matematika ekonomi dan bisnisrepository.upi-yai.ac.id/1476/1/diktat bahan ajar matek...diktat bahan...
Post on 20-Aug-2021
48 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DIKTAT BAHAN AJAR
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Oleh :
BIDA SARI, SP, MSi
( NIDN : 0317047302)
Program Studi Akuntansi Fakultas Ekonomi
Universitas Persada Indonesia Y.A.I
JAKARTA
2014
KATA PENGANTAR
Konsep-konsep matematika menjadi alat analisis yang penting dalam ilmu
ekonomi. Matematika dapat menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah-
masalah ekonomi. Matematika Ekonomi dan Bisnis bertujuan memberikan pengertian
yang lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar ilmu ekonomi dengan menerapkan
matematika dalam bahasan-bahasannya.
Diktat bahan ajar ini berisi uaraian, contoh-contoh soal dan latihan mengenai
penerapan konsep-konsep matematika dalam bidang bisnis dan ekonomi. Materi disusun
berdasarkan Satuan Acara Perkulihaan (SAP) mata kuliah matematika ekonomi dan
bisnis selama satu semester pada fakultas ekonomi dan bisnis, sekolah tinggi ekonomi
dan akademi yang mengajarkan ilmu yang berkaitan dengan bidang ekonomi dan bisnis.
Penyajian setiap bab diawali dengan model-model matematika murni, disusul dengan
penjelasan ringkas tentang logika dari konsep-konsep ekonomi yang menerapakan model
tersebut, kemudian penerapan model matematika itu sendiri dalam konsep ekonomi yang
bersangkutan beserta contoh-contoh praktisnya.
Diktat ini disusun sedemikian rupa agar dapat dipahami dengan mudah oleh
mahasiswa dan dapat bermanfaat sebagai pelengkap acuan terutama bagi mahasiswa yang
mengambil mata kuliah matematika ekonomi dan bisnis.
Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu secara langsung maupun tidak langsung hingga tersusunnya diktat bahan ajar
ini. Semoga buku diktat ini dapat bermanfaat dan kritik serta saran-saran bagi perbaikan
kedepannya sangat diharapkan.
Jakarta, September 2014
P e n u l i s
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR …………………………………………………………… ii
DAFTAR ISI ……………………………………………………………………... iii
BAB 1. FUNGSI ………………………………………………………….. 1
1.1. Pengertian dan Unsur-unsur Fungsi ……………………..... 1
1.2. Unsur – Unsur Fungsi ……………………………………… 1
1.1. Jenis-jenis Fungsi …………………………………………… 2
BAB 2. FUNGSI LINEAR ………………………………………………. 4
2.1. Pengertian Fungsi Linear …………………………………... 4
2.2. Pembentukan Fungsi Linear ………………………………. 5
2.3. Penggambaran Fungsi Linear ……………………………... 7
2.4. Grafik danArah Garis Fungsi Linear …………………….. 7
2.5. Hubungan Dua Garis Fungsi ………………………………. 8
2.6. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 9
2.6.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan
Keseimbangan Pasar ………………………………… 9
2.6.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 11
2.6.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 12
2.6.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 14
2.6.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 16
2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 17
2.6.7. Fungsi Anggaran …………………………………… 18
2.6.8. Fungsi Konsumsi-Tabungan, dan Multiplier ……… 19
BAB 3. FUNGSI KUADRAT …………………………………………… 22
3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat ………………………………… 22
3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim .………………………… 22
3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ……………... 22
3.4. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 26
3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan
Keseimbangan Pasar ………………………………... 26
3.4.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 27
3.4.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 28
3.4.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 29
3.4.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 31
3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 33
3.4.7. Fungsi Utilitas ………………………………………... 34
3.4.8. Fungsi Produksi ……………………………………… 35
3.5. Soal-Soal Latihan ……………………………………………. 36
BAB 4. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA ……………………… 38
4.1. Kuosien Diferensi Dan Derivatif …………………………... 38
4.2. Kaidah-kaidah Deferensiasi ……………………………….. 39
4.3. Derivatif dari Derivatif ……………………………….......... 41
4.4. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya………………. 42
4.5. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun……………………… 42
4.6. Titik Ekstrim: Maksimum, Minimum dan Titik Belok ...... 43
4.7. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 44
4.7.1. Elastisitas …………………………………………….. 44
4.7.2. Biaya Marjinal ……………………………………..... 46
4.7.3. Penerimaan Marjinal ………………………………… 46
4.7.4. Utilitas Marjinal …………………………………….... 47
4.7.5. Produk Marjinal …………………………………….. 48
4.7.6. Analisis Keuntungan Maksimum …………………… 49
4.4.7. Penerimaan Pajak Maksimum ……………………… 50
4.4.8. Efek Pemajakan Bagi Penunggal …………………… 51
4.8. Soal-Soal Latihan …………………………………………..... 54
BAB 5. DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK ………………………...... 55
5.1. Diferensial Parsial …………………………………………… 55
5.2. Derivatif dari Derivatif Parsial …………………………….. 55
5.3. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ………………… 56
5.4. Optimisasi Bersyarat : Pengganda Lagrange ……………… 57
5.5. Aplikasi Fungsi Parsial Pada Ekonomi …………………….. 59
5.5.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan
Parsial ………………………………………………….. 59
5.5.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya
Produksi Gabungan …………………………………… 62
5.5.3. Utilitas Marjinal Parsial dan Kesimbangan Konsumsi 64
5.5.4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi 67
5.6. Soal-Soal Latihan …………………………………………….. 70
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 72
DAFTAR PUSTAKA
Assuari, Sofyan. (1996). Matematika Ekonomi. Jakarta ; Rajawali
Chiang, Alpha. (2006). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1 & 2. Jakarta ; Penerbit
Erlangga.
Dumairy. (2006) . Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Terapan. Yogyakarta : BPFE.
Johanes, H dan Sri Handoko, Budiono. 1983. Pengantar Matematika untuk Ekonomi.
Jakarta : LP3S.
Josep Bintang Kalangi. (2005). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Buku 1 & 2. Jakarta;
Salemba Empat.
1
BAB I
F U N G S I
Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin
ilmu ekonomi, mengingat telaah–telaah ekonomi banyak bekerja dengan fungsi.
Baik fungsi yang berbentuk persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan.
Fungsi berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya
dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk
pertidaksamaan ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan
tanda ketidaksamaan ( atau ). Bab ini menguraikan segala hal yang berkaitan
dengan konsep fungsi secara umum, terutama fungsi-fungsi yang berbentuk
persamaan. Uraian yang lebih terinci mengenai fungsi– fungsi tertentu disajikan di
dalam bab-bab berikutnya, sekaligus dengan bahasan mengenai penerapan ekonomi
dari fungsi yang bersangkutan.
1.1 PENGERTIAN FUNGSI
Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Atau, fungsi adalah hubungan antara 2 atau lebih variabel yang saling pengaruh
mempengaruhi
Notasi fungsi secara umum : y = f ( x1, x2, .… , xn )
1.2 UNSUR – UNSUR FUNGSI
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur–unsur pembentuk fungsi
adalah variabel, koefisien dan kostanta.
Variabel. Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau
mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan
huruf – huruf latin.
Koefisien. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak
di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.
Konstanta. Konstanta ialah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut
membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu
variabel tertentu.
2
1.3 JENIS – JENIS FUNGSI
Fungsi dapat digolong–golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis
besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi no-
aljabar. Rincian jenis–jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada skema berikut:
Skema 1 : Pembagian Jenis Fungsi
I. Fungsi Aljabar :
1. Fungsi Irasional
2. Fungsi Rasional :
a. Fungsi Polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom)
dalam variabel bebasnya.
Bentuk umum persamaan polinom : y = a0 + a1x + a2x2 + … + anx
n
b. Fungsi Linear adalah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat satu, disebut juga fungsi berderajat satu.
Bentuk umum persamaan linear : y = a0 + a1x , a1 ≠ 0
c. Fungsi Kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua, disebut juga fungsi berderajat dua.
Bentuk umum persamaan kuadrat : y = a0 + a1x + a2x2 , a2 ≠ 0
d. Fungsi Kubik ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat tiga, disebut juga fungsi berderajat tiga.
Bentuk umum persamaan kubik : y = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 , a3 ≠ 0
F U N G S I
Fungsi non-aljabar (transender) Fungsi aljabar
F. Irrasional F. rasional
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
F. Polinom
F. Linear
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
F. Pangkat
3
e. Fungsi Pangkat Banyak ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat
sebuah bilangan nyata bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = xn ,
n = bilangan nyata bukan nol
II. Fungsi Non-aljabar :
1. Fungsi Exponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat
dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = nekx
+ c ,
n ≠ 0 , k,c = konstanta.
2. Fungsi Logaritma ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponesial,
variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
Bentuk umumnya : y = nlog x , n > 0 dan n ≠ 1.
3. Fungsi Trigonometrik dan fungsi Hiperbolik ialah fungsi yang variabel
bebasnya merupakan bilangan–bilangan genometrik.
Contoh persamaan Fungsi Trigonometrik : y = sin 5x
Contoh persamaan Fungsi Hiperbolik : y = arc cos 2x
Berdasarkan letak ruas variabel-variabel yang terdapat dalam fungsi, fungsi
dibedakan menjadi dua, yaitu :
1. Fungsi Eksplisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebasnya
dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya terletak di
ruas yang berlainan → y = f ( x )
Contoh : y = 2x + 3 , jika x= 3 maka y = 2(3) + 3 = 9
z = 2x + y2 + 3 , jika x = 2 , y = 3 maka z = 2 (2) + 3
2 + 3 = 16
2. Fungsi Implisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebas
tidak dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya
terletak di satu ruas yang sama → f (x,y) = 0
Contoh : 2x + 3y - 5 = 0 , jika ditetapkan x = 1 maka y = 1 atau jika y = 3
maka x = -2
4
BAB II
FUNGSI LINEAR
2.1. PENGERTIAN FUNGSI LINEAR
Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah pangkat satu. Dan apabila digambarkanakan menghasilkan
sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx ; dimana a
adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal – y mencerminkan nilai y pada
kedudukan x = 0. Sedangkan lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y
untuk setiap tambahan satu unit x.
Notasi fungsi linear : y = f (x) y = ax + b
Contoh : y = 3x + 2
Keterangan:
x dan y adalah Variabel yaitu : besaran yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-
ubah dan saling pengaruh mempengaruhi.
Variabel dalam fungsi dibedakan mejadi dua :
1. Variabel bebas ( independent ) yaitu variabel yang besarnya dapat ditentukan
sembarang → x
2. Variabel tidak bebas ( dependent ) yaitu variabel yang besarnya baru dapat
ditentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dahulu → y
a adalah Konstanta yaitu : bilangan yang tetap, tidak berubah-ubah.atau,
a = nilai y pada saat fungsi memotong sumbu y dimana x = 0
b adalah Koefisien yaitu : bilangan/angka yang menyertai variabel x, yang
merupakan gradient, slope, lereng, kecondongan, kecuraman, koefisien arah atau
garis fungsi dengan sumbu horizontal x.
b = tg α = ∆y = y2 – y1
∆x x2 – x1
5
2.2. PEMBENTUKAN FUNGSI LINEAR
Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara
tergantung dari data yang tersedia. Pada prinsipnya persamaan dapat dibentuk
berdasarkan unsur-unsur seperti penggal garisnya, lereng garisnya atau koordinat
titik-titik yang memenuhi persamaannya
1. Cara Dwi Koordinat
Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2)
Rumus :
Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1)
dan B (4, 5) !
Jawaban : y - 1 = x - 2
5 - 1 4 - 2
y - 1 = x - 2
4 2
2y - 2 = 4x - 8 → 2y = 4x - 6 → y = 2x - 3
Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x
2. Cara slope Koordinat
Syarat : diketahui 1 titik koordinat A (x1, y1) dan koefisien arah ( b)
Rumus :
Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik koordinat A (4, 5)
dan gradient b = 4
Jawaban : y - 5 = 4 ( x - 4 )
y - 5 = 4x - 16 → y = 4x - 11
Persamaan fungsi linear : y = 4x - 11 atau y = -11 + 4x
3. Cara General Linear Equation
Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2)
Rumus : A (x1, y2) : y1 = a + bx1
B (x2, y2) : y2 = a + bx2 -
y1 –y2 = b (x1 – x2) →
y – y1 = x – x1
y2 – y1 x2 - x1
y – y1 = b ( x – x1 )
))))
b = ∆y = y2 – y1 = tg α
∆x x2 – x1
6
Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1)
dan B (4, 5)
Jawaban : A (2, 1) : 1 = a + b . 2
B (4, 5) : 5 = a + b . 4 -
- 4 = - 2 b → b = -4/-2 = 2
1 = a + 2 . 2 → a = - 3
Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x
4. Cara Penggal Lereng
Syarat : diketahui titik koordinat penggal garis (0, y) atau (x, 0) dan slope/koefisien
arah ( b)
Rumus : Jika koordinat (0, y) →
Jika koordinat (x, 0) →
Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear jika :
(1) Diketahui titik koordinat (0, 2) dan gradient b = 0,5
(2) Diketahui titik koordinat (-4, 0) dan gradient b = 2
Jawaban : Persamaan fungsi linear : (1) y = 2 + 0,5x
(2) x = - 4 + 2y
5. Cara Dwi Penggal
Syarat : diketahui 2 titik koordinat penggal garis (0, y) dan (x, 0)
Rumus :
c = yo = penggal sumbu vertikal (0,y)
atau
d = xo = penggal sumbu horizontal (x, 0)
Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik penggal (0, 2)
dan (-4, 0)
Jawaban : penggal vertikal : c = 2 dan penggal horizontal : d = - 4
y = c – c x → y = 2 - 2 x → y = 2 + 1/2 x
d - 4
atau , y = ( 1 – x ) yo → y = (1 - x ) 2 → y = 2 + 1/2 x
xo - 4
Persamaan fungsi linear : y = 2 + 1/2x atau y = 2 + 0,5 x
y = a + bx
x = a + by
y = c – c x
d
y = ( 1 – x ) yo
xo
7
2.3. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR
Fungsi Linear dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu
silang (Diagram Kartesius) dengan sistem koordinat (x,y), dimana x mewakili sumbu
horizontal dan y mewakili sumbu vertikal.
