ks091206 kalkulus dan aljabar linear...

KS091206KS091206KS091206KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

DeterminantDeterminantDeterminantDeterminant

TIM KALIN

• Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

– Dapat menghitung determinan

– Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan

menggunakan determinan

Tujuan Pembelajaran

Page 2Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Definition of Evaluating Evaluating

Determinant Properties of Determinant

A A Combinatorial

Outline

Page 3Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Definition of Determinant

Determinant by Row

Reduction

Properties of Determinant

Function

Combinatorial Approach To

Determinants

PROPERTIES OF DETERMINANT

FUNCTION

Basic Properties of Determinants

Teorima 1

Page 5Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Find |A|, |B| and |AB| for the matrices

Example 1

Page 6Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Solution

Example 1 (Cont.)

Page 7Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

|A||B| = (-7)(11) = -77Sesuai dengan Teorema 1

Teorema 2

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 8Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Find the determinant of the matrix.

Example 2

Page 9Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Example 2 (Cont.)

Page 10Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Sesuai dengan Teorema 2

Teorema 3 : Determinant of the sum of two matrices

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 11Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Find determinant of A, B and A+B and prove Theorem 3

Example 3

Page 12Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Example 3 (Cont.)

Page 13Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Teorema 3 terbukti

Teorema 4

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 14Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Evaluate the determinant

Example 5

Page 15Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Teorema 5 : Determinant Test for Invertibility

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 16Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

From the following matrices, determine whether a matrix is

invertible or not

a) b) c)

Example 6

Page 17Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Solution

a)

Example 6 (Con’t)

Singular

Page 18Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

b)

c) Since the first and the third rows are proportional, then the determinant’s value is zero (means that the matrix is singular)

Non singular or invertible

Teorema 6

If A is invertible, then

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 19Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Example 7

Page 20Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Solution

Example 7 (Con’t)

Page 21Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

|A-1| = (-1/2)(3/8-1/8) + (-1)

(-3/16+3/16)+1/2

(-3/8+9/8)

= 1/4

Sesuai dengan Teorema 6

Teorema 7 : Determinant of a Transpose

Basic Properties of Determinants (Con’t)

Page 22Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Example 8

Page 23Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Solution

Example 8 (Con’t)

Page 24Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Sesuai dengan Teorema 7

A COMBINATORIAL APPROACH TO

DETERMINANTS

A COMBINATORIAL APPROACH TO DETERMINANTS

Page 26Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Note : Hanya untuk matriks 2x2 dan 3x3

Evaluate the determinants of

Example 9

Page 27Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Solution

Example 9 (Con’t)

Page 28Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

Ruang Solusi dari Sistem Persamaan Linier Ax = b dapat dicari

dengan cara:

• Eliminasi-substitusi

• Eliminasi Gauss & substitusi balik

• Eliminasi Gauss-Jordan

• Menentukan invers A–1, lalu x = A–1b

Summary (1)

Page 29Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

• Menentukan invers A–1, lalu x = A–1b

• Aturan Cramer

Menghitung determinant dari sebuah matriks :

• Ekspansi Kofaktor Baris

• Ekspansi Kofaktor Kolom

• Reduksi Baris

• Reduksi Kolom

• Kombinatorial

Summary (2)

Page 30Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS

• Kombinatorial