kalkulus 2 · kalkulus 2 teknik pengintegralan ke - 2 tim pengajar kalkulus itk institut teknologi...

Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 2

Tim Pengajar Kalkulus ITK

Institut Teknologi Kalimantan

Januari 2018

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24

Daftar Isi

1 Teknik Pengintegralan Ke-2Substitusi yang MerasionalkanIntegrasi dengan substitusi trigonometriLatihan Soal

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 2 / 24

Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.

sehingga faktor latihan sangat penting

untuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akanInsyaAllah menuai kesuksesan.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 3 / 24

Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan danbiasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yangtepat akan mersionalkan integran tersebut.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 4 / 24

Substitusi yang Merasionalkan

Jika n√

ax + b muncul dalam suatu integral, substitusi u = n√

ax + bakan menghilangkan akar.

Contoh

Carilah∫ dx

x−√

x.

Misalkan u =√

x, sehingga u2 = x dan 2u du = dx. Maka∫ dxx−√

x=∫ 2u du

u2 − u= 2

∫ duu− 1

= 2 ln |u− 1|+ C

= 2 ln∣∣√x− 1

∣∣+ C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 5 / 24

Substitusi yang Merasionalkan

Contoh

Carilah∫

x√

x + 2 dx.

Misalkan u =√

x + 2, sehingga u2 = x + 2 dan 2u du = dx. Maka∫x√

x + 2 dx =∫ (

u2 − 2)

u · (2u du) = 2∫ (

u4 − 2u2)

du

= 2[

u5

5− 2

3u3]+ C

=25(x + 2)5/2 − 4

3(x + 2)3/2 + C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 6 / 24

Substitusi yang Merasionalkan

Contoh

Carilah∫

x 3√

x− 4 dx.

Misalkan u = 3√

x− 4, sehingga u3 = x− 4 dan 3u2 du = dx. Maka∫x 3√

x− 4 dx =∫ (

u3 + 4)

u ·(3u2 du

)= 3

∫ (u6 + 4u3) du

= 3[

u7

7+ u4

]+ C

=37(x− 4)7/3 + 3 (x− 4)4/3 + C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 7 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Integrasi yang melibatkan merasionalkan√

a2 − x2,√

a2 + x2, dan√x2 − a2 untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a

positif dan membuat substitusi trigonometri berikut.

Akar Substitusi Pembatasan pada t√a2 − x2 x = a sin t −π/2 ≤ t ≤ π/2√a2 + x2 x = a tan t −π/2 < t < π/2√x2 − a2 x = a sec t 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 8 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

1√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t =√

a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.

2√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tan2 t =√

a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3√

x2 − a2 =√

a2 sec2 t− a2 =√

a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

1√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t =√

a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tan2 t =√

a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.

3√

x2 − a2 =√

a2 sec2 t− a2 =√

a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

1√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t =√

a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tan2 t =√

a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3√

x2 − a2 =√

a2 sec2 t− a2 =√

a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh

Carilah∫ √

4− x2 dx

Kita gunakan substitusi

x = 2 sin t dengan − π/2 ≤ t ≤ π/2

maka dx = 2 cos t dt dan√

4− x2 =√

4− 4 sin2 t = 2 cos t. Jadi,∫ √4− x2dx =

∫2 cos t · 2 cos t dt = 4

∫cos2 t dt

= 2∫

(1 + cos 2t) dt

= 2(

t +12

sin 2t)+ C

= 2t + 2 sin t cos t + C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 10 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang x = 2 sin t ekuivalen dengan x/2 = sin t, maka diperoleh

t = sin−1(x

2

)dengan menggunakan segitiga siku - siku

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 11 / 24

dengan a = 2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka

2 sin t cos t = 2(x

2

)(√4− x2

2

)=

x2

√4− x2

jadi ∫ √4− x2dx = 2 sin−1

(x2

)+

x2

√4− x2 + C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 12 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh

Carilah∫ dx√

9 + x2

Misalkan x = 3 tan t, −π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka dx = 3 sec2 t dt dan√9 + x2 =

√9 + 9 tan2 t = 3 sec t.∫ dx√

9 + x2=∫ 3 sec2 t dt

3 sec t=∫

sec t dt

= ln |sec t + tan t|+ C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 13 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

karena tan t = x3

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 14 / 24

maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t =√

9+x2

3 . Jadi,

∫ dx√9 + x2

= ln

∣∣∣∣∣√

9 + x2 + x3

∣∣∣∣∣+ C

= ln∣∣∣√9 + x2 + x

∣∣∣− ln 3 + C

= ln∣∣∣√9 + x2 + x

∣∣∣+ K

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 15 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh

Carilah∫ √x2 − 4

xdx.

Misalkan x = 2 sec t, di mana 0 ≤ t < π/2.Selanjutnya dx = 2 sec t tan tdt. Perhatikan√

x2 − 4 =√

4 sec2 t− 4 =√

4 tan2 t = 2 |tan t| = 2 tan t

sehingga

∫ √x2 − 4x

dx =∫ 2 tan t

2 sec t2 sec t tan t dt =

∫2 tan2 t dt

= 2∫ (

sec2 t− 1)

dt = 2 [tan t− t] + C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 16 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa

tan t =√

x2 − 42

dan t = tan−1

(√x2 − 4

2

). Maka

∫ √x2 − 4x

dx = 2 [tan t− t] + C

=√

x2 − 4− 2 tan−1

(√x2 − 4

2

)+ C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 17 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x2 + Bx + Cmuncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapikuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri.

Contoh

Carilah∫ dx√

x2 + 2x + 26.

Penyelesaian : x2 + 2x + 26 = x2 + 2x + 1 + 25 = (x + 1)2 + 25.Misalkan u = x + 1 dan du = dx. Maka∫ dx√

x2 + 2x + 26=∫ du√

u2 + 25

Selanjutnya misalkan u = 5 tan t,−π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka du = 5 sec2 tdt dan √

u2 + 25 =√

25(tan2 t + 1) = 5 sec t

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 18 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

sehingga, ∫ du√u2 + 25

=∫ 5 sec2 t dt

5 sec t=∫

sec t dt

= ln |sec t + tan t|+ C

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 19 / 24

Perhatikan gambar segitiga ini,

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 20 / 24

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Jadi diperoleh,∫ du√u2 + 25

= ln |sec t + tan t|+ C

= ln

∣∣∣∣∣√

u2 + 255

+u5

∣∣∣∣∣+ C

= ln∣∣∣√u2 + 25 + u

∣∣∣− ln 5 + C

= ln∣∣∣√x2 + 2x + 26 + x + 1

∣∣∣+ K

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 21 / 24

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, ”Kalkulus Ninth Edition, 2”, 2007,Pearson Education, Inc.

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 24 / 24