kalkulus 2

KALKULUS 2

BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si

PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI : Persamaaan yang mengandung

turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui yang dinamakan y(x) dan yang ditentukan dari persmaan tersebut

CONTOH-CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL :

0.3

sin44.2

.1

2

2

2

2

2

2

yz

xz

xydxdy

dxyd

eyxdxdy x

PEMBAGIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL : 1.PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) Persamaan Diferensial yang hanya

mengandung 1 variabel bebas 2. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

(PDP) Jika variabel bebas lebih dari satu atau

dengan kata lain melibatkan turunan parsial

ORDE PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu PD dikatakan mempunyai

orde n jika turunan ke-n dari y terhadap x merupakan turunan tertinggi.

KONSEP PENYELESAIAN Suatu fungsi y = g(x) dikatakan

merupakan penyelesaian dari suatu PD apabila g(x) didefinisikan dan dapat dideferensialkan sehingga persamaan tsb menjadi suatu identitas (kesamaan) pada PD tsb

MENENTUKAN PD Jika diketahui penyelesaian maka

langkah-langkahnya : 1. Tentukan banyaknya konstanta

sebarang 2. Turunkan sebanyak konstanta

sebarangnya 3. Jika konstanta sebarang sudah lenyap

maka itu merupakan PD 4. Jika konstanta sebarangnya masih ada

maka lenyapkan konstanta sebarangnya sesuai dgn aturan yg ada (eliminir)

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Suatu PD orde pertama yg berbentuk M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Dikatakan eksak, jika ruas kiri

persamaan tsb merupakan diferensial total atau diferensial eksak :

dyyudx

xudu

Syarat PD eksak :

Penyelesaian PD eksak :

xN

yM

CdyMdxy

NdxyxMyxu

),(),(

FAKTOR-FAKTOR INTEGRASI Jika PD M(x, y)dx + N(x,y)dy = 0 dimana

Maka PD tsb bukan PD eksak PD tsb dapat menjadi PD eksak dengan

menggandakan PD tsb dengan suatu faktor atau fungsi tertentu.

Faktor atau fungsi tsb dinamakan FAKTOR INTEGRASI

xN

yM

Jika faktor integrasi F(x,y) yang hanya tergantung pada suatu peubah saja

dyMyM

xN

dxNxN

yM

eF

eF

.2

.1

Untuk no.1 merupakan faktor integrasi hanya untuk fungsi x saja

Untuk no.2 merupakan faktor integrasi hanya untuk fungsi y saja

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Suatu PD orde satu (pertama)

dikatakan linier apabila persamaan tsb dapat dituliskan dalam bentuk :

Atau y’ – Py = 0 dimana P dan Q merupakan fungsi x saja

)()( xQyxPdxdy

PENYELESAIAN PD LINIER ORDE SATU Ada 3 metode : 1. Metode Lagrange 2. Metode Bernoulli 3. Metode Faktor Integrasi

1. PENYELESAIAN DGN METODE LAGRANGE

CdxexQey dxxPdxxP )()(

)(

2. PENYELESAIAN DGN METODE BERNOULLI

CdxexQeuvy dxxPdxxP

)()()(

3. PENYELESAIAN DENGAN FAKTOR INTEGRAL FAKTOR

INTEGRAL :

Penyelesaiannya :

dxxP

eF)(

CdxexQey dxxPdxxP )()(

)(