hukum gauss
Post on 30-Jun-2015
1.517 Views
Preview:
TRANSCRIPT
HUKUM GAUSS
23-1 PENDAHULUAN
Hukum Gauss adalah sebuah alternatif untuk menjelaskan
bagaimana muatan listrik dan medan listrik berperilaku. Satah satu
konsekuensi dari hukum ini adalah bahwa muatan statik pada konduktor
terdapat pada permukaan konduktor itu, bukan di bagian dalamnya.
Itulah sebabnya mengapa anak ini mendapatkan muatan listrik ketika
menyentuh bola logam bermuatan. Rambut pada kepala anak itu saling
tolak-menolak dan berdiri. Seringkali, ada dua cara, yaitu cara yang
mudah dan cara yang sukar untuk melakukan sebuah pekerjaan; cara
mudah itu melibatkan tak lebih daripada penggunaan alat-alat yang
tepat. Dalam fisika, sebuah alat penting untuk menyederhanakan soal
adalah penggunaan sifat-sifat simetri dari sistem. Banyak sistem fisika
mempunyai simetri; contohnya, sebuah silinder tidak kelihatan berbeda
setelah Anda merotasikannya mengelilingi sumbunya, dan sebuah bola
logam bermuatan keliliatan sama saja setelah Anda memutarkannya
terhadap sebarang sumbunya yang melalui pusatnya.
Hukum Gauss adalah bagian dari kunci penggunaan pertimbangan
simetri untuk menyederhanakan perhitungan medan-listrik. Misalnya,
medan distribusi muatan garis lurus atau distribusi muatan lembar
bidang, yang kita turunkan dalam Subbab 22-7 dengan menggunakan
beberapa integrasi yang sangat rumit, dapat diperoleh dalam beberapa
baris dengan bantuan hukum Gauss. Sebagai tambahan untuk membuat
perhitungan tertentu lebih mudah, hukum Gauss akan memberikan juga
kepada kita pandangan ke dalam (insight) mengenai bagaimana muatan
listrik mendistribusikan dirinya pada benda penghantaf (konduktor).
Berikut ini diterangkan tentang apa sebenarnya hukum Gauss itu. Jika
ada suatu distribusi muatan yang umum, kita mengelilinginya dengan
sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan itu. Kemudian kita
perhatikan medan listrik di berbagai titik pada permukaan khayal ini.
Hukum Gauss adalah sebuah hubungan antara medan di semua titik pada
permukaan dengan muatan total yang tercakup di dalam permukaan itu.
Hal ini mungkin kedengarannya menyerupai sebuah cara yang cenderung
tidak langsung untuk menyatakan sesuatu, tetapi terbukti akan
merupakan sebuah hubungan yang sangat
berguna. Selain kegunaannya sebagai alat perhitungan Hukum Gauss akan mem-bantu kita mendapatkan penglihatan (insight) yang lebih dalam
mengenai medan listrik. Kita akan memanfaatkan penglihatan tersebut
berulang-ulang dalam beberapa bab berikutnya seiring kita meneruskan
pengkajian kita mengenai elektromagnetisme.
23-2 MUATAN DAN FLUKTUASI LISTRIK
Dalam Bab 22 kita mengajukan pertanyaan, "Jika ada suatu
distribusi muatan, berapakah medan listrik yang dihasilkan oleh distribusi
tersebut di sebuah titik P?" Kita telah mengetahui bahwa jawabannya
dapat dicari dengan menyatakan distribusi itu sebagai kumpulan muatan-
muatan titik, yang masing-masing menghasilkan sebuah medan listrik E.
yang diberikan oleh Persama ar(22-7. Medan total di P akan sama dengan
jumlah vektor dari medan-medan yang ditimbulkan oleh semua muatan
titik itu.
Tetapi ada sebuah hubungan alternatif di antara distribusi muatan
dan medan listrik. Untuk menemukan hubungan ini, marilah kita
mempertahankan pertanyaan Bab 22 dan bertanya, "Jika pola medan
listrik itu diketahui pada sebuah daerah tertentu, apa yang dapat kita
tentukan mengenai distribusi muatan dalam daerah itu?"
Berikut adalah sebuah contoh. Tinjaulah kotak yang diperlihatkan
dalam Gambar23-1a,yang mungkin atau mungkin tidak berisi muatan
listrik. Kita akan membayangkan bahwa kotak itu, dibuat dari material
yang tidak mempunyai efek pada setiap medan listrik; kotak itu sama
seperti tali tak bermassa, bidang miring tanpa gesekan, dan pendidikan
tinggi yang gratis. Lebih baik lagi, andaikanlah kotak itu menyatakan
sebuah permukaan khayal yang mungkin atau mungkin tidak mencakup
sejumlah muatan. Kita akan merujuk pada kotak itu sebagai permukaan
tertutup (closed surface) karena kotak itu secara lengkap mencakup
sebuah volume. Bagaimanakah Anda dapat menentukan berapa banyak
muatan listrik (ika ada) yang terdapat di dalam kotak itu?
Dengan mengetahui bahwa sebuah distribusi muatan menghasilkan
sebuah medan listrik dan bahwa sebuah medan listrik mengerahkan gaya
pada muatan uji, maka Anda dapat menggerakkan sebuah muatan uji qo
mengitari tepi kotak itu. Dengan mengukur gaya F.
yang dialami oleh
muatan uji itu di kedudukan yang berbeda-beda, maka Anda membuat
sebuah peta berdimensi tiga dari medan listrik lqoFE..= di luar kotak
itu. Dalam kasus yang diperlihatkan dalam Gambar 23-1b, peta itu
terbukti sama seperti medan listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan
titik positif (Gambar 22-22a). Dari rincian peta itu, Anda dapat mencari
nilai eksak dari muatan titik di dalam kotak itu.
Untuk menentukan kandungan kotak itu, kita sesungguhnya hanya
perlu mengukur E.
pada permukaan kotak. Dalam Gambar 23-2a ada
sebuah muatan titik positif tunggal, dan dalam Gambar 23-2b ada dua
muatan positif tunggal. Pola-pola medan pada permukaan kotak itu
berbeda rinciannya, tetapi dalam kedua kasus, medan listrik itu
menunjuk ke luar dari kotak tersebut. Gambar-gambar 23-2c dan 23-2d
memperlihatkan kasus-kasus berturut-turut dengan satu dan dua muatan
titik negatif, di dalam kotak tersebut. Sekali lagi, rincian
dari E.
pada permukaan kotak itu berbeda, tetapi dalam kedua kasus
medan itu menunjuk ke dalam kotak.
Dalam Subbab 22-6 kita menyebutkan analogi di antara vektor
medan listrik dan vektor kecepatan fluida yang bergerak. Analogi ini
dapat membantu, walaupun medan listrik sebetulnya tidak "mengalir".
Dengan menggunakan analogi ini, dalam Gambar 23-2a dan 23-2b, di
mana vektor medan listrik menunjuk ke luar dari permukaan itu, kita
mengatakan bahwa ada sebuah fluks listrik (electric flux) ke arah luar.
(Kata flux berasal dari kata Latin yang berarti "aliran".) Dalam Gambar
23-2c dan Gambar 23-2d vektor E.
menunjuk ke dalam permukaan, dan
fluks listrik itu ke arah dalam.
.
Gambar 23-2 menyarankan sebuah hubungan yang sederhana:
Muatan positif di dalam kotak itu bergerak bersama sebuah fluks listrik
yang arahnya ke luar melalui permukaan kotak itu, dan muatan negatif
di dalam kotak itu bergerak bersama sebuah fluks listrik yang arahnya ke
dalam. Apa yang terjadi jika ada muatan nol di dalan kotak itu? Dalam
Gambar 23-3a kotak itu kosong dan di mana-mana 0=E., sehingga tidak
ada fluks listrik ke dalam atau ke luar kotak itu. Dalam Gambar 23-3b,
satu muatan titik positif dan satu muatan titik negatif yang besarnya
sama dicakup di dalam kotak itu, sehingga muatan netto di dalam kotak
itu adalah nol. Ada sebuah medan listrik, tetapi medan listrik itu
"mengalir ke dalam" kotak pada setengah permukaannya dan" mengalir
ke luar" kotak pada setengah permukaan lainnya. Maka tidak ada fluks
listrik netto ke dalam atau ke luar kotak tersebut.
Kotak itu sekali lagi kosong dalam Gambar 23-3c. Akan tetapi, ada
muatan yang hadir di luar kotak itu; kotak itu telah ditempatkan dengan
satu ujungnya sejajar dengan sebuah lembaran tak berhingga yang
bermuatan homogen, yang menghasilkan sebuah medan listrik homogen
sejajar dengan permukaan
sehingga tidak menunjuk baik ke dalam maupun ke luar kotak itu.
Seperti dalam Gambar 23-3b, fluks listik yang menuju ke dalam pada
satu bagian kotak itu secara eksak mengkompensasi fluks listrik yang
menuju ke luar pada bagian lain kotak itu. Maka dalam semua kasus yang
diperlihatkan dalam Gambar 23-3, tidak ada fluks listrik netto yang
melalui permukaan kotak itu, dan tidak ada muatan netto tercakup
dalam kotak itu.
yang tegak lurus terhadap lembar itu (seperti yalg telah kita pelajari
dalam Contoh 22-12 dan Subbab 22-7). Pada satu ujung kotak itu, E.
menunjuk ke dalam kotak; pada ujung yang berlawanan, E.
menunjuk ke
luar kotak itu; dan pada sisi-sisi kotak itu, E.
Gambar 23-2 dan 23-3 mendemonstrasikan hubungan di antara
tanda (positif, negatif atau nol) dari muatan netto yang dicakup oleh
sebuah permukaan tertutup dan arah (ke luar, ke dalam, atau tidak ke
mana-mana) dari fluks listrik netto yang melalui permukaan itu. Ada juga
hubungan di antara besar (magnitude) muatan netto di permukaan
tertutup itu dan kekuatan (strength) "aliran" netto dari E.
pada
permukaan itu. Dalam kedua Gambar 23-4a dan23-4b ada sebuah muatan
titik tunggal di dalam kotak itu, tetapi dalam Gambar 23-4b besar
muatan itu adalah dua kali besar muatan dalam Gambar 23-4a, sehingga
E.
di mana-mana adalah dua kali besar E.
dalam Gambar 23-4a. Dengan
mengingat analogi aliran fluida, ini berarti bahwa fluks listrik ke arah
luar netto dalam Gambar 23-4b adalah dua kali besar fluks listik ke arah
luar netto Gambar 234a. Hal tersebut menunjukkan bahwa fluks listrik
netto yang melalui permukaan kotak itu berbanding langsung dengan
besarnya muatan netto yang tercakup oleh kotak itu.
Kesimpulan ini tidak bergantung pada ukuran kotak itu. Dalam
Gambar 23-4c muatan titik +q dicakup oleh sebuah kotak yang dimensi
linearnya dua kali dimensi linear dari kotak dalam Gambar 23-4a. Besar
medan listrik dari sebuah muatan titik berkurang seiring makin besarnya
jarak, sesuai dengan 1/r² , sehingga besar E.
rata-rata pada setiap muka
kotak besar dalam Gambar 23-4c persis sama dengan ¼ dari besar rata-
ratanya pada muka yang bersangkutan dalam Gambar 23-4a. Tetapi
setiap muka kotak besar itu secara eksak mempunyai luas yang besarnya
empat kali luas muka yang bersangkutan dari kotak kecil itu. Maka fluks
listrik ke arah luar akan sama untuk kedua kotak itu jika kita
mendefinisikan fluks listrik sebagai berikut: Untuk setiap muka kotak itu,
ambillah hasil kali dari komponen tegak lurus rata-rata dari E.
dan luas
muka tersebut; kemudian jumlahkan hasil-hasil dari semua muka kotak
itu. Dengan definisi ini, fluks lisfik netto yang ditimbulkan oleh sebuah
muatan titik tunggal di dalam kotak itu tak bergantung pada ukuran
kotak dan hanya bergantung pada muatan netto di dalam kotak itu'
Kita telah melihat bahwa ada hubungan di antara jumlah netto
dari muatan di dalam sebuah permukaan tertutup dan fluks listrik yang
melalui permukaan tersebut. Untuk kasus khusus dari sebuah permukaan
tertutup dalam bentuk sebuah kotak persegi dan distribusi muatan yang
dibentuk oleh muatan-muatan titik atau lembaran bermuatan yang
luasnya tak berhingga, kita tetah mendapatkan hal-hal sebagai berikut:
1. Apakah fluks listrik netto yang mengalir arahnya ke luar atau ke dalam
melalui sebuah permukaan tertutup bergantung pada tanda dari
muatan yang dicakup itu.
2. Muatan di luar permukaan itu tidak memberikan sebuah fluks listrik
netto melalui permukaan tersebut.
3. Fluks-fluks listrik netto itu berbanding langsung dengan jumlah netto
dari muatanyang tercakup di dalam permukaan itu tetapi tidak
bergantung pada ukuran permukaan tertutup itu.
Pengamatan-pengamatan ini adalah pernyataan kualitatif dari hukum
Gauss.
Apakah pengamatan-pengamatan ini berlaku untuk jenis lainnya
dari disribusi muatan dan untuk permukaan tertutup yang bentuknya
sebarang? Jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini adalah "ya". Tetapi
untuk menerangkan mengapa demikian, kita memerlukan sebuah
pernyataan matematika yang teliti dari apa yang kita maksud dengan
fluks listrik. Hat ini dikembangkan dalam subbab selanjutnya'
23-3 MENGHITUNG FLUKS LISTRIK
Dalam subbab sebelumnya kita memperkenalkan konsep fluks
listrik. Secara kualitatif fluks listrik yang melalui sebuah permukaan
adalah sebuah gambaran mengenai apakah medan listrik E.
menunjuk ke
dalam atau ke luar permukaan itu. Kita menggunakan hal ini untuk
memberikan pernyataan kualitatif kasar dari hukum Gauss: Fluks listrik
netto yang melalui sebuah permukaan tertutup berbanding langsung
dengan muatan netto di dalam permukaan tersebut. Untuk mampu
memanfaatkan sepenuhnya hukum ini, kita perlu mengetahui bagaimana
menghitung fluks listrik. Untuk melakukan ini, marilah sekali lagi kita
memanfaatkan analogi di antara medan listrik E.
dan medan vektor
kecepatan V.
dalam sebuah fluida yang mengalir. (Sekali lagi, ingatlah
bahwa ini hanyalah sebuah analogi; medan listrik bukanlah sebuah
aliran.)
Gambar 23-5 memperlihatkan sebuah fluida yang mengalir secara
tetap dari kiri ke kanan. Marilah kita memeriksa kecepatan aliran volume
dV/dt (dalam, katakanlah, meter kubik per detik) melalui segiempat
siku-siku kawat yang luasnya adalah A. Bila luas itu tegak lurus terhadap
kecepatan aliran V.
(Gambar 23-5a) dan kecepatan aliran itu sama di
semua titik dalam fluida, maka kecepatan aliran volume dV/dt adalah
luas A dikalikan dengan laju aliran v:
vAdtdV=
Bila segiempat siku-siku dimiringkan pada sudut F (Gambar 23-5b)
sehingga mukanya tidak tegak lurus terhadap V.
maka luas yang
diperhitungkan adalah luas bayangan hitam yang kita lihat bila kita
memandangnya dalam arah V.
luas ini, yang digambarkan berwarna
merah dan ditandai dengan A, dalam Gambar 23-5b, adalah proyeksi dari
luas A pada sebuah permukaan yang tegak lurus terhadap V.. Dua sisi dari
segiempat siku-siku yang diproyeksikan itu mempunyai panjang yang
sama seperti sisi aslinya, tetapi kedua sisi lainnya dipendekkan oleh
sebuah faktor sebesar cos F, sehingga luas panjang diproyeksikan itu
sama dengan A cos F. Maka kecepatan aliran volume melalui A adalah
.A
vAdtdV= fcos
Jika F = 90", dv/dt = 0; segiempat siku-siku kawat itu sejajar
dengan aliran, dan tidak ada fluida yang lewat melalui segiempat siku-
siku itu. Juga, v cos F adalah komponen dari vektor V.
yang tegak lurus
terhadap bidang dari luas A. Dengan menamakan ini komponen maka
kita dapat menuliskan kembali kecepatan aliran volume itu sebagai
.V
AvdtdV.
=
Kita dapat menyatakan kecepatan aliran volume itu secara lebih
rapi dengan menggunakan konsep luas vektor A.
