integral

INTEGRAL

Kalkulus Teknik Informatika

PENDAHULUAN

INTEGRAL DIFERENSIAL

Contoh Integral

Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu

34)( xxf 4)( xxF

Teorema A : Aturan Pangkat Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali

(-1), maka :

Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat

dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru.

Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral,

sedangkan f(x) disebut integran

Cxdxx rr

r

11

1

,)( dxxf

Teorema B : Kelinearan integral tak tentu

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka

1. k f(x) dx = k f(x) dx2. [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx

Teorema C Aturan pangkat yang diperumum

Cxgdxxgxg rr

r

11

1 )]([)(')]([

Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :

1,11

1 rCuduu r

rr

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

RUMUS DASAR INTEGRAL

RUMUS DASAR INTEGRAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

RUMUS DASAR INTEGRAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

RUMUS DASAR INTEGRAL

CONTOH SOAL INTEGRAL BIASA

Tentukan :1. Berapa nilai dari 2. Berapa nilai dari3. Berapa nilai dari

4. Berapa nilai dari

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

dxx10x 49 1005

dx7)(x x60 1932

dxx

50x5

4

10

dxe40x 7x61

Berapa nilai integral dari :

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

CONTOH SOAL INTEGRAL TRIGONOMETRI

dx x Cosx Sin 36 17

dx4x Sin 10

dx2x Tan 12

dx x Cos3x Sin 8

Integral Tentu

Teorema Kalkulus yg pentingJika fungsi f(x) kontinu pada intervala ≤ x ≤ b, maka

dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.

b

a

aFbFdxxf )()()(

CONTOH SOAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

dxxx 1

2

3 3

Berapa nilai dari integral berikut ?

dxxx 2

1

2 123

dxx 3

1

2 1

Contoh

Solusi=

=

=

dxxx 1

2

3 3

1

2

24

23

4

xx

6423

41

418

Contoh

Solusi=

= 14-13 = 11

dxxx 2

1

2 123

2123 xxx

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini

Solusi

3

1

2 1 dxxA

dxx 3

1

2 1

3

1

3

3

xx

1

3139

3412 67.10

Grafik

1)( 2 xxf

Area diantara dua kurva

Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)

b

a

dxxgxfA )()(

Contoh Carilah area R yang berada diantara kurva dan

kurva

Solusi Carilah titik pertemuan antara 2 kurva

=> => x=1 or x=0

=> = = =

3xy 2xy

23 xx 012 xx

1

0

23 dxxxA1

0

34

34

xxA

31

41

121

121

Contoh Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva

SolusiCarilah titik pertemuan:

23 3xxy xy 4

xxx 43 23

0432 xxx 014 xxx

1,4,0 xxx

1

0

230

4

23 4343 dxxxxdxxxxA

1

0

2340

4

234

24

24

xxxxxxA

21

41)4(2)4(4

410 234A

4332 A

4332A

Sifat-sifat Integral Tentu

INTEGRAL

Sifat-sifat Integral Tentu

INTEGRAL

Volume Benda Putar

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 1 (296/7)

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 2

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Contoh

Latihan

Integral Parsial 37

Integral Partial

Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi :

Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi :

d(uv) = udv + vduudv = d(uv) – vdu

vduuvudv

Integral Parsial 38

Aturan yg hrs diperhatikan

1. Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan

2. tidak boleh lebih sulit daripada vdu udv

Contoh 1 :

xdxx cos

a. Misal : u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x

Integral Parsial 39

Rumus integralnya :

xdxxxdxxx sinsincos

= x sin x + cos x + cb. Misal diambil :

u = cos x dv = x dxdu = -sin x dx v = x2/2

Rumus Integral Parsialnya :

)sin(22

)(coscos22

dxxxxxdxxx

Integralnya lebih susah

u dv u v - v du

Penting Sekali pemilihan u dan v

Integral Parsial 40

Pengintegralan Parsial Berulang

Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali

xdxx sin2

Misal : u = x2 dv = sin x dxdu = 2x dx v = -cos x

Maka :

xdxxxxxdxx cos2cossin 22

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang- Perlu pengintegralan parsial lagi

Integral Parsial 41

Dari contoh 1 :

xdxx sin2

)cossin(2cossin 22 cxxxxxxdxx

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K

Integral Parsial 42

Contoh 3 :

xdxex sin

xdxexexdxe xxx coscoscos

Misal : u = ex dan dv = sinx dxdu = exdx dan v = - cosx

Maka :

Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua

xdxex cos u = ex dv = cos x dxdu = exdx v = sin x

Integral Parsial 43

Sehingga :

xdxexexdxe xxx sinsincosBila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama

xdxexexexdxe xxxx sinsincossin

Cxexexdxe xxx sincossin2

Kxxexdxe xx )sin(cos21sin