isnaini nurisusilawati - nuri.dosen.ittelkom-pwt.ac.id

Isnaini Nurisusilawati

1. Eksperimen probabilitas (probability experiment)

Segala kegiatan dimana suatu hasil/keluaran, tanggapan, ataupun ukurandiperoleh.

2. Ruang sampel (sample space)

Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan, ataupun ukurandari sebuah eksperimen.

3. Peristiwa (event)

Segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan, ataupun ukuran dalam suatu ruangsampel.

Eksperimen probabilitas adalah setiap proses untuk menghasilkan data mentah.

Misal,

Percobaan melempar mata uang

Percobaan melempar dadu

Peluncuran sebuah rudal dan pengamatan kecepatannya pada saat tertentu

Pendapat rakyat mengenai rencana undang-undang

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebutruang sampel dan dinyatakan dengan lambang T.

Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau titiksampel.

Ketentuan penulisan ruang sampel:

- Lambang: T

- Anggota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya di antara 2 akolade {}

- Masing-masing unsur dipisah koma

Misal,

Ruang sampel T yang merupakan kumpulan semua hasil dari lemparan mata uang:

T= {M, B}

Misal:

Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu,

Bila yang diselidiki adalah nomor yang muncul di sebelah atas, maka ruangsampelnya:

T1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Bila yang diselidiki apakah yang muncul nomor genap atau ganjil, maka ruangsampelnya:

T2 = {ganjil, genap}

Hasil sebuah percobaan dapat menghasilkan lebih dari satu ruang sampel.

Misal,

Suatu percobaan terdiri dari lemparan suatumata uang logam dan jika muncul “muka”maka uang dilempar sekali lagi. Jika muncul“Belakang” maka sebuah dadu digulirkan.Tulis semua ruang sampel dari percobaantersebut!

T = {MM, MB, B1, B2, B3, B4, B5. B6}

Diagram pohon

M

M

B

B

1

2

3

4

5

6

Event adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Dalam sebuah percobaan, yang ingin kita ketahui mungkin adalah munculnyakejadian tertentu bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel.

Misal,

Kita ingin tahu tentang kejadian A yaitu bahwa hasil lemparan dadu yang dapatdibagi tiga.

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {3, 6}

Atau ingin tahu kejadian B bahwa hasil lemparan dadu lebih kecil dari 3.

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {1, 2}

Komplemen suatu kejadian A terhadap T ialah himpunan semua unsur T yang tidak termasuk A.

A komplemen dinyatakan dengan At.

Misal,

T = {buku, pensil, cangkul, montir, temperature, es}

A = {pensil, montir, temperatur}

Maka,

At = {buku, cangkul, es}

Irisan 2 kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A ∩ B, ialah kejadianyang unsurnya termasuk dalam A dan B.

Misal,

A dan B dua kejadian yang berkaitan dengan suatu percobaan (A dan B himpunanbagian dari ruang sampel yang sama). Kejadian A adalah munculnya bilangangenap. Kejadian B adalah munculnya bilangan yang lebih dari 3.

Maka,

A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6}

Dengan T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∩ B = {4, 6}

Gabungan 2 kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A U B, ialahkejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau

keduanya.

Misal,

A = {a, b, c}

B = {b, c, d, e}

A U B = {a, b, c, d, e}

Ruang sampel

Kejadian/event

SA

B

C

1. Dua juri dipilih dari 4 calon pada suatu perlombaan. Dengan menggunakanlambang C1C3 , misalnya, untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa calon 1dan 3 yang terpilih, tuliskanlah ke 6 unsur ruang sampel T!

2. Suatu percobaan terdiri atas pergiliran suatu dadu dan kemudian melemparuang logam satu kali bila angka yang muncul pada dadu genap. Bila angka padadadu ganjil, mata uang tadi dilemparkan dua kali. Dengan menggunakanlambang 4M, misalnya, untuk menyatakan kejadian bahwa pada dadu munculangka 4 dan kemudian uang logam muncul muka, dan 3MB menyatakan kejadianbahwa dadu memberi angka 3 diikuti oleh muka dan kemudian belakang padauang logam, buatlah diagram pohon untuk menunjukkan ke 18 unsur dalamruang sampel T

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara inioperasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat

dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.