, yakni tegak lurus pada
bidang luas yang kita jelaskan. Luas vektor A.
menjelaskan baik ukuran
sebuah area maupun orientasinya dalam ruang. Dinyatakan dalam A.
kita
dapat menuliskan kecepatan aliran volume fluida yang melalui segiempat
siku-siku dalam Gambar 23-5b sebagai
AvdtdV...=
Dengan menggunakan analogi di antara medan listrik dan aliran
fluida, kita sekarang mendefinisikan fluks listrik dengan cara yang sama
seperti kita baru saja mendefinisikan kecepatan aliran volume sebuah
fluida; kita gantikan saja kecepatan fluida V.
tersebut dengan medan
listrik E.
. Simbol yang kita gunakan untuk fluks listrik adalah FE (huruf
besar Yunani "phi"; E yang dicetak subskrip adalah untuk mengingatkan
bahwa ini adalah fluks Iistrik). Tinjaulah mula-mula sebuah luas rata A
yang tegak lurus terhadap sebuah medan listrik E.
(Gambar 23-6a). Kita
mendefinisikan fluks listrik yang melalui luas ini sebagai hasilkali dari
besarnya medan E dengan luas A:
EAE=f
Secara kasarnya kita katakan, kita dapat menggambarkan FE
dalam garis-garis medan yang lewat melalui A. Penambahan luas berarti
bahwa lebih banyak garis E.
yanq lewat melalui luas itu, yakni
penambahan fluks; medan yang lebih kuat berarti garis-garis E.
yang
semakin rapat sehingga lebih banyak garis per satuan luas, sehingga fluks
itu akan bertambah.
Jika luas A itu rata tetapi tidak tegak lurus terhadap medan E.
,
maka lebih sedikit garis medan yang lewat melaluinya. Dalam kasus ini
luas yang diperhitungkan adalah luas bayangan hitam (silhouette) yang
kita lihat bila memandangnya dalam arah E.. Inilah luas
.Adalam Gambar 23-6b) dan sama dengan A cos ø (bandingkan dengan
Gambar 23-5b).
Bentuk umum dari definisi kita mengenai fluks listrik untuk sebuah
medan listrik homogen Adalah
EAE=ffcos (fluks listrik untuk B yang homogen, permukaan rata). (23-
I)
Karena E cos F adalah komponen dari E.
yang tegak lurus terhadap luas
itu, maka kita dapat menuliskan kembali Persamaan (23-I) sebagai
AEE.=f (fluks listrik untuk E.
yang homogen, permukaan rata), (23-2)
Dinyatakan dalam luas vektor A.
yang tegaklurus terhadap luas itu, kita
dapat menuliskan fluks listrik itu sebagai produk skalar dari E.
dan A.
AEE...=f (fluks listrik untuk E yang homogen, permukaan rata). (23-3)
Persamaan (23-l), (23-2), dan (23-3) menyatakan fluks listrik untuk
sebuah permukaan
rata dan sebuah medan listrik yang homogen dengan cara yang berbeda
tetapi ekuivalen satu dengan lainnya. Satuan SI untuk fluks listrik adalah
1 CmN/.2
Kita dapat menyatakan arah sebuah luas vektor A.
dengan
menggunakan vektor satuan yang tegak lurus terhadap luas itu
singkatan untuk "normal". Maka
nˆnˆ
nAAˆ=
.
Sebuah permukaan mempunyai dua sisi, sehingga ada dua arah yang
mungkin untuk n dan ˆA.. Kita harus selalu menetapkan arah mana yang
kita pilih. Dalam Subbab 23-2 kita mengkaitkan muatan di dalam sebuah
permukaan tertutup dengan fluks listrik yang melalui permukaan itu.
Dengan sebuah permukaan tertutup kita akan selalu memilih arah ke
arah luar dan kita akan berbicara mengenai fluks yang ke luar dari
sebuah permukaan tertutup. Jadi, apa yang kita namakan "fluks listrik
yang arahnya ke luar" dalam Subbab 23-2 bersesuaian dengan sebuah
nˆ
nilai Efyang positif, dan apa yang kita namakan "fluida listrik yang
arahnya ke dalam" bersesuaian dengan sebuah nilai Ef yang negatif.
Apa yang terjadi jika medan listrik E.tidak homogen tetapi
berubah dari titik ke titik pada luas A? Atau apa yang terjadi jika A
adalah bagian dari sebuah permukaan lengkung? Maka kita membagi A ke
dalam banyak elemen kecil dA , yang masing-masing mempunyai sebuah
vektor satuan yang tegak lurus terhadap elemen luas itu dan sebuah
luas vektor
nˆ
dAnAd.ˆ=
.. Kita menghitung fluks listrik yang melalui setiap
elemen dan mengintegralkan hasil-hasil itu untuk mendapatkan fluks
total:
...===.)____(.coslistrikfluksdariumumdefinisiAdEdAEdAEE..ff
(23-5)
Kita menamakan integral ini integral permukaan (surface integral) dari
komponen .E
pada luas itu, atau integral permukaan dari AdE.... Berbagai bentuk
integral itu semuanya menyatakan hal yang sama dalam suku-suku yang
berbeda. Dalam soal spesifik, satu bentuk kadang-kadang lebih
memudahkan daripada bentuk lainnya. Contoh 23-3 di akhir subbab ini
melukiskan penggunaan ?persamaan (23-5).
Dalam Persamaan (23-5) fluks listrik I nt dA persis sama dengan
nilai rata-rata dari komponen tegak lurus dari medan listrik itu, dikalikan
oleh luas permukaan tersebut. Ini adalah definisi yang sama dari fluks
listrik yang kita dapatkan dalam Subbab 23-2, yang sekarang dinyatakan
secara lebih matematis. Dalam subbab berikutnya kita akan melihat
hubungan di antara fluks listrik total yang melalui sebarang permukaan
bertutup, tak peduli bagaimanapun bentuknya, dan banyaknya muatan
yang tercakup di dalam permukaan tersebut.
.
CONTOH 23-1
Fluks listrik melalui sebuah cakram Sebuah cakram dengan jari-jari
0,10 m diorientasikan dengan vektor satuan normalnya membentuk
sudut 30" dengan sebuah medan listrik homogen
nˆ
E.
yang besarnya 2,0 x
10r N/C (Gambar 23-:7). (Karena ini bukanlah sebuah permukaan
tertutup, maka permukaan itu tidak mempunyai "di dalam" atau "di luar".
Itulah sebabnya mengapa kita harus menetapkan arah dari n dalam
gambar itu.) a) Berapa fluks listrik yang melalui cakram itu? b) Berapa
fluks yang melalui cakram itu. Jika cakram itu diputar sehingga
normalnya tegak lurus terhadap
ˆ
E.
c)Berapa fluks yang melalui cakram
itu jika normalnya sejajar dengan E.
PENYELESAIAN a) luas adalah A=. Dari persamaan
(23-1),
220314,0)10,0(mm=p
)30)(cos0314,0)(/100,2(cos023mCNxEAE==Ff
= 54 N . m2/C
b) Normal terhadap cakram itu sekarang tegak lurus terhadap
E,sehingga Dalam kasus ini tidak ada fluks yahg
melalui cakram itu. c) Normal terhadap cakram itu sejajar
0,0cos,900===Edanf.f
dengan 1cos,0,==ffsehinggaE.
dan fluks itu mempunyai nilai
CONTOH 23-2
Fluks listrik melalui sebuah kubus Sebuah kubus yang sisinya E.
ditempatkan dalam sebuah daerah yang medan listrik E.nya homogen.
Carilah fluks listrik yang melalui setiap sisi kubus itu dan carilah fluks
total yang melalui kubus itu bila a) kubus itu
diorientasikan dengan dua mukanya tegak lurus terhadap medan E.,
seperti dalam Gambar 23-8a; b) bila kubus itu diputarkan sejauh sudut 4
seperti dalam Gambar 23-8b.
PENYELESAIAN a) Karena E.adalah homogen, kita dapat menghitung
fluks yang melalui setiap sisi kubus itu dengan menggunakan Persamaan
(23-3) dn (234). Vektor-vektor satuan untuk setiap sisi
diperlihatkan dalam gambar itu; arah dari setiap vektor satuan adalah ke
arah luar dai permukaan kubus yang tertutupi itu. Sudut di antara
)ˆ__ˆ(61nsampainE.
dan
adalah 1801ˆno; sudut di antara E.
dan adalah 0º; dan sudut di antara 2ˆnE.
dan setiap keempat vektor satuan lainnya adalah 90º. Setiap sisi kubus
itu mempunyai luas L², sehingga fluks yang melalui masing-masing muka
itu adalah
.090cos;0cosˆ.
;180cosˆ.0265432022220211==F=F=F=F+===F-===FELELELAnEELELAnEEEEEEE..
Fluks itu negatif pada sisi l. Dimana E.
diaralkan ke dalam kubus, dan
positif pada sisi 2, di mana E.
diaralkan ke luar dari kubus. Fluks total
yang melalui kubus itu adalah jumlah dari fluks-fluks yang melalui
keenam sisi tersebut:
654321EEEEEEEF+F+F+F+F+F=F
= .0000022=+++++-ELEL
b) Fluks yang melalui sisi I dan sisi 3 adalah negatif, karena E.diarahkan
ke dalam sisi-sisi tersebut: medan itu diarahkan ke luar
dari sisi 2 dan sisi 4, sehingga fluks-fluks yang melalui sisi-sisi tersebut
adalah positif. Kita mendapatkan
.090cos;cos)90cos(ˆ.
;cos)90cos(ˆ.
;cosˆ.
;cos)180cos(ˆ.0265202442023322220211==F=F+=-==F-=+==F+==F-=-==FELELELAnEELELAnEELAnEELELAnEEEEEEE...........
Fluksl total 654321EEEEEEEfffffff+++++= yang melalui permukaan
kubus itu sekali lagi adalah nol. Kita sampai pada kesimpulan yang sama
ini dalam pembicaraan kita mengenai Gambar 23-30 dalam Subbab 23-2;
dalan subbab tersebut kita mengamati bahwa sebuah medan listrik
homogen yang melalui sebuah permukaan tertutup yang tidak berisi
muatan listrik fluks nettonya adalah nol.
CONTOH 23-2
Fluks listrik melalui sebuah bola Sebuah muatan titik positif q =3,0 µC
dikelilingi oleh sebuah bola dengan jari-jari 0,20 m yang beryusat pada
muatan itu (Gambar 23-9). Carilah fluks listrik yang melalui bola itu yang
ditimbulkan oleh muatan ini.
PENYELESAIAN Di setiap titik pada bola itu, besar E.
adalah
262920)20,0(
100,3)/.100,9(
4mCxCmNxrqE-
=
.
=
p
CNx/1075,65=
Berdasarkan simetri, medan itu tegak lurus terhadap permukaan bola di
tiap-tiap titik. Arah positif untuk kedua dan ke arah luar,
sehingga
nˆ.EEE+=.
dan fluks yang melalui sebuah elemen permukaan dA adalah E dA. Dalarn
Persamaan (23-5), E.
adalah sama di tiaptiap titik dan dapat dikeluarkan
dari integral; apa yang tersisa adalah .dA yang tak lain dari luas total
dari permukaan bola itu. Jadi, fluks total yang ke luar dari bola
itu adalah
24rAp=
25)20,0)(4)(/1075,6(mCNxEAEp==F
./.104,325CmNx=
Perhatikan bahwa kita membagi dengan untuk mencari 22)20,0(mr=E.
kemudian mengalikannya dengan untuk mencari 22)20,0(mr=Ef maka
jari-jari r dari bola itu saling meniadakan dalam hasil untuk @". Kita akan
memperoleh fluks yang sama dengan bola yang jari-jarinya 2,0 m atau
200 m. Pada pokoknya kita sampai pada kesimpulan yang s.rma dalam
pembicaraan kita mengenai Gambar 23-4 dalam Subbab 23-2, di mana
kita meminjam permukaan-permukaan tertutup yang berbentuk segi
empat siku-siku yang mempunyai dua ukuran yang berbeda yang
mencakup sebuah muatan
titik. Di sana kita mendapatkan bahwa fluks dari E.
tidak bergantung
pada ukuran permukaan itu; hasil yang sama berlaku untuk sebuah
permukaan bola. Sesungguhnya, fluks yang melalui sebarang permukaan
yang mencakup sebuah muatan titik tunggal tidak bergantung pada
bentuk atau ukuran permukaan itu, seperti yang akan segera
kita lihat.
23-4 HUKUM GAUSS
Hukum Gauss (Gauss’s law) adalah sebuah alternatif dari hukum Columb
untuk menyatakan hubungan antara muatan listrik dan medan listrik.
Hukum itu dirumuskan oleh Carl Friedrich 11.8 Gauss (1777-1855), salah
seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang Hukum
matematika yang dipengaruhinya, dan dia membuat kontribusi yang
s:rma pentingnya untuk fisika teoritis.
Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui
sebarang permukaan tertutup (sebuah permukaan yang mencakup
volume tertentu) sebanding dengan muatan lisfiik (netto) total di dalam
permukaan itu. Dalam Subbab 23-2ktta mengamati hubungan ini secara
kualitatif untuk kasus-kasus khusus; kita sekarang akan mengembangkan
secara lebih tepat. Kita akan mengawalinya dengan medan sebuah
muatan titik positif tunggal q. Garis-garis medan itu dipancarkan ke luar
sama besar dalam semua arah. Kita menempatkan muatan ini di pusat
sebuah permukaan bola khayal yang jari-jarinya R. Besar E dari medan
listrik di tiap-tiap titik pada permukaan itu diberikan oleh
041.
=
pE2Rq
Di setiap titik pada permukaan itu, E.
tegak lurus terhadap pennukaan,
dan besarnya sama di tiap-tiap titik persis seperti dalam Contoh23-3
(Subbab 23-3). Fluks listrik total adalah hasil kali dari besarnya medan E
dan luas total dari bola itu: 24RAp=
0220)4(
41.
=
.
==qRRqEAEppf (23-6)
Fluks tersebut tidak bergantung pada jari-jari R dari bola itu. Fluks
tersebut hanya bergantung pada muatan q yang dicakup oleh bola itu.
Kita dapat juga menafsirkan hasil ini dalam hal garis-garis medan.
Gambar 23-10 memperlihatkan dua bola berturut-turut dengan jari-jari R
dan 2R, yang berpusat pada muatan titik 4 itu. Tiap-tiap garis medan
yang lewat melalui bola yang lebih kecil akan lewat juga melalui bola
yang lebih besar, sehingga fluks total yang melalui setiap bola adalah
sama.
Hal yang benar bagi keseluruhan bola itu adalah juga benar di
setiap bagian permukaannya. Dalam Gambar 23-10 sebuah luas d,A
digambarkan pada sebuah U-ota yang jari-jarinya R dan kemudian
diproyeksikan pada bola yang jari-jarinya 2R dengan111"nuril garis-garis
dari pusat melalui titik-titik pada batas dari dA. Luas yang diproyeksikan
pada bola yang lebih besar jelas adalah 4 dA. Tetapi karena medan listrik
yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik berbanding terbalik dengan f,
maka besarnyamedan itu pada bola yang jari-jarinya 2R adalah sebesar
¼ dari besarnya medan pada bola yang jarijarinya R. Maka fluks lisftik
adalah sama untuk ikedua luas itu dan tidahbergantung pada jari-jari
bola tersebut.
Cara proyeksi ini memperlihatkan kepada kita bagaimana
memperluas diskusi ini untuk permukaan yang tidak berbentuk bola.
Sebagai ganti dari sebuah bola, marilah kita mengelilingi bola yang jari-
jarinya R dengan sebuah permukaan yang bentuknya tak teratur, seperti
dalam Gambar 23-IIa. Tinjaulah sebuah sebuah elemen luas dA ya-ng
kecil pada permukaan yang tak teratur itu; kita perhatikan bahwa luas
ini lebih besar daripada elemen luas yang bersangkutan pada sebuah
permukaan bola yang berada pada jarak yang sama dari q. Iika sebuah
arah normal terhadap dA{ membentuk sudut F dengan sebuah garis
radial dari q, maka dua sisi dari luas yang diproyeksikan pada permukaan
Uota itu disusutkan oleh sebuah faktor cos F (Gambar 23-llb). Kedua sisi
lainnya tidak berubah. Jadi, fluks listrik melalui elemen permukaan bola
itu sama dengan fluks E dA cos F yang melalui elemen permukaan tak
teratur yang bersangkutan.
Kita dapat membagi keseluruhan permukaan tak teratur itu ke
dalam elemen-elemen dA, menghitung fluks listrik E dA cos F untuk
setiap elemen, dan menjumlahkan hasil-hasil itu dengan
mengintegralkannya, seperti dalam Persamaan (23-5). Setiap elemen
luas itu diproyeksikan pada sebuah elemen permukaan bola yang
bersangkutan. Jadi, fluks listrik total yang melalui permukaan tak teratur
itu, yang diberikan oleh setiap bentuk dari persamaan (23-5)' harus sama
dengan fluks total yang melalui sebuah bola, yang diperlihatkan oleh
Persamaan (23-6) sama dengan q/e o. Jadi, untuk permukaan tak teratur
itu.
