln.
.
.1
11
2
1
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 11
xxdx
d
aaadx
d
eedx
dx
xdx
d
xnxdx
d
xx
xx
nn
2
1
sec)(tan
ln)(
)(
1)(ln
.)(
cxdxx
ca
adxa
cedxe
cxdxx
ncn
xdxx
xx
xx
nn
tan.sec
ln.
.
ln1
11
2
1
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 12
2
1
2
1
1
1)(cos
1
1)(sin
cosh(sinh)
sinh)(cosh
.)(
xx
dx
dx
xdx
d
xdx
d
xxdx
d
ekedx
d kxkx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
ck
edxe
kxkx
1
2
1
2
cos1
1
sin1
1
sinh.cosh
cosh.sinh
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 13
xxxdx
dx
xdx
dx
xdx
dx
xdx
dx
xdx
d
ln)ln.(
1
1)(tanh
1
1)(cosh
1
1)(sinh
1
1tan
21
2
1
2
1
21
cxxdxx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
ln..ln
tanh1
1
cosh1
1
sinh1
1
tan.1
1
12
1
2
1
2
12
Buatlah soal dan kerjakan sendiri
14
Integral dari Fungsi linier x
dxbax n .)(Misal :
Jika variabel x diganti dengan fungsi linier x :
..)()( dxudxbaxbaxu nn
Untuk menyelesaiakan sesuai dengan integral standard harus mengubah variabel dx.
Perhatikan definisi integral
du
dx
dx
dy
du
dyx
u
x
x
y
u
y.0.
nn
nn
udu
dyduu
baxdx
dydxbax )(.)(
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 15
cx
y
cu
duududu
dxuy
du
dxx
u
xudxxy
15
)23(
53
1
3
1..
3
1
3
2
)23()23(
5
544
4
Contoh :
Untuk integrasi fungsi linier x, sederhanakan dengan mengganti x dengan hasil standard yang berhubungan dengan fungsi linier dan dibagi koefisien x pada fungsi
liniernya
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 16
cx
cx
dxx
cx
dxxstddxx
12
)34(
4
1
3
)34()34(
3.)34(
332
322
ce
cedxe
cedxestddxe
cx
cxdx
cxxdxstdxdx
xxx
xxx
55
1.
3
3sin
3
1.3sin.3cos
sincos3cos
252525
25
17
Integral pembilang dan pengkalinya bentuk diferensiasi
czz
dz
dxxfdzxfdx
dzmakaxfz
dxxf
xf
ln
)(')(':),(
)(
)('
cz
dzz
dxxfdzxfdx
dzmakaxfz
dxxfxf
2.
)(')(':),(
).(').(
2
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 18
Setiap kita menemui persoalan integral yang berbentuk pembagian dan perkalian, maka yang pertama
dilakukan adalah chek apakah pembilangnya atau pengkalinya
merupakan koefisien differnsial dari penyebutnya atau dari yang
dikalikan?
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 19
cxx
czz
dz
xx
xddx
xx
x
dxxdzxdx
dzxxz
dxxx
xdx
xx
x
)54ln(2
ln22542
)42(2
54
422
)42(;42;54
)54(
)42(2
)54(
)84(
2
2
2
22
Contoh:
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 20
cxdxx
xdxx
cxdxx
xxdx
cxdxx
xdx
x
x
cxxxdxxxx
xx
sinlnsin
cos.cot
coslncos
sintan
)4ln(3
1
4
3
3
1
4
)43ln()43(
323
33
2
3
2
2323
2
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 21
cxx
cz
dzzdxxxx
dxxdzxdx
dzxxz
dxxxx
2
)53(
2.)32).(53(
)32(32;53
)32()53(
2222
2
2
cxx
dxxxx
cx
xdxdxxx
cx
xdxdxx
xdxx
x
2
)47()72)(47(
2
sin)(sin.sin.cos.sin
2
)(ln)(ln.ln
1.ln
ln
222
2
2
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 22
Latihan soal soal:
dxx
dxx
dxe
dxxx
x
dxxxx
x
53
2
)32sin(
.
64
42
)72)(472(
55
2
dxke
dxx
x
dx
dxxx
dxx
x
kx
x
2
2
2
)32sin(
)32cos(2
5ln.5
ln
147
72
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 23
cxczz
dzdxx
dzxz
dxxx
dxxx
)ln(lnln1
;ln
.ln1
ln
1
Teorema pangkat yang digeneralisirJika u=g(x) adalah fungsi yang dapat
didiferensialkan dan n suatu bilangan rasional (n≠1). Maka:
cn
xgdxxgxg
maka
xgxgn
xg
dx
datau
dx
duu
n
u
dx
d
nn
nn
nn
.1
)().('.)(
)('.)(1
)(;.
1
1
11
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 24
cxg
xfdx
xg
xgxfxfxg
cxgxfdxxfxgxgxf
Buktikan
)(
)(.
)(
)(').()(').(
)().()(').()(').(
:
2
Buatlah soal dan kerjakan sendiri
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 25
Jika u dan v adalah fungsi x, maka kita ketahui bahwa:
duvvudvu
dxdx
duvvudx
dx
dvu
dxdx
duvdx
dx
dvuvu
egralkandidx
duv
dx
dvuvu
dx
d
...