Misal,

Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilemparkansekali?

Solusi:

Dadu 1 (n1) = 6 posisi

Dadu 2 (n2) = 6 posisi

Jadi, pasangan dadu tersebut dapat menghasilkan n1 x n2 = 6 x 6 = 36 posisi

Soal,

Suatu perusahaan perumahan menawarkan bagi calon pembelinya pilihan rumahgaya luar berbentuk tradisional, Spanyol, kolonial, dan modern di daerah pusat kota,pantai, dan bukit. Dalam berapa banyak pilihan seorang pembeli dapat memesanrumah?

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara inioperasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap keduacara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, maka

deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2..nk.

Misal,

Seorang langganan ingin memesan telepon dan dia dapat memilih dari n1 = 10warna dekorasi, yang dimisalkan tersedia dengan pilihan panjang kawat sambungann2 = 3 dengan n3 = 2 jenis telepon, yaitu, yang diputar atau dipakai tombol.

Maka, pilihan jenis telepon yang ada:

n1n2n3 = (10)(3)(2) = 60

Soal,

Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiriatas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto, bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasigoring, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto?

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan bendayang diambil sebagian atau seluruhnya.

Misal,

Ambil 3 huruf a,b,c. Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Untuk tempat pertama, ada n1 = 3 pilihan

Untuk tempat kedua, ada n2 = 2 pilihan

Untuk tempat ketiga, ada n3 = 1 pilihan

Diperoleh -> n1 x n2 x n3 = 3 x 2 x 1 = 6 permutasi

Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!

Misal,

Banyak permutasi empat huruf a,b,c,d adalah 4! = (4)(3)(2)(1) = 24

Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah

𝒏𝑷𝒓= 𝒏!

𝒏−𝒓 !

Misal,

Dari 20 undian, 2 diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titiksampel dalam ruang T!

𝟐𝟎𝑷𝟐= 20!

18!= 20 x 19 = 380

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranyaberjenis pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke k adalah

𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐!…𝒏𝒌!

Misal,

Sebuah rangkaian lampu terdiri dari 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapacara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2biru?

Banyaknya susunan yang berlainan ada𝟗!

𝟑!𝟒!𝟐!= 1260 cara

Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 unsur dalam sel pertama, n2 sel dalam sel kedua, dst, adalah

𝒏𝒏𝒊,𝒏𝟐,…,𝒏𝒓

=𝒏!

𝒏𝟏!𝒏𝟐!…𝒏𝒓!𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 +⋯ + nr =n

Misal,

Berapa banyak cara untuk menampung 7 petinju dalam 3 kamar hotel, bila 1 kamarbertempat tidur 3, sedang 2 lainnya punya 2 tempat tidur?

Banyaknya cara𝟕

𝟑,𝟐,𝟐

𝟕!

𝟑!𝟐!𝟐!= 210 cara

Banyaknya kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r sekaligus adalah

𝒏𝒓

=𝒏!

𝒓! 𝒏−𝒓 !

Misal,

Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapatdibuat yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

Solusi,

Banyaknya cara memilih 2 kimiawan dari 4 =𝟒𝟐

=𝟒!

𝟐!𝟐!= 6

Banyaknya cara memilih 1 fisikawan dari 3 =𝟑𝟏

=𝟑!

𝟏!𝟐!= 3

Banyak cara memilih panitia = (6)(3) = 18

1. Sebuah perusahaan menawarkan rumah dalam 4 pilihan model, 3 macam sistempendingin, dengan atau tanpa garasi, dan dengan atau tanpa beranda. Berapamacam pilihan yang berbeda tersedia bagi seorang pembeli?

2. Seorang saksi mata dalam kecelakaan tabrak lari memberitahukan polisi bahwaplat mobil yang menabrak mengandung huruf RLH dan diawali oleh 3 angka,yang pertama angka 5. Bila saksi itu tidak dapat mengingat kedua angka yanglainnya tetapi yakin ketiga angka berlainan, cari banyaknya nomor platmaksimum yang perlu diperiksa polisi!