..
==
0.qAdEE..f (23-7)
Persamaan (23-7) berlaku untuk sebuah permukaan yang bentuk dan
ukuranny a sebarang, asalkan permukaan itu adalah sebuah permukaan
tertutup yang mencakup muatan q. Lingkaran pada tanda integral itu
mengingatkan kita bahwa integral itu selalu diambil dari sebuah
permukaan tertutup.
Elemen luas Ad.
dan vektor satuan yang bersangkutan selalu
menunjuk ke luar volume yang dicakup oleh permukaan itu. Maka fluks
listik itu positif pada daerah di mana medan listrik itu menunjuk ke luar
dari permukaan dan fluks listrik itu negatif pada daerah Garis norrnal
yang arahnya ke luar permukaan. Fluks listrik itu negatif pada daerah
nˆ
di mana modan lisftik inr menunjuk ke dalam. Juga E.
adalah positif di
titik-titik di mana E.
menunjuk ke luar dari permukaan itu dan nagatif di
mana E.menunjuk ke dalam permukaan itu.
Jika muatan titik dalam Gambar 23-lI adalah negatif, medan E.
diarahkan secara Radial ke arah dalam; maka sudut F lebih besar
daripada 90º, cosinusnya negatif dan integral dalam Persamaan (23--7)
adalah negatif. Tetapi karena q juga adalah negatif, maka Persamaan
(23-7 ) masih berlaku.
Untuk sebuah permukaan tertutup yang mencakup tidak ada
muatan,
.==0.AdEE..f
Inilah pernyataan matematika yang menyatakan bila sebuah daerah tidak
berisi muatan,maka setiap garis medan yang disebabkan oleh muatan di
luar daerah itu yang memasuki daerah itu pada satu sisi akan
meninggalkan daerah itu lagi pada sisi lainnya. (Dalam Subbab 23-2 h'rta
sampai kepada kesimpulan yang sama dengan meminjam kasus khusus
mengenai sebuah kotak persegi dalam sebuah medan homogen.) Gambar
23-12 melukiskan hal ini. Garis medan listrik dapat mulai atau berakhir
di dalam sebuah daerah ruang hanya bila tidak ada nuatan dalam daerah
tersebut.
Sekarang kita sampai ke langkah terakhir dalam mendapatkan
bentuk umum dari hukum Gauss. Misalkan permukaan itu mencakup
bukan satu muatan titik q saja tetapi beberapa muatan q,q,q,....
Medan listrik (resultan) total
123E.di sebarang titik adalah jumlah vektor
dari medan-medan E.
dari muatan-muatan individu tersebut. Misalkan Q
tercakup adalah muatan total yang dicakup oleh permukaan isi Q tercakup=
q1+ q+ q+ .. Juga misalkan 23E.
adalah medan total di kedudukan
elemen luas p'ermukaan dA, dan misalkan E.
adalah komponennya yang
tegak lurus terhadap bidang elemen tersebut (yakni, sejajar dengan
a.d). Vtat<a kita dapat menuliskan sebuah persamaan yang menyerupai
Persamaan (23-:l) untuk setiap muatan dan medannya yang bersangkutan
dan menambahkan hasil-hasil tersebut. Bila kita melakukannya, kita
mendapatkan pernyataan umum dari hukum
Gauss:
..
==
0.tercakupEQAdE..f (hukum Gauss) (23-8)
Fluks listrik total yang melalui sebuah pemukaan tertutup sama
dengan muatan
listrik (netto) total di dalam permukaan itu, dibagi oleh eo
PERHATIAN => Ingatlah bahwa permukaan tertutup dalam hukum Gauss
adalah
permukaan khayal; tidak perlu ada sebuah objek material di posisi pada
permukaan itu. Kita seringkali merujuk permukaan tertutup yang
digunakan dalam hukum Gauss sebagai permukaan Gaussian (Gaussian
surface).<=
Dengan menggunakan definisi Q tercakup dan berbagai cara untuk
menyatakan fluks listrik yang diberikan dalam Persamaan (23-5), kita
dapat menyatakan hukum Gauss dalam bentuk-bentuk ekuivalen yang
berikut:
....
====.
0.costercakupEQAdEdAEdAE..ff (berbagai bentuk hukum Gauss)
(23-9)
Seperti dalam Persamaan (23-5), berbagai bentuk integral itu
menyatakan hal yang sama, yakni fluks lisnik total yang melalui
permukaan Gaussian itu, dalam suku-suku yang berbeda. Satu bentuk
rumus kadang-kadang lebih nyaman untuk digunakan daripada bentuk
yang lainnya.
Dalam Persamaan (23-8) dan (23-9), Q tercakup selalu merupakan
jumlah aljabar dari semua m\atan positif dan semua muatan negatif yang
dicakup oleh permukaan Gaussian itu, dan E.
adalah medan total di
setiap titik pada permukaan itu. Juga perhatikan bahwa umunmya,
medan ini sebagian disebabkan oleh muatan di dalam permukaan dan
sebagian disebabkan oleh muatan di luar permukaan itu. Tetapi seperti
yang diperlihatkan dalam Gambar 23-12, muatan yang di luat tidak
memberikan kontribusi ierhadap fluks (netto) total yang melalui
permukaan itu. Maka persamaan (23-g) d,an (23-9) adalah benar walau
ada muatan di luar permukaan yang memberikan kontribusi terhadap
medan listrik di permukaan itu. Bila ot"1"urop = 0, fluks total yang
melalui permukaan Gaussian itu harus nol, walaupun beberapa kawasan
dapat mempunyai fluks positif dan kawasan lainnya dapat mempunyai
fluks negatif.
Hukum Gauss adalah jawaban yang pasti untuk pertanyaan yang
kita ajukan pada permulaan Subbab 23-2: "Jika pola medan listrik
diketahui dalam sebuah daerah yang tertentu, apayang dapat kita
tentukan mengenai distribusi muatan dalam daerah tersebutf
Hukum Gauss menyediakan hubungan antara listrik pada sebuah
permukaan tertutup dari.distribusi muatan di dalam permukaan
tersebut. Tetapi dalam beberapa kasus kita dapat menggunakan hukum
Gauss untuk menjawab pertanyaan yang dibalik susunannya: .,Jika
distribusi muatan diketahui, apa yang dapat kita tentukan mengenai
medan lisirik yang dihasilkan oleh distribusi muatan itu?" Hukum Gauss
mungkin-kelihatannya merupakan cara yang tak menarik untuk
mengalamatkan pertanyaan ini, karena mungkin kelihatannya seakan-
akan penghitungan integral dalam persamaan (23-g) adalah sebuah tugas
yang sia_ sia' Kadang-kadang memang sepertitu, tetapi dalam
kesempatan lain penghitungan iniegral itu sangat mudah. Inilah sebuah
contoh di mana tidak aia integrasi yang terlibat sama sekali: kita akan
mengerjakan beberapa lagi contoh dalam bagian- berikutnya.
CONTOH 23-4
Fluks listrik dan muatan yang tercakup Gambar 23_13 memperlihatkan
medan yang dihasilkan oleh dua muatan titik +4 dan -q yang besarnya
sama tetapi yang tandanya berlawanan sebuah dipol listrik). Carilah fluks
lisfrik yang melalui masing_masing per_
mukaan oertutup A, B, C, dan D.
PENYELESAIAN Definisi fluks listrik yang diberikan dalam persamaan (23-
5) melibatkan sebuah integral permukaan, dan mungkin kelihatannya
integrasi tersebut diperlukan. Tetapi hukum Gauss mengatakan bahwa
fluks listrik total yang melalui sebuah permukaan tertutup sama dengan
muatan yang dicakup total dibagi oleh e^.
Melalui pemeriksaan Gambar 23-13, permukaan A (yang diperlihatkan
berwarna merah ) mencakup muatan positif sehingga Q tercakup = + q .
permukaan B (yang diperlihatkan berwarna biru) mencakup kedua
muatan mempunyai Q tercakup = -q permukaan C (yang diperlihatkan
berwarna kuning), iari6 mencakup kedua muatan, memPunYai Q
tercakup = .+q + (-q) = 0 .; permukaan D (yang diperlihatkan berwarna
ungu), yang tidak mempunyai muatan yang tercakup di dalamnya, juga
mempunlai Q.tercakup =0. Maka tanpa melakukan integrasi apa pun kita
dapat menyimpulkan bahwa fluks total untuk berbagai permukaan itu
adalah F E= +q / eo untuk permukaan A, F E= -q / eo
untuk permuk aan B, F E = 0 untuk kedua permukaan C di permukaan D.
Hasil-hasil ini hanya bergantung pada muatan yang tercakup
didalam setiap permukaan Gaussian, bukan pada bentuk dari
permukaanitu. Contohnya, bandingkanlah permukaan C terhadap
permukaan persegi yang diperlihatkan dalam Gambar 23_3b, yang jrtga
mencakup kedua muatan sebuah dipol listrik. Dalam kasus liu pun, kita
menyimpulkan bahwa fluks netto dari B adalah nol; fluks yang arahnya
ke dalam pada satu bagian permukaan itu secara eksak diimbangi oleh
fluks yang arahnya ke luar pada bagian selebihnya permukaan itu.
Kita dapat menarik kesimpulan serupa dengan memeriksa garis
garis medan listrik itu. permukaanA hanya mencakup muatan positif;
dalam Gambar 23-13, l8 garis digambarkan menyeberang A datam arah
ke luar. Permukaan B hanya mencakup muatan negatif; permu]kaan itu
diseberangi oleh lg garis yang sama ini, tetapi daiam arah ke dalam.
Permukaan C mencakup kedua muatur. Permukaan itu dipotong oleh
garis-garis di 16 titik; di g perpotongan, garis_garis itu mengarah ke
dalam. Jumlah netto dai- garis_garis menyebeiang ke arah luar adalah
nol, dan muatan netto di dalam permukaan itu juga adalah nol.
Permukaan D dipotong di 6 titik; di 3 titik garis-garis itu mengarah ke
luar, dan di 3 titik lainnya, garis- garis itu
mengarah ke dalam. Jumlah netto dari garis yang menyeberang ke arah
luar dan muatan total yang tercakup keduanya adalah nol. Ada titik-titik
pada permukaan itu di mana E tidak t%ak lurus terhadap permukaan itu,
tetapi hal ini tidak mempengaruhi penghitungan garis-garis medan.
23-5 Apurnst Huxuwt Gruss
Hukum Gauss berlaku untlk sebarareg distribusi muatan dan untuk
sebarang permukaan tertutup. Hukum Gauss dapat digunakan dengan
dua cara. Jika kita mengetahui distribusi muatan, dan jika distribusi itu
mempunyai simetri yang cukup untuk memungkinkan kita menghitung
integral dalam hukum Gauss, maka kita dapat mencari medan tersebut.
Atau jika kita mengetahui medan itu, kita dapat menggunakan hukum
Gauss untuk mencari distribusi muatan seperti muatan pada permukaan
konduksi.
Dalam subbab ini kita menyajikan contoh-contoh dari kedua
macam aplikasi. Sewaktu Anda mengkajinya, perhatikanlah peranan yang
dimainkan oleh sifat-sifat simetri dari setiap sistem. Kita akan
menggunakan hukum Gauss untuk menghitung medal listrik yang
disebabkan oleh beberapa distribusi muatan sederhana; hasil-hasil itu
dikumpulkan dalam sebuah tabel dalam ringkasan bab
Dalam soal-soal praktis kita seringkali menjumpai situasi dalam
mana kita ingin mengetahui medan listrik yang disebabkan oleh distribusi
muatan pada sebuah konduktor. Perhitungan ini dibantu oleh kenyataan
mengagumkan yang berikut: Bila muatan yang berlebih ditempatkan
pada sebuah konduktor padat dan berada dalam keadaan diam, maka
muatan yang berlebih itu seluruhnya berdiam pada permukaan, bukan di
bagian dalam mnterial itu. (Yang kita artikan dengan muatan yang
berlebih adalah muatan selain ion-ion dan elektron-elektron bebas yang
membentuk konduktor netral itu.) Inilah buktinya. Kita mengetahui dari
Subbab 22-6 bahwa dalam situasi elektrostatik (dengan semua muatan
berada dalam keadaan diam) medan listrik E di tiap+iap titik di bagian
dalam sebuah material konduksi adalah nol. Seandainya E tidak sama
dengan nol, muatan-muatan itu akan bergerak. Misalkan kita membangun
sebuah permukaan.Gaussian di dalam konduktor itu, seperti permukaan
A dalam Gambar 23-14. Karena E = 0 di setiap tempat pada permukaan
ini, maka hukum Gauss mengharuskan bahwa muatan muatan netto di
dalam permukaan itu adalah nol.
Sekarang bayangkanlah penyusutan permukaan yang menyerupai sebuah
balon yang mengempis sampai permukaan itu mencakup sebuah daerah
yang begitu kecil sehingga kiia dapat menganggapnya sebagai sebuah
titik P; maka muatan di titik tersebut harus sama dengan nol. Kita dapat
melakukan ini di mana saja di dalam konduktor itu, sehingga tidak
terdnpat muaten yang berlebih di setiap titik di dalam sebuah kon'duktor
padqt; setiap muatan yang berlebih akan berada pada permukaan
konduktor irz. (Hasil ini adalah untuk sebuah konduktor padat. Dalam
subbab berikutnya kita akan membicarakan apa yang terjadi jika
konduktor itu mempunyai rongga di dalamnya.) Kitl akan sering
memanfaatkan fakta ini dalam contoh-contoh berikutnya
CONTOH 23-5
Medan sebuah bola konduksi bermuatan Kita menempelkan
muatan positif 4 pada sebuah bola konduksi padat dengan jari-jari R
(Gambar 23-15). Tentukan B di sebarang titik di dalam dan di luar bola
itu.
PENYELESAIAN Seperti yang kita bicarakan sebelumnya dalam subbab ini,
semua muatan harus berada pada permukaan bola itu' Kita dapat
menggunakan simetri bola untuk memperlihatkan bahwa muatan itu
harus didistribusikan secara homogen pada permukaan bola dan bahwa
arah medan listrik di sebarang titik P di luar bola itu harus berada
sepanjang gais radial di antara pusat dan titik P
Peranan simetri itu pantas dibicarakan secara hati-hati. Bila kita
mengatakan bahwa sistem itu bersifat simetri bola, maka kita
mengartikan bahwa jika kita merotasikannya melalui sebarang sudut
terhadap sebarang sumbu yang melalui pusat, maka setelah rotasi,
sistem itu tidak dapat lagi dibedakan dari sistem semula yang tidak
dirotasikan. Tidak ada dalam sistem itu yang membedakan satu arah
atau orientasi dalam ruang dari arah lainnya. Muatan itu bebas bergerak
pada konduktor, dan tidak ada sesuatu mengenai konduktor itu yang
akan membuat muatan cenderung berkonsentrasi lebih dalam suatu
daerah daripada dalam daerah lainnya' Seandainya muatan itu tidak
terdistribusi homogen pada permukaan bola, maka bila kita merotasikan
sistem itu, maka bola itu akan kelihatannya sama tetapi distribusi
muatan itu akan kelihatannya berbeda, dan tidak ada sifat bola itu yang
dapat membuat ini terjadi. Maka kita menyimpulkan bahwa distribusi
muatan permukaan itu haruslah homogen.
Alasan yang serupa memperlihatkan bahwa medan itu harus
radial. Jikakita merotasikan sistem itu lagi, maka pola medan dari sistem
yang dirotasikan itu harug identik dengan pola medan dari sistem
semula. Jika sistem itu mempunyai sebuah komponen di suatu titik yang
tegak lurus terhadap arah radial, maka komponen itu harus berbeda
setidak-tidaknya setelah beberapa rotasi. Jadi, tidak ada komponen
seperti itu, dan medan itu harus dalam arah radial. Karena alasan yang
sama, besamya E dari medan itu hanya dapat bergantung pada jarak r
dari pusat dan harus mempunyai nilai yang sama di semua titik pada
sebuah permukaan bola yang konsenfris dengan kondukor itu.
Untuk mengambil keuntungan dari sifat simetri ini' kita mengambil
sebagai permukaan Gaussian kita sebuah bola khayal yang pusatnya pada
konduktor dengan jari-jari r yang lebih besar daripada jari-jari R dari
konduktor itu sehingga muatan.yang dicakup itu adalah 4. Lout
permukaan Gaussian adalah Er.;42p adalah homogen pada permukaan
dan tegak lurus terhadap permukaan itu di setia titik' integral fluks
dAE.. dalam hukum Gauss adalah dan Persamaan (23-8)
memberikan
)4(2rEp
Pernyataan ini untuk medan di sebarang nnkdi luarbola itu (r > R)
adalah sama seperti untuk sebuah muatan titik; medan yang ditimbulkan
oleh bola bermuatan itu adalah sama, seakan-akan keseluruhan muatan
itu terkonsentrasi di pusatnya. Persis di luar permukaan bola itu, di
mana r = R,
2041RqE.
