Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

KALKULUS

(Sistem Bilangan Kompleks)

Bilangan Kompleks

Definisi

Suatu bilangan komplek adalah suatu bilangan berbentuk a

+bi, dimana a dan b bilangan riil, sedangkan I didefinisikan

sebagai √(-1) (adalah satuan khayal). a disebut bagianriil dan b

disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut

Bilangan Kompleks

bilangan kompleks z = x +yi yang dinyatakan oleh titik

A(x,y), dapat pula dinyatakan oleh vektor OA , x disebut

komponen riil dan y disebut komponen khayal dari z.

Dapat ditulis x = Re(z), y = Im(z). Yang dimaksud

dengan modulus (besar harga mutlak) dari z adalah |z|

= r =√(x2 + y2), sedangkan argumen dari z ditulis arg z

= φ adalah besar sudut antara OA dengan sumbu x

positif

Bilangan Kompleks

z = x + yi

|z| = r

x

y

0

φ

Disini berlaku tg(φ) = y/x

Untuk:

φ = 0, menyatakan bilangan riil positif

φ = π, menyatakan bilangan riil negatif

φ = -π/2, menyatakan bilangan khayal

negatif

φ = π/2, menyatakan bilangan khayal positif

Dari gambar terlihat cos φ = x/r, jadi

z = x + yi = r (cos φ + i sin φ)

Hubungan ini disebut rumus transformasi bilangan kompleks

Contoh

z = 1 + i

disini x = 1; y = 1

maka r = √(12 +12) = √2

dan tg φ = y/x = 1/1 = 1

φ = π/4 = 45o

sehingga transformasinya adalah;

z = 1 + i = √2 (cos π/4 + i sin π/4)

z = 1 + i

|z| = r

x

y

0

φ

1

1

Sekawan (conjugate)

Yang disebut sebagai bilangan

sekawan pada bilangan

komplek adalah bilangan yang

sama tetapi pada suku

imajiner akan berubah tanda.

Contoh z = 2 + 5i maka

conjugatnya z* = 2 – 5i atau

jika z = 4 – 2i maka z* = 4 +

2i

z = a + bi

z = a - bi

|z|

|z|

a

- b

b

Penjumlahan dan SelisihMisal diketahui

z1 = a + bi ; z2 = c + di

maka

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

dan

z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i

contoh

z1 = 3 – 2i; z2 = 4 + i; z3 = -3 + 3i

z1 + z2 – z3 = (3 – 2i) + (4 + i) – (-3 + 3i)

=3 + 4 + 3 – 2i + i – 3i

= 10 – 4i

4z2 + 2z1 + 1 – z3

= 4*(4 + i) + 2*(3 – 2i) + 1 – (-3 +3i)

= 16 + 4i + 6 – 4i +1 +3 – 3i

= 26 – 3i

Perkalian Misal diketahui: z1 = a + bi ; z2 = c + di

Maka, z1*z2 = (a + bi)*(c + di)

= ac + adi + cbi + bdi2

= ac + (ad + cb)i – bd

= (ac – bd) + (ad + cb)i

Contoh:

z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 2i

z1. z2 = (2 + 5i)(3 – 2i) = 6 – 4i + 15i – 10i2

= 6 + 11i – 10(-1)

= 16 + 11i

Pembagian

idc

adbc

dc

bdac

dc

iadbcbdac

idcdicdic

bdibciadiac

dic

dic

dic

bia

z

zmaka

diczbiaz

contoh

2222

22

222

2

2

1

21

)(

;

Contoh pembagian

iii

iii

iii

i

i

i

i

z

z

iziz

contoh

2

5

2

1

2

51

11

352

1

3322

1

1

1

32

1;32

2

2

2

1

21

Soal

3

21

3

3

3

32

1

21

21

1221

5

33

2

12

1

2

1

321

Im.7

.6

1.5

.4

.3

32.2

52.1

:

23;42;1

z

zz

z

z

z

z

izz

zz

zzzz

zz

zz

zz

berikutsoalselesaikan

iziziz

diketahui

Terima Kasih