3. Tiga nomor undian untuk hadiah pertama, kedua, dan ketiga ditarik dari 40nomor. Cari banyaknya titik sampel di T untuk ketiga hadiah!

Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak di antara 0 dan 1 yang berkaitandengan suatu peristiwa (event) tertentu.

Jika peristiwa itu pasti terjadi, maka probabilitas kejadian/peristiwa itu adalah 1.

Jika peristiwa itu mustahil terjadi, maka probabilitas kejadian/peristiwa itu adalah 0.

Tiga definisi/pendekatan probabilitas:

1. Probabilitas klasik

2. Probabilitas frekuensi relatif/empiris

3. Probabilitas subjektif (intuitif)

Pendekatan obyektif

Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari Jumlah hasil yang diharapkan denganjumlah seluruh hasil mungkin terjadi dengan asumsi bahwa hasil yang didapat darisebuah eksperimen memiliki peluang sama besar.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛

Contoh,

Lakukan sebuah eksperimen melempar dadu bersisi 6. Berapa probabilitas kejadiansebuah angka genap muncul?

Solusi

Hasil yang mungkin : 6 = (1,2,3,4,5,6)

Hasil yang diharapkan : 3 = (2), (4), (6)

Probabilitas muncul angka genap : 3/6 = 0,5

Sebuah mata uang dilemparkan 2 kali. Berapa peluang bahwa paling sedikit munculmuka sekali?

Solusi,

Ruang sampel percobaan -> T = {MM, MB, BM, BB}

Bobot tiap titik sampel = ¼

Kejadian A = muncul Muka sekali = {MM, MB, BM}

P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

Sebuah dadu diberati sedemikian rupa sehingga kemungkinan munculnya suatuangka genap 2 kali lebih besar daripada kemungkinan muncul suatu angka ganjil.Bika K menyatakan kejadian munculnya suatu angka yang lebih kecil dari 4 dalamsatu lemparan, hitunglah P(K)!

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Misal, bobot tiap angka ganjil =b, maka bobot tiap angka genap = 2b

Karena jumlah semua bobot adalah 1, maka 3b + 3(2b) = 1

Maka b = 1/9

Jadi, tiap angka ganjil berbobot 1/9 dan genap 2/9

K = {1, 2, 3}

P(K) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9

Probabilitas empiris didasarkan pada jumlah kemunculan suatu kejadian sebagaisebuah proporsi dari sejumlah percobaan yang telah diketahui.

Probabilitas suatu kejadian yang muncul adalah sebagian dari sejumlah kejadianserupa yang telah terjadi di masa lalu.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑟𝑖𝑠 =𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛

Pendekatan empiris terhadap probabilitas didasarkan pada apa yang disebuthukum jumlah besar (law of large numbers) -> semakin banyak pengamatanakan menghasilkan prakiraan probabilitas yang lebih akurat.

Dalam percobaan yang jumlahnya sangat banyak, probabilitas empiris dari suatukejadian akan mendekati probabilitas yang sesungguhnya.

Jumlah percobaan Jumlah muncul kepala Frekuensi relatif munculnya kepala

1 0 0,00

10 3 0,30

50 26 0,52

100 52 0,52

500 236 0,472

1000 494 0,494

10000 5027 0,5027

Eksperimen pelemparan mata uang

Contoh,

1. Semester lalu, 80 mahasiswa mendaftar di sebuah universitas. Terdapat 12mahasiswa mendapat nilai A. Berdasar informasi ini dan aturan probabilitasempiris, dapat diperkirakan kemungkinan seorang mahasiswa memperoleh nilaiA adalah 0,15.

2. Pada 1 Februari 2003, pesawat ulang-alik Columbia meledak. Ini adalah bencanakedua dalam 113 misi luar angkasa NASA. Berdasarkan informasi ini, berapaprobabilitas misi mendatang akan berhasil?

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑚𝑖𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑖

= 111/113

= 0,98

Dari hasil ujian statistik II, 65 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas X, didapat nilaiberikut:

X = nilai Statistik

Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3!

Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seseorangmengambil 1 permen secara acak, carilah peluang mendapat:

a. Satu rasa jeruk

b. Satu rasa kopi atau coklat

Probabilitas munculnya suatu kejadian tertentu yang ditentukan oleh seseorangberdasarkan informasi apapun yang tersedia.

Misal,

Penentuan strategi perang yang tidak bisa diuji secara eksperimen langsung.

Memperkirakan kemungkinan seseorang akan menikah usia 30.

Pemilihan seorang supervisor dari kandidat yang sama kualitasnya.

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Untuk 3 kejadian A, B, dan C

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩C) - P(B ∩C) + P(A ∩ B ∩ C)

Akibat 1

Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka

P(A U B) = P(A) + P(B)

Akibat 2

Bila A1, A2, A3, …, An saling terpisah, maka

P(A1 U A2 U … U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Akibat 3

Bila A1, A2, A3, …, An merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka

P(A1 U A2 U … U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

= P(T) = 1

Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluang lulus biologi 4/9. bilapeluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapa peluang lulus paling sedikit satu matakuliah?

Bila M = lulus matematika

B = lulus biologi

P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)

= 2/3 + 4/9 – ¼ = 31/36

Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila 2 dadu dilemparkan?

Misal A = kejadian muncul 7 = 6

B = kejadian muncul 11 = 2

P(A) = 6/36

P(B) = 2/36

P(A U B) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9

Bila peluang seseorang yang membeli mobil akan memilih warna hijau, putih, merah, atau

biru, masing-masing, 0,09 ; 0,15 ; 0,21 ; 0,23, berapakah peluang seorang pembeli tertentu

akan membeli mobil baru berwarna seperti salah satu dari warna tersebut tadi?

Misalkan A, B, C, D kejadian bahwa seorang pembeli memilih masing-masing, mobil

berwarna hijau, putih, merah, atau biru. Karena keempat kejadian ini saling terpisah maka

peluangnya sebesar

P(A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(A) + P(B) = 0,68

Bila A dan A’ dua kejadian yang berkomplementer, maka

P(A) + P(A’) = 1

A

A’

Bila peluang montir mobil akan memperbaiki 3,4,5,6,7,atau 8 lebih mobil padasetiap hari kerja, masing-masing 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; 0,07. Berapa peluang diaakan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya?

Misal,

E = kejadian paling sedikit 5 mobil diperbaiki

E’ = kejadian kurang dari 5 mobil diperbaiki

P(E) = 1 - P(E’)

P(E’) = 0,12 + 0,19 = 0,31

P(E) = 1 – 0,31 = 0,69

Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka

𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B|A)

Misal,

Kita punya kotak berisi 20 sekring, 5 diantaranya cacat. Bila 2 sekring dikeluarkandari kotak 1 demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke kotak), berapa peluang kedua sekring itu cacat?

P(A) = 5/20

P(B|A) = 4/19

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = (5/20)(4/19) = 1/19

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika

𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B)

Misal,

Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulanuntuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan0,98 dan peluang ambulan siap panggil 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karenakebakaran gedung, cari peluang keduanya siap.

P(A) = 0,98

P(B) = 0,92

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = (0,98)(0,92) = 0,9016

Bila dalam suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, … Ak dapat terjadi, maka

𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) … 𝑃 Ak|A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak−1

Bila kejadian A1, A2, A3, … Ak bebas, maka

𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak = 𝑃(A1)P(A2)P(A3) … P(Ak)

Misal,

Tiga kartu diambil satu demi satu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (berisi 52).Cari peluang bahwa kejadian A1 A2 A3 terjadi bila A1 kejadian bahwa kartu pertamaas berwarna merah, A2 kejadian kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian kartuketiga lebih besar dari 3 tapi lebih kecil dari 7.

P(A1) = 2/52

P(A𝟐|A1) = 8/51

P(A3|A1 ∩ A2) = 12/50

𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2)

= 2/52 x 8/51 x 12/50

= 8/5525

Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadidisebut peluang bersyarat.