.
.
:int
).(
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 26
cx
xe
cexeex
dxeex
ex
xdxee
xdxex
evedv
xduxu
dvdanusebagaimanapilihdxex
x
xxxx
xx
xx
x
xx
x
9
2
3
2
3
27
.2
9
2
3
.
3
1
33
2
3
.
.3
2
3...
3
2
;..
23
33323
332
33
232
33
2
32
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 27
Urutan prioritas untuk u :•Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka ia diambil
sebagai u.•Jika tidak ada fungsi logaritma, tapi ada fungsi pangkat x, maka
fungsi pangkat diambis sebagai u.•Jika tidak ada fungsi logaritma maupun fungai pangkat x, maka
fungsi eksponensial diambil sebagai u.
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 28
cxx
cxxx
dxx
xxx
xvxdv
xduxuxdxx
2
1ln
242
ln.
1.
2
1
2
ln.
2;
1;lnln.
222
22
2
Contoh:
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 29
cxx
xe
ceexexex
dxeexexex
dxxeexex
dxexex
evedvxduxudxex
x
xxxx
xxxx
xxx
xx
xxx
4
3
2
3
2
3
2
24
3
4
.3
4
.3
2
.
.2
1
2
.
2
3
4
.3
2
.
.2
2
2
.
2
3
2
..
2
3
2
.
2;3;.
23
2
222223
222223
22223
2223
222323
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 30
dxexkebentuklagikembali
xdxexxexe
dxexxexdxe
xvxdv
edueudxxe
x
xx
xxx
xxx
..sin
3.sin3sin.3cos.
..cos3cossin.
cos;.sin
3;.sin.
3
33
333
333
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 31
Setiap kita mengintegralkan fungsi berbentuk ekx sin x, atau ekx cos x, maka akan
memperoleh kembali bentuk semula setelah menerapkan dua kali.
Maka dimisalkan :
cxxe
I
cxxeI
maka
IxexeI
dxxeI
x
x
xx
x
)cos(sin10
)cos(sin.10
9sin.3cos.
.sin.
3
3
33
3
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 32
Latihan soal soal:
dxxe
dxxe
xdxe
x
x
x
..
.4cos
3sin
42
2
5
dxxx
dxxx
xdxx
).3ln(.
.2cos.
3sin
3
3
4
Buatlah soal dan kerjakan sendiri
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 33
dxx
xxxxx
xdx
xx
x
xvxdv
xduxu
dxxx
3
812793
4
1)3ln(
4
34
1)3ln(
4
4;
3
1);3ln(
)3ln(.
234
44
43
3
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 34
Integrasi dengan pecahan parsial
Kaedah:•Derajat pembilang < penyebut, jika tidak harus
membagi dengan pembagian biasa•Faktorkan penyebut dengan faktor primanya.
•Faktor tersebut akan memberikan pecahan parsial sbb:
cbxax
BAxcbxax
bax
C
bax
B
bax
Abax
bax
B
bax
Abax
bax
Amemberikanbax
22
323
22
);(
)()(;)(
)(;)(
);(
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 35
Contoh:
)1()2(1
21)2)(1(
1
23
123
1
2
2
xBxAx
x
B
x
A
xx
x
xx
x
dxxx
x
3)1()0(3
20)2(:
2)0()1(2
10)1(:
BBA
xsubtitusixAmbil
ABA
xsubtitusixAmbil
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 36
cxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxxx
x
)1ln(2)2ln(31
12
2
13
2
3
1
2
23
12
dxxx
x
dxxx
x
dxx
x
dxxx
x
2
2
2
2
3
2
2
2
)12(
14).4
)1)(2().3
)2(
1).2
)1()1().1
Latihan:
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 37
5
22
5
420
5
1
5
41
:5
40542
))(2()1(
)1()2()1)(2(
)1)(2().3
0
2
22
22
2
2
2
CCCAx
BBBAx
koefisiensamakan
AAx
CBxxxAx
x
CBx
x
A
xx
x
dxxx
x
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 38
Cxxx
dxx
dxx
xdx
x
dxx
x
xdx
xx
x
12
22
22
2
tan5
2)1ln(
10
1)2ln(
5
4
)1(
1
5
2
)1(5
1
)2(
1
5
4
)1(5
2
)2(5
4
)1)(2(
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 39
22
22
2
22
2
2
2
)1()1()1)(1(
)1()1(1)1()1(
1)1()1()1()1(
)1()1(
xCxBxxAx
xxx
C
x
B
x
Ax
x
C
x
B
x
A
xx
x
dxxx
x
43
412
2
41
21
1;1
)(
)4(()))0(1;10)1(:
)0()2()0(1;10)1(:
AACAx
xmisalpangkatkoefisienSamakan