Contoh : y = 3 + 2x →
Atau dengan mencari koordinat titik-titik
potong pada sumbu horizontal-x dan sumbu vertikal-y dari persamaan y = 3 + 2x,
• jika x = 0 maka y = 3 + 2.0 = 3 dan X y = 3 + 2x
koordinat titik potong pada sumbu y 5
adalah (0,3)
• jika y = 0 maka 0 = 3 + 2x, x = -3/2 3 (0,3)
dan koordinat titik potong pada sumbu y
adalah (-3/2,0)
(-3/2,0) 0 1 Y
2.4. GRAFIK DAN ARAH GARIS FUNGSI LINEAR
Bila kita akan menggambarkan grafik fungsi linear, ada beberapa
kemungkinan arah grafik fungsi dilihat dari nilai koefisien arah b dan konstanta a.
a) b positif, a= (+) b) b positif, a = 0 c) b positif, a=( - )
y y y
a y=a+bx y= bx y = -a + bx
0 x 0 x 0 x -a
d) b negatif, a= (+) e) b negatif, a = 0 f) b negatif, a= (-)
y y y
a
y = a-bx y= bx y = -a - bx
0 x 0 x 0 x
-a
x 0 1 2 3 4
y 3 5 7 9 11
8
y
x
x
y
2.5. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Ada empat macam kemungkinan bentuk hubungan garis lurus, yaitu :
1. Berimpit
Jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang
lain. Contoh : y1 = a1 + b1 x maka akan berimpit dengan garis y2 = a2 + b2 x.
2. Sejajar
Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis satu sama lain memiliki
nilai yang sama. y1 = a1 + b1 x akan sejajar dengan y2 = a2 + b2 x dengan nilai
b1 = b2.
3. Berpotongan
Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama
dengan lereng garis lainnya. y1 = a1 + b1 x akan berpotongan dengan y2 = a2 + b2
x jika b1 b2
4. Tegak lurus
Dua buah garis akan tegak lurus jika lereng yang satu merupakan kebalikan dari
lereng garis yang lain. b1 = -1/b2.
Berimpit Sejajar
Berpotongan Tegak lurus
y
x
y
x
9
2.4. PENERAPAN PADA EKONOMI
2.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan
Pasar
Fungsi Permintaan (Demand) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah
barang yang diminta (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P)
dengan asumsi variable lain cateris paribus.
P Qd = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…)
a P = a - bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga
Hukum Permintaan : Jika P ↑ → Q ↓ atau P ↓ → Q ↑
0 Q
Terlihat bahwa variabel P (price,harga) dan variabel Q (quantity, jumlah)
memiliki tanda yang berlawanan yang mencerminkan hukum permintaan, jika harga
barang naik maka permintaan akan menurun.
Fungsi Penawaran (Supply) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah
barang yang ditawarkan (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P).
P Qs = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…)
a P= a + bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga
Hukum Penawaran : Jika P ↑ → Q ↑ atau P ↓ → Q ↓
0 Q
Dalam persamaan di atas terlihat variable P dan Q memiliki tanda yang sama
dan mencerminkan hukum penawaran dimana saat harga naik maka jumlah barang
yang ditawarkan juga naik.
Keseimbangan Pasar ( market equilibrium) suatu barang yaitu : suatu
kondisi terciptanya jumlah keseimbangan (equilibrium quantity) dimana jumlah
barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan
( Qd = Qs) dan terciptanya harga keseimbangan (equilibrium price) dimana harga
yang diminta sama dengan harga yang ditawarka (Pd = Ps). Secara grafik
ditunjukan dengan perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.
P = a - bQ
P = a + bQ
10
Syarat Keseimbangan Pasar
atau P
S
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran Pe Equilibrium
E = keseimbangan pasar
Pe = harga keseimbangan D
Qe = jumlah keseimbangan
Qe Q
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya
P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbanga pasarnya.
Jawab :
P = 15 – Q Q = 15 – P
P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P
Qd = Qs
15 – P = -6 +2P
15 + 6 = 2P + P
21 = 3P
P = 7
Q = 15 – P
= 15 – 7 = 8
Jadi harga keseimbangan Pe =7 dan jumlah
Keseimbangan Qe = 8
Latihan :
1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P = -2Q + 8. Tentukan :
a. Harga tertingginya
b. Jumlah Permintaan maksimum
c. Jumlah pada tingkat harga P = 6
d. Harga pada tingkat permintaan Q = 3
e. Gambarkan kurvanya !
f. Kapan barang tersebut menjadi barang bebas (free goods) ?
g. Kapan barang tersebut tidak seorangpun mampu membeli ?
2. Sebuah buku catatan harian apabila dijual dengan harga Rp 3.000,- akan laku
sebanyak 600 buku, pada setiap kenaikan harga sebesar Rp 800,- jumlah yang
akan dijual bertambah sebanyak 400 buku. Bagaimana bentuk persamaan fungsi
penawaran buku tersebut dan gambarkan grafiknya!
Qd = Qs Pd = Ps
P
15
E
Q
7
3
0 8 15
Qs
Qd
11
3. Dengan harga Rp 250 ribu/kwintal atau kurang tidak ada yang bersedia
menawarkan beras di pasar. Setiap kenaikan harga sebesar Rp 10 ribu/kwintal
jumlah penawaran beras bertambah 20 kwintal. Tentukan persamaan fungsi
penawaran dan gambarkan grafiknya !
4. Carilah titik keseimbangan pasar dari persamaan Q = -2P + 12 dan Q = 2P – 3,
dan tentukan mana dari kedua persamaan tersebut yang merupakan fungsi
permintaan dan fungsi penawaran !
2.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Pengenaan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual
menyebabkan kurva fungsi penawaran (supply) bergeser ke atas dengan penggal
yang lebih tinggi pada sumbu harga, sementara fungsi permintaan tetap.
Bentuk umumnya : Sebelum pajak : P = a + bQ
Sesudah pajak : P’ = a + bQ + t
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya
P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan pajak sebesar 3 per unit. Berapakah keseimbangan pasar
sebelum dan sesudah pajak?
Jawab :
Sebelum pajak :
P = 15 – Q Q = 15 – P
P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P
Keseimbangan pasar : Qd = Qs
15 – P = -6 +2P
15 + 6 = 2P + P
21 = 3P
P = 7
Q = 15 – P E ( 8 , 7 )
= 15 – 7 = 8
Sesudah pajak :
Ps’ = 3 + 0,5Q + 3 Q’ = -12 +2P
Qd = Qs’
15 – P = -12 +2P
27 = 3P
P’ = 9
Q’ = 15 – P’ E’ ( 6 , 9 )
= 15 – 9 = 6
P
15
Q
7
3
0 8 15
Qs
Qd
9
6
E'
E
Q’s
12
Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe → tk = 9 – 7 = 2
Pajak total yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ → TK = 2 x 6 = 12
Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk → tp = 3 – 2 = 1
Pajak total yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ → TP = 1 x 6 = 6
Pajak total yang diterima pemerintah : T = TK + TP = Qe’ x t → T = 6 x 3 = 18
2.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi yang diberikan atas produksi sesuatu barang akan menyebabkan harga
jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsisdi spesifik sebesar s
per unit, kurva penawaran akan bergeser sejajar ke bawah dengan penggal lebih
kecil, sementara fungsi permintaan tetap.
Bentuk umumnya : Sebelum subsidi : P = a + bQ
Sesudah subsidi : P’ = a + bQ – s
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya
P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan subsidi sebesar 1,5 per unit. Berapa keseimbangan
pasarnya?
Jawab :
Sebelum Subsidi
P = 15 – Q Q = 15 – P
P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P
Keseimbangan : Qd = Qs
15 – P = -6 +2P
15 + 6 = 2P + P
21 = 3P
P = 7
Q = 15 – P E ( 8 , 7 ) Qs’
= 15 – 7 = 8
Penawaran sesudah subsidi
P’ = 3 + 0,5Q – 1,5
P’ = 1,5 + 0,5Q Q’ = -3 + 2P
Maka keseimbangan Qd = Qs’
15 – P = -3 + 2P
3P = 18
P’ = 6
Q’ = 15 – P’ E’ ( 9 , 6 )
= 15 – 6 = 9
P
15
E
Q
7
3
0 8 15
Qs
Qd 1,5
9
E’
13
Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ → sk = 7 – 6 = 1
Subsidi total yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ → SK = 1 x 9 = 9
Subsidi yang diterima produsen per unit : sp = s – sk → sp = 1,5 – 1 = 0,5
Subsidi total yang diterima produsen : SP = sp x Qe’ → SP = 0,5 x 9 = 4,5
Subsidi total yang dibayar pemerintah : S = SK + SP = Q’e x s → S = 9 x 1,5 = 13,5
Latihan :
1. Permintaan dan penawaran suatu barang ditunjukkan dengan fungsi sebagai
berikut Qd = 12 – 0,5 P dan Qs = -8 + 2P.
a. Hitunglah tingkat harga dan kuantitas keseimbangan barang di pasar.
b. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar $ 1 per unit barang, hitunglah
keseimbangan pasar setelah ada pajak.
c. Gambarkanlah grafik keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.
d. Berapa total pajaka yang dibayar konsumen dan produsen, serta berapa total
pajak yang diterima pemerintah.
2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran BBM di Indonesia masing-
masing adalah Q = 4 – P2 dan P = 0,25 + 0,25Q.
a. Hitung kuantitas dan harga pada posisi market equilibrium.
b. Bila ada subsidi BBM sebesar 0,25 per barel, hitung kuantitas dan harga pada
posisi equilibrium yang baru.
c. Gambarkan grafik market equilibrium sebelum dan sesudah ada subsidi
d. Berapa total subsisdi yang diterima konsumen dan produsen, serta berapa
total subsidi yang dibayarkan pemerintah
3. Harga dan jumlah barang yang tercipta di pasar dari suatu paroduk masing-
masing adalah Rp 125.000 dan 500 unit barang, namun karena dikenakan pajak
per unit barang keseimbangan berubahmenjadi Rp 150.000 dan 400 unit barang.
Dari produsen diketahui bahwa produsen hanya akan menjual barang bila harga di
atas Rp 100.000.
a. Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran, gambarkan grafiknya!
b. Berapa besar pajak per unit yang dikenakan pada produk?
4. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah : P + 2Q – 3600 = 0 dan
P - 5Q – 1500 = 0. Jika jumlah permintaan (penawaran) barang pada
keseimbangan pasar setelah subsidi meningkat sebesar 50 unit. Tentukan :
a. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi, gambarkan grafiknya!
b. Besar subsidi per unit.
c. Total subsidi dinikmati konsumen, total subsidi dinikmati produsen dan total
pengeluaran pemerintah untuk subsidi.
14
2.6.4. Fungsi Biaya
Biaya adalah pengeluaran yang tidak dapat dihindari dalam memproduksi
atau memasarkan suatu barang atau jasa.
Biaya total (TC) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan terdiri dari biaya
tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost).
Bentuk persamaan fungsinya :
Biaya total (Total Cost = TC) terdiri atas :
1. Biaya tetap (Total Fixed Cost = TFC atau FC ) yaitu : biaya yang tidak
tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, berapa unitpun barang yang
dihasilkan, jumlah biaya tetap dalam jangka pendek tidak berubah.
2. Biaya Variabel ( Total Variabel Cost = TVC atau VC) yaitu : biaya yang
tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, semakin banyak jumlah barang yang
dihasilkan semakin besar biaya variabelnya.
Perhitungan Biaya :
Biaya rata-rata adalah : biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit
produk.
Biaya marjinal adalah : biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu
unit tambahan produk.
Biaya tetap ( Total Fixed Cost ) : TFC = k (k = konstanta )
Biaya variabel ( Total Variabel Cost ) : TVC = f (Q) = AVC . Q
Biaya total ( Total Cost ) : TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q)
Biaya tetap rata-rata ( Average Fixed Cost ) : AFC = TFC
Q
Biaya variabel rata-rata ( Average Variabel Cost : AVC = TVC
Q
Biaya rata – rata ( Average Cost ) : AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC
Q Q
Biaya Marjina ( Marginal Cost ) : MC = ∆ TC
∆ Q
TC = FC + VC
15
Bentuk Fungsi Biaya Linear :
TC = k + AVC.Q
TFC = k (k = konstanta )
TVC = f (Q) = AVC . Q TVC = AVC.Q
TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q)
AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC k TFC = k
Q Q
MC = ∆ TC 0 Q
∆ Q
Contoh :
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar 20.000 dan biaya
variabelnya 100Q. Buat persamaan dan kurva biaya totalnya !