=
p
(pada permukaan bola konduksi bermuatan)
PERHATIAN=> Ingatlah bahwa kita telah memilih muatan q itu sebagai
suatu muatan positif. Jika muatan itu negatif, medan listrik itu
mengarah ke dalam secara radial alih-alih ke arah luar Bagian permukaan
Gaussian secara radial, dan fluks listrik yang melalui permukaan Gaussian
itu negatif. Besarnya medan listrik di luar dan di permukaan bola itu
diberikan oleh pernyataan yang sama seperti di atas kecuali bahwa
4 menyatakan besar (nilai mutlak) muatan itu.<=
Di dalam bola (r < R) medan listrik itu nol, seperti halnya dengan
setiap konduktor padat bila muatan itu diam. Gambar 23_15
memperlihatkan E sebagai fungsi dari jarak r dari pusat bola itu.
Perhatikan bahwa dalam limit untuk R --> 0, bola itu menjadi sebuah
muatan titik; maka hanya ada "bagian luar,' dan medan itu di setiap
tempat diberikan oleh . Jika kita telah menyimpulkan
hukum Coulomb dari hukum Gauss. (Dalam Subbab 234 krta
menyimpulkan hukum Gauss dari hukum Coulomb, sehingga hal ini
melengkapi demonstrasi bahwa hukum Coulomb dan hukum Gauss adalah
dua hukum yang ekuivalen satu sama lain.)
204/rqE.=p
Kita juga dapat menggunakan metode ini untuk sebuah kulit bola
konduksi (sebuah konduktor bola dengan sebuah lubang bola konsentris
di pusatnya) jika tidak ada muatan di dalam lubang itu. Kita
menggunakan sebuah permukaan kecil dengan jari-jari r yang lebih kecil
daripada jari-jari lubang itu. Seandainya ada medan di dalam lubang itu,
maka medan itu harus radial dan bersifat simetri bola seperti
sebelumnya, sehingga . Tetapi
tidak ada muatan yang tercakup, sehingga204/rQEtercakup.=p0=tercakupQ dan di dalam
lubang itu.
0=E
Dapatkah Anda menggunakan cara yang sama ini untuk mencari
medan listrik dalam ruang-antara di antara sebuah bola bermuatan dan
sebuah bola konduksi kosong konsentris yang mengelilingi bola
bermuatan itu?
CONTOH 23-6
Medan sebuah muatan garis Muatan listrik didistribusikan secara
homogen sepanjang sebuah kawat tipis yang panjangnya tak berhingga.
Muatan per satuan panjang adalah ),(yang dianggap positif. Cari medan
listrik yang dihasilkan. (Ini adalah sebuah representasi aproksimasi
medan dari kawat berhingga yang bermuatan homogen, asalkan jarak
dari titik medan ke kawat itu jauh lebih kecil daripada panjang kawat)
PENYELESAIAN Medan itu harus menunjuk menjauhi muatan positif pada
kawat, tetapi ke arah yang mana? Kita bertanya lagi, "Bagaimana
simetrinya?" Kita dapat merotasikan sistem itu meUul sebarang sudut
mengelilingi sumbunya dan kita dapat menggeserkannya sejauh
berapapun sepanjang sumbu itu; dalam setiap kasus sistem yang
dihasilkan tidak dapat dibedakan dari sisrem semula. Dengan
menggunakan alasan yang sama seperti datam Contoh 23-5, klrta
menyimpulkan bahwa d pada tiap ritik tidak berubah bila salah satu dari
operasi-operasi ini dilaksanakan. Medan itu tidak dapat mempunyai
komponen yang sejajar dengan kawat; jika medan itu mempunyai
komponen yang sejajar dengan kawat, kita harus menerangkan mengapa
garis-garis medan yang bermula pada kawat menunjuk dalam satu arah
yang sejajar dengan kawat itu dan bukan menunjuk ke arah lainnya.
Juga, medan itu tidak dapat mempunyai komponen yang menyinggung
sebuah lingkaran dalam sebuah bidang yang tegak lurus terhadap kawat
dengan pusatnya pada kawat itu. Jika medan itu mempunyai komponen
seperti itu, kita harus meneJangkan mengapa komponen itu menunjuk
dalam satu arah mengitari kawat itu dan bukan dalam arah lainnya. Apa
yang masih tersisa adalah komponen yang arahnya ke fuar secara radial
dari kawat itu di setiap titik. Maka garis-garis medan di luar sebuah
kawat tak berhingga yang diberi muatan secara homogen adalah radial
dan terletak dalam bidang yang tegak lurus terhadap kawat itu.
Besarnya medan hanya bergantung pada jarak radial dari kawat itu.
Sifat simetri menyarankan bahwa kita menggunakan sebuah
silinder sebagai permukaan Gaussian denganjari-jari r yang sebarang dan
panjang / yang sebarang, dengan ujung-ujungnya tegak lurui terhadap
kawat (Gambar 23-16). Kita memecahkan integral permukaan untuk fluks
@, ke dalam sebuah integral pada setiap ujung rata dan sebuah integral
pada dinding samping yang melengkung itu. Tidak ada fluks yang melalui
kedua ujung karena .d timbul Jalam bidang pennukaan dan E_r = 0.
Untuk mencari fluks yang melalui dinding samping, perhatikin bahwa d
tegak lurus terhadap perrnukaan di setiap titik, sehingga E = El karena
simetri, d mempunyai nilai yang sama di setiap tempat pada dinding itu.
Luas dinding samping adalahZnrl. (Untuk membuat sebuah silinder kertas
densan
jari-jari r dan tinggi I Anda memerlukan segi empat siku-siku kertas
dengan lebar 2nr, tinggi / dan luas 2ttrl.) Maka fluks total eE yang
melalui keseluruhan silinder itu adalah jumlah fluks yang ,rretatoi
dinding samping, yang sama dengan (Dettrl), dan fluks nol yang melalui
kedua ujung, kita memerlukan muatan yang tercakup total, yakni
muatan per satuan panjang dikalikan oleh panjangnya kawat di dalam
permukaan Gaussian, atau Q tercakup =.l ).l.Dari hukum Gauss,
0)2)((
.
==F.prlEE dan
rE.p021.
= (medan sebuah muatan garis tak
berhingga).
Ini adalah hasil yang, sama yang kita dapatkan dalam Contoh 22-11
(Subbab 22--7) dengan cara yang jauh lebih terinci.
Kita telah menganggap bahwa ,. positif . Jlka ), negatif, E
diarahkan secara radial ke dalam menuju garis muatan, dan dalam
pemyataan di atas untuk besar medan Z kita harus menafsirkan . sebagai
besar (nilai mutlak) muatan per satuan panjang.
Perhatikan bahwa walaupun keseluruhan muatan pada kawat itu
memberi konstribusi terhadap medan tersebut, hanya bagian muatan
total yang ada di dalam permukan Gauss yang ditinjau bila kita
memakaikan hukum Gauss. Hal ini kelihatannya aneh; kelihatan seakan-
akan kita telah mendapatkan jawaban yang benar dengan mengabaikan
sebagian muatan itu dan bahwa medan sebuah kawat pendek yang
panjangnya / akan sama seperti medan sebuah kawat yang sangat
panjang. Tetapi kita memasukkan keseluruhan muatan pada kawat bila
kita memanfaatkan simetri soal itu. Jika kawat itu pendek, simetri
terhadap penggeseran sepanjang sumbu itu tidak ada, dan besarnya
medan itu tidak homogen pada permukaan Gaussian kita. Maka hukum
Gauss tidak lagi berguna dan tidak dapat digunakan untuk mencari
medan; soal itu paling baik ditangani dengan cara integrasi yang
digunakan dalam Contoh 22-11'
Kita dapat menggunakan permukaan Gaussian seperti permukaan
dalam Gambar 23-16 untuk memperlihatkan bahwa medan di titik-titik di
luar sebuah silinder panjang yang bermuatan homogen adalah sama,
seakan-akan semua muatan itu dikonsentrasikan pada sebuah garis
sepanjang sumbunya. Kitajuga dapat menghitung medan listrik dalam
ruang di antara sebuah silinder bermuatan dan sebuah silinder konduksi
kosong sesumbu yang mengelilingi silinder bermuatan itu. (Ini adalah
sebuah model kabel sesumbu, seperti kabel yang digunakan untuk
menyambungkan TV Anda ke sebuah "jalur" televisi kabel.) Kami
meninggalkan perhitungan ini sebagai latihan soal untuk Anda.
CONTOH 23-7
Medan sebuah lembaran muatan bidang tak berhingga Cari medan listrik
yang disebabkan oleh sebuah lembaran tak berhingga yang rata dan tipis
yang memiliki muatan positif homogen per satuan luas s.
PENYELESAIAN Medan itu harus menunjuk menjauhi lembaran bermuatan
positif itu. Lebih jauh lagi, kita harus sekali lagi menanyakan,
"Bagaimana simetrinya?" Distribusi muatan itu tidak berubah jika kita
mendorongnya dalam sebarang arah yang sejajar
dengan lembaran itu. Dari hal ini kita menyimpulkan bahwa di setiap
titik, B tegak lurus terhadap lembar itu. Simetri itu juga memberi tahu
kita bahwa medan itu harus mempunyai besar E yang sama di sebarang
jarak pada masing-masing sisi lembaran.
Untuk mengambil keuntungan dari sifat simetri ini, kita
menggunakan sebuah silinder sebagai permukaan Gaussian dengan
sumbunya tegak lurus terhadap lembaran muatan itu, dengan ujung-
ujung yang luasnya A (Gambar 23-17). Lembaran bermuatan itu lewat
melalui pertengahan panjang silinder, sehingga ujung-ujung silinder itu
berjarak sama dari lembaran tersebut. Di setiap ujung silinder, dtegak
lurus terhadap permukaan, dan dr sama dengan E; maka fluks yang
melalui setiap ujung adalah +EA. Karena f tegak lurus terhadap lembar
bermuatan itu, maka sejajar dengan slsi yang melengkung dari silinder,
sehingga E, di dinding ini adalah nol, dan tidak ada fluks yang melalui
dinding ini. Integral fluks total dalam hukum Gauss adalah2EA (EA darr
setiap ujung dan nol dari dinding samping). Muatan netto di dalam
permukaan Gaussian itu adalah muatan per satuan luas dikalikan dengan
luas lembaran yang dicakup oleh permukaan itu, atau Qtercakup = sA
Maka hukum Gauss, Persamaan (23-8), memberikan
Ini adalah hasil yang sama yang kita peroleh dalarn Contoh 22-12 (Subbab
22J) dengan menggunakan sebuah perhitungan yang jauh lebih rumit.
Medan itu homogen dan diarahkan tegak lurus terhadap bidang lembar.
Besarnya tak bergantung pada jarak dari lembar itu' Maka garis-garis
medan itu lurus, sejajar satu sama lain, dan tegak lurus terhadap lembar
itu.
Jika kerapatan muatan itu negatif, maka E diarahkan menuju
lembar itu, fluks yang melalui permukaan Gaussian dalam Gambar 23-17
addahnegatif, dan odalam pemyataan E = s/2eo menyatakan besar
(mulai mutlak) kerapatan muatan itu.
Anggapan bahwa ukuran lembaran itu adalah tak berhingga
merupakan sebuah pengandaian ideal, dan tidak ada sesuatupun di atam
ini yang besarnya benar-benar tak berhingga. Tetapi hasil E = s/2eo
adalah sebuah aproksimasi yang baik untuk titik yang begitu dekaidengan
lembar itu (dibandingkan dengan dimensi lembar) dan tidak terlalu dekat
ke tepi-tepi lembarnya. Di titik seperti itu, medan itu sangat hampir
homogen dan tegak lurus terhadap bidang lembar.
CONTOH 23-8
Medan di antara pelat-pelat konduksi sejaiar yang bermuatan
berlawanan Dua pelat konduksi sejajar bidang yang besar diberi muatan
yang besamya sama dan tandanya berlawanan; muatan per satuan luas
adalah + s untuk satu pelat dan – s untuk pelat lainnya.Tentukan medan
listrik dalam daerah di antara pelat-pelat itu.
PENYELESAIAN Medan di antara dan di sekitar pelat-pelat itu secara
aproksimasi diperlihatkan dalam Gambar 23-18a. Karena muatan-muatan
yang berlawanan itu tarik-menarik, maka kebanyakan muatan itu
berkumpul di sisi-sisi yang berhadapan dari pelat-pelat itu. Sejumlah
kecil muatan itu berdiam pada permukaan sebelah
luar dari, pelat-pelat tersebut, dan ada suatu penyebaran atau
"peminggiran fiinging)" dari medan itu di tepi-tepi pelat. Tetapi jika
pelat-pelat itu sangat besar dibandingkan dengan jarak di antara
pelatpelat tersebut, maka jumlah muatan pada permukaan sebelah luar
sangat kecil, dan peminggiramya itu dapat diabaikan kecuali di dekat
tepi-tepr pelat tersebut. Dalam kasus ini kita dapat menganggap bahwa
medan itu homogen dalam daerah sebelah dalam di antara pelatpelat,
seperti pada Ganbar 23-18b, dan bahwa muatan itu didistribusikan
secara homogel @a pemukan-permukaan yang berhadapan.
Untuk mengeksploitasi simetri ini, kita dapat menggunakan
permukaan-permukaan Gaussian yang dinamai Sl, 52, 53, dan S4
Permukaan-permukaan ini adalah silinder dengan ujung-ujung yang
luasnya A yang menyerupai permukaan yang perspektifnya diperlihatkan
dalam Gambar 23-17; permukaan-permukaan itu diperlihatkan dalam
pandangan samping dalam Gambar 23-18b. Satu ujung dari setiap
permukaan terletak di dalam salah satu pelat konduksi itu. Untuk
permukaan yang ditandai S,, ujung sebelah kiri berada di dalam pelat I
(pelat positif). Karena medan itu nol di dalam volume dari setiap
konduktor padat di bawah kondisi elektrostatik, maka tidak ada fluks
listrik yang melalui ujung ini. Medan listrik di antara pelat-pelat itu
tegak lurus terhadap ujung sebelah kanan, sehingga pada ujung tersebut,
E, sama de'ngan E dan fluks itu adalah EA; fluks ini positif, karcta E
diarahkan ke luar dari permukaan Gaussian itu. Tidak ada fluks yang
metalui dinding samping silinder itu, karena dinding ini sejajar dengan E.
Maka integral fluks total dalam hukum gauss adalah EA{. Muatan netto
yang dicakup oleh silinder itu adalah sA, sehingga Persamaan (23-8)
menghasilkan
0.
=AEAs dan
0.
=
sE (medan di antara pelat-pelat berkonduksi yang bermuatan
berlawanan)
Medan itu homogen dan tegak lurus terhadap pelat-pelat, dan besarnya
tak bergantung pada jarak dari setiap pelat. Hasil yang sama ini dapat
diperoleh dengan menggunakan permukaan Gaussian ,S4 lagipula,
permukaan S2, dan S3, dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa E
= 0 ke sebelah kiri dari pelat I dan ke sebelah kanan dari
pelat2. Kami meninggalkan perhitungan ini sebagai soal bagi Anda.
Kita mendapatkan hasil-hasil yang di atas dalam Contoh22-13
(Subbab 22-7) dengan menggunakan prinsip superposisi medanmedan
listrik. Medan yang ditimbulkan oleh kedua lembaran muatan itu (satu
lembaran pada setiap pelat) adalah E dan E, dari Contoh 23-7, kedta
medan ini mempunyai besar s/2eo, Medan listrik (resultan) total di
sebarang titik adalah jumlah vektor d= E1+ E2, Di titik a dan titik c
dalam Gambar 23-18b, E1dan E2 mempunyai arah-arah yang berlawanan,
dan resultannya adalah nol. Ini juga benar di tiap-tiap titik di dalam
material setiap pelat, yang konsisten dengan persyaratan bahwa dengan
muatan yang berada dalam keadaan diam maka tidak ada medan di
dalam sebuah konduktor padat. Di sebarang titik , di antara pelat-pelat
iu, Erdan .d, mempunyai arah yang sama; resultannya mempunyai besar
E = s/2eo, persis seperti
yang kita dapatkan di atas dengan menggunakan hukum Gauss.
CONTOH 23-9
Medan sebuah bola yang bermuatan homogen Muatan listrik positif Q
didistribusikan secara homogen di seluruh volume sebuah bola
pengisolasi dengan jari-jari R. Tentukan besarnya medan listrik itu di
sebuah titik P yang berjarak r dari pusat bola tersebut.
