i. aljabar matriks
Post on 06-Apr-2016
113 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ALJABAR MATRIKSBila diketahui sistem persamaan linier
2x + 3y + 3z = 0x + y + 3z = 0– x + 2y – z = 0
121311332
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan :
MATRIKS, secara umum dapat dituliskan:
mxnmatriksorde
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
nij
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
321
321
33333231
22232221
1131211
.....
.....
.....
m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)m banyak baris n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
Macam matriks: Matriks bujur sangkar, bila m = n
mxn
987654321
Elemen-elemen a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
4000030000200001
aij = 0aii ≠ 0
JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1
dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
1000010000100001
= [ I ]
573702321
Matriks simetris, jika aij = aji
Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
573702321
JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR
OPERASI MATRIKS Kesamaan matriks Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang
sama.
OPERASI MATRIKS Penjumlahan matriks Bila [A] dan [B] punya orde yang sama,
maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C].
[C] = [A] + [B] cij = aij + bij
Sifat-sifat penjumlahan Matriks[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
OPERASI MATRIKS Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan
bil.skalar k menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij ~Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
OPERASI MATRIKS Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan matriks baru [E]mxn = [A]mxp [B]pxn
dimana :i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p
p
kkjikij bae
1
3225
31
12
x
23124
21
3
x
22)1(33125)1(132
xxxx
122341152142
xxxxxx
221241515
x
[A] = ; [B] =
[E] =
[E] =
CONTOH :
Sifat-sifat perkalian matriks :
[A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif
[A] [B] ≠ [B] [A]
[A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
TRANSPOSE MATRIKSJika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A] = [A]T adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T
3263
52
41
x
23654
321
x
[A] = [A]T =
CONTOH :
Sifat-sifat dari transpose matriks( [A]T )T = [A]( k [A] )T = k [A]T
( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR [A]2x2 =
Det. [A] =
2221
1211
aaaa
333231
232221
131211
bbbbbbbbb
3x3[B]
21212211 aaaa A
312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
20Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122011123
B
122011123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
221123
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
21Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui : Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...:::
......
21
22221
11211
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A 11 0
2 1 maka 13 M
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
22
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 0 1 1
1 1212
C
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
23
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
C
22
12221
11211
TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
21
12212
12111
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
24
Invers matriks A adalah
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0. Jika A mempunyai invers maka :
)()det(
11 AadjA
A
)det(1
)det( 1A
A
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
25
Contoh :Diketahui
Tentukan matriks adjoin A Jawab :
Perhatikan bahwa
1 2 0 0 1- 1 1 0 1
A
11201
)1( 1111
c 1
1001
)1( 2112 c 2
2011
)1( 3113
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
26/04/23 11:03
MA-1223 Aljabar Linear
26
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-
C
1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-
)( TCAadj
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERS dari matriks tersebut.
Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matriks [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B]. Selanjutnya [A] disebut matriks NON singuler Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks
singuler. Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
Rank (Tingkat) Matriks Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde
matriks (n). Jika det matriks = 0, maka harus dilihat minor
dari matrik tsb. Jika matriks bujursangkar di dalam determinan ≠ 0, maka rank =2.
Matriks bujur sangkar orde n dengan rank = n (det A≠0) disebut matiks non-singuler.
Matriks zero memiliki rank = 0. Rank matriks A adalah jumlah maksimum
kolom bebas linier dari A, atau rank matriks adalah orde matriks non singuler yang terbesar yang terdapat pada A.
PARTISI MATRIKSSuatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
363534333231
262524232221
161514131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
23
13
22
12
21
11
AA
AA
AA
=
dimana ;
2625
161513 aa
aaA
21
1111 a
aA
242322
14131212 aaa
aaaA
3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
top related