Jawab :
Diketahui : FC = 20.000
VC = 100Q , maka
Fungsi biaya : TC = FC + VC
TC = 20.000 + 100Q
Jika Q = 500, TC = 20.000 + 100 (500) = 70.000
C TC = 20.000 + 100Q
70.000
VC = 100Q
50.000
20.000
0 Q
500
16
2.6.5. Fungsi Penerimaan
Penerimaan merupakan hasil penjualan barang.
Penerimaan total ( Total Revenue = TR atau R) adalah :
hasil kali barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.
Perhitungan Penerimaan :
Grafik Fungsi Penerimaan Linear :
R
TR = f(Q)
0 Q
( Pasar Persaingan Sempurna )
Contoh :
Harga jual suatu produk adalah 200 per unit. Berapa besar penerimaan bila terjual
350 unit?
Jawab :
Fungsi penerimaan : R = Q x P , maka R = Q x 200 = 200Q
Bila Q = 350, maka R = 200(350) = 70.000
R R = 200Q
70.000
40.000
0 200 350 Q
Penerimaan Total ( Total Revenue ) : TR = P.Q = f ( Q )
Penerimaan Rata-rata ( Average Revenue ) : AR = TR = P.Q = P
Q Q
Penerimaan Maarjinal ( Marginal Revenue ) : MR = ∆ TR
∆ Q
17
2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok
(Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas / Balik Modal )
Dengan diketahuinya penerimaan total (R) dan total biaya (C) maka dapat
juga diketahui apakah perusahaan mengalami keuntungan atau kerugian.
Keuntungan apabila 0 dan kerugian apabila 0. Sedangkan nilai didapat
dari selisih Revenue dengan Cost. Sedangkan kondisi pulang pokok adalah apabila
nilai R = C.
Contoh :
Bila biaya total C = 20.000 + 100Q dan penerimaan R = 200Q pada tingkat produksi
berapa perusahaan mengalami pulang pokok? Dan apa yang terjadi bila produksi
sebesar 300 unit?
Jawab :
Kondiisi pulang pokok : R = C
200Q = 20.000 + 100Q
100Q = 20.000
Q = 200
Jika Q = 300, maka R = 200(300) = 60.000 , dan
C = 20.000 + 100(300) = 50.000
Maka, = R – C → = 60.000 – 50.000
= 10.000 (untung)
C, R, R
60.000 C
50.000
40.000 VC
20.000 FC
0 100 200 300 Q
Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC
Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC
Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC
Л = TR - TC
18
2.6.7. Fungsi Anggaran
Dua teori yang melatarblakangi pembahasan tentang fungsi anggaran :
1. Teori Produksi ;
Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang
produsen membeli dua macam masukan (input) atau lebih, berkenaan dengan jumlah
dana yang tersedia dan harga masing-masing masukan (input).
2. Teori Konsumsi ;
Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang
konsumen membeli dua macam keluaran (output) atau lebih berkenaan dengan
jumlah pendapatannya dan harga masing-masing keluaran (output)
Persamaan Fungsi Anggaran → GarisAnggaran ( Budget Line )
→ pada teori produksi : → pada teori konsumen :
M : jumlah dana produsen M : jumlah pendapatan konsumen
x : jumlah masukan x x : jumlah keluaran x
y : jumlah masukan y y : jumlah keluaran y
Px : harga x per unit Px : harga x per unit
Py : harga y per unit Py : harga y per unit
Contoh :
Buatlah persamaan anggaran konsumen untuk barang x dan y dimana harga x = 500
dan y = 1000. Jika pendapatan sebesar 100.000 yang dianggarkan dibelanjakan
untuk barang x, berapa unit x yang diperoleh? Dan berapa unit y yang didapat jika ia
membeli 100 unit x?
Jawab :
M = x.Px + y.Py
100.000 = x.500 + y.1000
100.000 = 500x + 1000y
Jika semua pendapatan untuk x (y = 0)
maka : M = x.Px + y.Py
100.000 = 500x + 0
500x = 100.000 100
x = 200 unit
Jika x = 100 unit, maka 50
M = x.Px + y.Py
100.000 = 100(500) + 1000y
1000y = 100.000 – 50.000 0 100 200 x
y = 50 unit.
y
M = x . Px + y . Py
19
2.6.8. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara baik secara individu
( perorangan) maupun secara keseluruhan ( pendapatan nasional ) dialokasikan ke dua
kategori penggunaan yaitu untuk konsumsi dan tabungan. Jika Y = pendapatan,
C = konsumsi dan S = tabungan, maka dapat dirumuskan dalam persamaan linear :
Konsumsi dan tabungan berbanding lurus dengan pendapatan.
Semakin besar pendapatan semakin besar pula konsumsi dan tabungan.
Fungsi Konsumsi. Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara
konsumsi dan pendapatan nasional. Bisa juga dianalogkan untuk hubungan antara
konsumsi dan pendapatan perorangan, yang dirumuskan sebagai berikut :
Co = Autonomous Consumption ( konsumsi otonom / konsumsi absolute),
menunjukan besarnya konsumsi nasional pada pendapatan nasionalnya nol atau
biaya yang mau tidak mau harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan biologis
manusia (contoh : makan)
c = MPC = Marginal Propensity to Consume : besarnya tambahan konsumsi
akibat adanya tambahan pendapatan.
MPC = ∆ C = C2 – C1
∆ Yd Yd2 – Yd1
Yd = Disposible Income : pendapatan yang benar-benar dapat dibelanjakan
Yd = Y- Tx + Tr , dimana Tx = Pajak (Tax) dan Tr = Transfer Payment (contoh :
subsidi)
Jika diasumsikan Tx = 0 dan Tr = 0 , maka Yd = Y , sehingga :
Fungsi Tabungan. Fungsi Tabungan menjelaskan hubungan antara
tabungan dan pendapatan nasional, juga dianalogkan untuk hubungan antara
tabungan dan pendapatan perorangan.
Karena Yd = Y , besarnya tabungan dapat dicari dengan persamaan : S = Y – C ,
dimana C = Co + c Y , maka S = Y – ( Co + c.Y )
= Y – Co – c.Y
= - Co + ( 1 – c ) Y
Y = C + S
C = f ( Yd ) = Co + c Yd = Co + MPC. Yd
C = f ( Y ) = Co + c Y = Co + MPC. Y
20
Jadi , S = - Co + ( 1 – c ) Y = So + s.Y = So + MPS. Y
Dimana So = - Co ,
s = 1 - c → c + s = 1 , atau
MPS = 1 - MPC → PMC + MPS = 1
So = MPS = Autonomous Saving ( tabungan otonom ), merupakan titik potong
grafik tabungan pada sumbu vertikal S, atau besarnya tabungan pada saat
pendapatan nol.
s = MPS = Marginal Propensity to Saving : besarnya tambahan tabungan akibat
adanya tambahan pendapatan.
MPS = ∆ S = S2 – S1
∆ Y Y2 – Y1
Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
C, S Y = C + S
C=Co + c.Y Contoh : C = 8 + 0,2 Y
S = -8 + 0,8 Y
Co S=So + s.Y Gambarkan grafiknya !
450
0 Y
So= -Co
Contoh :
Konsumsi masyarakat ditunjukan oleh persamaan C = 30 + 0,8Y. Bagaimana fungsi
tabungannya? Berapa besar konsumsi jika tabungan 20?
Jawab :
S = Y – C C, S C= 30 +0,8Y
S = Y – (30 + 0,8Y) 230
S = -30 + 0,2Y
Jika S = 20 150
20 = -30 + 0,2Y
20 + 30 = 0,2Y
Y = 250, maka
C = Y – S = 250 – 20 = 230 30 S= -30 + 0,2Y
20
0 150 Y
-30
21
Angka Pengganda / Multipliers ( k )
Angka Pengganda / Multipliers ( k ) ialah suatu bilangan yang menjelaskan
tambahan pendapatan nasional akibat adanya perubahan pada variabel-variabel
tertentu dalam perekonomian (misal : C, I, G, X dan M).
c = MPC
s = MPS
Latihan :
1. Konsumsi otonomi Andi Rp 250.000. Saat pendapatan Andi Rp 3.750.000, ia
habiskan untuk konsumsi sebesar Rp 2.500.000. Tentukan :
a. Persamaan fungsi konsumsi dan tabungan Andi
b. Berapa pendapatan Andi jika konsumsinya Rp 6.668.500.
2. Fungsi konsumsi dan tabungan suatu daerah digambarkan dalam bentuk grafik
berikut :
C, S Y = C + S a. Tentukan persamaan fungsi
C=100 + 0,2Y konsumsi dan tabungannya!
b. Berapa konsumsi dan tabungan
125 jika pendapatan daerahnya 150 ?
100 S = -100 + 0,8Y c. Pada tingkat pendapatan berapakah
450 dimana semua pendapatannya
0 Y habis untuk konsumsi ?
-100 d. Berapakah angka multipliernya?
3. Seorang karyawati suatu perusahaan dapat menyisihkan gajinya untuk ditabung
Rp 2.000.000 per bulan. Bila untuk konsumsi yang harus dia keluarkan minimal
Rp 1.000.000 per bulan serta kecendrungannya untuk meningkatkan konsumsinya
25 % dari penghasilan. Berapakah besar penghasilan karyawati tersebut, berapa
angka penggandanya serta gambarkan grafik dari fenomena tersebut.
k = 1 = 1 1 – c s
22
BAB III
FUNGSI KUADRAT ( PARABOLA )
3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat (Parabola)
Fungsi Kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi non linear yang
pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah dua yang bila digambarkan
kurva/grafiknya berbentuk parabola sehingga disebut fungsi parabola. Bentuk umum
persamaa kuadrat adalah y = a + bx + cx2 dimana c 0.
3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim
Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan titik ekstrim. Sumbu
Simetri adalah garis lurus yang membagi grafik parabola sama besar sehingga bagian
yang satu cerminan bagian yang lain. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis
yang sejajar sumbu vertical (y) atau sejajar dengan sumbu horizontal (x).
Titik Ekstrim (titik puncak) parabola adalah titik potong antara sumbu simetri
dan grafik parabola yang bersangkutan. Titik ekstrim dibedakan dua yaitu titik
ekstrim maksimum dan minimum, tergantung dari bentuk persamaan fungsi
kuadratnya.
3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ( Parabola )
1. Bentuk y = f(x) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu y
Bentuk kurva parabola : y = ax2 + bx + c
Jika a < 0 Jika a > 0
y sumbu simetri y sumbu simetri
Titik Ekstrim
Parabola Parabola
Titik Ekstrim
0 x 0 x
y = ax2 + bx + c
23
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = c, jadi titiknya
M (0, c)
2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka 0 = ax2 + bx + c.
Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu :
a. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac > 0, maka terdapat dua titik potong :
x1 √
→ titik N1
√
, 0
x2 √
→ titik N2
√
, 0
b. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac = 0, maka terdapat satu titik potong
x1 = x2 = - b , jadi titiknya O - b , 0
2a 2a
c. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi
kuadrat dengan sumbu x.
3. Mencari titik ekstrim ( titik puncak ) → P - b , - ( b2 – 4ac ) → ( x , y )
2a 4a
4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi
kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.
Persamaan sumbu simetris → x = - b
2a
Contoh 1 : y= - x2 + 6x - 9
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
P(3 0)
1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, 0 3
maka y = -9, jadi titiknya M (0 , -9)
2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0,
maka 0 = -x2 + 6x - 9. Oleh karena Diskriminan
D = b2 – 4ac = 0 → 62 – 4(-1)(-9) = 0, maka terdapat
satu titik potong yaitu x1 = x2 = - 6 = 3 ,
2(-1)
jadi titiknya O (3 , 0 )
3. Titik ekstrim (titik puncak ) : - 9-M(0,-9) (6,-9)
P - 6 , - (62 – 4(-1)(-9) → P ( 3 , 0 )
2(-1) 4(-1)
4. Sumbu simetris x = - 6 = 3 y
2(-1)
24
Contoh 2 : y= x2 -5x + 6
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0,
maka y = 6, jadi titiknya M (0 , 6)
2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0,
maka 0 = x2 - 5x + 6. Oleh karena Diskriminan y
D = b2 – 4ac = 0 → 52 – 4(1)(6) = 1 > 0, maka
terdapat dua titik potong yaitu : y = 2,5
x1 = √
= 5 + 1 = 3 → (3 , 0) 6
2
x2 = √
= 5 – 1 = 2 → (2 , 0)
2
3. Titik ekstrim (titik puncak ) :
P -(-5) , - (52 – 4(1)(6) → P ( 2 1/2 , -1/4 ) 0 2 2;5 3 x
2(1) 4(1) P (2,5 , -,25)
4. Sumbu simetris x = -(-5) = 2 1/2
2(1)
2. Bentuk x = f(y) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu x
Bentuk kurva parabola : x = Ay2 + By + C
Jika a < 0 Jika a < 0
y
Titik Ekstrim Titik Ekstrim
Sumbu simetri Sumbu simetri
Parabola Parabola
0 x 0 x
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = c, jadi titiknya
M (C , 0)
2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C.
x = Ay2 + By + C
25
Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu :
a. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC > 0 , maka terdapat dua titik potong :
y1 √
→ titik N1
√
, 0
y2 √
→ titik N2
√
, 0
b. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC = 0, maka terdapat satu titik potong
y1 = y2 = - B , jadi titiknya O 0 , - B
2A 2A
c. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi
kuadrat dengan sumbu x.