CCBAxxAmbil
BCBAxxAmbil
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 40
Cxx
x
dxx
dxx
dxx
dxxxx
dxxx
x
)1ln(4
1
)1(2
1)1ln(
4
3
)1(
1
4
1
)1(
1
2
1
)1(
1
4
3
)1(4
1
)1(2
1
)1(4
3
)1()1(
2
22
2
Buatlah soal dan kerjakan sendiri
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 41
cxxdx
cxxdx
sincos
cossin
Integrasi fungsi-fungsi trigono metri,
Cx
xdxxxdx
Cx
xdxxxdx
jadi
xxdanxx
xxdanxx
2
2sin
2
1)2cos1(
2
1cos
2
2sin
2
1)2cos1(
2
1sin
)2cos1(cos)2cos1(sin
1cos22cossin212cos
2
2
212
212
22
sinus dan cosinus ber pangkat
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 42
.........cos.sin)(coscos.sincos
.cos)sin1(.cos.coscos
.........sin.cos)(sinsin.cossin
.sin)cos1(.sin.sinsin
1cossinsin
:
22
223
22
223
2233
xdxxdxxdxxxx
dxxxdxxxxdx
xdxxdxxdxxxx
dxxxdxxxxdx
xxingatxdxcodanxdx
denganbagaimana
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 43
???....cos
4cos2
12cos2
2
3
4
1)4cos2cos21(
4
1
)4cos1(2cos2cos2cos214
14
)2cos1(.)(sinsin
cossin
:
4
21
21
2122
2224
44
xdx
lanjutkan
dxxxdxxx
xxingatdxxx
dxx
dxxxdx
xdxdanxdx
denganbagaimana
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 44
teruskan
dxxxxxx
dxxxx
dxxxdxx
teruskan
dxxxxxx
dxxxx
dxxxdxx
cos.sincos.sin2cos
.cossinsin21
.cos)sin1(.cos
sin.cossin.cos2sin
.sincoscos21
.sin)cos1(.sin
42
42
225
42
42
225
Buatlah soal dan kerjakan sendiri
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 45
Perkalian sinus dan cosinus
Ingat Identitas:2 sinA.cosB = sin(A+B) + sin(A-B)2 cosA.sinB = sin(A+B) – sin(A-B)
2 cosA.cosB = cos(A+B) + cos(A-B)2 sinA.sinB = cos(A-B) – cos(A+B)
cxx
dxxxdxxxxx
dxxxdxxx
4
2cos
12
6cos
2sin6sin2
124sin()24sin(
2
1
)2cos.4(sin22
1.2cos.4sin
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 46
dxx
x
dxxx
dxxe
dxxx
dxxx
x
ln).5
.cos.sin).4
.2cos.).3
.2sin.).2
.2sin.5sin).1
4
3
2
dxxxx
x
dxxx
dxxx
xx
dxxx
x
dxxx
x
)3)(2)(1(
32).10
.1.).9
.)1)(1(
12).8
.158
12).7
.5
24).6
2
2
2
2
2
Soal-soal
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk47
CAz
Az
ACAz
AAz
A
dzAxA
dzAzAAz
dzA
QA
Pdidapat
Az
Q
Az
P
AzAzAz
Az
dz
ln2
1)ln(
2
1)ln(
2
1
1
2
11
2
12
1&
2
1
))((
11
22
22
22
Bentuk-bentuk Integral lainnya:
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 48
CAz
Az
AAz
dz
ln
2
122
CAz
Az
AzA
dz
ln
2
122
CA
z
AAz
dz
A
z
A
zAz
CA
dA
dAAAz
dz
dAdzAd
dzdidapat
AAAAAz
Azmisalkan
ndifaktorkadapattdkpenyebutAz
dz
122
1
22222
22
222222222
22
tan1
tantantan
11.sec.
sec
1
.sec&sec
sec)tan1(tan
tan
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 49
tan:tan1 1
22AzcobaC
A
z
AAz
dz
sin:sin 1
22AzcobaC
A
z
zA
dz
sinh:sinh 1
22AzcobaC
A
z
Az
dz
cosh:cosh 1
22AzcobaC
A
z
Az
dz
sin:sin2 2
221
222 AzcobaC
A
zAz
A
zAzA
sinh:sinh2 2
221
222 AzcobaC
A
Azz
A
zAAz
cosh:cosh2 2
221
222 AzcobaC
A
Azz
A
zAAz
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 50
Contoh:
Cx
xdx
xdx
xx
xxxxxx
dxxx
53
53ln52
1
5)3(
1
46
1
5)3(5)3(34)36(46
46
1
222
2222222
2
Cx
xC
x
xdx
xdx
xx
xxxxxxxx
dxxx
2115
2115ln
212
1ln
2
1
5
1
)(
1
5
1
425
1
)(5
1)(
5
1}{
5
1425
425
1
521
51
521
51
5212
5212
51
2
2
5212
51
25212
512
51
542
51
522
54
5222
2
Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 51
dxxx
xx
dx
dxx
xxxxdxxx
dxx
xxxxxxdxxx
xxxxxxdxxx
.1).7
982).6
.3
1)5
530)510(30103010
1).4
16
1).3
1)12(2
52
2
5
2
1245
245
1).2
2)24(9)4(94949
1).1
2
2
2
22222
2
222222
222222
Coba kerjakan !
top related