makala h

DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL Apabila energi E suatu elektron sebagai fungsi dari vektor propagasi k diketahui untuk suatu pita energy, maka ungkapan tersebut dapat memberi informasi mengenai perilaku gerak elektron di dalam kristal [2] Kecepatan kelompok vg suatu gelombang dalam x-tal dapat diperoleh dari hubungan dispersi dengan: [2]

Kecepatan elektron di dalam kristal dipresentasikan oleh kecepatan kelompok gelombang deBroglie-nya : [2]

Hubungan antara energi dan frekuensi gelombang diberikan oleh Einstein[2]

Sehingga diperoleh:

KECEPATAN KELOMPOK DAN MASSA ELEKTRON BEBASelektron bebas didefinisikan sebagai elektron yang dapat bergerak bebas tanpa adanya gaya luar yang mempengaruhi, dan memiliki energi potensial nol (V (r) = 0). Elektron itu sendiri merupakan bagian dari sebuat atom. [2]Gerak elektron dalam kristal dapat divisualisasikan sebagai suatu paket gelombang yang merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi . Paket gelombang ini mempunyai kecepatan kelompok yang secara vektor dinyatakan oleh: [1].....11Karena energi elektron E==, maka:..12Simak kembali elektron yang hanya bergerak dalam arah sumbu-X dalam kisi kubik sederhana, sehingga energy dpat dinyatakan dalam persamaan: [1]..13dimana Eo adalah konstanta. Sehingga kecepatan kelompok dalam arah-X adalah:..14Sketsa E(kx) dan (vg)x dalam (13) dan (14) persamaan diatas dapat di gambarkan sebagai berikut:

Gambar 5. a. Struktur pita energi kisi kubik sederhana arah-Xb. Kecepatan elektron dalam pita energi yang bersangkutan. Garis putus-putus menunjukkan kecepatan elektron bebas [1]

Terlihat bahwa di dekat pusat zona kecepatan elektron sebanding dengan vektor gelombang. Di daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas. Di dekat batas zona, kecepatan elektron menurun drastis, dan akhirnya nol tepat pada batas zona. Di titik ini terjadi gelombang tegak. Disamping itu, telah dijelaskan bahwa untuk pita energi yang terisi penuh elektron tidak dapat menunjukkan arus listrik. Hal ini terlihat pada gambar di atas bahwa:

y (k ) = v (k )

sehingga kecepatan total elektron sama dengan nol. Ungkapan (5.b) menunjukkan bahwa kecepatan kelompok sebanding dengan gradien energi. Hal ini berarti gerak elektron sangat ditentukan oleh permukaan energi tetap. Apabila permukaan energi tetap tersebut berupa permukaan bola (daerah dekat pusat zona), maka arah yang adalah radial. Di dekat batas zona, kontur energi mengalami distorsi (dari permukaan bola) sehingga tidak radial. Dapat terlihat dalam gambar berikut ini:[1]

Gambar 6. Kecepatan elektron dan perubahan bentuk permukaan Fermi saat konsentrasi elektron valensi atau konduksi meningkat

Bentuk permukaan Fermi ditentukan oleh geometri kontur energi dalam pita energi karena sesungguhnya permukaan Fermi itu sendiri adalah sebuah kontur energi dengan E(k)=EF pada T=0 K. Gambar 6 di atas juga menunjukkan perubahan bentuk permukaan Fermi saat konsentrasi elektron valensi n meningkat. Populasi n kecil hanya mengisi daerah dekat dasar pita pada pusat zona sehingga volumenya berbentuk bola yang dibatasi oleh permukaan bola Fermi. Saat n naik, volume Fermi mengembang, dan kontur energi mulai terdistorsi. Distorsi menjadi besar saat permukaan Fermi memotong garis batas zona. [1]Perubahan kecepatan kelompok terhadap waktu t adalah:..15Untuk suatu vektor A tertentu berlaku

..16Oleh karena itu:..17 Gaya luar F pada elektron menyebabkan perubahan momentum:

..18Substitusi persamaan 17 dan 18 sehingga manghasilkan percepatan:..19Dalam koordinat Kartesis, ungkapan percepatan (16) ini berbentuk:..20Hubungan ini analogi dengan hukum II Newton, sehingga massa efektif m* didefinisikan sebagai:..21.aatau dalam koordinat Kartesis

..21.bDari hubungan (21) di atas terlihat bahwa massa efektif adalah tensor rank-dua dan simetrik:

..22Massa efektif elektron m* tidak perlu sama dengan massa sesungguhnya mo. Hal ini disebabkan oleh adanya dua gaya yang bekerja sekaligus pada elektron, yakni gaya medan kristal (dalam penetapan E(k)) dan gaya luar F. Elektron bebas dalam ruang mempunyai energi kinetik dapat dituliskan persamaan sebagai berikut:[1]..23Menurut teori di atas diperoleh persamaan:

..24Simetriruang dimana elektron berada menyebabkan indek xx=yy=zz dan xy=yz=zx=yx=xz=zy,sehingga:[1]..25Sehingga persamaan Newton yang dapat disusun atau ditulis sebagai berikut:..26merupakan hubungan vector . Artinya arah percepatan vector a sesuai dengan arah gaya vector F. Jelas bahwa untuk elektron bebas berlaku m*=mo, karena tidak ada gaya kisi yang bekerja pada elektron. [1]Untuk gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khususnya bila sangat kecil terhadap 1/a, maka persamaan (10) dapat dituliskan: [1]..27Dengan cara yang sama hasilnya terlihat bahwa tensor (1/m*) tidak nol hanya untuk elemen diagonalnya, yakni masing-masing besarnya:..28 Oleh karena itu massa efektifnya isotropik, dan dapat direpresentasikan dengan scalar:..29Terlihat bahwa dalam daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas dengan massa efektif yang berbanding terbalik dengan integral overlap . Makin besar overlap, makin mudah elektron menerobos dari satu atom ke atom yang lain sehingga (massa) inersia elektron lebih kecil, dan sebaliknya. Dalam model ikatan kuat ini overlap kecil sehingga massa efektif besar. Di dekat puncak pita electron memperlihatkan perilaku yang lain. Misalnya, elektron dalam kisi kubik sederhana satu dimensi dalam arah-X. Jika didefinisikan kx=(/a)-kx dan energi kinetik E(kx) persamaan (4.42) dideretkan dekat titikmaksimum, maka didapatkan:..30 Jadi elektron berperilaku seperti partikel bebas yang mempunyai massa efektif negatif:

..31

Gambar 7. a. Struktur pita b. Masa efektif elektron sebagai fungsi kx dalam kisi kubik sederhana [1]

Massa efektip negatip di daerah yang lebih besar dari titik perubahan kc, menandakan adanya percepatan negatip elektron karena menurunnya kecepatan. Di daerah ini kisi mengenakan gaya pemerlambat yang sangat besar pada elektron.

KONSEP PERMUKAAN FERMIEnergi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil. Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel.[3]Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum tertentu dari sistem tersebut. Sistem dua partikel yang terbedakanTerdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi gelombang: [3].32Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah: [3]..33Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip ekslusi Pauli). Sistem dua partikel tak terbedakanJika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masing- masing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya harus merupakan kombinasi dari , untuk mencerminkan peluang yang sama.Untuk fermion, fungsi gelombang anti simetriknya adalah: [3]..34Faktor untuk menormalisasi fungsi gelombang tersebut.Jika suhu T > 0K , maka: [3] elektron akan mampu bertransisi (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi. sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang bersamaan, tidak dapat bertransisi ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan berlakunya prinsip ekslusi Pauli.Dari persamaan-persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa semakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan semakin tinggi tingkat energinya. Distribusi Fermi DiractSyarat dari distribusi Fermi Diract adalah : [3] Partikelnya tak terbedakan

Satu keadaan energi hanya dapat diisi oleh satu partikel atau kosong atau memenuhi prinsip eksklusi Pauli. Berlaku untuk fermion (partikel spin pecahan misalnya: 1/2,1/3,1/4), electron, proton, neutron dan lain-lain. Secara matematis Ditribusi Fermi Diract dapat dituliskan :.35Keterangan :=potensial kimiaf(E)=peluang suatu pertikel untuk berada ditingkat energi E.

Gambar 8. Distribusi Fermi direct. [3]Dari grafik dapat pula dijelaskan bahwa grafik tersebut menunjukan bahwa tingkat energi (E) makin tinggi maka peluang untuk tetap diam semakin kecil sehingga peluang untuk loncat akan makin besar. sehingga tingkat energi yang lebih tinggi dari Efjuga ada yang terisi (memiliki peluang). Permukaaan FermiBila elektron digambarkan dalam ruang kecepatan (akan diperoleh permukaan Fermi yang berbentuk permukaan bola dan disebut bola Fermi, seperti pada gambar di bawah ini: [3]

Gambar 9. Permukaan Fermi. [3]Gambar 9. Permukaan Fermi elemen volume dari ruang tersebut adalah: [3].36Dimana: Ve adalah elemen volume (volume satuan)Jumlah orbital di dalam volume bola yang berjari-jari kf adalah :..37Keterangan:N = Jumlah orbital didalam volume bola.V = Volume bolaVe = Elemen volume (volume satuan)Karena volume bola , maka: [3]..38Jadi dapat di tuliskan sebagai berikut:

Bila Maka kecepatan electron dalam permukaan Fermi: [3]..39

DAFTAR PUSTAKA[1] DRS. P A R N O, M.Si. 2006. Fisika Zat Padat. Jurusan Fisika. Universitas Negeri Malang