3. Mencari titik ekstrim (titik puncak ) → P - ( B2 – 4AC ) , - B → ( x , y )
4A 2A
4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi
kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar.
Persamaan sumbu simetris → y = - B
2A
Contoh 1 : x = y2 – 3y + 2
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 2, jadi titiknya M(2, 0)
2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = y2 - 3y + 2.
Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (-3)2 – 4(1)(2) = 1 > 0 ,
maka terdapat 2 buah titik potong :
y1 √
= 3 + 1 = 2 → jadi titiknya N1 (0 , 2 )
2
y2 √
= 3 – 1 = 1 → jadi titiknya N2 (0 , 1 )
2 y
3. Titik ekstrim (titik puncak ) : (2,3)
P - ((-3)2 – 4(1)(2) = -1 , -(-3) = 3 2
4(1) 4 2(-1) 2 P(-1/4,11/2) y = 11/2
P (-1/4 , 1 1/2) 1
4. Sumbu simetris y = -(-3) = 3 = 1 ½ -1/4 0 M (2,0) x
2(1) 2
26
Contoh 2 : x= - y2 + 2y + 3
Tahapan menggambar fungsi kuadrat :
1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 3, jadi titiknya M(3 , 0)
2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C.
Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (2)2 – 4(-1)(3) = 16 > 0 ,
maka terdapat 2 buah titik potong :
y1 √
= -2 + 4 = -1 → jadi titiknya N1 (0 , -1 )
-2
y2 √
= -2 – 4 = 3 → jadi titiknya N2 (0 , 3 )
- 2
3. Titik ekstrim (titik puncak ) : y
P - ((2)2 – 4(-1)(3)) = -4 = 1 , -(2) = 2 = 1 → P (1,1) 3
4(-1) -4 2(-1) 2
4. Sumbu simetris y = -(2) = 2 = 1 1 P(1,1)
2(-1) 2
0 x
-1
3.4. Penerapan Pada Ekonomi
3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan
Pasar
Selain fungsi linear, permintaan dan penawaran juga dapat berupa fungsi non-
linear, kurva yang terbentuk dapat berupa potongan lingkaran, hiperbola, elips
maupun parabola. Cara mencari keseimbangan pasar sama seperti fungsi linear yaitu
dengan mencari titik potong dari 2 persamaan pada kondisi Qd = Qs atau Pd = Ps..
Contoh :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 – P2 sedangkan
penawarannya Qs = -8 + 2P2. Berapa harga dan jumlah pada keseimbangan pasarnya ?
Jawab :
Keseimbangan pasar ; Qd = Qs
19 – P2 = -8 + 2P
2
27 = 3P2
P2 = 9 → Pe = ± 3
Q = 19 – P2
Qe = 19 - (3)2 = 10 atau Qe = 19 - (-3)
2 = 10
Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada harga 3 dan jumlah 10 unit.
27
3.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika pada suatu barang dikenakan pajak spesifik sebesar t per uni, maka
persamaan fungsi penawaran setelah pajak akan berubah, sementara fungsi
permintaan tetap, dan keseimbangan pasar juga akan berubah.
Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak
I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q
2+ b Q + c + t
II. Q = f (P) = a P2
+ b P + c Q’ = f (P – t) = a (P- t)2
+ b (P - t) + c
Contoh :
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 19 – P2 dan
Qs = -8 + 2P2. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 1,- per unit. Berapa
harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar setelah penetapan pajak tersebut ?
Jawab :
Fungsi Penawaran sebelum pajak : Qs = -8 + 2P2
Fungsi Penawaran setelah pajak (t = 1) : Qs’ = -8 + 2(P – 1)2
= -8 + 2(P2 – 2P + 1) = 2P
2 – 4P - 6
Keseimbangan pasar setelah pajak ; Qd = Qs’
19 – P2
= 2P
2 – 4P – 6
3 P2 – 4P – 25 = 0
Dengan rumus abc : P1,2 = √
= 4 ± 17,78
6
P1 = 4 + 17,78 = 3,63
6
P2 = 4 - 17,78 = -2,30
6
P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.
Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 ,
maka dengan adanya pajak : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82.
Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum pajak : pe = 3 dan Qe = 10, maka :
Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63
Total Pajak yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ = 0,63 (5,82) = 3,67
Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
Total Pajak yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15
Total Pajak yang dibayar pemerintah : T = t x Qe’ = 1 (5,82) = 5,82
28
3.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika pada suatu barang diberikankan subsidi spesifik sebesar s per unit, maka
persamaan fungsi penawaran setelah subsidi akan berubah (lihat tabel), kurva
penawaran akan bergeser ke bawah sejauh s, sementara fungsi permintaan tetap, dan
keseimbangan pasar juga akan berubah.
Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak
I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q
2+ b Q + c - s
II. Q = f (P) = a P2
+ b P + c Q’ = f (P+s) = a (P+s)2
+ b (P+s) + c
Contoh :
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 36 – P2 dan Qs = P
2 + 4.
Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2,- per unit.
a. Berapa harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar sebelum dan setelah
penetapan subsidi tersebut ?
b. Berapa subsidi per unit yang diterima consumen dan berapa totalnya ?
c. Berapa subsidi per unit yang diterima produsen dan berapa totalnya ?
d. Berapa besar subsidi yang dibayar pemerintah ?
Jawab :
a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi ; Qd = Qs
36 – P2 = P
2 + 4
32 = 2 P2 → 16 = P
2 → P = ± √
P = ± 4
P1 = +4 dan P2 = -4
P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.
Dengan mensubtitusi P1 = 4 ke persamaan Qs atau Qd = 36 – (4)2 = 20 , maka
dengan adanya pajak : Pe = 4 dan Qe = 20.
b. Fungsi Penawaran sebelum subsidi : Qs = P2 + 4
Fungsi Penawaran sesudah subsidi (s=2) : Qs’(P+s) = (P+2)2 + 4 = P
2 + 4P + 4 + 4
= P2
+ 4P + 8
Keseimbangan pasar setelah subsidi ; Qd = Qs’
36 – P2 = P
2 + 4P + 8
0 = 2 P2 + 4P – 28 : 2
0 = P2 + 2P – 14
29
Dengan rumus abc : P1,2 = √
= - 2 ± 17,78
2
P1 = -2 + 17,78 = 3,63
2
P2 = -2 - 17,78 = -2,30 (tidak dipakai)
2
Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 ,
maka dengan adanya subsidi : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82.
Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum subsidi: Pe = 4 dan Qe = 20,
maka :
Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ = 4 – 3,63 = 0,37
Total subsidi yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15
Subsidi yang ditanggung produsen per unit : sp = s – sk = 2 – 0,37 = 1,63
Total Subsidi yang ditanggung produsen : SP = sp x Qe’ = 1,63 (5,82) = 9,49
Total Subsidi yang dibayar pemerintah : S = s x Qe’ = 2 (5,82) = 11,64
3.4.4. Fungsi Biaya
Fungsi biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan
dalam operasional bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel
(variabel cost). Sesuai dengan namanya, sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada
jumlah barang yang dihasilkan.
Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat
parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara
grafik dapat dilihat sebagai berikut:
a) Fungsi Biaya Kuadrat ( Parabolik )
TC = a Q2 – b Q + c C
AC = TC = a Q2 – b Q + c
Q Q TC
AVC = TVC = a Q2 – b Q TVC
Q Q k
TFC
AFC = TFC = c
Q Q 0 Q
TC min pada saat Q = -b
2a
30
C
AFC
AC
AVC
-b Q
b) Fungsi Biaya Kubik C TC
TC = a Q3 – bQ
2 + cQ + d TVC
AC = TC = aQ3 – bQ
2 + cQ + d
Q Q
AVC = TVC = aQ3 – bQ
2 + cQ = aQ
2 – bQ + c
Q Q k TFC
AFC = TFC = d
Q Q 0 Q
Selain fungsi biaya tetap, biaya variabel dan biaya total dikenal juga biaya
marjinal dan biaya rata-rata. Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeularkan untuk
menghasilkan tiap unit produk atas keluaran. Sedangkan biaya marjinal adalah biaya
tambahan untuk menghasilkan tambahan satu unit produk.
Rumusnya :
Biaya total : C = FC + VC
Biaya tetap rata-rata : AFC = FC/Q
Biaya variabel rata-rata : AVC = VC/Q
Biaya rata-rata : AC = C = FC + VC = FC + VC = AFC + AVC
Q Q Q Q
Biaya marjinal : MC = = C1 – C2
Q
31
Contoh :
Biaya yang dikeluarkan sebuah perusahaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Pada tingkat
produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitung juga FC, VC, AFC dan AVC.
Dan jika ditambah 1 unit produksi berapa besarnya biaya marjinal?
Jawab :
C minimun terjadi pada titik ekstrim parabola, yaitu :
Q =
=
= 6 unit
Besarnya C minimum = 2Q2 – 24Q + 102
= 2(6)2 – 24(6) + 102 = 30
FC = 102
VC = 2Q2 – 24Q = 2(6)
2 – 24(6) = -72
AC = C/Q = 30/6 = 5
AFC = FC/Q = 102/6 = 17
AVC = VC/Q = -72/6 = -12
Jika ditambah 1 unit Q = 7
C = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32
MC = / = 32 – 30/ 7 – 6 = 2
3.4.5. Fungsi Penerimaan
Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan
fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Penerimaan total (total
revenue) adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit
barang tersebut. Secara matematika, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang.
Penerimaan total adalah fungsi dari jumlah barang dikalikan harga per unit.
Penerimaan rata-rata adalah penerimaan yang diperoleh per unit barang.
Secara grafik kurva AR sama dengan kurva P.
Penerimaan marjinal adalah penerimaan tambahan yang diperoleh dari tambahan
satu unit barang yg dihasilkan/dijual.
R = Q x P = f(Q)
AR = R = Q x P = P
Q Q
MR = ΔR
ΔQ
32
Grafik Fungsi Penerimaan Kuadrat
R
TR max
TR = f(Q)
0 Q
( Pasar Monopoli) produksi
Contoh 1:
Fungsi permintaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagaimana fungsi penerimaan
totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual 200 unit barang dan hitung
harga per unit? Hitung juga penerimaan marjinal jika pernjualan bertambah 50 unit
dan tentukan tingkat penjualan yang menghasikan penerimaan total maksimum dan
berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut?
Jawab :
Fungsi penerimaan : R = Q x P R = Q x (900 – 1,5Q)
R = 900Q – 1,5Q2
Jika Q = 200 → R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000
P = 900 – 1,5(200) = 600
Jika Q = 250 → R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250
MR =
=
= 225
R = 900Q – 1,5Q2
R maksimum pada Q = -b = - 900 = 300
2a 2(-1,5)
Besarnya R maksimum = 900(300) – 1,5(300)2 = 135.000
R(ribuan)
135
120
0 2 3 Q (ratusan)
TR max pada Q = -b
2a
33
Contoh 2:
Seorang produsen monopolis mempunyai fungsi permintaan diketahui P=600 – 1,5Q,
berapa penerimaan totalnya jika barang 150 unit dan berapa harga jual per-unit?
Hitung penerimaan marjinal dari penjualan 150 unit menjadi 250 unit. Tentukan
tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total max dan besarnya penerimaan
total max tersebut?
Jawab:
P = 600 – 1,5Q → R = Q x P = 600Q – 1,5Q
Jika Q = 150, → R = 600(150) – 1,5(150) = 56.500
Harga : P = 600–1,5(150) = 375
Jika Q = 250, → R = 600(250) – 1,5(250)² = 90.000
MR =
=
= 75
R = –1,5Q2
+ 600Q
R max pada Q =
=
= 200
Besar R max = –1,5(200)² + 600(200) = 119.700
3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok
(Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas /Balik Modal )
Konsep yang lebih penting berkenan dengan R dan C adalah konsep pulang
pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah
minimun produk yang harus dihasilkan terjual agar perusahaan tidak mengalami
kerugian. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih posititf
antara R dan C. Secara grafik ditunjukkan oleh jarak kurva R dan C, semakin lebar
jarak positif tersebut semakin besar keuntungan yang diperoleh.
Hubungan grafik Fungsi Kuadrat TR dan TC :
C,R TC
л < 0 Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC
BEP(л=0) Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC
л<0 л>0 Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC
BEP(л=0) Jika fungsi laba : Л = a Q2 – b Q + c
maka :
0 Q1 Q2 Q
Л = TR - TC
Л max pada Q = -b
2a
34
Contoh :
Penerimaan total sebuah perusahaan R = -0,10Q2 + 20Q, sedangkan biaya total
C = 0,25Q3 – 3Q
2 + 7Q + 20. Hitung keuntungan perusahaan jika terjual 10 dan 20
unit produk.
Jawab :
Fungsi laba : = R – C = -0,10Q2 + 20Q – (0,25Q
3 – 3Q
2 + 7Q + 20)
= -0,253 + 2,90Q
2 + 13Q – 20
Saat Q = 10, = -0,25(10)3 + 2,90(10)
2 + 13(10) – 20
= 250 + 290 + 130 – 20 = 150 (keuntungan)
Saat Q = 20, = -0,25(20)3 + 2,90(20)
2 + 13(20) – 20
= -2000 + 1160 + 260 – 20 = - 600 (rugi)
3.4.7. Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang
diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya
semakin banyak suatu barang dikonsumsi, semakin besar pula utilitas yang diperoleh,
kemudian mencapai titik jenuh pada jumlah konsumsi tertentu lalu berkurang hingga
negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus ditambah. Utilitas total adalah
fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total dari
mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik dengan kurva
parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal adalah utilitas tambahan yang diperoleh
dari setiap tambahan satu unit barang.