PENYELESAIAN Seperti dalam Contoh 23-5, sistem itu bersifat simetri
bola. Untuk memanfaatkan simetri ini, kita memilih sebuah bola dengan
jari-jari r sebagai permukaan Gaussian kita, yang konsentris dengan
distribusi muatan itu. Dari simetri maka besar E dari medan listrjk itu
mempunyai nilai yang sama di tiaptiap titik pada permukaan Gaussian
tersebut, dan arah E adalah radial di tiaptiap titik pada permukaan,
sehingga EL= E. Maka fluks listrik yang melalui permukaan Gauss tersebut
adalah hasil kali dari E dan luas total dari permukaan A = 4p²r, yakni, FE
= 4p²E
Banyaknya muatan yang tercakup di dalam permukaan Gaussian
itu bergantung pada jari-jari r. Marilah kita mula-mula mencari besarnya
medan di dalam bola bermuatan yang jari-jarinya R; besarnya E dihitung
di jari-jari permukaan Gaussian itu, sehingga kita memilih r < R.
Kerapatan muatan volume p adalah muatan Q dibagi oleh volume dari
keseluruhan bola bermuatan yangjari-jarinya R:
3/43RQp.=
Volume Vtercakup yang dicakup oleh permukaan Gaussian itu adalah
4/3 pr³ , selmgga muatan total Qtercakup yang dicakup oleh permukaan
tersebut adalah
3333344RrQrRQVQtercakuptercakup=..
.
..
.
..
.
..
.==pp.
Maka hukum Gauss, Persamaan (23-8), menjadi
33024RrQEr.
=p atau
3041RQrE.
=
p
(medan di dalam sebuah bola bermuatan
homogen)
Besarnya medan itu sebanding dengan jarak r dari titik medan dari pusat
bola. Di pusat bola (r = 0), E = 0'
Untuk mencari besarnya medan di luar bola bermuatan itu, kita
menggunakan sebuah permukaan Gaussian bola yangjari-jarinya r > R.
Permukaan ini mencakup keseluruhan bola bermuatan itu, sehingga Q
tercakup= - Q, dan hukum Gauss memberikan
024.
=QErp atau
2041RQrE.
=
p
(medan di luar sebuah bola bermuatan
homogen)
Untuk setiap benda bermuatan yang bersifat simetri bola, medan
listrik di luar benda itu adalah sama, seakan-akan keseluruhan muatan
itu dikonsentrasikan dibagian pusat. (Kita membuat pengamatan yang
sama ini dalam Contoh 23-5.)
Gambar 23-19 memperhhatkan sebuah grafik dari E sebagai fungsi
dari r untuk soal ini. Untuk r < R, E berbanding langsung dengan r dan
untuk r > R, E berubah sebagai 1/r² muatan itu
negatif sebagai ganti dari muatan positif, E ke arah dalam radial dan p
dalam pemyataan untuk E ditafsirkan sebagai besar (nilai mutlak)
muatan itu.
Perhatikan bahwa jika kita membuat r = R dalam salah satu dari
kedua pernyataan itu untuk E (di dalam atau di luar bola)' kita
mendapatkan hasil yang sama E = Q/4peoR² untuk besamya medan di
permukaan bola itu; ini karena besarnya E adalah sebuah fungsi kontinu
dari r Bertentangan dengan itu, untuk bola konduksi yang bermuatan dari
Contoh 23-5 besar medan listrik ittt diskontinu di r = R (besar medan
listrik itu melompat dari E = 0 di dalam bola menjadi E = Q/4peoR² persis
di dalam bola itu). Umumnya, besar medan listrik. arah medan listrik,
atau baik besar maupun arah medan listrik itu diskontinu bilamana ada
lembaran muatan, seperti di permukaan sebuah bola konduksi yang
bermuatan (Contoh 23-5), di permukaan sebuah lembaran bermuatan tak
berhingga, atau di permukaan sebuah pelat konduksi yang bermuatan
(Contoh 23-8).
Cara umum yang digunakan dalam contoh ini dapat dipakaikan
untuk sebarang distribusi muatan yang bersifat simetri bola' baik
distribusi itu homogen ataupun tidak. Distribusi muatan seperti itu
terjadi di dalam banyak atom dan inti atom, dan inilah sebabnya
mengapa hukum Gauss merupakan sebuah alat yang berguna dalam fisika
atom dan fisika nuklir.
23-6 MUATAN PADA KONDUKTOR
Kita telah mempelajari bahwa dalam situasi elektostatik (di mana tidak
ada gerak netto dari muatan) medan listrik di tiap-tiap titik di dalam
sebuah konduktor adalah nol dan bahwa setiap muatan yang berlebih
pada sebuah konduktor diletakkan seluruhnya pada permukaannya
(Gambar 2320a). Tetapi apa yang terjadi jika ada sebuah rongga di
dalam konduksi itu (Gambaf 23-2Ob)? Jika tidak ada muatan di dalam
rongga itu, kita dapat menggunakan sebuah permukaan Gaussian seperti
A (yang sepenuhnya terletak di dalam material konduktor itu) untuk
memperlihatkan bahwa muatan netto pada permukaan rongga iTu harus
nol, karena E= 0 di setiap tempat pada permukaan Gaussian tersebut.
Ternyata, kita dapat membuktikan dalam situasi ini bahwa tidak boleh
ada sebarang muatan dr manapun pada permukaan rongga itu. Kita akan
menunda bukti terperinci dari pernyataan ini sampai Bab 24,
Misalkan kita menempatkan sebuah benda kecil dengan muatan 4
di dalam rongga dibagian dalam sebuah konduklor (Gambar 23-20c).
Konduktor itu tidak bermuatan dan diisolasi dari muatan 4. Sekali lagi E
= 0 di setiap tempat pada permukaan A, sehingga menurut hukum Gauss
muatan total di dalam permukaan itu harus nol. Maka harus ada sebuah
muatan -q yarrg didistribusikan pada permukaan rongga itu, yang ditarik
ke sana oleh muatan q yang berada di dalam rongga. Muatan total pada
konduktor harus tetap nol, sehingga sebuah muatan +4 harus muncul baik
pada permukaan luar maupun di dalam material itu. Tetapi kita
memperlihatkan dalam Subbab 23-5 bahwa dalam situasi elektrostatistik
tidak boleh ada muatan yang berlebih di dalam material sebuah
konduktor. Maka kita menyimpulkan bahwa muatan + q harus muncul
pada permukaan sebelah luar. Dengan alasan yang sama, jika konduktor
itu pada mulanya mempunyai muatan Qs, maka muatan total pada
permukaan sebelah luar sama dengan q = qc setelah muatan 4 disisipkan
ke dalam rongga itu.
CONTOH 23-10
Konduktor yang penampangnya diperlihatkan dalam Ganrbat 23-21
mengangkut muatan total sebesar +3 nC . Muatan di dalam rongga itu,
diisolasi dari konduktor, adalah -5 nC. Berapabanyakkah muatan yang
ada pada setiap permukaan (sebelah dalam dan sebelah luar) konduktor
itu?
PENYELESAIAN Jika muatan dalam rongga itu adalah q = -5 nC, muatan
pada permukaan rongga sebelah dalam harus sama dengan -q = -(-5 nC) =
+5 nC. Konduktor itu mengangkut muuatan total sebesar +3 nC, yang
semuanya tidak berada di bagian dalam material itu. Jika +5 nC berada
pada permukaan sebelah dalam rongga itu, maka harus ada (+3 nc) - (+5
nc) = -2 nc pada permukaan konduktor sebelah luar.
MENGUJI HUKUM GAUSS MELALUI EKSPERIMEN
Kita sekarang dapat meminjam sebuah eksperimen bersejarah, yang
diperlihatkan dalam Gambar 23-22. Kita meletakkan sebuah wadah
konduksi, misalnya sebuah ember logam ndengan sebuah penutup, di
atas sebuah tempat kedudukan pengisolasi. Wadah itu pada mulanya
tidak bermuatan. Kemudian kita menggantungkan sebuah bola logam
bermuatan dengan seutas benang pengisolasi (Gambar 23-22a),
menurunkannya ke dalam ember itu, dan menaruh penutupnya (Gambar
23-22b). Muatan diinduksi pada dinding wadah, seperti yang
diperlihatkan. Tetapi sekarang kita membiarkan bola itv menyentuft
dinding sebelah dalam (Gambar 23-22c). Efeknya, permukaan bola itu
menjadi bagian dari permukaan rongga. Situasi itu sekarang sama seperti
Gambar 23-20b;jika hukum Gauss benar, muatan netto pada permukaan
rongga harus sama dengan nol. Jadi bola itu harus kehilangan semua
muatannya. Akhirnya, kita mengeluarkan bola itu; kita mendapatkan
bahwa bola itu sungguh telah kehilangan semua muatannya.
Eksperimen ini dilakukan dalam abad kesembilan belas oleh saintis
Inggris Michael Faraday, dengan menggunakan sebuah ember es logam
dengan sebuah penutup, dan eksperimen itu dinamakan eksperimen
ember es Faraday (Faraday's icepail experiment). (Eksperimen yang
serupa dilakukan pada abad kedelapan belas oleh Benjamin Franklin di
Amerika dan Joseph Priestley di Inggris, walaupun dengan ketelitian yang
jauh lebih kecil.) Hasil itu memastikan berlakunya hukum Gauss dan juga
hukum Coulomb. Hasil eksperimen Faraday merupakan hasil yang penting
karena metode ekperimen Coulomb, dengan menggunakan sebuah neraca
puntiran (torsion balance) dan pembagian muatan, tidak sangat teliti;
sangat sukar untuk memastikan kebergantungan Lll dari gaya
elektrostatik dengan ketelitian besar melalui pengukuran gaya langsung.
Bertentangan dengan itu, eksperimen seperti eksperimen Faraday
menguji berlakunya hukum Gauss, yang berarti juga menguji berlakunya
hukum Coulomb, dengan ketelitian yang jauh lebih besar.
Sebuah versi modern dari eksperimen Faraday diperlihatkan dalam
Gambar 23-23. Rincian kotak yang bertanda "sumber daya" ("power
supply") tidaklah penting; kerja kotak itu adalah untuk menempatkan
muatan pada bola sebelah luar dan menghilangkan muatan itu bila
diinginkan. Kotak sebelah dalam dengan sebuah muka arloji (dial) adalah
sebuah elektrometer yang peka, yakni sebuah instrumen yang dapat
mendeteksi gerak muatan yang jumlahnya sangat kecil di antara bola
sebelah luar dan bola sebelah dalam. Jika hukum Gauss benar, maka
tidak akan pernah ada muatan pada permukaan sebelah dalam dari bola
sebelah luar itu. Jika demikiano maka seharusnya tidak ada aliran
muatan di antara bolabola ketika bola sebelah luar itu sedang diberi
muatan atau sedang dikosongkan muatannya. Kenyataan bahwa
sesungguhnya tidak ada aliran diamati merupakan sebuah konfirmasi
yang sangat peka dari hukum Gauss dan dengan demikian juga adalah
sebuah kepastian dari hukum Coulomb. Ketelitian eksperimen ini
terutama dibatasi oleh elektrometer itu, yang dapat peka secara
mengherankan. Eksperimen selalu memperlihatkan bahwa eksponen 2
dalam 1/r² dari hukum Coulomb tidak berbeda lebih daripada 10-16 dari
2 persisnya. Maka tidak ada alasan untuk mencurigai bahwa eksponen itu
adalah sesuatu yang secara eksak lain daripada 2.
Prinsip yang sama yang melatarbelakangi eksperimen ember es
Faraday digunakan dalan generator elektrostatik Van de Graaff (Gambar
23-24). Bola konduksi bermuatan dari Gambar 23-22 digantikan oleh
sebuah ikat pinggang bermuatan yang secara terus menerus mengangkut
muatan ke bagian dalam sebuah kulit konduksi, hanya untuk mengangkut
muatan itu ke permukaan luar kulit itu. Sebagai akibatnya, muatan pada
kulit dan medan listrik di sekitarnya dapat menjadi sangat besar secara
sangat cepat. Generator Van de Graaff itu digunakan sebagai akselerator
partikel bermuatan dan untuk demonstrasi fisika.
Prinsip ini juga membentuk dasar untuk pelindung elektrostatik
(electrostatic shield'lng), Misalkan kita mempunyai sebuah instrumen
elektronik yang sangat sensitif yang kita inginkan untuk dilindungi dari
medan listrik yang kesasar yang dapat menyebabkan pengukuran yang
salah. Kita mengelilingi instrumen itu dengan sebuah material konduksi
seperti selembar tembaga. Medan listrik luar mendistribusikan kembali
elektron-elektron bebas dalam konduktor itu, yang meninggalkan sebuah
muatan positif netto pada permukaan sebelah luar dalam beberapa
daerah dan sebuah muatan negatif netto dalam daerah lainnya (Gambar
23-25). Distibusi muatan ini menyebabkan sebuah medan listrik
tambahan sehingga medan total di tiap+iap titik dalam kotak sama
dengan nol, seperti yang dikatakan oleh hukum Gauss. Distribusi muatan
pada kotak juga mengubah bentuk dari garis-garis medan di dekat kotak
itu seperti yang diperlihatkan oleh gambar. Susunan seperti itu seringkali
dinamakan sangkar Faraday (Faraday cage). Peistiwa Fisika yang sama
memberitahu Anda bahwa salah satu tempat yang paling aman sewaktu
badai halilintar adalah di dalam
sebuah mobil; jika mobil itu disambar oleh halilintar, maka muatan itu
cenderung berdiam pada kulit logam kendaraan tersebut, dan medan
listrik kecil atau tidak ada medan listrik yang dihasilkan dalam ruangan
penumpang.
MEDAN DI PERMUKAAN SEBUAH KONDUKTOR
Terakhir, kita memperhatikan bahwa ada sebuah hubungan
langsung di antara medan ..
di sebuah titik yang persis berada di luar
sebuah konduktor dan kerapatan muatan permukaan s di titik tersebut.
Umumnya, s berubah dan titik ke titik pada permukaan itu. Kita akan
memperlihatkan dalam Bab 24 bahwa di sebarang titik seperti itu, arah
..
selalu tegak lurus terhadap permukaan.
Untuk mencari sebuah hubungan di antara s di sebarang titik
pada permukaan dan komponen tegak lurus dari medan listrik di titik
tersebut, kita mengkonstruksi sebuah permukaan Gaussian dalam bentuk
sebuah silinder kecil (Gambar 23—26). Satu sisi ujung, dengan luas A,
terletak di dalam konduktor itu, dan sisi ujung yang lainnya terletak
persis di luar konduktor itu. Medan listrik adalah nol di semua titik di
dalam konduktor. Di luar konduktor itu komponen dari ..
yang tegak
lurus terhadap dinding samping silinder itu adalah nol, dan pada muka
ujung itu komponen yang tegak lurus tersebut sama dengan (Jika .Es
adalah positif maka medan listrik itu akan menunjuk ke arah luar
konduktor dan akan positif; jika .Es adalah negatif, medan itu akan
menunjuk ke arah dalam dan akan negatif.) Maka fluks total yang
melalui permukaan itu adalah . Muatan yang tercakup dalam
permukaan Gaussian itu adalah
.EAE.
As, sehingga dari hukum Gauss,
Kita dapat memeriksa ini dengan hasil-hasil yang telah kita dapatkan
untuk permukaan bola, permukaan silinder, dan permukaan bidang.
Kita memperlihatkan dalam Contoh 23—8 bahwa besarnya medan
di antara dua pelat konduksi rata tak berhingga yang bermuatan
berlawanan juga menyamai 0/er. Dalam kasus ini besarnya medan itu
sama di semua jarak dan pelat-pelat itu, tetapi dalam semua kasus
lainnya, besamya medan itu berkurang dengan jarak yang semakin
bertambah dan permukaan itu.
CONTOH 23-11
Buktikan Persamaan (23—10) untuk sebuah bola konduksi dengan jari-jari
R dan muatan total q.
PENYELESAIAN Dalam Contoh 23—5 (Subbab 23—5) kita memperlihatkan
bahwa medan listrik persis di luar permukaan itu adalah
Densitas muatan permukaan itu adalah homogen dan sama dengan q
dibagi oleh luas permukaan bola:
Dengan membandingkan kedua pernyataan ini, kita mengetahui bahwa
0/.=sE adalah seperti yang dinyatakan oleh Persamaan (23—I 0).
CONTOH 23-12
Medan listrik bumi Bumi mempunyai muatan listrik netto. Medan listrik
yang dihasilkan di dekat permukaan bumi dapat diukur dengan instrurnen
elektronik yang peka: nilai rata-ratanya adalah 150 N/C, yang diarahkan
menuju pusat bumi. a) Berapakah kerapatan muatan perrnukaan yang
bersangkutan? b) Berapakah muatan perrnukaan total dan bumi itu?
