kul3 4 fungsi
Post on 03-Jul-2015
1.900 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
FUNGSI dan Limit*KONSEP FUNGSI: konsep dasar matematika, memp. peran penting dalam kalkulusDefinisi fungsi:Aturan korespondensi (padanan) yg menghubungkan setiap obyek x dlm satu himpunan (daerah asal) dg sebuah nilai f(x) dr suatu himpunan kedua, yg disebut daerah hasil fungsi
•
•
•
•
•
•
•
Sebuah fungsi
f
Daerah asal Daerah hasil
Contoh:Luas lingkaran bergantung pada jari-jari r dengan persamaan A = πr2, sehingga dikatakan “A fungsi dari r”.Sebagai contoh,y = 4x + 1 mendefinisikan y sebagai fungsi dari x sebab setiap nilai yang diberikan pada x menentukan tepat satu nilai y.y = f (x) (dibaca “y sama dengan f dari x”) menyatakan bahwa yadalah fungsi dari x. Besaran x pada persamaan di atas disebut peubah bebas dari f dan y peubah tak bebas dari f.
Contoh :
Jika f (x) = 3x – 4 maka• f (0) = 3.0 – 4 = - 4• f (1) = (3.1) – 4 = -1• f (2) = (3.2) – 4 = 2• f (-3) = (3.-3) – 4 = -13• f (√5) = (3.√5) – 4 = 3√5 – 4
PEMBALIKAN PERAN x DAN y• Sebagai contoh,
x = 4y5 – 2y3 + 7y – 5• merupakan bentuk x = g(y) ; yaitu x sebagai fungsi
dari y. y dipandang sebagai peubah bebas dan x sebagai peubah tak bebas.
• . Sebagai contoh, persamaan• 3x + 2y = 6• dapat ditulis• y = - 3 x + 3 atau x = - 2 y + 2 2 3• Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana
persamaan tersebut digunakan.
OPERAS I-OPERAS I PADA FUNGS IOPERAS I-OPERAS I PADA FUNGS I
• OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI
• Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika
f(x) = x dan g(x) = x2, maka
f(x) + g(x) = x + x2
• Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan
• f + g. Jadi• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2
Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumus-rumus untuk jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali
f . g dan hasil bagi f /g
• didefinisikan dengan;• (f + g)(x) = f(x) + g(x)• (f – g)(x) = f(x) – g(x)• (f . g)(x) = f(x) . g(x)• (f /g)(x) = f(x) /g(x)
• Contoh : Dimisalkan• f(x) = 1 + √x – 2 dan g(x) = x – 1 • Dapatkan (f + g)(x), (f – g)(x), (f . g)(x), (f /g)(x)
KOMPOSISI FUNGSI• Secara informal dinyatakan bahwa operasi
komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan beberapa fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya. Sebagai contoh, misalkan
f(x) = x2 dan g(x) = x + 1• Jika g(x) disubstitusikan pada x dalam rumus f,
diperoleh fungsi baru
f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2
• yang dituliskan dengan f o g. Jadi
f o g = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2
Contoh :f(x) = x2 +3 dan g(x) = √x.
Dapatkan; a). (f o g)(x) b).(gof)(x)Penyelesaian (a) : f(g(x)) = (x)2 + 3 = (√x)2 + 3 =x+3
(b);g(f(x))=√(x)=√x2+3
SATU CONTOH DALAM KALKULUSContoh : Misalkan f(x) = x2 dan h adalah sebarang
bilangan riil tak nol. Dapatkan ; f(x + h) – f(x)
• h dan sederhanakan • Penyelesaian :• f(x + h) – f(x) = (x + h)2 – x2 = x2 + 2xh + h2 – x2
• h h h• = 2xh + h2 = h(2x + h)• h h• Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan
pembatasan pada h, diperoleh• f(x + h) – f(x) = 2x + h, h ≠ 0
KLASIFIKASI FUNGSI• Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi
konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka• f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3
• Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam x.
• contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17• Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab
pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.
polinomial dalam x. • Contoh :•
Rumus untuk polinomial dalam x adalah f(x) = a0 + a1 x + a2 x
2 +…+ an xn
atau f(x) = an x
n + an-1 xn-1 + an-2 x
n-2 +…+a0
x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5 3
Polinomial-Polinomial derajat
Pertama, ke-dua, ke-tiga DESKRIPSI RUMUS UMUM
Polinomial linier Polinomial kuadratik Polinomial kubik
a0 + a1 x (a1 ≠ 0) a0 + a1 x + a2 x
2 (a2 ≠ 0) a0 + a1x + a2 x
2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)
GRAFIK FUNGSI
• Definisi grafik fungsi• Grafik suatu fungsi f pada bidang xy didefinisikan
sebagai grafik dari persamaan y = f(x).• Contoh : Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 2
• 2
-2
Menggambar fungsi dengan geseran (translasi)
Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = (x+2)2 y = ( x – 2)2
L I M I T
• Kalkulus berpusat di sekitar dua permasalahan dasar ;
• Masalah garis singgung
y
x
P(x0, y0)
Garis singgung di P
y = f (x)
Masalah luas • Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik f
dan suatu selang [a, b] pada sumbu-x.• luas sebenarnya dibawah kurva tersebut sebagai
suatu nilai limit
y
x
a b
y = f (x)
Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi jika peubah bebasnya bergerak menuju suatu nilai
tertentu. Contoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ; x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x 1,0 0,84147 -1,0 0,84147 0,9 0,87036 -0.9 0,87036 0,8 0,89670 -0,8 0,89670 0,7 0,92031 -0,7 0,92031 0,6 0,94107 -0,6 0,94107 0,5 0,95885 -0,5 0,95885 0,4 0,97355 -0,4 0,97355 0,3 0,98507 -0,3 0,98507 0,2 0,99335 -0,2 0,99335 0,1 0,99833 -0,1 0,99833 0 0,99998 0 0,99998
B e b e r a p a l im it d a s a r
Limit Contoh
lim k = k x a
lim 3 = 3 lim 3 = 3 x 2 x -2
lim k = k x +∞
lim 3 = 3 lim 0 = 0 x +∞ x +∞
lim k = k x -∞
lim 3 = 3 lim 0 = 0 x -∞ x -∞
lim x = a x a
lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2 x 5 x 0 x -2
lim x = +∞ x +∞
lim x = -∞ x -∞
Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika x a x a- x a+ x +∞ x -∞
L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka (a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2 (b) lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 – L2 (c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2
(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 ≠ 0 g(x) lim g(x) L2 (e) lim n√ f(x) = n√lim f(x) = n√L1 , untuk L1 ≥ 0
jika n genap.
Untuk sebarang fungsi yang banyaknya berhingga
lim [ f1(x) + f2(x) +…+ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) + …+ lim fn(x) lim [f1(x) f2(x)… fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x)… lim fn(x) lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n lim xn = [ lim x]n = an x a x a Contoh : lim x4 = 34 = 81 x 3
LIMIT DARI POLINOMIAL UNTUK x a
Contoh : Dapatkan lim x2 – 4x + 3 dan jelaskan x 5 setiap langkahnya. Penyelesaian : lim (x2 – 4x + 3) = lim x2 – lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 x 5
= lim x2 – 4 lim x + lim 3 x 5 x 5 x 5
= 52 – 4(5) + 3 = 8
Limit dari fungsi rasional untuk x→ a
Contoh : dapatkan ; lim 5x3 + 4 x→ 2 x - 3 Penyelesaian ; lim 5x3 + 4 = lim 5x3 + 4 = 5.23 + 4 = - 44 x→ 2 x - 3 x→ 2 2 – 3 lim x - 3 x→ 2
Limit pembilang dan penyebut mendekati nol
• Dapatkan ; lim x2 – 4
x→ 2 x – 2
• Lim x2 – 4 = lim (x – 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4 x→ 2 x – 2 x→ 2 x - 2 x→ 2
L im it y a n g m e m u a t 1/x
NILAI KESIMPULAN x
1/x
1 10 100 1000 10.000 …. 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….
Untuk x→ ∞ nilai dari 1/x turun menuju nol
x 1/x
-1 -10 -100 -1000 -10.000 …. -1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 …..
Untuk x→ - ∞ nilai dari 1/x bertambah/naik menuju nol
x 1/x
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 …. 1 10 100 1000 10.000 ….