U
U = f(Q)
0 MU Q
Utilitas total mencapai puncaknya ketika utilitas marjinal = 0 dan berkurang ketika
utilitas marjinal negatif.
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU =
35
3.4.8. Fungsi Produksi
Bentuk fungsi produk total yang non-linear pada umumnya berupa sebuah
persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak. Produk total
merupakan fungsi dari jumlah masukan faktor produksi yang digunakan. Produk
rata-rata ialah jumlah keluaran atau produk yang dihasilkan dari setiap unit masukan
yang digunakan. Sedangkan produk marjinal ialah produk tambahan yang dihasilkan
dari setiap tambahan satu unit masukan yang digunakan.
Contoh :
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X2 – X
3.
Bentuklah persamaan produk rata-ratanya serta hitunglah produk total dan produk
rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa produk
marjinalnya jika ditambah 1 unit masukan?
Jawab :
Fungsi produksi : P = 9X2 – X
3
Produk rata-rata : AP = P = 9X2 – X
3 = 9X – X
2
X X
Untuk X = 6 P = 9(6)2 – (6)
3 = 108
AP = P/X = 108/6 = 18
Untuk X = 7 P = 9(7)2 – (6)
3 = 98
MP = =
= -10 (produk marjinal negatif berarti
masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi).
Produk total : P = f(X)
Produk rata-rata : AP = P/X
produk marjinal : MP =
36
3.5. Soal-Soal Latihan
1. Keseimbangan pasar tercipta pada harga dan jumlah barang masing-masing adalah
Rp175.000 dan 575 unit barang. Namun keseimbangan pasar tersebut berubah
dengan harga menjadi Rp 225.000 dan jumlah barang menjadi 450 unit, karena
adanya pajak perunit barang. Sementara pada produsen diketahui bahwa ia tidak
akan menjual barangnya bila harga sebesar Rp 140.500.
a. Buatlah fungsi permintaan dan Fungsi penawarannya ?
b. Berapa besar pajak per unit yang akan dikenakan pada produk tersebut dan
berapa besar penerimaan pemerintah dari pajak ?
c. Buatlah dan arsirlah grafik kartesiusnya!
2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran masing-masing adalah Q = 5 - P2
dan P = 1 + Q
a. Hitunglah kuantitas dan harga pada kondisi market equilibrium.
b. Bila ada subsidi sebesar 1 per unit, hitung kuantitas dan harga pada posisi
equilibrium yang baru.
c. Tentukan subsidi total yang dikeluarkan pemerintah. Gambarkan grafik
kartesiusnya !
3. Perhatikan grafik berikut ;
C/S a?
b?
(2.500.000, 2.500.000)
c ?
d ?
Y
- Co
a. Fenomena apakah yang ditunjukkan pada grafik di atas ?
b. Buatlah persamaan linear yang ditunjukkan pada pertanyaan a, b, c, d dan e
pada grafik di atas?
c. Berapakah besar pendapatan dan konsumsi jika tabungan sebesar Rp 300.000.
37
4. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan Rp 2.000.000 dari penjualan barang
sebanyak 1.500 unit. Penerimaan yang diperoleh perusahaan tersebut Rp
30.000.000 sedangkan biaya tetap yang dikeluarkannya guna memproduksi barang
yang dijualnya Rp 13.000.000. Tentukan :
a. Fungsi Penerimaan, Fungsi Biaya Variabel dan Fungsi Biaya Totalnya?
b. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan tersebut dapat
menutupi biaya total yang dikeluarkannya ?
c. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan ini dapat menutupi
biaya tetap yang dikeluarkannya?
38
BAB IV
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan
diferensial dapat pula disidik kedudukan–kedudukan khusus dari fungsi yang sedang
dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya – jika ada.
Bab ini membahas diferensial yang menyangkut fungsi yang mengandung
hanya satu variabel bebas dalam persamannya. Pengertian diferensial, hakekat derivat,
kaidah–kaidah diferensial, penggunaanya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah
fungsi dan penerapan ekonominya diuraikan di sini.
4.1. KUOSIEN DIFERENSI DAN DERIVATIF
Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar x (baca:”delta
x” ), maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi :
y = )(xf
yy = )( xxf
y = yxxf
y = xfxxf
Dimana x adalah tambahan x, dan y adalah tambahan y berkenaan dengan
adanya tambahan x. Jadi y timbul karena adanya x. Apabila ruas kiri dan ruas
kanan persamaan terakhir di atas sama–sama dibagi x, maka diperoleh :
x
xfxxf
x
y
Bentuk Δy/Δx disebut dengan hasilbagi perbedaan atau kuesion diferensi
(difference quotiont), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y
terhadap variabel bebas x.
Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau
diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kousien diferensi dalam
hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil dari proses
diferensiasi disebut turunan atau derivatif (derivative).
Jadi, diferensial adalah proses untuk memperoleh derivative (turunan).
Diferensiable yaitu fungsi yang mempunyai derivative atau dapat didiferensialkan.
39
Notasi diferensial dari suatu fungsi f(x) sebagai berikut :
Jika suatu fungsi ; Y = f (x) didiferensialkan/diturunakan maka turunan pertamanya :
Y’ = f’ (x) = dy = Δy (dy/dx = deye de-eks, Δ = delta)
dx Δx
dy/dx → biasanya untuk fungsi kontinu
Δ → biasanya untuk fungsi deskrit
4.2. KAIDAH–KAIDAH DIFERENSIASI
Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara
terlebih dahulu menemukan kuosien diferensianya, kemudian menentukan limit
kousien diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Jelasnya,
langkah–langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Andaikan fungsi aslinya ialah y = f (x)
2. Masukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh
)( xxfyy
3. Manipulasikan untuk memperoleh
xfxxfy
4. Bagi kedua ruas dengan x sehingga diperoleh kuosien diferensinya
x
xfxxf
x
y
)(
5. Tentukan limitnya untuk x → 0, sehingga diperoleh turunan fungsinya
dx
dy
0
lim
x
0
lim
xx
y
x
xfxxf
Langkah-langkah di atas agak menyulitkan, kaidah-kaidah diferensial berikut yang
biasa digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi:
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k , dimana k adalah konstanta, maka y’ = dy = 0
dx
Contoh : y = 3 → y’ = dy = 0
dx
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn , dimana n adalah konstanta, maka y’ = dy = nx
n-1
dx
Contoh : y = x4
→ y’ = dy = 4x4-1
= 4x3
dx
40
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k dv
dx dx
Contoh : y = 2x4
→ y’ = dy = 4.(2x4-1)
= 8x3
dx
4. Diferensiasi pembagian kontanta dengan fungsi
a. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k (-n)
xn dx x
n+1
Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.x
-4-1)= -8x
-5 = - 8
x4 dx x
5
b. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = - k . dv/dx
v dx v2
Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.2x
4-1) = -16x
3 = -4
2x4 dx (2x
4)2
4x8 x
-5
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
Jika y = u ± v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka
y’ = dy = du ± dv
dx dx dx
Contoh : y = 4x2 + x
3 misalkan u = 4x
2 → du/dx = 8x
y’ = dy = du ± dv v = x3
→ dv/dx = 3x2
dx dx dx
= 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka
y’ = dy = u dv ± v du = u.v’ + v.u’
dx dx dx
Contoh : y = (4x2) (x
3)
y’ = dy = u dv ± v du
dx dx dx
= (4x2)(3x
2) + (x
3)(8x) = 12x
4 + 8x
4 = 20x
4
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka
v
y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx = v.u’ – u.v’
dx v2 v
2
41
Contoh : y = 4x2
x3
y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx
dx v2
= (x3) (8x) – (4x
2)(3x
2) = 8x
4 – 12x
4 = -4x
4 = -4x
-2
(x3)2 x
6 x
6
8. Diferensiasi fungsi bepangkat
Jika y = un , dimana u = g(x) dan n = konstanta, maka
y’ = dy = n.un-1
. du
dx dx
Contoh : y = (4x3 + 5)
2 misalkan u = 4x
3 + 5 → du/dx = 12x
2
y’ = dy = n.un-1
. du
dx dx
= 2(4x3 + 5)( 12x
2) = 96x
5 + 120x
2
9. Diferensiasi fungsi akar
Jika y = √ p
= xp/q
, maka y’ = dy = p . xp/q-1
dx q
Contoh : y = √ 2
= x2/3
→ y’ = 2 . x2/3-1
= 2 x-1/3
3 3
4.3. DERIVATIF DARI DERIVATIF
Sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali, tergantung
pada derajatnya. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi.
Turunan pertama (firs derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atu
fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari
turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua,
dan seterusnya.
Contoh : y = f (x) = x3 – 4x
2 + 5x - 7
y’ = dy/dx = 3x2 – 8x + 5
y” = dy/dx = 6x - 8
y”’ = dy/dx = 6
y’v = dy/dx = 0
42
4.4. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar
suatu fungsi non-linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama
(first derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat
dikenali bentuk gambar fungsi tersebut.
Fungsi y = f(x) Kegunaan Kondisi / Syarat
1. Turunan I
y’ = f’ (x)
1. Mengetahui letak titik ekstrim
2. Mengetahui apakah suatu fungsi menaik
atau menurun pada titik tertentu :
Fungsi menaik (slope kurva positif)
Fungsi menurun (slope kurva negatif)
y’ = dy = f’ (x) = 0
dx
y’ = dy = f’ (x) > 0
dx
y’ = dy = f’ (x) < 0
dx
2. Turunan II
y” = f” (x)
1. Mengetahui jenis titik ekstrim :
Titik Ekstrim maksimum (x,y)
Titik Ekstrim minimum (x,y)
2. Mencari titik belok fungsi
Pada y’ = 0
y” = d2y = f”(x) < 0
dx2
y” = d2y = f”(x) > 0
dx2
y” = 0
4.5. FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN
Derivatif pertama dari sebuah fungsi non–linear dapat digunakan untuk
menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun
pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula
menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non-linear.
Decreasing Function
(Fungsi Menurun)
Increasing Function
(Fungsi Menaik)
Fungsi menurun adalah suatu kondisi
dimana nilai fungsi y menurun pada saat
nilai x bertambah sehingga kemiringan
kurva negatif.
y’ = dy/dx = tg α < 0
Fungsi menaik adalah suatu kondisi dimana
nilai fungsi y menaik pada saat nilai x
bertambah sehingga kemiringan kurva
positif:
y’ = dy/dx = tg α > 0
43
Kurva cembung ke bawah atau terbuka ke
atas
Mempunyai titik minimum → (x,y) pada
y” = d2y = f”(x) > 0
dx2
y
y = f(x)
y
0 x x
Contoh : y = x2 – 8x + 12
Kurva cembung ke atas atau terbuka ke
bawah
Mempunyai titik maksimum → (x,y) pada
y” = d2y = f”(x) > 0
dx2
y
y y = f(x)
0 x x
Contoh : y = -x2 + 4x - 6
4.6. TITIK EKSTRIM : MAKSIMUM - MINIMUM DAN TITIK
BELOK FUNGSI
Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kuadrat atau kubik (jika ada),
serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivatif pertama dan
derivatif kedua fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik
(titik) ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik
(-titik) ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya. ( lihat tabel
materi 4.4.)
Fungsi Parabola atau fungsi Kubik : y = f (x) dapat dicari :
1. Letak titik ekstrim pada saat y’ = dy = f’ (x) = 0
dx
2. Jenis titik ekstrim :
Titik Ekstrim maksimum jika y” = d2y = f”(x) < 0 pada saat y’ = 0
dx2
Titik Ekstrim minimum jika y” = d2y = f”(x) > 0 pada saat y’ = 0
dx2
3. Mencari titik belok fungsi pada saat y” = d2y = f” (x) = 0
dx2
44
4.7. PENERAPAN EKONOMI
Teori diferensial amat lazimm diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep
nilai marjinal dan konsep optimisasi. Dalam kaitanya dengan konsep elastisitas, pada
sub–bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan
elastistas berbagai variabel ekonomi. Sedangkan dalam kaitannya dengan konsep nilai
marjinal dan konsep optimisasi, akan dibahas penerapan diferensial dalam pembentuk
fungsi atau penghitungan nilai marjinal dari berbagai variabel ekonomi, serta
penentuan nilai optimum dari fungsi atau variabel yang bersangkutan.
4.7.1. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenan dengan x dapat didefinisikan
sebagai
Ini berarti bahwa elastistas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara
perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang
sangat kecil atau mendekati nol.
(a) Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga
permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan
besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan ),(PfQd maka elastisitas permintaannya
Dimana dpdQd / tak lain adalah '
dQ atau Pf '
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh Qd = 25 – 3 P2. Tentukan
elastisitas permintaannya pada P = 5.
Jawab :
Qd = 25 – 3P2
Q’d = -6P
d =
= -6P .
– 2
y
x
dx
dy
Ex
Ey.