PENYELESAIAN a) Kita rnengetahui dan arah medan itu bahwa sadalah
negatif (yang bersesuaian dengan yang diarahkan ke dalam permukaan
sehingga ..
adalah negatif). Dan Persamaan (23—10),
2292/12120/33,1/1033,1...
/)150)(1085,8(
mnCmCNmNCE-=×-=
-•×==.
-
--
.s
b) Muatan total Q adalah hasil kali dan luas perrnukaan , di mana
adalah jari-jari bumi, dan kerapatan muatan
24BRpmRB61038,6×=
kCCmCmQ680108,6...
/1033,1()1038,6(45)2922-=×-=
×-×=-p
Kita dapat juga menggunakan hasil dan Contoh 23—5. Pernecahan untuk
Q, kita ternukan
Sebuah elektron bermuatan —1,60 x 109C/m2 maka banyaknya kelebihan
muatan untuk negatif bersesuaian dengan (—6,8 x C)/ (—1,60 x )
= 4,2 x kelebihan elektron pada bumi, atau sekitar 7 mol dan
kelebihan elektron. Nilai ini seimbang dengan
5101910-
2410
persarnaan defisiensi elektron dalam atmosfir bumi, jadi kombinasi bumi
dan atmosfir adalah netral secara listrik.
RINGKASAN
KATA KUNCI
permukaan tertutup (closed surface), 121
fluks llstrik (electric flux), 122
integral permukaan (surface integral), 125
hukum Gauss, 127
Gaussian (Gaussian surface), 129
Eksperimen ember es Faraday (Faraday’s icepail experiment), 138
• Fluks listrik adalah ukuran “aliran” medan listrik yang melalui
sebuah permukaan. Fluks listrik itu sama dengan hasil
perkalian elemen luas dan komponen tegak lurus dari ..
, yang
diintegralkan pada sebuah permukaan:
• Hukum Gauss secara logika adalah ekuivalen dengan hukum
Coulomb, tetapi penggunannya sangat menyederhanakan soal-
soal yang mempunyai derajat simetri yang tinggi. Hukum itu
menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebuah
permukaan tertutup, yang dapat dituliskan sebagai integral
permukaan dan komponen dari ..
yang normal terhadap
permukaan itu, menyamai sebuah konstanta kali muatan total
yang dicakup oleh permukaan itu: tercakupQ
Hukum Gauss dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yang
ekuivalen:
• Bila muatan yang berlebih ditempatkan pada sebuah konduktor
dan berada dalam keadaan diam, muatan yang berlebih itu
seluruhnya terdapat pada permukaan, dan 0=E.
di setiap
tempat dalam material konduktor itu.
• Tabel berikut mendaftarkan medan listnik yang disebabkan
oleh beberapa distribusi muatan. Dalam tabel itu, q, Q, . dan
a menunjuk pada besar kuantitas-kuantitas tersebut.
PERTANYAAN DISKUSI
P23—1 Sebuah permukaan Gaussian berbentuk bola mencakup sebuah
muatan titik q. Jika muatan titik itu dipindahkan dan pusat bola ke
sebuah titik menjauhi pusat itu, apakah medan listrik di sebuah titik
pada permukaan itu berubah? Apakah fluks total yang melalui permukaan
Gaussian itu berubah? Terangkan.
P23—2 Sebuah daerah ruang tertentu dibatasi oleh sebuah permukaan
tertutup khayali yang tidak berisi muatan. Apakah medan listrik selalu
nol di setiap tempat pada pemukaan itu? Jika tidak, di bawah keadaan
apakah medan itu nol pada permukaan?
P23—3 Sebuah balon karet mempunyai sebuah muatan titik tunggal di
dalamnya. Apakah fluks listrik yang melalui balon itu bergantung pada
apakah balon itu sepenuhnya dipompa atau tidak? Terangkan alasan
Anda.
P23—4 Apakah hukum Coulomb dan hukum Gauss seluruhnya ekuivalen?
Apakah ada situasi dalam elektrostatika di mana salah satu dari kedua
hukum itu berlaku dan hukum yang lainnya tidak berlaku? Terangkan
alasan Anda.
P23—5 Dalam Gambar 23—13, misalkan sebuah muatan titik ketiga
ditempatkan di luar permukaan Gaussian C yang berwana kuning. Apakah
ini akan mempengaruhi fluks listnik yang melalui salah satu permukaan
A, B, C, atau D dalam gambar itu? Mengapa atau mengapa tidak?
P23—6 Seandainya medan listrik dan sebuah titik sebanding dengan
bukannya , akankah hukum Gauss masih berlaku? Terangkan alasan
Anda. (Petunjuk: Tinjaulah sebuah permukaan Gaussian bola yang
berpusat pada sebuah muatan titik tunggal.)
2/1r2/1r
P23—7 Sebuah silinder Iingkaran tegak yang padat yang jari-jarinya R
dan tingginya h = R mempunyai muatan yang didistribusikan secara
homogen di seluruh volumenya. Dapatkah hukum Gauss digunakan untuk
menghitung medan listnik di semua titik di dalam silinder itu? Bagaimana
tentang medan listrik di semua titik di luar silinder itu? Terangkan alasan
Anda.
P23—8 Diperlihatkan dalam buku pelajaran ini bahwa medan listrik di
dalam sebuah rongga kosong dalam sebuah konduktor adalah nol. Apakah
pernyataan ini benar, tak peduli bagaimanapun bentuk rongga itu?
Mengapa atau mengapa tidak?
P23—9 Medan listrik E.
adalah homogen di seluruh daerah tertentu dan
suatu ruang. Sebuah bola konduksi kecil yang mengangkut sebuah
muatan netto Q kemudian ditempatkan dalam daerah ini. Berapakah
medan listrik di dalam bola itu? Terangkan alasan Anda.
P23—10 Dalam sebuah konduktor, satu atau lebih elektron dan setiap
atom bebas bergerak mondar-mandir di seluruh volume konduktor itu.
Apakah ini menentang penyataan bahwa setiap muatan yang berlebih
pada sebuah konduktor padat harus berada pada permukaannya?
Mengapa atau mengapa tidak?
P23—11 Terangkan pernyataan yang berikut: “Dalam sebuah situasi
statis, medan listnik di permukaan sebuah konduktor tidak dapat
mempunyai komponen yang sejajar dengan permukaan itu, karena hal ini
akan melanggar syarat bahwa muatan pada permukaan itu diam”.
Apakah pernyataan yang sama ini merupakan pernyataan yang berlaku
juga untuk medan listrik di permukaan sebuah isolator? Terangkan
jawaban Anda, dan alasan untuk setiap perbedaan di antara kasus
sebuah konduktor dan kasus sebuah isolator.
P23—12 Besar E.
di permukaan sebuah konduktor padat yang bentuknya
tak teratur harus paling besar dalam daerah di mana permukaan itu
melengkung paling tajam, seperti pada titik A dalam Gambar 23—27, dan
harus paling kecil dalam daerah rata seperti titik B dalam Gambar 23—
27. Terangkan mengapa hal ini harus demikian dengan meninjau
bagaimana garis-garis medan listrik harus diatur di dekat sebuah
permukaan di titik A dibandingkan dengan kerapatan muatan permukaan
di titik B? Terangkan.
P23—13 Sebuah penangkal petir adalah sebuah batang tembaga yang
tajam yang dinaikkan ke atas sebuah bangunan dan dipatri pada sebuah
kabel tembaga yang berat, yang memanjang ke bawah ke dalam tanah.
Penangkal petir digunakan untuk melindungi rumah dan gudang dari
sambaran petir; arus petir itu berjalan melalui tembaga dan bukan
melalui bangunan. Mengapa? Mengapa ujung penangkal plat itu harus
tajam? (Petunjuk: Jawaban untuk P23—12 mungkin dapat membantu.)
P23—14 Sebuah konduktor padat mempunyai sebuah rongga di
dalamnya. Apakah kehadiran sebuah muatan titik di dalam rongga itu
akan mempengaruhi medan listrik di luar konduktor tersebut? Mengapa
atau mengapa tidak? Apakah kehadiran sebuah muatan titik di luar
konduktor itu akan mempengaruhi medan listrik di dalam rongga itu?
Sekali lagi, mengapa atau mengapa tidak?
P23—15 Beberapa pesawat udara modern dibuat terutama dari material
komposit yang tidak menghantarkan listrik. Administrasi Penerbangan
Federal Amerika Serikat mengharuskan pesawat udara seperti itu
mempunyai kawat-kawat konduksi yang ditanamkan dalam
permukaannya untuk menyediakan perlindungan ketika terbang di dekat
hujan badai yang disertai petir dan guruh. Terangkan peristiwa fisika
yang melatarbelakangi persyaratan ini.
LATIHAN
SUBBAB 23—3 MENGHITUNG FLUKS LISTRIK
23—1 Selembar kertas rata yang luasnya 0,250 diorientasikan
sehingga normal ke lembar itu membentuk sudut sebesar 60° terhadap
sebuah medan listrik homogen yang besamya 14 N/C. a) Carilah besar
fluks listrik yang melalui lembar itu. b) Apakah jawaban untuk bagian (a)
bergantung pada bentuk lembar itu? Mengapa atau mengapa tidak? c)
Untuk sudut
2mf berapakah di antara normal ke lembar itu dan medan
listrik terdapat besar fluks yang melalui lembar tersebut i) paling besar?
ii) paling kecil? Terangkan jawaban Anda.
23—2 Kubus dalam Gambar 23—28 mempunyai sisi-sisi yang panjangnya L
= 10,0 cm. Medan listrik itu adalah homogen, mempunyai besar E = 4,00
N/C, dan sejajar dengan bidang-xy pada sudut sebesar 36,9° yang
diukur dari sumbu x positif menuju sumbu y positif. a) Berapakah fluk
listrik yang melalui masing-masing keenam muka
310×
kubusdan? b) Berapakah fluks listrik total yang melalui
semua sisi kubus itu?
54321,,,,SSSSS6S
23—3 Sebuah kubus mempunyai sisi-sisi yang rusuknya L. Kubus itu
ditempatkan dengan satu titik sudut di titik asal seperti yang
diperlihatkan dalam Gambar 23—28. Medan listrik itu adalah homogen
dan diberikan oleh DkCjBiE-+=
.di mana B, C, dan D adalah konstanta-
konstanta yang positif. a) Carilah fluks listrik yang melalui masing-masing
keenam sisi kubus itu b dan? b) Carilah fluks listrik
yang melalui seluruh kubus itu.
54321,,,,SSSSS6S
23—4 Sebuah lembar rata mempunyai bentuk sebuah segi empat siku-
siku dengan sisi-sisi yang panjangnya 0,400 m dan 0,600 m. Lembar itu
dicelupkan dalam sebuah medan listrik homogen yang besarnya 75,0
N/C, yang membentuk sudut 20° dari bidang lembar itu (Gambar 23—29).
Carilah besarya fluks listrik yang melalui lembar itu.
23—5 Diperlihatkan dalam Contoh 22—11 (Subbab 22—7) bahwa medan
listrik yang ditimbulkan oleh sebuah garis muatan tak terhingga adalah
tegak lurus terhadap garis muatan itu dan mempunyai besar
rE02/.=p.. Tinjaulah sebuah silinder khayal dengan jari-jari r =
0,250 m dan panjang l = 0,400 m yang mempunyai sebuah garis muatan
positif tak berhingga yang terletak sepanjang sumbu silinder itu. Muatan
per satuan panjang pada garis itu adalah /00,6Cµ.=m. a) Berapakah
fluks listrik yang melalui silinder itu yang ditimbulkan oleh garis muatan
tak berhingga ini? b) Berapakah fluks yang melalui silinder itu jika jari-
jarinya ditambah menjadi r = 0,500 m? e) Berapakah fluks yang melalui
silinder itu jika panjangnya ditambah menjadi l = 0,800 m?
SUBBAB 23—4 HUKUM GAUSS
23—6 Ketiga bola kecil yang diperlihatkan dalam Gambar 23—30
mengangkut muatan nCdanqnCqnCq40,2,80,7,00,4321=-==. Carilah
fluks listrik netto yang melalui masing-masing permukan tertutup yang
penampangnya diperlihatkan dalam gambar f)
Apakah jawaban Anda untuk bagian (a) sampai bagian (e) bergantung
pada bagaimana muatan itu didistribusikan pada setiap bola kecil?
Mengapa atau mengapa tidak?
;54321););););)SeSdScSbSa
23—7 (a) Sebuah muatan tertutup mencakup sebuah muatan netto
sebesar —3,60 Cµ. Berapa fluks listrik netto yang melalui permukaan
itu? b) Fluks listrik yang melalui sebuah permukaan tertutup adalah
sebesar 780 N• /C. Berapakah kuantitas dan muatan yang dicakup
oleh permukaan itu? c) Permukaan tertutup dalam bagian (b) adalah
sebuah kubus dengan sisi-sisi yang panjangnya 2,50 cm. Dan informasi
yang diberikan dalam bagian (b), apakah mungkin untuk mengetahui di
mana di dalam kubus itu muatan tersebut diletakkan? Terangkan.
2m
23—8 Sebuah muatan titik q = 4,00 nC diletakkan pada sumbu x di x =
2,00 m, dan sebuah muatan titik kedua = —6,00 nC berada pada
sumbu y di y = 1,00 m. Berapakah fluks listrik total yang ditimbulkan
oleh kedua muatan titik ini melalui sebuah permukaan bola yang
berpusat di titik asal dan dengan jari-jari a) 0,500 m? b)1,50 m? c)2,50
m?
2q
23—9 Dalam sebuah daerah ruang tertentu medan listrik E.
adalah
homogen. a) Gunakan hukum Gauss untuk membuktikan bahwa daerah
ruang ini secara listrik harus netral; yakni, kerapatan muatan volume .
harus nol. b) Apakah pernyataan kebalikannya benar? Yakni, dalam
sebuah daerah ruang di mana tidak ada muatan, haruskah E.
homogen?
Terangkan.
23—10 a) Dalam sebuah daerah ruang tertentu, kerapatan muatan
volume . mempunyai nilai positif homogen. Dapatkah E.
homogen
dalam daerah ini? Terangkan. (b) Misalkan dalam daerah . yang positif
homogen ini ada sebuah “gelembung” di dalam di mana . = 0. Dapatkah
E.
homogen di dalam gelembung ini? Terangkan.
23—11 Sebuah muatan titik sebesar 9,60 mC berada di pusat sebuah
kubus dengan sisi-sisi yang rusuknya 0,500 m. a) Berapakah fluks listrik
yang melalui salah satu dan keenam muka kubus itu? b) Bagaimana
perubahan jawaban Anda untuk bagian (a) seandainya sisi-sisi itu
mempunyai rusuk 0,250 m? Terangkan.
SUBBAB 23-5 APLIKASI HUKUM GAUSS
SUBBAB 23—6 MUATAN PADA KONDUKTOR
23—12 Sebuah bola logam padat yang jari-jarinya 0,450 m mengangkut
muatan netto sebesar 0,250 nC. Carilah besamya medan listrik a) di
sebuah titik 0,100 m di luar permukaan bola itu; b) di sebuah titik di
dalam bola itu; 0,100 m di bawah permukaan.
23—13 Dalam sebuah demonstrasi kuliah fisika, sebuah muatan sebesar
—0,180 Cµ ditempatkan pada kubah bola sebuah generator Van de
Graaff. a) Seberapa jauh dari pusat kubah itu seharusnya Anda duduk
supaya medan listrik di tempat duduk Anda mempunyai besar di dalam
nilai maksimum yang direkomendasikan sebesar 614 N/C (Latihan 22—
28)? b) Jawaban untuk bagian (a) tidak bergantung pada jari-jari kubah
itu. Mengapa tidak?
23—14 Drum silinder pembentuk citra dan sebuah mesin fotokopi harus
mempunyai sebuah medan listrik persis di luar permukaan drum itu
sebesar 1,40 N/C. a) Jika drum itu mempunyai luas permukaan
sebesar 0,0610 (luas selembar kertas berukuran
510+
2m218 x 11 in),
berapakah kuantitas muatan total yang harus berdiam pada permukaan
drum itu? b) Jika luas permukaan drum itu ditambah menjadi 0,122 m2
sehingga lembar-lembar kertas yang lebih besar dapat digunakan,
berapakah kuantitas muatan total yang diperlukan untuk menghasilkan
medan listrik yang sama sebesar 1,40 x N/C persis di atas permukaan
itu?
510
23—15 Berapa banyak elektron berlebih yang harus ditambahkan pada
sebuah konduktor bola yang terisolasi yang diameternya 32,0 cm untuk
menghasilkan sebuah medan listrik sebesar 1.150 N/C persis di luar
permukaan itu?