Peluang bersyarat dinyatakan dengan P(B|A) “peluang B, bila peluang A diketahui”

P(B|A) = 𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑨)

Misal,

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatukota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaanmereka. Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akandipilih secara acak untuk mempropagandakan ke seluruh negeri. Kita ingin menelitipeluang laki-laki yang terpilih dalam status bekerja.

M = lelaki yang terpilih

E = orang yang terpilih dalam status bekerja

P(E) = 600/900

𝑃 𝐸 ∩𝑀 = 460/900

P(M|E) = 23/30

Bekerja Tak Bekerja Jumlah

Lelaki 460 40 500

Wanita 140 260 400

Jumlah 600 300 900

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) =

0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat

waktu P(B ∩ S) = 0,78. Cari peluang bahwa pesawat a sampai tepat waktu bila diketahui

berangkat tepat waktu, dan b berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

Dari tabel di bawah, tentukan: a. P(A1) b. P(B1|A2) c. P(B2 dan A3)

A1 A2 A3 Total

B1 2 1 3 6

B2 1 2 1 4

Total 3 3 4 10

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika

P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)

Contoh,

Sebuah mata uang logam dilempar 2 kali. Jika pelemparan pertama menghasilkanangka (A), tentukan probabilitas menghasilkan angka pada lemparan kedua (B)!

Solusi,

Probabilitas A muncul pada lemparan pertama = 0,5

Lemparan A tidak mempengaruhi hasil di lemparan B, jadi probabilitas juga 0,5.

Jadi, P(B|A) = 0,5

Peluang bahwa nyonya berada di rumah ketika penjual jamu datang 0,6. jikanyonya berada di rumah peluangnya dia membeli jamu 0,4. Cari peluangnyabahwa nyonya berada di rumah dan membeli jamu ketika si penjual datang!

Peluang dokter dengan tepat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu 0,7. Biladokter tadi salah diagnosa, peluangnya si sakit meninggal 0,9. Berapakahpeluangnya sang dokter salah diagnosa dan si sakit meninggal?

Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dandimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapa peluangnya sekarangmengambil bola hitam dari kantong kedua?

Suatu uang logam mempunyai peluang muncul muka 2 kali lebih besar daripeluang muncul belakang. Bila uang itu dilempar 3 kali, berapa peluang mendapat2 belakang dan 1 muka?

Ditemukan oleh Thomas Bayes.

Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwaberdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa(misalnya A) dengan syarat peristiwa lain (misalkan X) telah terjadi.

Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapatmemperbarui probabilitas.

Pada kaidah ini terdapat beberapa probabilitas:

1. Probabilitas awal

2. Probabilitas bersyarat

3. Probabilitas gabungan

4. Probabilitas posterior

Seandainya 5% dari populasi Umen, sebuah negara dunia ketiga fiktif, menderitasebuah penyakit yang aneh. Kita misalkan A1 adalah kejadian “menderita penyakit”dan A2 adalah kejadian “tidak menderita penyakit”. Jadi, kita tahu jika kita memilihseseorang dari Umen secara acak, probabilitas individu yang terpilih yangmenderita penyakit tersebut adalah 0,05 atau P(A1)=0,05.

Probabilitas P(A1) = 0,05 -> disebut probabilitas awal (prior probability)

Kenapa disebut prior probability?

Karena probabilitas awal tersebut ditentukan sebelum diperoleh data empirisapapun.

Probabilitas awal seseorang tidak menderita penyakit adalah 0,95 atau P(A2)=0,95,diperoleh dari 1-0,05.

𝑷 𝑨𝒊 𝑩 =𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑩|𝑨𝒊)

𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑩 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷 𝑩 𝑨𝟐 + …+ 𝑷 𝑨𝒊 𝑷 𝑩 𝑨𝒊

Terdapat suatu diagnosis untuk menemukan penyakit tersebut, tapi teknik ini tidakterlalu akurat.

Misalkan B adalah “diagnosis menunjukkan adanya penyakit”

Anggap pembuktian sejarah menunjukkan bahwa, jika seseorang menderitapenyakit tersebut, probabilitas diagnosis tersebut akan mengindikasikan adanyapenyakit adalah 0,90.