Δx/x
Δy/y
0Δx
lim
d
ddddd
Q
P.
dp
dQ
ΔP/P
/QΔQ
0ΔP
lim
EP
EQ
%Δ
%Δηd
P
Q
45
d = -6(5) .
2 =
= 3 (elastis)
d = 3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1
persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3
persen.
(b) Elastisitas Penawaran
Elastisitas penwaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran,
price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
Dimana dpdQs / tak lain adalah '
sQ atau ).(' Pf
Contoh :
Fungsi penawaran suatu barang Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawaran pada
tingkat harga P = 10 dan P = 15?
Jawab :
Qs = -200 + 7 P2
Qs’ =
= 14P
s =
= 14P .
2
Pada P = 10, s = 140 .
2 =
= 2,8
(c) Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah keluaran (ouput) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah
masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang
dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan
fungsi produksi dinyatakan dengan P = f (x), maka elastisitas produksinya :
Di mana dP / dX adalah produk marjinal dari X [P’ atau f’ (X)]
s
sssss
Q
P.
dp
dQ
ΔP/P
/QΔQ
0Δp
lim
EP
EQ
%Δ
%Δηs
P
Q
P
X.
dX
dP
ΔX/X
ΔP/P
0ΔX
lim
EX
EP
%Δ
%Δηp
X
P
46
C
MC
0
1
4
C, MC
Q1
4.7.2. Biaya Marjinal
Biaya marjinal (Marginal Cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan
untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematika, fungsi biaya
marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) di mana C adalah biaya
total dan Q melambangkah jumlah produk, maka biaya marjinalnya :
Contoh ;
C = Q3 – 3 Q
2 4Q – 4
MC = C’ = 3 Q2 - 6Q + 4
(MC)’ = C” = 6Q – 6
MC minimum jika ( MC )’ = 0
(MC)’ = 0 6Q – 6 = 0 Q = 1
Pada Q = 1 MC = 3(1)2 - 6 (1) + 4 = 1
C = - 3 + 4(1) + 4 = 6
4.7.3. Penerimaan Marjinal
Penerimaan marjinal (Marginal Revenue, MR) ialah penerimaan tambahan
yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau
terjual. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q) di mana R
melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan
marjinalnya :
Contoh :
Fungsi permintaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagaimana fungsi penerimaan
totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual 200 unit barang dan hitung
harga per unit? Hitung juga penerimaan marjinal jika pernjualan bertambah 50 unit
dan tentukan tingkat penjualan yang menghasikan penerimaan total maksimum dan
berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut?
dQ
dCCMC
'
dQ
dRRMR
'
47
Jawab :
Fungsi penerimaan : R = Q x P R = Q x (900 – 1,5Q)
R = 900Q – 1,5Q2
Jika Q = 200
R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000
P = 900 – 1,5(200) = 600
Jika Q = 250, R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250
MR =dQ
dR =
R = 900Q – 1,5Q2
R maksimum pada saat R’ = 0 →R’ = 900 – 3Q = 0 → Q = -900/-3 = 300
Besarnya R = 900(300) – 1,5(300)2 = 135.000
R(ribuan)
135
120
0
2 3 Q (ratusan)
4.7.4. Utilitas marjinal
Utilitas marjinal (Marginal Utility, MU) ialah utilitas tambahan yang
diperoleh konsumen berkenan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Jika
fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) di mana U melembangkan utilitas
total dan Q adalah barang yang dikonsumi, maka utilitas marjinalnya.
dQ
dUUMU
'
48
90
0
U = 90 Q - 5 Q 2
MU = 90 - 10 Q
Q9 18
U, MU
3 6
MP = g(X)
P = f(X)
P3 MP
108
54
27
0
Contoh :
U = f(Q) = 90Q – 5Q2
MU = U’ = 90 – 10Q
U maksimum pada MU = 0
MU = 0 → 90 – 10Q = 0
Q = 9
U maksimum = 90(9) – 5(9)2
= 810 – 405
= 405
4.7.5. Produk Marjinal
Produk marjinal (Marginal Product, MP) ialah produk tambahan yang
dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara
matematika, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk
total. Jika fungsi produksi total dinyatakan dengan P= f (X) di mana P melambangkan
jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinal :
Contoh ;
Produk total : P = f(X)= 9 X2 – X
3
Produk Marjinal : MP = P’ = 18X – 3X2
P maksimum pada P’ = 0
18X - 3X2 = 0
3X (6 – X) = 0 → X = 6
P maksimum = 9 (6)2 – (6)
3 = 108
P berada di titik belok dan MP maksimum
pada P” = (MP)’ = 0, yakni pada X = 3
dX
dPPMP
'
49
4.7.6. Analisis Keuntungan Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau
menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial.
Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama–sama merupakan
fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan / terjual (Q), maka dari sini dapat
dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π).
Contoh :
Dik : Fungsi Permintaan P = 1000-2Q dan fungsi biaya C = Q3 - 59Q
2 +1315Q +2000
Ditanya: a. Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di
peroleh laba yang maksimum ?
b. Berapakah laba maksimum tersebut ?
Jawab:
Fungsi pendapatan : R = P.Q
R = (1000 - 2Q).Q = 1000 Q - 2 Q2
Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q
2 +1315Q + 2000
Fungsi laba : π = R-C
π = (1000Q - 2Q2) - (Q
3 - 59Q
2 + 1315Q + 2000)
= - Q3 + 57Q
2 - 315Q - 2000
Laba maksimum : π’ = 0 → π’ = -3Q2 + 114Q – 315 = 0 : -3
Q2 - 38Q + 105 = 0
(Q - 3) (Q - 35) = 0
maka diperoleh Q1 = 3 dan Q2 = 35
π” = - 6Q + 114
Untuk Q1 = 3 → π” = - 6(3) + 114 = 96 > 0
Berarti jika d produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.
Untuk Q2 = 35 → π” = - 6(35) + 114 = - 96 < 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum.
Fungsi Keuntungan/Laba : Л = TR - TC = f ( Q )
Л optimum bila Л’ = 0 atau MR = MC
- Jika Л “ < 0 → Л max ( Keuntungan Maksimum )
- Jika Л “ > 0 → Л min ( Keuntungan Minimum )
50
Laba maksimumnya sebesar : πmax = - Q3 + 57Q
2 - 315Q - 2000
= - (35)3
+ 57(35)2
- 315(35) – 2000 = 13.925
Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba
maksimum sebanyak 13.925
4.7.7. Penerimaan Pajak Maksimum
Misalkan fungsi permintaan suatu barang adalah P = c – dQ dan fungsi
penawaran P = a + bQ . Jika pemerintah mengenakan pajak spesifik sebesar t atas
setiap unit barang yang dijual, maka pajak per unit (t) dan total Pajak (T) dapat
dihitung dengan tahapan berikut :
1. Cari persamaan Penawaran sesudah pajak : P = a + bQ + t
2. Rubah dalam bentuk fungsi pajak spesifik per unit barang yaitu :
t = P - a - bQ
3. Subtitusikan P dengan fungsi permintaan kedalam persamaan fungsi t, sbb;
t = (c – dQ) - a - bQ = (c - a) – (d + b) Q
4. Cari Persamaan pajak total/total pajak: T= t.Q = (c - a) Q – (d+b) Q2
5. Cari berapa jumlah unit barang (Q) pada kondisi pemerintah akan memperoleh
penerimaan maksimum ( Tmax) dengan syarat T’ = 0.
T maksimum jika T’ =0 , yakni pada Q = (c - a) / 2 ( d+b)
6. Hitung berapa Tmax (penerimaan total pajak maksimum pemerintah)
Contoh :
Andaikan permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 15 - Q
sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. pemerintah bermaksud mengenakan pajak
spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual. Jika penerimaan pajak atas
barang ini diinginkan maksimum, berapa besarnnya pajak per unit yang harus
ditetapkan? Berapa besar penerimaan pajak tersebut? Gambarkan kurva?
Jawab :
Penawaran sesudah pajak: P = a + bQ + t → P = 3 + 0,5Q + t
Pajak per unit: t = P – a – bQ → t = P – 3 – 0,5Q
karena fungsi permintaan P = 15 – Q , maka t = p – 3 – 0,5Q menjadi
t = (15 – Q) – 3 – 0,5Q
t = 12 – 1,5Q
51
Pajak total : T = t.Q → T = (12 -1,5) Q = 12Q – 1,5Q2
T maksimum jika T’ = 0, maka T’ = dT/dQ = 12 - 3Q = 0 → Q = 4
Pada Q = 4, t = 12 – 1,5(4) = 12 – 6 = 6
Sedangkan T = t.Q = 6(4)=24
Persamaan penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5Q + 6 = 9 + 0,5Q
Harga keseimbangan di pasar adalah P = 3 + 0,5(4) + 6 = 11 .
Jadi Tmaksimum = 24 jika t = 6
P, T, t
24 T =12Q – 1,5 Q2 P = 9 + 0,5Q
15
12 P =3+ 0,5Q
9
P = 15- Q
3 t = 12 – 1,5Q
0 4 8 15 Q
4.7.8. Efek Pemajakan Bagi Penunggal
Pajak, di samping merupakan sumber penting pendapat negara, dapat pula
fungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan ”berlebihan” yang dapat dikeduk
oleh penunggal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang
diproduksi atau dijual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-ratanya
meningkat sebesar t, dan biaya totalnya meningkat sebesar tQ. Akibatnya bukan saja
harga barang menjadi lebih mahal, tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal
menjadi berkurang.
Penerimaan total : R = r(Q) Keuntungan : π = R - C
Biaya total : C = c(Q) π = r(Q) - c(Q)
Biaya total sesudah pengenaan pajak : Ct = c(Q) + tQ
Keuntungan sesudah pengenaan pajak : πt = r(Q) – c(Q) – tQ
Pajak perunit : t
Pajak total : T = t.Q = f(t,Q)
52
Contoh 1 :
Andaikan fungsi permintaan seorang penunggal (monopolist) P = 1000 – 2Q dan
fungsi biaya totalnya C = 2000 + 1315 Q – 59 Q2
+ Q3. Pemerintah memungut pajak
sebesar 405 atas setiap unit barang yang diproduksi/dijual. Bandingkan keuntungan
maksimum yang diperoleh penunggal ini antara tanpa dan dengan pengenaan pajak!
Berapa pajak total yang diterima pemerintah?
Jawab ;
Tanpa pengenaan pajak :
Fungsi penerimaan : R = P.Q = 1000 Q – 2 Q2
Fungsi Biaya : C = 2000 + 1315 Q – 59 Q2 + Q
3
Fungsi Keuntungan : = R – C
= (1000 Q – 2 Q2) – (2000 + 1315 Q – 59 Q
2 + Q
3)
= - Q3
+ 57 Q2
– 315Q - 2000
maksimum pada saat π’ = 0 → π’ = -3 Q2 + 114Q – 315 = 0 : -3
Q2 – 38Q + 105 = 0
(Q - 3) (Q - 35) = 0 ,maka
Q1 = 3 , Q2 = 35
Perhitungan selanjutnya yang digunakan Q = 35 karena π” = -6(35) + 114 = -96 < 0
Keuntungan maksimum : max = - Q3 + 57Q
2 - 315Q - 2000
= - (35)3
+ 57(35)2
- 315(35) – 2000 = 13.925
Harga : Pe = 1000 – 2(35) = 930
Dengan pengenaan pajak :
Biaya total setelah pajak : C = c(Q) + tQ = 2000 + 1315 Q – 59 Q2
+ Q3 + 405 Q
= Q3 - 59 Q
2 + 1720Q + 2000
Fungsi keuntungan yang baru : t = R - Ct
= (1000 Q – 2 Q2) – (Q
3 - 59 Q
2 + 1720Q + 2000)
= - Q3
+ 57 Q2
– 720 Q – 2000
= – 3 Q2
+ 114 Q -720 = – 6 Q + 114
maksimum jika = 0 dan < 0
= 0 → – 3 Q2
+ 114 Q -720 = 0 : -3
Q2 – 38 Q + 240 = 0
(Q – 8 ) ( Q – 30) = 0 , maka
Q1 = 8 , Q2 = 30
Jika Q = 8 → = 66
53
Jika Q = 30 → = - 66 < 0 (memenuhi syarat maksimum)
Jadi Q = 30 → maksimum = - 2000 -720(30) + 57(30)2
– (30)3 = 4.700
Pe = 1000 – 2(30) = 940
Pajak total yang diterima pemerintah : T = t.Q = 405 (30) = 12.150
[ Jika dianalisis, dari jumlah 12.150 ini, sebesar TK = (940-930)x30 = 300 merupakan
beban pajak total yang ditanggung oleh pihak konsumen, selebihnya TP = 12.150 –
300 = 11.850 ditanggung oleh produsen (si penunggal). Hal ini mencerminkan
kebijakan pajak cukup efektif untuk mengendalikan keuntungan produsen monopolis]
Contoh 2 :
Andaikan seorang produsen monopolis menghadapi fungsi permintaan Q = 100 - 5P
dan biaya totalnya C = 20 – 4Q + 0,1 Q2. Pemerintah mengenakan pajak atas setiap
unti barang yang dijual oleh penunggal dan menginginkan pajak total yang
diterimanya maksimum. Di lain pihak, walaupun barang dagangannya dipajaki,
produsen tetap menginginkan operasi bisnisnya menghasilkan keuntungan
maksimum. Berapa pajak per unit yang harus ditetapkan oleh pemerintah agar
penerimaan pajaknya dan juga keuntungan produsen maksimum? Hitunglah masing-
masing penerimaan pajak maksimum dan keuntungan maksimum tersebut.