23—16 Sebuah konduktor dengan sebuah rongga di bagian dalamnya,
seperti konduktor yang diperlihatkan dalam Gambar 23—20c,
mengangkut sebuah muatan total sebesar +5,00 nC. Muatan di dalam
rongga itu, yang diisolasi dan konduktor tersebut adalah - 6,00 nC.
Berapakah banyak muatan yang berada pada a) permukaan sebelah
dalam dari konduktor itu? b) permukaan sebelah luar dari konduktor itu?
23—17 Gunakanlah hukum Gauss pada permukaan Gauss S2, S3, dan S4
dalam Gambar 23—18b untuk menghitung medan listrik antara pelat-
pelat dalam dan pelat-pelat luar.
23—18 Sebuah lembar pengisolasi yang berbentuk bujur sangkar yang
sisinya 80,0 cm dipegang secara horizontal. Lembar itu mempunyai
muatan sebesar 7,50 nC yang tersebar secara homogen pada luasnya. a)
Hitunglah medan listrik di sebuah titik yang berada 0,100 m di atas pusat
lembar itu. b) Perkirakanlah medan listrik di sebuah titik yang berada
100 m di atas pusat lembar itu. c) Apakah jawaban untuk bagian (a)
dan (b) akan berbeda seandainya lembar itu dibuat dari material yang
bersifat konduktor? Mengapa atau mengapa tidak?
23—19 Sebuah konduktor silinder yang panjangnya tak berhingga
mempunyai jari-jari R dan kerapatan muatan permukaan U yang
homogen. a) Dinyatakan dalam s dan R, berapakah muatan per satuan
panjang, yakni ., untuk silinder itu? b) Dinyatakan dalam s, berapakah
besarnya medan listrik yang dihasilkan oleh silinder yang bermuatan itu
di suatu jarak r > R dan sumbunya? c) Nyatakan hasil dari
bagian (b) yang dinyatakan dalam . dan perlihatkan bahwa medan
listrik di luar silinder itu adalah sama seakan-akan semua muatan itu
berada pada sumbu. Bandingkan hasil Anda dengan hasil untuk sebuah
garis muatan dalam Contoh 23—6 (Subbab 23—5).
23—20 Sebuah kubus mempunyai sisi-sisi yang rusuknya L = 0,30 m.
Kubus itu ditempatkan dengan satu titik sudut di titik asal seperti yang
diperlihatkan dalam Gambar 23—28. Medan listrik itu tidak homogen
tetapi diberikan oleh E.= (—5,00 N/C m)xi + (3,00 N/C m)zk a) Carilah
fluks listrik yang melalui masing-masing keenam sisi kubus
b dan b) Carilah muatan listrik total di dalam kubus
itu.
54321,,,,SSSSS6S
23—21 Sebuah permukan bujur sangkar yang rata dengan sisi-sisi yang
rusuknya L dilukiskan oleh persamaan
,Lx= ,0Ly== ,0Lz==
a) Gambarkan bujur sangkar ini dan perlihatkan sumbu x, sumbu y, dan
sumbu z. b) Carilah fluks listrik yang melalui bujur sangkar itu yang
ditimbulkan oleh sebuah muatan titik positif q yang diletakkan di titik
asal (x = 0, y = 0, z = 0). (Petunjuk: Pikirkanlah bujur sangkar itu sebagai
bagian dari sebuah kubus yang berpusat di titik asal.)
23—22 Medan listrik E.
dalam Gambar 23—i di setiap tempat sejajar
dengan sumbu x, sehingga komponen dan adalah nol. Komponen
dari x dan medan itu, yakni , bergantung pada x tetapi tidak
bergantung pada y dan x. Di titik-titik dalam bidang yz (di mana x = 0),
= 125 N/C. a) Berapakah fluks listrik yang melalui permukaan I dalam
Gambar 23—31? b) Berapa fluks listrik yang melalui permukaan II? c)
Volume yang diperlihatkan dalam gambar itu adalah sebuah bagian kecil
dari sebuah lempeng pengisolasi yang sangat besar yang tebalnya 1,0 m.
Jika ada muatan total —24,00 nC di dalam volume yang diperlihatkan,
berapakah besar
yExEzExEE.
dan kemanakah arahnya di sisi yang berhadapan
dengan pemukaan I? d) Apakah medan listrik yang dihasilkan itu hanya
oleh muatan di dalam lempeng tersebut, atau apakah medan itu juga
ditimbulkan oleh muatan di luar lempeng? Bagaimana Anda dapat
mengetahuinya?
23—23 Medan listrik 1E.
pada salah satu sisi dan sebuah paralelpipedum
adalah homogen pada keseluruhan sisi itu dan diarahkan ke luar dan sisi
itu. Di sisi yang berhadapan dengan sisi tersebut, medan listrik 2E.
adalah juga homogen pada keseluruhan sisi dan diarahkan ke dalam sisi
tersebut (Gambar 23—32). Kedua sisi dalam soal ini dimiringkan pada
sudut 30,0° dan arah horizontal, sedangkan kedua 1E.
dan 2E.
adalah
horizontal; mempunyai besar 2,50 N/C, dan 410×2E.
mempunyai besar
7,00 N/C. a) Dengan menganggap bahwa tidak ada garis medan
listrik lain menyeberang permukaan paralelpipedum itu, tentukanlah
muatan netto yang terkandung di dalam paralelpipedum. b) Apakah
medan listrik itu dihasilkan hanya oleh muatan di dalam paralelpipedum,
atau apakah medan itu juga ditimbulkan oleh muatan di luar
paralelpipedum? Bagaimana Anda dapat mengatakannya?
410×
23—24 Sebuah Bola dalam sebuah Bola. Sebuah bola konduksi padat
yang mengangkut muatan q mempunyai jari-jari a. Bola itu berada di
dalam sebuah bola konduksi kosong yang konsentris yang jari-jari
dalamnya b dan jari-jari luarnya c. Bola kosong itu tidak mempunyai
muatan netto. a) Turunkan pernyataan untuk besarnya medan listrik
yang dinyatakan dalam jarak r dan pusat untuk daerah-daerah r < a, a <
r < b, b < r < c, dan r> c. b) Gambarkan grafik besar medan listrik itu
sebagai fungsi r dan r = 0 ke r = 2c. c) Berapakah muatan pada
permukaan sebelah dalam dari bola kosong itu? d) Pada permukaan
sebelah luar? e) Nyatakanlah muatan bola kecil itu dengan empat tanda
plus. Gambarkanlah sketsa garis-garis medan dan sistem itu di dalam
sebuah volume medan yang janjarinya 2c.
23—25 Sebuah bola konduksi padat yang jari-jarinya R dan mengangkut
muatan positif Q adalah konsentris dengan sebuah kulit pengisolasi yang
sangat tipis yang jari-jarinya 2r yang juga mengangkut muatan Q. Muatan
Q itu didistribusikan secara homogen pada kulit pengisolasi tersebut. a)
Carilah medan listrik (besar dan arahnya) dalam masing-masing daerah 0
< r <R, R < r < 2R, dan r > 2R. b) Gambarkanlah grafik dari besarnya
medan listrik sebagai fungsi dari r.
23—26 Sebuah kulit bola konduksi dengan jari-jari dalam a dan jari-jari
luar b mempunyai sebuah muatan titik positif q yang diletakkan di
pusatnya. Muatan total pada kulit itu adalah —3Q dan kulit itu diisolasi
dari sekitanya (Gambar 23—33). Turunkan pernyataan untuk besar medan
listrik yang dinyatakan dalam jarak r dan pusat itu untuk daerah-daerah r
< a, a < r < b, dan r > b. b) Berapakah kerapatan muatan permukaan
pada permukaan sebelah dalam dari kulit konduksi itu? c) Berapakah
kerapatan muatan permukaan pada permukaan sebelah luar dari kulit
konduksi itu? d) Gambarkan sketsa garis-garis medan listrik dan letak dan
semua muatan. e) Gambarkan grafik besar medan listrik sebagai fungsi
dari r
23—27 Kulit Bola Konsentris. Sebuah kulit bola konduksi yang kecil
dengan jari-jari dalam a dan jari-jari luar b konsentris dengan sebuah
kulit bola konduksi yang lebih besar dengan jari-jari dalam c dan jari-jari
luar d (Gambar 23—34). Kulit sebelah dalam mempunyai muatan +4q. a)
Hitunglah medan listrik (besar dan arahnya) yang dinyatakan dalam q
dan jarak r pusat bersama kedua kulit itu untuk i) r < a; ii) a < r < b; iii)
b < r < c; iv) c < r < d; v) r > d.
Perlihatkan hasil Anda dalam sebuah grafik dari komponen radial dari E.
sebagai fungsi r. b) Berapakah muatan total pada i) permukaan sebelah
dalam dari kulit kecil itu; ii) permukaan sebelah luar dari kulit besar itu;
iii) permukaan sebelah dalam dari kulit besar itu; iv) permukaan sebelah
luar dari kulit besar itu.
23—28 Ulangilah Soal 23—27, tetapi sekarang anggaplah kulit sebelah
luar itu mempunyai muatan —2q. Seperti dalam Soal 23—27, kulit
sebelah dalam mempunyai muatan +2q.
23—29 Ulangilah Soal 23—27, tetapi sekarang misalkan kulit sebelah luar
mempunyai muatan —4q . Seperti dalam Soal 23—27, kulit sebelah dalam
mempunyai muatan +2q.
23—30 Sebuah bola konduksi padat yang jari-jarinya R mengangkut
muatan total positif q. Bola itu dikelilingi oleh sebuah kulit pengisolasi
dengan jari-jari dalam R dan jari-jari luar 2R. Kulit pengisolasi itu
mempunyai kerapatan muatan homogen p. a) Carilah nilai p sehingga
muatan netto dari keseluruhan sistem itu adalah nol. b) Jika p
mempunyai nilai yang didapatkan dalam bagian (a), carilah medan listrik
(besar dan arahnya) dalam masing-masing daerah 0 < r < R, R < 2R,
dan r > 2R. Perlihatkan hasil-hasil Anda dalam sebuah grafik dan
komponen radial dari E.
sebagai fungsi dan r. c) Sebagai kaidah urnum,
medan listrik itu hanya diskontinu di tempat di mana ada sebuah lembar
muatan tipis. Terangkan bagaimana hasil Anda dalam bagian (b) cocok
dengan kaidah ini.
23—31 Muatan negatif -Q didistribusikan secara homogen pada
permukaan sebuah kulit pengisolasi bola tipis dengan jari-jari R.
Hitunglah gaya (besar dan arahnya) yang dikerahkan oleh kulit itu pada
sebuah muatan titik positif q yang diletakkan a) sejauh r > R dari pusat
kulit itu (di luar kulit itu); b) sejauh r < R dari pusat kulit itu (di dalam
kulit itu).
23—32 Sebuah kulit bola pengisolasi yang kecil dengan jari-jari dalam a
dengan jari-jari luar b konsentris dengan sebuah kulit bola pengisolasi
yang lebih besar dengan jari-jari dalam c dan jari-jari luar d (Gambar
23—34). Kulit sebelah dalam mempunyai muatan total +q yang
didistribusikan secara homogen pada volumenya, dan kulit sebelah luar
mempunyai muatan —q yang didistribusikan secara homogen pada
volumenya. a) Hitung kerapatan muatan pada kulit sebelah dalam dan
pada kulit sebelah luar. b) Hitung medan listnik (besar dan arahnya) yang
dinyatakan dalam q dan jarak r dari pusat bersama kedua kulit itu untuk
i) r < a; ii) a < r < b; iii) b < r < c; iv) c < r < d ; v) r > d. Perlihatkan hasil
Anda dalam sebuah grafik dari komponen radial dari E.
sebagai
fungsi dari r.
23—33 Kabel Sesumbu. Sebuah kabel sesumbu yang panjang terdiri dari
sebuah konduktor silinder dalam dengan jari-jari a dan sebuah silinder
sesumbu luar dengan jari-jari dalam b dan jari-jari luar c. Silinder luar
itu dinaikkan pada penopang pengisolasi dan tidak mempunyai muatan
netto. Silinder dalam mempunyai muatan positif homogen per unit
panjang .. Hitung medan listrik a) di sebarang titik di antara silinder-
silinder itu sejauh r dan sumbu; b) di sebarang titik di luar silinder
sebelah luar. c) Gambarkan grafik besarnya medan listrik itu sebagai
fungsi dari jarak r dari sumbu kabel itu, dan r = 0 ke r = 2c. d) Carilah
muatan per satuan panjang pada permukaan sebelah dalam dan
permukaan sebelah luar dari silinder luar itu.
23—34 Sebuah tabung konduksi yang sangat panjang (silinder kosong)
mempunyai jari-jari dalam a dan jari-jari luar b. Tabung itu mengangkut
muatan per satuan panjang +a, di mana a adalah sebuah konstanta
positif dengan satuan C/m. Sebuah garis muatan terletak sepanjang
sumbu tabung itu. Garis muatan itu mempunyai muatan per satuan
panjang +a. a) Hitunglah medan listrik yang dinyatakan dalam a dan
jarak r dari sumbu tabung itu untuk i) r < a ; ii) a < r < b; iii) r> b.
Perlihatkan hasil-hasil Anda dalam sebuah grafik dari E sebagai fungsi
dari r. b) Berapakah muatan per satuan panjang pada i) permukaan
dalam dari tabung itu; ii) permukaan luar dari tabung itu?
23—35 Ulangilah Soal 23—34, tetapi sekarang anggaplah tabung konduksi
itu mempunyai muatan per satuan panjang —a. Seperti dalam Soal 23—
24, garis muatan itu mempunyai muatan per satuan panjang +a.
23—36 Sebuah silinder padat yang sangat panjang yang jari-jarinya R
mempunyai muatan positif yang didistribusikan secara homogen di
seluruh silinder itu, dengan muatan per satuan volume .. a)
Turunkanlah pernyataan untuk medan listrik di dalarn volume itu sejauh
r dari sumbu silinder yang dinyatakan dalam kerapatan muatan .. b)
Berapakah medan listrik di sebuah titik di luar volume itu yang
dinyatakan dalam muatan per satuan panjang . dalam silinder itu? c)
Bandingkanlah jawaban-jawaban Anda pada bagian (a) dan bagian (b)
untuk r = R. d) Gambarkanlah grafik besar medan listrik sebagai fungsi r
dari r = 0 ke r = 3R.
23—37 Sebuah pelat konduksi tunggal yang besar dan terisolasi (Gambar
23—25) mempunyai muatan per satuan luas s pada permukaannya.
Karena pelat itu adalah sebuah konduktor maka medan listrik di
permukaannya tegak lurus terhadap permukaan itu dan mempunyai besar
E = 02/.s, a) Dalam Contoh 23—7 (Subbab 23—5) diperlihatkan bahwa
medan yang disebabkan oleh sebuah lembar besar yang diberi muatan
secara homogen dengan muatan per satuan luas s mempunyai besar E
=02/.s, yang secara eksak adalah setengah dari besar medan untuk
sebuah pelat konduksi yang bermuatan. Mengapa ada perbedaannya? b)
Dengan memandang distribusi muatan pada pelat konduksi itu sebagai
dua lembar muatan (satu lembar pada setiap permukaan), yang masing-
masing dengan muatan per satuan luas s, gunakanlah hasil dari Contoh
23—7 dan pninsip superposisi untuk memperlihatkan bahwa E = 0 di
dalam pelat itu dan E=02/.s di luar pelat itu.
23—38 Model Atom Thomson. Dalam tahun-tahun awal abad kedua
puluh, sebuah model utama dari struktur atom adalah model yang
dikemukakan oleh fisikawan Inggris J.J. Thomson (penemu elektron).
