ks091206 kalkulus dan aljabar linear eigen value...

KS091206KS091206KS091206KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Eigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen Value

Eigen VectorEigen VectorEigen VectorEigen Vector

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat menghitung eigen value dan eigen

vector suatu matriks

Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 2

vector suatu matriks

– Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen

value dan eigen vektor suatu matriks

eigenvalues eigenvectors

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR3

eigenvectors

Definisi:

Matriks A (n×n); x ∈ Rn dan Ax = λx

maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR4

eigenvalue(s) dari matriks A ?

1. Bentuk persamaan karakteristik determinan (λI – A ) = 0(akan terbentuk persamaan derajat n)

2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A

Jika diketahui matriksA (n×n), maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x

Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR5

Vekto x = 1 adalah vektor eigen dari A = 3 0

2 8 -1

Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena:

Ax = 3 0 1 = 3 = 3x

8 -1 2 6

Jika diketahui matriks A (n ××××n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?

1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n)

2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A

Contoh: A = 3 0 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–0 = λλλλ–3 0

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR6

8 –1 0–8 λλλλ+1 –8 λλλλ+1

Det ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 3 ) ( λλλλ + 1 ) + 0 = 0

maka λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1

Contoh: A = 3 2 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–2 = λλλλ–3 -2

-1 0 0-(-1) λλλλ-0 1 λλλλ

det (λλλλI – A) = det λλλλ–3 -2 = 0

1 λλλλ

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR7

= λλλλ2 – 3 λλλλ + 2 = 0

λλλλ = 1 dan λλλλ = 2

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR8

Definisi:

Matriks A (n× n); x ∈ Rn dan Ax = λλλλx

makaλλλλ disebuteigenvalue A, danx disebuteigenvector dari A yang “berpasangan” denganλλλλ

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencarieigenvector(s) darimatriksA ?

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR9

eigenvector(s) darimatriksA ?

Setelaheigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, makaeigenvector(s) xk yang “berpasangan” denganλλλλkditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?

Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0

Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1

8 –1

eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 → (3I – A ) x1 = 0

Untuk λλλλ = 3

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR10

Untuk λλλλ1 = 3

3–3 0–0 x11 = 0

0–8 3+1 x12 0

0 0 x11 = 0 → x12 = 2x11

–8 4 x12 0 → x11 = skalar s

eigenspace = himpunan eigenvector x1 = { ( s , 2s ) }

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?

Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0

Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1

8 –1

eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → (–1 I – A ) x2 = 0

Untuk λλλλ1 = -1

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR11

Untuk λλλλ1 = -1

–1 – 3 0 – 0 x21 = 0

0 – 8 –1+ 1 x22 0

– 4 0 x21 = 0 → x21 = 0

–8 0 x22 0 → x22 = skalar s

eigenspace = himpunan eigenvector x2 = { ( 0 , s ) }

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR12

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR13

Contoh:

Carilah Eigen Value (λλλλ) dari:

1.

2.

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR14

2.

3.

Diagonalisasi:

Matriks A (n ×××× n)

akan dicari matriks P yang invertibel

sedemikian sehingga P–1AP = matriks diagonal

Matriks A disebut diagonalizable

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR15

Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A

Teorema:Matriks A (n × n)

Matriks A disebut diagonalizable ↔ A memiliki n eigenvectorsyang linearly independent

Algoritma untuk menentukan matriks P

Matriks A (n ×××× n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:

1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0

2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR16

1 2 3 n

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut

4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas

5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom

Contoh:

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR17

Diagonalisasi

Akan dibuktikan bahwa

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR18

Eigen Vector

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR19

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR20

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR21

Karena A adalah matrix 3x3 dan hanya ada 2 vektor basis, maka A tidak diagonalizable

Diagonalisasi Ortogonal:

Matriks A (n ×××× n)

akan dicari matriks P yang ortogonal (P–1 = PT)

sedemikian sehingga P–1AP = PTAP = matriks diagonal

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR22

sedemikian sehingga P AP = P AP = matriks diagonal

Matriks A disebut orthogonally diagonalizable

Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A

Algoritma untuk menentukan matriks P

Matriks A (n ×××× n) orthogonally diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:

1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0

2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR23

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut

4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas

5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya

6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom

Teorema:Jika matriks A (n ××××n), maka yang berikut ini ekivalen

a) Matriks A simetrik

b) Matriks A orthogonallly diagonalizable

c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR24

c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal

Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb

Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb

Contoh:

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

determinan ( λλλλI – A ) = 0 →→→→ ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0

eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 →→→→ ( 2I – A ) x1 = 0

–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR25

–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0

–2 –2 –2 0 0 0 0 0

–2 –2 –2 0 0 0 0 0

eigenspace (λλλλ1)

– x12 – x13 = x12 –1 + x13 –1

x12 1 0

x13 0 1

Contoh:

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

determinan ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0

eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → ( 8I – A ) x2 = 0

4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR26

4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0

–2 4 –2 0 0 1 –1 0

–2 –2 4 0 0 0 0 0

eigenspace (λλλλ2)

x23 = x23 1

x23 1

x23 1

Basis eigenspace (λλλλ1)

–1 , -1 dengan Gram-Schmidt –1/√√√√2 , –1/√√√√6

1 0 & normalisasi 1/√√√√2 –1/√√√√6

0 1 0 2/√√√√6

Basis eigenspace (λλλλ2)

1 dengan Gram-Schmidt 1/√√√√3

→

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR27

1 & normalisasi 1/√√√√3

1 1/√√√√3

Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3

→

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR28

orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3

CONTOH:

Sistem persamaan perpindahan penduduk,

untuk n ≥ 0

Dalam hal ini :

1

1

0,85 0,10

0,15 0,90n n n

n n n

C C S

S C S+

+

= += +

nn

n

Cx

S

=

Page 29Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 29

Matriks transisinya :0,85 0,10

0,15 0,90A

=

Persamaan karakteristik dari A :

Persamaan karakteristik dari A :

( )( )2

17 9 3 10;

20 10 20 10

17 20 9 10 3 0

200 350 150 0

λ λ

λ λ

λ λ

− − − =

− − − =

− + =

Page 30Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 30

( )( )

2

2

1 2

200 350 150 0

4 7 3 0

1 4 3 0 1, 0, 75

λ λλ λλ λ λ λ

− + =− + =

− − = → = =

*) Untuk λ1, pers. (A-λI)= 0

*) Untuk λ2 = 0,75, pers. (A-λI)=0

( )1

0,15 0,10 02,3 ,

0,15 0,10 0

xx S

y

− = → = −

Page 31Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 31

( )20,10 0,10 0

1,1 ,0,15 0,15 0

xx S

y

= → = −

1 1

1 02 1 1 11

, , ,33 1 3 250

4

A PDP P D P− − − = = = = −

30

4

k ≈

untuk k >>

Page 32Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 32

1 02 1 1 11

33 1 3 2504

k kA

− = −

2 1 1 0 1 1 2 21 1

3 1 0 0 3 2 3 35 5

− = = −

( )00 0 0

0

2 2 0,413 3 0,65

kk

Cx A x C S

S

= ≈ = +

Dengan k yang cukup besar,

• Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector

(0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara

kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi,

yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di

pinggiran

Page 33Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 33

LATIHAN:

1. a. A = 19 -9 -6

25 -11 -9

17 -9 -4

b. A = -1 4 -2

-3 4 0

-3 1 3

Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi.

Jika ya, maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Page 34Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 34

-3 1 3

2. a. A = 5 0 0

1 5 0

0 1 5

b. A = 0 0 0

0 0 0

3 0 1