Jawab ;
Permintaan : Q = 100 – 5P → P = 20 – 0,2 Q
Penerimaan : R = P.Q = 20 – 0,2 Q ) Q = 20 Q – 0,2 Q2
Biaya total setelah pajak : C = 20 – 4Q +0,1 Q2 + tQ (t melambangkan pajak per unit)
Keuntungan : = R – C = (20 Q – 0,2 Q2)
– (20 – 4Q + 0,1Q2 + tQ)
= - 0,3 Q2 + 24 Q – tQ – 20
= - 0,6 Q + 24 – t
maksimum jika = 0 → -0,6 Q + 24 – t = 0 → Q = (24 – t)/0,6
T = t.Q = t(24 – t)/0,6 = (24 t – t2)/0,6
T’ = dT/dt = (24 – 2t)/0,6
T maksimum bila T’ = 0 → (24 – 2t)/0,6 = 0 → 24 – 2t = 0 → t = 12
Jadi T maksimum bila t = 12 [ bukti : T” = ( - 2/ 0,6) < 0 ]
maksimum jika Q = (24 –t)/0,6 = (24 – 12)/0,6 = 20
Adapun besarnya T maksimum = t.Q = 12(20) = 240
Sedangkan maksimum = - 0,3(20)2 + 24(20) – 12(20) -20 = 100
54
Soal-Soal Latihan :
1. Diketahui fungsi penawaran suatu produk : P = 2Q + 6 dan fungsi permintaan
P = - 2Q2 – 2Q + 54
Ditanya : a. Elastisitas fungsi penawaran jika P = 10 ?
b. Elastisitas fungsi permintaan jika Q = 5 ?
c. Elastisitas pada kondisi keseimbangan pasar ?
2. Tentukan nilai Q pada persamaan P = 54 – 2Q2
agar memiliki unitary elastisitas?
3. Tentukan nilai TC min dari fungsi TC = 3Q2 !
Q – 2
4. Diketahui fungsi permintaan P = 350 - 0,5 Q. Berapa penerimaan minimum ?
5. Diketahui fungsi biaya TC = 0,01 Q2 + 5Q + 16.
Carilah nilai AVCmin dan ACmin !
6. Pada suatu perusahaan diketahui fungsi permintaan P = 520 – 2Q dan fungsi biaya
rata-rata AC = Q + 160 + 2000/Q . Carilah tingkat laba maksimum !
7. Seorang monopolis menghadapi fungsi permintaan Q = 100 - 5P dan fungsi biaya
total TC = 20 – 4Q + 0,1Q2. Ditanya :
a. Jumlah produksi pada saat TRmaksimum dan berapa TRmaksimumnya ?
b. Jumlah produksi pada saat TCminimum dan berapa besar TCminimum ?
c. Jumlah produksi agar keuntungan maksimum dan berapa besar keuntungan
maksimum ?
d. Jika pemerintah memungut pajak sebesar Rp 6 setiap unit, berapa jumlah
yang diproduksi? Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh monopolis,
berapa pajak total yang diterima pemerintah, berapa beban pajak yang
ditanggung konsumen dan produsen !
e. Jika pemerintah ingin menetapkan pajak, berapa pajak per unit yang harus
ditetapkan oleh pemerintah agar penerimaan pajaknya dan keuntungan
produsen maksimum dan hitung masing-masing penerimaan pajak maksimum
dan keuntungan maksimum tersebut !
55
BAB V
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
(DIFERENSIAL PARSIAL)
5.1. DIFERENSIASI PARSIAL
Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan
memiliki satu macam turunan. Apabila y = f (x) maka turunanya hanyalah turunan y
terhadap x, dengan kata lain y = dy / dx.
Fungsi Majemuk adalah fungsi yang mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas. Prinsip diferensiasinya tidak berbeda dengan prinsip diferensiasi
fungsi sederhana ( bervariabel bebas tunggal).
Diferensiasi fungsi majemuk disebut juga diferensiasi parsial yaitu proses
menurunkan suatu fungsi bagian perbagian berdasarkan jumlah variabel bebasnya.
Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n
macam turunan.
Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan y
terhadap x atau y/ x dan turunan y terhadap z atau y/ z ( ” ” dibaca ”dho”,
hanya pada diferennsial parsial). Sesungguhnya y/ x dari y = zxf , adalah
turunan dari zxf . terhadap x dengan anggapan hal–hal lain tetap atau konstan
(dalam ekonomi dikenal dengan sebutan asumsi ceteris paribus). Oleh karena itu
dalam menurunkan y = f (x,z) terhadap x hanya suku–suku yang mengandung
variabel x saja yang diturunkan.
Jika y = (x1, x2, x3, … , xn) maka persamaan fungsi turunan pertama dan
seterusnya akan berjumlah nk ( n = jumlah variabel bebas dan k = turunan ke berapa
yang akan dicari, tergantung jumlah pangkat tertinggi variabel bebasnya ).
5.2. DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan lebih dari satu
variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing –
masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi.
Contoh : y = x3 + 5 z
2 – 4 x
2 z + 8 z - 7
56
Turunan I → 21
= 2 persamaan fungsi , yaitu :
(1) y’x = ∂y = 3 x2 – 8 x z (2) y’z = ∂y = 10 z – 4 x
2 + 8
∂x ∂z
Turunan II → 22
= 4 persamaan fungsi , yaitu :
(1,a) y’’xx = ∂2y = ∂
2y = 6x – 8z (1,b) y’’xz = ∂
2y = – 8x
∂x. ∂x ∂x2 ∂x. ∂z
(2,a) y’’zx = ∂2y = – 8x (2,b) y’’zz = ∂
2y = ∂
2y = 10
∂z. ∂x ∂z. ∂z ∂z2
Turunan III → 23
= 8 persamaan fungsi , yaitu :
(1a,1) y’’’xxx = ∂3y = ∂
3y = 6 (1a,2) y’’’xxz = ∂
3y = ∂
3y = – 8
∂x.∂x.∂x ∂x3 ∂x.∂x.∂z ∂x
2.∂z
(1b,1) y’’’xzx = ∂3y = ∂
3y = – 8 (1b,2) y’’’xzz = ∂
3y = ∂
3y = 0
∂x.∂z.∂x ∂x2.∂z ∂x.∂z.∂z ∂x. ∂z
2
(2a,1) y’’zxx = ∂3y = ∂
3y = – 8 (2a,2) y’’’zxz = ∂
3y = ∂
3y = 0
∂z.∂x.∂x ∂z.∂x2 ∂z.∂z.∂x ∂z
2.∂x
(2b,1) y’’’zzx = ∂3y = ∂
3y = 0 (2b,2) y’’’zzz = ∂
3y = ∂
3y = 0
∂z.∂z.∂x ∂z
2.∂x ∂z.∂z.∂z ∂z 3
5.3. NILAI EKSTRIM : MAKSIMUM DAN MINIMUM
Nilai–nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari
satu bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :
Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar
fungsinya mencapai mancapai titik ekstrim.
Syarat diatas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik
Ekstrim. Guna mengetahui apakah titik Ekstrim itu berupa titik maksimium ataukah
titk minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan, yakni :
Untuk y = ,zx,f
Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
0
x
y
dan 0
z
y
57
Contoh :
Selidiki titik ekstrim dari fungsi y = -x² + 12x – z² + 10z – 45 apakah titik maksimum
atau titik minimum?
Jawab :
Fx = ∂y/∂x = -2x +12 = 0 Fz = ∂y/∂z = -2z + 10 = 0
-2x + 12 = 0 -2z + 10 = 0
-2x = 12 maka x = 6 -2z = -10 maka z = 5
y = -6² + 12(6) – 5² + 10(5) – 45 = 16
Fxx =
-2 < 0 dan Fzz =
= -2 < 0 , → maka titik ekstrimnya maksimum
dengan y max = 16
5.4. OPTIMISASI BERSYARAT
Dalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau
mengoptimumkan suatu fungsi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimumnya,
tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi atau fungsi yang hendak
dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint).
Pengganda Lagrange ( λ )
Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa
sebuah fungsi lain dapat diselesaikan dengan Metode Lagrange, dengan membentuk
fungsi baru yaitu fungsi Lagrange menggunakan pengganda Lagrange λ.
Fungsi lagrange merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak
dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange λ dengan fungsi kendalanya.
Pengganda Lagrange λ adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat
sebagai variabel pembantu mempermudah perhitungan. Dalam membentuk fungsi
baru Lagrange, fungsi yang menjadi kendala harus diimplisitkan dulu (dibuat sama
dengan nol).
Maksimum bila
dan
< 0
Minimum bila
> 0 dan
< 0
58
Caranya :
Misalkan hendak dioptimumkan z = f(x , y ) → Fungsi Tujuan
Dengan syarat harus terpenuhi u = g(x , y) → Fungsi Kendala
Maka fungsi Lagrangenya :
Nilai ekstrim F (x , y , λ) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing
derivative-parsial pertamanya sama dengan nol → F optimum pada saat F’ = 0
→ Syarat yang diperlukan
( necessary condition )
Guna mengetahui jenis nilai titik ekstrim, apakah titik maksimum ataukah titik
minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan ( sufficient condition ) dengan
menyelidiki derivative-parsial keduanya.
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y
2 = 8. Jelaskan
nilai ekstrimnya!.
Jawab :
Fungsi tujuan : z = 2x + 2y (akan dioptimumkan)
Fungsi syarat/kendala : x2
+ y2 = 8 → x
2 + y
2 – 8 = 0
Fungsi Lagrange : F = 2x + 2y + λ ( x2 + y
2 – 8 )
= 2x + 2y + λ x2 + λ y
2 – 8 λ
Agar F ekstrim / optimum → F’ = 0
(1) Fx = 2 + 2 λ x = 0 → λ = - 1/x Berdasarkan (1) dan (2) :
(2) Fy = 2 + 2 λ y = 0 → λ = - 1/y λ1 = λ2 → - 1/x = - 1/y atau y = x
Menurut fungsi kendala : x2
+ y2 = 8
Karena y = x , maka : x2
+ x2 = 8
2x2
= 8 , x2 = 4 → x = + 2 = y
Karena y = x maka x = + 2 dan y = + 2
F (x , y , λ) = f(x , y ) + λ g(x , y)
yyyyy)
Fx (x , y , λ) = fx + λ gx = 0
Fy (x , y , λ) = fy + λ gy = 0
Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0
Minimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0
59
* Untuk x = 2 dan y = 2 → z = 2x + 2y = 2(2) + 2 (2) = 8
λ1 = λ2 = - 1/x = - 1/y = -1/2
Fxx = 2 λ = 2 (-1/2) = -1 < 0
Fyy = 2 λ = 2 (-1/2) = -1 < 0
Karena Fxx < 0 dan Fyy < 0 , maka nilai ekstrimnya maksimum dengan zmaks = 8
* Untuk x = -2 dan y = -2 → z = 2x + 2y = 2(-2) + 2 (-2) = -8
λ1 = λ2 = - 1/x = - 1/y = -1/(-2) = 1/2
Fxx = 2 λ = 2 (1/2) = 1 > 0
Fyy = 2 λ = 2 (1/2) = 1 > 0
Karena Fxx > 0 dan Fyy > 0 , maka nilai ekstrimnya minimum dengan zmin = -8
Kondisi Kuhn – Tucker
Metode Kuhn–Tucker merupakan pengembangan lebih lanjut dari model
optimisasi bersyarat. Jika dalam metode pengganda Lagrange kita mengoptimumkan
sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, maka dalam metode
Kuhn-Tucker kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang
berbentuk pertindaksamaan.
5.5. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan diferensiasi parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada
model – model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal
kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi
terhadap variabel terikatnya.
5.5.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya,
maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua
macam barang tersebut. Dengan perkataan lain jika harga barang A dan barang B
mempunyai hubungan pengunaan, maka;
Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb)
60
Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya,
dimana:
adalah permintaan marjinal akan A berkenan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan A berkenan dengan Pb
adalah permintaan marjinal akan B berkenan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan B berkenan dengan Pb
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung
elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu:
1. Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan)
2. Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan)
RUMUS ELASTISITAS PARSIAL
ηda =
=
=
.
ηdb =
=
=
.
ηab =
=
=
.
ηba =
=
=
.
ηda dan ηdb = elatisitas harga permintaan
ηab dan ηba = elatisitas silang permintaan
Ketentuan :
1. Jika ηab dan ηba keduanya negatif (ηab < 0 dan ηba < 0) untuk Pa dan Pb
tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer (saling
melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan
permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas barang lainnya
61
2. Jika ηab dan ηba keduanya positif (ηab < 0 dan ηba < 0) untuk Pa dan Pb
tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah kompetitif atau substitusi
(saling menggantikan), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh
kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang
lainnya.
Contoh :
Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan
Qda . .
– 1 = 0 dan Qdb . .Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan masing-
masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut?
Jawab:
Fungsi permintaan barang A Fungsi permintaan barang B
Qda . .
– 1 = 0 Qdb . .Pb – 1 = 0
Qda =
Qdb =
Qda = .
Qdb = .
=
.
= -
.
.
=
.
ηda =
.
=
. .
= -2
ηdb =
.
= -
. .