Dalam model Thomson, sebuah atom terdiri dari sebuah bola material
bermuatan positif yang ke dalamnya dibenamkan elektron-elektron
bermuatan negatif, yang menyerupai keping-keping cokelat dalam
sebuah bola adonan kue. Tinjaulah sebuah atom seperti itu yang terdiri
dari satu elektnon yang massanya m dan muatannya —e, yang dapat
dipandang sebagai sebuah muatan titik, dan sebuah bola yang diberi
muatan secara homogen yang muatannya +e dan jari-jarinya R. a)
Terangkan mengapa kedudukan kesetimbangan dan elektron itu berada
di pusat inti. b) Dalam model Thomson, dianggap bahwa material positif
itu memberikan hambatan kecil atau tidak ada hambatan untuk gerak
elektron itu. Jika elektron itu digeserkan dari kesetimbangan dengan
jarak yang lebih kecil daripada R, perlihatkan bahwa gerak elektron yang
dihasilkan akan merupakan gerak harmonik sederhana, dan hitunglah
frekuensi isolasi itu. (Petunjuk: Tinjau ulanglah definisi gerak harmonik
sederhana dalam Subbab 13—3. Jika dapat diperlihatkan bahwa gaya
netto pada elektron itu mempunyai bentuk seperti ini, maka diperoleh
bahwa gerak itu adalah gerak harmonik sederhana. Sebaliknya, jika gaya
netto pada elektron itu tidak mengikuti bentuk ini, maka gerak itu bukan
gerak harmonik sederhana.) c) Pada saat Thomson hidup, diketahui
bahwa atom-atom yang terisolasi memancarkan gelombang-gelombang
cahaya yang hanya mempunyai frekuensi tertentu. Dalam model
Thomson, frekuensi cahaya yang dipancarkan itu adalah sama seperti
frekuensi osilasi elektron atau frekuensi osilasi elektron-elektron dalam
atom itu. Berapakah seharusnya jari-jari sebuah atom model Thomson
supaya atom itu menghasilkan cahaya merah yang frekuensinya 4,57
1410×Hz? Bandingkan jawaban Anda dengan jari-jari atom yang
sebenarnya, yang ordenya m. (Lihat Appendiks F untuk data
mengenai elektron itu.) d) Seandainya elektron itu digeserkan dan
kesetimbangan dengan jarak yang lebih besar daripada R, apakah
elektron itu akan berosilasi? Apakah geraknya akan merupakan gerak
harmonik sederhana? Terangkan alasan Anda. (Catatan Sejarah: Dalam
tahun 1910, inti atom ditemukan, yang membuktikan model Thomson itu
tidak benar. Sebuah muatan positif atom tidak tersebar pada volumenya
seperti yang dianggap oleh Thomson, tetapi terkonsentrasi dalam inti
kecil yang jari-jarinya sampai m.)
1010-
1410-1510-
23—39 Model Atom Thomson, Lanjutan. Dengan menggunakan model
atom (kuno) Thomson yang dijelaskan dalam Soal 23—38, tinjaulah
sebuah atom yang terdiri dari dua elektron, yang masing-masing
bermuatan —e, yang dibenamkan dalam sebuah bola muatan +2e dan
jari-jari R. Dalam kesetimbangan, setiap elektron berada sejauh d dari
pusat atom itu (Gambar 23—3 6). Carilah jarak d yang dinyatakan dalam
sifat-sifat lain dari atom itu.
23—40 Medan Listrik di dalam sebuah Atom Hidrogen. Sebuah atom
hidrogen dibuat dari sebuah proton yang muatannya +Q = 1,60C
dan sebuah elektron yang muatannya —Q = —1,60C. Proton itu
dapat dipandang sebagai sebuah muatan titik di r = 0, yakni pusat atom
itu. Gerak elektron itu menyebabkan muatannya “dioleskan” ke dalam
sebuah distribusi bola di sekitar proton itu, sehingga elektron ito
1910-×1910-×
ekuivalen dengan sebuah muatan per satuan volume sebesar di mana
m dinamakan jari-jari Bohr. a) Carilah jumlah total dari
muatan atom hidrogen itu yang tercakup di dalam sebuah bola yang jari-
jarinya r yang berpusat pada proton itu. Perlihatkan bahwa jika r
1101029,5-×=a8.,
muatan yang tercakup itu menjadi nol. Jelaskan hasil yang diperoleh itu.
b) Carilah medan listrik (besar dan arahnya) yang disebabkan oleh
muatan atom hidrogen itu sebagai fungsi r. c) Gambarkan grafik besar
medan listrik E sebagai fungsi r.
23—41 Menyelidiki Inti Atom dengan Hamburan Elektron. Untuk
mengkaji struktur inti timah, elektron-elektron (muatan —e = —1,60
C, massa 9,11 kg) ditembakkan ke sasaran timah. Beberapa
dari elektron itu betul-betul memasuki inti sasaran itu dan
penyimpangan elektron-elektron ini diukur. Penyimpangan itu
disebabkan oleh muatan inti, yang secara aproksimasi didistribusikan
secara homogen pada volume bola dari inti itu. Sebuah inti timah
mempunyai muatan sebesar +82e dan jari-jari sebesar R = 7,1 x 1015 m.
Carilah percepatan sebuah elektron di jarak-jarak yang berikut dari
pusat kalsium: a) 2R; b) R; c) R/2; d) nol (di pusat).
1910-3110-×
23—42 Sebuah Lempeng yang diberi Muatan Secara Homogen Sebuah
lempeng material pengisolasi mempunyai tebal 2d dan diorientasikan
sehingga sisi-sisinya sejajar dengan bidang yz dan yang diberikan oleh
bidang x = d dan x = —d. Dimensi y dan dimensi x dari lempeng itu
sangat besar dibandingkan dengan d dan pada pokokoya dapat
diperlakukan sebagai tak berhingga. Lempeng itu mempunyai kerapatan
muatan positif . yang homogen. a) Terangkan mengapa medan listrik
yang ditimbulkan oleh lempeng itu di pusat lempeng (x = 0) adalah nol.
b) Dengan menggunakan hukum Gauss, carilah medan listrik yang
ditimbulkan oleh lempeng itu (besar dan arahnya) di semua titik dalam
ruang.
23—43 Sebuah Lempeng yang Diberi Mnatan Secara Tak Homogen.
Ulangilah Soal 23—42, tetapi sekarang anggaplah kerapatan muatan
lempeng itu diberikan oleh . (x) = 0. (x/d), di mana 20. adalah
sebuah konstanta positif.
23—44 Dapatkah Gaya-gaya Listrik Saja Memberikan Kesetimbangan
Stabil? Dalam Bab 22, beberapa contoh diberikan untuk menghitung gaya
yang dikerahkan pada sebuah muatan titik oleh muatan-muatan titik lain
di sekelilingnya. a) Tinjaulah sebuah muatan titik positif +q. Berikanlah
sebuah contoh bagaimana Anda akan menempatkan dua muatan titik lain
yang Anda pilih sehingga muatan netto pada muatan +q akan sama
dengan nol. b) Jika gaya netto pada muatan +q adalah nol, maka muatan
itu berada dalam kesetimbangan. Kesetimbangan itu akan stabil jika,
saat muatan +q digeserkan sedikit dalam sebarang arah dan kedudukan
kesetimbangannya, maka gaya netto pada muatan itu mendorongnya
kembali menuju kedudukan kesetimbangan itu. Supaya kasusnya seperti
demikian, ke manakah seharusnya arah medan listrik E.
yang ditimbulkan
oleh muatan lainnya di titik-titik yang mengelilingi kedudukan
kesetimbangan dari +q? c) Bayangkanlah bahwa muatan +q dipindahkan
sangat jauh, dan bayangkan sebuah permukaan Gaussian yang kecil yang
berpusat pada kedudukan di mana +q berada dalam kesetimbangan.
Dengan menerapkan hukum Gauss pada permukaan ini, perlihatkan
bahwa tidak mungkin untuk memenuhi syarat stabilitas yang dijelaskan
dalam bagian (b). Dengan kata lain, sebuah muatan +q tidak dapat
dipegang dalam kesetimbangan stabil oleh gaya-gaya elektrostatik saja.
Hasil ini dikenal sebagian teorema Earnshaw d) Bagian (a) sampai dengan
bagian (c) merujuk kepada kesetimbangan sebuah muatan titik positif
+q. Buktikan bahwa teorema Earnshaw juga berlaku pada sebuah muatan
titik negatif —q.
23—45 Sebuah distribusi muatan nonhomogen tetapi simetri bola
mempunyai kerapatan muatan . (r) yang diberikaa sebagai berikut:
)/1()(0Rrr-=.. untuk r < R
0)(=r. untuk r > R
di mana adalah sebuah konstanta positif. a) Perlihatkan
bahwa muatan total yang terkandung dalam distribusi muatan total yang
terkandung dalam distribusi muatan itu adalah Q. b) Perlihatkan bahwa
medan listrik dalam daerah r
30/3RQp.=
> R adalah identik deagan medan listrik
yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik Q di r = 0. c) Dapatkanlah
sebuah pernyataan untuk medan listrik dalam daerah r < R. d)
Gambarkanlah grafik besar medan listrik E sebagai fungsi r. e) Carilah
nilai r di mana medan listrik itu masimum, dan carilah nilai medan
maksimum itu.
23—46 Sebuah distribusi muatan nonhomogen tetapi berbentuk simetris
bola mempunyai kerapatan muatan p(r) yang diberikan sebagai berikut:
)3/41()(0Rrr-=.. untuk r < R
0)(=r. untuk r > R
di mana p0 adalah sebuah konstanta positif. a) Carilah muatan total yang
terkandung dalam distribusi muatan itu. b) Temukan sebuah pernyataan
untuk medan listrik dalam daerah r > R. c) Temukan sebuah pernyataan
untuk medan listrik dalam daerah r < R. d) Gambarkan grafik besarnya
medan listrik E sebagai fungsi dan r. e) Carilah nilai r di mana medan
listrik itu adalah maksimum, dan carilah nilai medan maksimum itu.
23—47 Hukum Gauss untuk Gravitasi. Gaya gravitasi di antara dua
massa titik yang terpisah sejauh r adalah sebanding dengan 1/2r, persis
seperti gaya listrik di antara dua muatan titik. Karena keserupaan di
antara interaksi gravitasi dan interaksi listrik ini maka ada juga hukum
Gauss untuk gravitasi. a) Anggaplah g.
adalah percepatan yang
ditimbulkan oleh gravitasi yang disebabkan oleh sebuah massa titik m di
titik asal, sehingga rrGmgˆ)/(2-=
.. Tinjaulah sebuah permukaan
Gaussian bola yang jari-jarinya r yang berpusat pada massa titik ini, dan
perlihatkanlah bahwa fluks dari g.
melalui permukaan ini diberikan oleh
b) Dengan mengikuti langkah-langkah logika yang sama yang digunakan
dalam Subbab 23—4 untuk mendapatkan bukum Gauss untuk medan
listrik, perlihatkan bahwa fluks dari g.
melalui sembarang permukaan
tertutup diberikan oleh
di mana adalah massa total yang tercakup di dalam permukaan
tertutup itu.
tercakupM
23—48 Menerapkan Hukum Gauss untuk Gravitasi. Dengan
menggunakan hukum Gauss untuk gravitasi (yang diturunkan dalam
bagian (b) Soal 23—47), perlihatkan bahwa pernyataan-pernyataan yang
berikut adalah benar: a) Untuk setiap distribusi massa simetri bola yang
massa totalnya M, percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi di luar
distribusi itu adalah sama, seakan-akan semua massa itu terkonsentrasi
di pusat bola. (Petunjuk: Lihat Contoh 23—5 dalam Subbab 23—5.) b) Di
setiap titik di dalam sebuah kulit massa berbentuk bola simetris,
percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi adalah nol. (Petunjuk: Lihat
Contoh 23—5.) c) Jika kita dapat membor sebuah lubang melalui sebuah
planet berbentuk bola simetri ke pusatnya, dan seandainya massa jenis
bintang itu adalah homogen, kita akan mendapatkan bahwa besarnya g.
adalah berbanding langsung dengan jarak r dari pusat. (Petunjuk: Lihat
Contoh 23—9 dalam Subbab 23— 5.) Kita telah membuktikan hasil-hasil
ini dalam Subbab 12—7 dengan menggunakan analisis yaag sangat berat;
bukti yang menggunakan hukum Gauss adalah jauh lebih mudah.
23—49 a) Sebuah bola pengisolasi yang jari-jarinya mempunyai
kerapatan muatan homogen
a.. Bola itu tidak berpusat di titik asal,
tetapi di br..=. Perlihatkan bahwa medan listrik di dalam bola itu
dibenikan oleh 03/)(.-=brE..... b) Sebuah bola pengisolasi yang jari-
jarinya R mempunyai sebuah lubang bola yang jari-jarinya yang
diletakkan di dalam volumenya dan berpusat sejauh b dan pusat bola itu,
di mana a < b < R (sebuah penampang bola itu diperlihatkan dalam
Gambar 23—37). Bagian yang padat dari bola itu mempunyai kerapatan
muatan volume
a. yang homogen. Carilah dan arah medan listrik E.
di
dalam lubang itu, dan perlihatkan bahwa adalah homogen di seluruh
lubang itu. (Petunjuk: Gunakan prinsip superposisi dan hasil dan bagian
(a).)
23—50 Sebuah silinder pengisolasi padat yang sangat panjang dan jari-
jarinya R mempunyai sebuah lubang silinder yang jari-jarinya , yang
dibor sepanjang keseluruhan panjang silinder itu. Sumbu lubang itu
berada sejauh b dari sumbu silinder, di mana a < b < R (Gambar 23—3 8).
Material padat silinder itu mempunyai kerapatan muatan volume
a. yang
homogen. Carilah besarnya dan arahnya medan listrik E.
di dalam lubang
itu, dan perlihatkan bahwa E adalah homogen pada keseluruhan lubang
itu. (Petunjuk: Lihat Soal 23—49.)
23—51 Muatan positif Q didistribusikan secara homogen pada masing-
masing volume dua bola yang jari-jarinya R. Satu bola muatan berpusat
di titik asal dan bola lainnya berpusat di titik x = 2R (Gambar 23—39).
Carilah besar dan arahnya medan listrik netto yang ditimbulkan oleh
kedua distribusi muatan ini di titik-titik yang berikut pada sumbu x:
a) x = 0; b) x = Rj2; c) x = R; d) x = 3R.
23—52 Ulangilah Soal 23—5 1, tetapi sekarang anggaplah bola sebelah
kiri mempunyai muatan positif Q dan anggap bola sebelah kanan
mempunyai muatao negatif - Q.
SOAL TANTANGAN
23—53 Sebuah daerah dalam ruang mengandung muatan positif total Q
yang didistribusikan dalam bentuk bola sehingga kerapatan muatan
volume .(r) diberikan oleh
a.=)(r untuk r < R/2,
)2/1(2)(Rr-=a. untuk R/2 < R,
0)(=r. untuk r < R,
Di sini a adalah sebuah konstanta positif yang mempunyai satuan
a)Tentukan ./3mCa yang dinyatakan dalam Q dan R. b) Dengan
menggunakan hukum Gauss, turunkanlah sebuah pernyataan untuk besar
sebagai fungsi r Kerjakanlah hal ini secara terpisah untuk ketiga daerah
itu. Nyatakan jawaban Anda dalam muatan total Q. Pastikanlah untuk
memeriksa bahwa hasil-hasil Anda cocok pada batas-batas daerah-daerah
tersebut. c) Pecahan berapakah dari muatan total itu yang dikandung di
dalam daerah r < R/2r d) Jika sebuah elektron dengan muatan q = - e
berosilasi bolak balik terhadap r = 0 (pusat distribusi itu) dengan
amplitudo yang lebih kecil daripada R/2, perlihatkanlah bahwa gerak itu
adalah gerak harmonik sederhana. (Petunjuk: Tinjau ulanglah diskusi
mengenai gerak harmonik sederhana dalam Subbab 13-3. Jika, dan hanya
jika, gaya netto pada elektron itu sebanding dengan pergeserannya dari
kesetimbangan, maka gerak itu adalah gerak harmonik sederhana.) c)
Berapakah periode gerak dalam bagian (d)? f) Jika amplitudo dari gerak
yang dijelaskan dalam bagian (e) lebih besar daripada R/2, apakah gerak
itu masih merupakan gerak harmonik sederhana? Mengapa atau mengapa
tidak?
23—54 Sebuah daerah dalam ruang mengandung muatan positif total Q
yang didistribusikan dalam bentuk bola sehingga kerapatan muatan
volume .(r) yang diberikan oleh
)2/(3)(Rrra.= untuk r < R/2,
[]2/(1)(Rrr-=a. untuk R/2 < r < R
0)(=r. untuk r < R,
Di sini a adalah sebuah konstanta positif yang mempunyai satuan C/m3.
a) Tentukan a yang dinyatakan dalam Q dan R. b) Dengan menggunakan
hukum Gauss, turunkanlah sebuah pernyataan untuk besarnya medan
listrik sebagai fungsi r Kerjakanlah hal ini secara terpisah untuk ketiga
daerah tersebut. Nyatakan jawaban Anda dalam muatan total Q. c)
Pecahan berapakah dan muatan total yang dikandung di dalam daerah
R/2 < r < R? d) Berapakah besarnya E.di r = R/2? e) Jika sebuah elektron
dengan muatan q = - e dilepas dan keadaan diam di sebarang titik dalam
setiap ketiga daerah itu, maka gerak yang dihasilkan akan merupakan
gerak yang berosilasi, tetapi bukan gerak harmonik sederhana. Mengapa?
(Lihat soal Tantangan 23—53.)
top related