Untuk x→ o+ nilai dari 1/x naik menuju tanpa batas
x 1/x
-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 … -1 -10 -100 -1000 -10.000 …
Untuk x→o- nilai dari 1/x turun menuju tanpa batas
y=1/x y=1/x
x x
Lim 1/x = +∞, lim 1/x =-∞ x→ o+
x→o-
lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→+ ∞ x→ - ∞
Lim 1/x = +∞, lim 1/x = -∞, lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→ o+
x→o- x→+ ∞ x→ - ∞
Limit dari Polinomial untuk x→ +∞ atau x → -∞
y y 8 8 y=x y=x2 x x -4 4 -4 +4 Lim x = + ∞, lim x2 = + ∞, x→ + ∞ x→ + ∞ Lim x = - ∞, lim x2 = + ∞, x→ - ∞ x→ - ∞ y y 8 8 y=x3 y=x4 x x -4 +4 -4 +4
Lim xn = +∞, untuk n = 1,2,3,4.......... x→ + ∞
lim xn = +∞, untuk n = 2,4,6........ x→ - ∞ = - ∞, untuk n = 1,3,5....... untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda
berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip menghasilkan tanda sama.
Contoh ; lim 2x5 = +∞ lim 2x5 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞
lim -7x6 = -∞ lim -7x6 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞
lim nx
1 = (limx
1 )n = 0,
x→ + ∞ x→ +∞
Limit Fungsi Rasionaluntuk x→ +∞ atau x → -∞
• -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut ;
• Contoh :• Dapatkan ; lim • x +∞→ • Penyelesaian : bagi dengan x untuk pembilang dan
penyebut• Lim = lim 3 + lim 5/x = lim 3 + 5 lim 1/x • x +∞ → x +∞ x +∞→ → x +∞→ x +∞→ = 1/2• lim 6 + lim 8/x lim 6 + 8 lim 1/x
86
53
−+
x
x
86
53
−+
x
x
Metode cepatLimit Fungsi Rasional
untuk x→ +∞ atau x → -∞ • Limit fungsi rasional untuk
x→ +∞ atau x → -∞ , tidak terpengaruh jika semua suku dlm pembilang dan penyebut dihilangkan kecuali suku pangkat tertinggi
• Lim = lim • x→ +∞ x→ +∞
m
m
nnx
xdxdd
xccc
++++++
...
...
10
10
mm
nn
xd
xc
m
m
nn
xd
xc
Untuk contoh berikut gunakan rumus tersebut ;
• Selesaikan limit berikut ini :
• 1. lim• x→ +∞
• 2. lim • x→ +∞
• 3. lim • x→ +∞
52
43
2
−−
x
xx
1
23 4
+−x
x
LIMIT YANG MEMUAT AKAR
• CONTOH , DAPATKAN ;limit• x→ +∞
• Penyelesaian ;
• Limit = = • x→ +∞
86
53lim3
−+
∞→ x
x
x
it
86
533
−+
x
x
86
533
−+
x
x
2
13
Bentuk limit akar lainnya ;• Selesaikan ;
• A. limit B.limit• x→ +∞ x→ -∞
• Penyelesain ;• dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi
pembilang dan penyebut dengan|x| • Dimana |x| = √x2
63
22
−+
x
x
63
22
−+
x
x
Soal-soal 21. Diberikan f(x) = { ,
1
x x>3
2x, x ≤3 dapatkan ; (a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)
2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;
a). f)(
11
xfx+ b.). f(x2) + f2(x)
3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ; a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x
b. f(x) = 21 x
x
+, g(x) =
x
1
4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;
a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x ± 4 0 , x = 4
Soal-soal 5. a. lim 133 −− xx b. lim
1
22
+−
x
xx
x 5 x 3
6. a.lim 6
442
2
−++−
xx
xx b. lim
4
162
−−
x
x
x 2 x 4
7. a. lim 3
67 5
+−x
x b. lim
xx
x
−+
2
2
3
75
x ∞ x ∞
8. a. Lim 3
25 2
+−
x
x b. lim
267
2
y
y
+
−
x -∞ x +∞
9. lim 12
437
57
+−
s
ss b. lim
37
63
3
+−
t
t
s +∞ s +∞
Kontinuitas• Definisi ;• Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c,
jika syarat-syarat berikut dipenuhi ;• 1. f(c) terdefinisi• 2. lim f (x) ada• x c
• 3. lim f(x) = f(c)• x c
• Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut : diskontinu
Contoh diskontinuitas
y = f(x)
y = f(x)y = f(x)
c c
c
y = f(x)
c
Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c
Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb
(a)
Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada
x c
(b)
Sama seperti gambar (b) Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)
ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)
Contoh Kontinu dan diskontinu
• 1.
• 2. g(x) =
2
4)(
2
−−=
x
xxf
2
42
−−
x
x
3
, x ≠ 2
, x = 2
top related