= -1
ηab =
.
=
. .
= -3
ηba =
.
=
. .
= -3
Barang A adalah barang elastis karena ηda > 1, barang B adalah barang unitary-
elastic karena ηdb = 1. ( Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup
dengan melihat besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan).
Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ηab < 0 dan
ηba <0
62
5.5.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi
Gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang
dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya
gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat
diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan
untuk menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam
produk yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.
Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana
fungsi permintaannya akan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta
biaya produksinya C = f (Qa, Qd) maka:
Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa)
Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb)
Penerimaan total : R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb)
Biaya Total : C = f (Qa, Qb)
Fungsi Keuntungannya: π = R – C
= f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb)
= g (Qa, Qb)
π maksimum bila π ’ = 0
π Qa =
= 0 ........................... persamaan 1
π Qb =
= 0 ........................... persamaan 2
Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi
sehingga diperoleh nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai π bisa dihitung.
Contoh :
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam
barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = +
+ Qa . Qb. Harga jual masing-
masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit
masing-masing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar
keuntungan maksimum tersebut.
63
Jawab:
Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa
Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb
Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb
Fungsi Keuntungannya : π = R – C
= 7 Qa + 20 Qb – ( +
+ Qa . Qb)
= 7 Qa + 20 Qb – -
- Qa . Qb)
π maksimum bila π’ = 0
π Qa =
= 0 → 7 - 2 Qa - Qb = 0 ……….. (persamaan 1)
π Qb =
= 0 → 20 - 6 Qb – Qa = 0 …….. (persamaan 2)
Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi
sehingga diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3
Fungsi Keuntungannya : π = R – C
= 7 Qa + 20 Qb - +
+ Qa . Qb
= 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)
2 – (2) (3)
= 37
Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B
dengan keuntungan sebesar 37.
Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari suatu macam barang
dengan biaya produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai
marjinalnya yakni : Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing
barang yang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan MR = MC
Contoh :
Berkenaan contoh sebelumnya, π maksimum akan diperoleh bila ;
Ra = MCa dan MRb = MCb
R = 7 Qa + 20 Qb C = +
+ Qa . Qb.
MRa = R’a = 7 MCa = C’a = 2 Qa + Qb
MRb = R’b = 20 MCb = C’b = 6 Qb + Qa
MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb
7 - 2 Qa - Qb = 0 ................. persamaan 1
π maksimum bila ; MRa = MCa dan MRb = MCb
64
MRb = MCb → 20 = 6 Qb + Qa
20 - 6 Qb - Qa = 0 .............. persamaan 2
Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi
sehingga diperoleh nilai Qa = 2 dan Qb = 3 . Selanjutnya nilai π = 37
5.5.3. Utilitas Marjinal Parsial Keseimbangan Konsumsi
Dalam kenyataan sehari–hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsi
satu macam barang tetapi beberapa macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan
dengan U dan barang–barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan
),,.......2,( niqi maka fungsi utilitas dinotasikan dengan U .,.......,, 321 nqqqqf
Maka fungsi utilitasnya adalah :
Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.
MUx = x
U
adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang X
MUy = y
U
adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y.
Contoh :
Diketahui fungsi utilitas barang K dan T adalah U = k4t7. Tentukan marjinal
utilitasnya!
Jawab:
Fungsi utilitas : U = k4t7
Fungsi marjinal utilitas : MU(k,t) = U’=
Maka, MUk = U’ =
= 4k
3t7 dan MUt = U’ =
= 7k
4t6
Keseimbangan Konsumsi. Keseimbangan konsumsi maksudnya ialah suatu
keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan
kepuasan optimum.
Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan konsumen
membeli berbagai macam barang berkenaan dengan harganya masing – masing dan
pendapatan konsumen.
Jika pendapatan konsumen sebesar M dan harga barang x dan y adalah Px dan Py per
unit, maka persamaan budget line dapat dituliskan dengan :
U = f (x, y)
M = xPx + yPy
65
Mencari Keseimbangan Konsumsi
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum dapat
dicari dengan motode lagrange. Metode lagrange adalah metode dengan membentuk
sebuah fungsi baru yaitu menjumlahkan fungsi yang akan dioptimumkan ditambah
hasil kali pengganda lagrange dengan fungsi kendalanya. Dalam materi ini, berarti
fungsi utilitas U = f (x,y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M = xPx + yPy.
Sesuai dengan metode lagrange, diperoleh fungsi baru:
F (x,y) = f(x,y) + (xPx + yPy – M)
Syarat agar F maksimum:
Fx (x,y) = 0 fx (x,y) + Px = 0 .......... (1)
Fy (x,y) = 0 fy (x,y) + Py = 0 ........... (2)
Selanjutnya perhatikan:
Utilitas total : U = f (x,y)
Utilitas marjinal : MU = U’ = f’(x,y)
i. Utilitas marjinal barang x : MUx =
= fx(x,y)
ii. Utilitas marjinal barang y : MUy =
= fy(x,y)
Sehingga : fx(x,y) + Px = 0 - =
=
fy(x,y) + Py = 0 - =
=
Soal 1 :
Seorang konsumen mengkonsumsi barang X dan Y, dicerminkan oleh fungsi utilitas
U = x2y
3. Jumlah pendapatannya Rp 1.000, harga X dan harga Y per unit masing-
masing Rp 25 dan Rp 50. Tentukan:
a) Bentuk fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang
b) Utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y
c) Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y kepuasan
konsumen optimum atau tidak.
Jawab :
a) U = x2y
3 MUx = 2xy
3
MUy = 3x2y
2
66
b) Jika x = 14 dan y = 13,
MUx = 2xy3
= 2(14)(13)3 = 61.516
MUy = 3x2y
2 = 3(14)
2(13)
2 = 99.372
c)
=
= 2.460,64
=
= 1.987,44
Karena
berarti konsumsi 14 unit x dan 13 unit y kepuasan konsumen
tidak optimum.
Soal 2 :
Agar MUx dan MUy pada soal 1 seimbang, maka:
a) Hitunglah kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan kepuasan optimum!
b) Berapa besarnya kepuasan optimum?
c) Buktikan tingkat kepuasan optimum!
Jawab:
Diketahui : Fungsi utilitas 2 macambarang X dan Y : U = x2y
3
Pendapatan konsumen : M = 1000
Harga X per unit : Px = 25
Harga Y per unit : Py = 50
Fungsi anggaran : 25x + 50y = 100
a) Mencari Kombinasi Konsumsi
Fungsi tujuan yang dioptimumkan ; Fungsi utilitas : U = x2y
3
Fungsi kendala/syarat ; Fungsi anggaran : 25x + 50y = 1000
25x + 50y – 1000 = 0
Fungsi Lagrange ; F (x,y,λ) = x2y
3 + λ (25x + 50y – 1000)
= x2y
3 + 25 λ x + 50 λ y– 1000 λ
Agar F maksimum → F’ = 0
Fx = 0 → Fx = 2xy3 + 25 λ = 0 → λ =
…….. (1)
Fy = 0 → Fy = 3x2y
2 + 50 λ = 0 → λ =
……. (2)
Mencari nilai y dan x → karena λ pada persamaa (1) dan (2) sama maka :
→
67
→
……… (3)
Substitusi persamaan (3) ke fungsi syarat (fungsi anggaran) :
→ 25x + 50y = 0
25 x + 50(
= 1000
25 x +
= 1000
= 1000
x = 1000.
→
→
.16 →
Jadi kombinasi konsumsiyang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit X dan
12 unit Y
b) Mencari besarnya kepuasan optimum : U = X2Y
3
U = (16)2(12)
3 = 442368
c) Pembuktian ; Untuk x = 16 dan y = 12
Terbukti tingkat kepuasan optimum →
5.5.4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi
Untuk memproduksi sesuatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa
macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, meisn–mesin
dan sebagainya.
Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan
masukan tetap, sementara sebagian lainnya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika
untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel
(katakanlah K dan L), maka fungsi produksinya : P = f (k, l)
Y
Y
X
X
P
MU
P
MU
84 , 2211 84 , 2211
50
) 12 ( ) 16 ( 3
25
) 12 )( 16 ( 2
50
y x 3
25
xy 2
P
MU
P
MU
2 2 3
2 2 3 Y
Y
X
X
68
Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.
k
P
adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan K
I
P
adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan L
Keseimbangan Produksi. Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu
keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor – faktor produksi secara optimum,
yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah (least cost
combination).
Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan garis biaya yang
sama ( isocost ) dengan kurva produksi yang sama ( isoquant ).
Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli
berbagai masukan berkenaan dengan harga masing–masing masukan dan jumlah dana
yang dimilikinya.
Jika pendapatan konsumen sebesar M dan harga barang x dan y adalah Px dan Py per
unit, maka persamaan budget line dapat dituliskan dengan :
Mencari Keseimbangan Produksi
Tingkat kombinasi produksi yang optimum dapat dicari dengan motode
lagrange. Dengan fungsi produksi P = f (k,l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost
M = kPk + lPl.
Tahapan penyelesaian :
Fungsi tujuan yang dioptimumkan ; Fungsi Produksi : P = f (k,l)
Fungsi kendala/syarat ; Fungsi Isocost : M = kPk + lPl → kPk + lPl - M = 0
Fungsi baru : Fungsi Lagrange : F(k,l, ) = f(k,l) + (kPk+ lPl – M)
= f(k,l) + kPk + lPl – M
Agar F maksimum → F’ = 0
Fk (k,l) = 0 fk(k,l) + Pk = 0 → = -
.......... (1)
Fl (k,l) = 0 fl(k,l) + Pl = 0 → = -
.......... (2)
Selanjutnya perhatikan:
Produksi total : P = f(k,l)
Produksi marjinal : MU = U’ = f’(k,l)
M = kPk + lPl
69
i. Utilitas marjinal barang k : MUk =
= fk (k,l)
ii. Utilitas marjinal barang l : MUl =
= f l(k,l)
karena λ pada persamaa (1) dan (2) sama maka : -
= -
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan :
Contoh 1 :
Diketahui : Fungsi Produksi → P = 6k2/3
l1/3
a) Tentukan fungsi produksi marjinal untuk masing-masing fakor produksi!
b) Berapa produk marjinal jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L?
c) Buktikan bahwa untuk harga per unit K adalah 27 dan L adalah 4
Jawab:
a) Fungsi Produksi Marjinal
b) Mencari Nilai Produk Marjinal, untuk k = 8 dan l = 27
√
√
= 6
√
√ √
√
c) Pembuktian dengan Pk = 4 dan Pl = 27
MPk = Mpl → 4 k-1/3
l1/3
= 2 k2/3
l-2/3
Pk Pl Pk Pl
lP
LMP
kP
KMP
l
l
k
k
P
lk,f
P
lk,f
l
l
k
k
P
MP
P
MP
lP
LMP
kP
KMP
70
=
√
√
=
√
√
=
=
=
=
(terbukti)
5.6. Soal-Soal Latihan
1. Identifikasi fungsi Marginal (turunan) dari fungsi-fungsi dibawah ini:
a. Jika fungsi permintaan akan suatu komoditi yang memenuhi persamaan
Q = 20 – 0,2 P. Tentukan fungsi Marginal Revenue-nya.
b. Jika AVC = Q – 85, sedangkan AFC = 50/Q. Tentukan fungsi Marginal Cost-
nya.
c. Jika fungsi produksi P = -5Q2
+ QR – 6R2. Tentukan Partial Marginal
Production (derivative parsialnya)
2. Fungsi permintaan dan penawaran akan suatu barang adalah sebagai berikut:
P = 1200 – 40Q dan P = 200 + 40Q. Pemerintah mengenakan pajak perunit
barang. Tentukan :
a. Besarnya penerimaan pajak maksimum yang diterima pemerintah ?
b. Besarnya pajak per unit barang yang ditetapkan pemerintah ?
3. Jika fungsi penerimaan R = -3Q2
+ 45.000Q, sedangkan biaya variabel yang
dikeluarkan VC = 3Q2
- 75.000Q dan Biaya Tetapnya sebesar Rp. 6.000.000,-
a. Tentukan tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum.
b. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut.
4. Fungsi permintaan dan fungsi Penawaran terhadap suatu barang sebagai berikut:
Q = 6.300 – 50P dan Q = P2
+ 20P -1.500.
Tentukan elastisitas permintaan dan elastisitas penawaran pada Keseimbangan
Pasar dan sebutkan sifat elastisitas-elastisitas tersebut.
71
5. Biaya Total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi 2 macam
barang V dan W adalah C = V2
+ W2 – V W. Tentukan:
a. Kombinasi V dan W yang diproduksi agar biaya total yang dikeluarkan
minimum, jika disyaratkan anggaran yang dimiliki 18 dan masing masing harga
V dan W adalah 1:1. (Dengan Metode Lagrange!)
b. Hotunglah Biaya Total Minimum tersebut.
72
DAFTAR PUSTAKA
Assuari, Sofyan. (1996). Matematika Ekonomi. Jakarta ; Rajawali
Chiang, Alpha. (2006). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1 & 2. Jakarta ;
Penerbit Erlangga.
Dumairy. (2006) . Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Terapan. Yogyakarta :
BPFE.
Johanes, H dan Sri Handoko, Budiono. 1983. Pengantar Matematika untuk Ekonomi.
Jakarta : LP3S.
Josep Bintang Kalangi. (2005). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Buku 1 & 2.
Jakarta; Salemba Empat.
top related