Pernyataan tersebut dapat ditulis: P(B|A1) = 0,90

Anggap probabilitas seseorang yang tidak menderita penyakit tersebut tetapidiagnosis menunjukkan adanya penyakit adalah 0,15.

Pernyataan tersebut dapat ditulis: P(B|A2) = 0,15

Mari kita memilih secara acak seseorang dari Umen dan mendiagnosisnya.

Hasil diagnosis menunjukkan bahwa ia menderita penyakit tersebut.

Berapa probabilitas orang itu sebenarnya menderita penyakit tersebut??

Jadi, kita ingin mengetahui P(A1|B),

P(menderita penyakit|hasil diagnosis positif)

Probabilitas menderita penyakit setelah ada diagnosis positif.

Probabilitas P(A1|B) disebut probabilitas posterior (posterior probability)

Probabilitas posterior: probabilitas yang diperbaiki karena adanya informasitambahan

𝑷 𝑨𝟏 𝑩 =𝑷 𝑨𝟏 𝑷(𝑩|𝑨𝟏)

𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑩 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷(𝑩|𝑨𝟐)

= 𝟎,𝟎𝟓 (𝟎,𝟗𝟎)

(𝟎,𝟎𝟓)(𝟎,𝟗𝟎)+(𝟎,𝟗𝟓)(𝟎,𝟏𝟓)

= 0,0450 / 0,1875

= 0,24

Jadi, probabilitas seseorang menderita penyakit jika diketahui hasil diagnosisnyapositif adalah 0,24.

Maknanya,

Jika seseorang dipilih secara acak dari populasi, probabilitasnya menderitapenyakit adalah 0,05. jika orang tersebut diuji lalu hasilnya positif, probabilitasorang tersebut benar-benar menderita penyakit meningkat hampir 5 kali lipat dari0,05 menjadi 0,24.

Kejadian

(Ai)

Probabilitas awal

P(Ai)

Probabiltas

bersyarat, P(B|Ai)

Probabilitas

gabungan, P(Ai ∩B)

Probabilitas

Posterior

P(Ai|B)

Ada penyakit (A1) 0,05 0,90 0,0450 0,24

Tidak ada penyakit

(A2)0,95 0,15 0,1425 0,76

0,1875 1,00

SECARA UMUM

Peristiwa B1, B2, …, Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel Sdengan P(Bi≠0) untuk i=1,2,…,k

P(A) = P[(B1 ∩ A) U (B2 ∩ A) U … U (Bk ∩ A)

= P(B1 ∩ A) + P (B2 ∩ A) + … + P(Bk ∩ A)

k

i

k

i

iii BAPBPABPAP1 1

)|()()()(

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3.Peluang Pak Badu terpilih 0,5. Peluang Pak Cokro terpilih 0,2. Kalau Pak Ali terpilihmaka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokroyang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4.berapakah peluang iuran akan naik?

A = orang yang terpilih menaikkan iuran

B1 = Pak Ali yang terpilih

B2 = Pak Badu yang terpilih

B3 = Pak Cokro yang terpilih

P(B1) = 0,3

P(B2) = 0,5

P(B3) = 0,2

P(A|B1) = 0,8

P(A|B2) = 0,1

P(A|B3) = 0,4

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)

= (0,3)(0,8) + (0,5)(0,1) + (0,2)(0,4)

= 0,24 + 0,05 + 0,08

= 0,37

Misal,

Bila diketahui iuran telah naik, berapa peluang bahwa Pak Cokro yang terpilih jadiketua?

Pake teorema Bayes

P(B3|A) = (0,08)/(0,24+0,05+0,08) = 8/37

𝑷 𝑩𝟑 𝑨 =𝑷 𝑩𝟑 𝑷(𝑨|𝑩𝟑)

𝑷 𝑩𝟏 𝑷(𝑨|𝑩𝟏) + 𝑷 𝑩𝟐 𝑷(𝑨|𝑩𝟐) + 𝑷 𝑩𝟑 𝑷(𝑨|𝑩𝟑)