kalkulus (sistem bilangan kompleks) -...
Post on 16-Mar-2019
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS
(Sistem Bilangan Kompleks)
Bilangan Kompleks
Definisi
Suatu bilangan komplek adalah suatu bilangan berbentuk a
+bi, dimana a dan b bilangan riil, sedangkan I didefinisikan
sebagai √(-1) (adalah satuan khayal). a disebut bagianriil dan b
disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut
Bilangan Kompleks
bilangan kompleks z = x +yi yang dinyatakan oleh titik
A(x,y), dapat pula dinyatakan oleh vektor OA , x disebut
komponen riil dan y disebut komponen khayal dari z.
Dapat ditulis x = Re(z), y = Im(z). Yang dimaksud
dengan modulus (besar harga mutlak) dari z adalah |z|
= r =√(x2 + y2), sedangkan argumen dari z ditulis arg z
= φ adalah besar sudut antara OA dengan sumbu x
positif
Bilangan Kompleks
z = x + yi
|z| = r
x
y
0
φ
Disini berlaku tg(φ) = y/x
Untuk:
φ = 0, menyatakan bilangan riil positif
φ = π, menyatakan bilangan riil negatif
φ = -π/2, menyatakan bilangan khayal
negatif
φ = π/2, menyatakan bilangan khayal positif
Dari gambar terlihat cos φ = x/r, jadi
z = x + yi = r (cos φ + i sin φ)
Hubungan ini disebut rumus transformasi bilangan kompleks
Contoh
z = 1 + i
disini x = 1; y = 1
maka r = √(12 +12) = √2
dan tg φ = y/x = 1/1 = 1
φ = π/4 = 45o
sehingga transformasinya adalah;
z = 1 + i = √2 (cos π/4 + i sin π/4)
z = 1 + i
|z| = r
x
y
0
φ
1
1
Sekawan (conjugate)
Yang disebut sebagai bilangan
sekawan pada bilangan
komplek adalah bilangan yang
sama tetapi pada suku
imajiner akan berubah tanda.
Contoh z = 2 + 5i maka
conjugatnya z* = 2 – 5i atau
jika z = 4 – 2i maka z* = 4 +
2i
z = a + bi
z = a - bi
|z|
|z|
a
- b
b
Penjumlahan dan SelisihMisal diketahui
z1 = a + bi ; z2 = c + di
maka
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
dan
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
contoh
z1 = 3 – 2i; z2 = 4 + i; z3 = -3 + 3i
z1 + z2 – z3 = (3 – 2i) + (4 + i) – (-3 + 3i)
=3 + 4 + 3 – 2i + i – 3i
= 10 – 4i
4z2 + 2z1 + 1 – z3
= 4*(4 + i) + 2*(3 – 2i) + 1 – (-3 +3i)
= 16 + 4i + 6 – 4i +1 +3 – 3i
= 26 – 3i
Perkalian Misal diketahui: z1 = a + bi ; z2 = c + di
Maka, z1*z2 = (a + bi)*(c + di)
= ac + adi + cbi + bdi2
= ac + (ad + cb)i – bd
= (ac – bd) + (ad + cb)i
Contoh:
z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 2i
z1. z2 = (2 + 5i)(3 – 2i) = 6 – 4i + 15i – 10i2
= 6 + 11i – 10(-1)
= 16 + 11i
Pembagian
idc
adbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
idcdicdic
bdibciadiac
dic
dic
dic
bia
z
zmaka
diczbiaz
contoh
2222
22
222
2
2
1
21
)(
;
Contoh pembagian
iii
iii
iii
i
i
i
i
z
z
iziz
contoh
2
5
2
1
2
51
11
352
1
3322
1
1
1
32
1;32
2
2
2
1
21
Soal
3
21
3
3
3
32
1
21
21
1221
5
33
2
12
1
2
1
321
Im.7
.6
1.5
.4
.3
32.2
52.1
:
23;42;1
z
zz
z
z
z
z
izz
zz
zzzz
zz
zz
zz
berikutsoalselesaikan
iziziz
diketahui
Terima Kasih
top related