handout sinyal & sistem

SINYAL

TEAM DOSEN

1

SINYAL & SISTEMEE2423

Outline

2

Definisi Sinyal & Sinyal dalam kehidupan kitaKlasifikasi Sinyal

Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu DiskretSinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik dan Acak

Sinyal-sinyal DasarOperasi Dasar

Definisi Sinyal

3

Sinyal pada umumnya menggambarkan berbagai fenomena fisik.

Berbagai contoh sinyal dalam kehidupan sehari-hari : arus atau tegangan dalam rangkaian elektrik, suara, suhu, tekanan udara, kecepatan, debit air, sinyal biomedis seperti EEG, ECG dlsb.

Dalam konteks hubungan sinyal dengan sistem, sinyal adalah masukan dari enviroment ke dalam sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment.

environment

SINYALINPUT SISTEM

SINYALOUTPUT

Definisi Sinyal

4

Perhatikan gambar dibawah, sebuah sistem rangkaian penyearah jembatan dengan sinyal masukan adalah tegangan AC, dan sinyal keluaran berupa sinyal DC.

Dalam hal ini sinyal adalah masukan sistem dan output sistem yang direpresentasikan sebagai perubahan tegangan terhadap waktu.

D3

D1

Vin

RLVout

D4

D2

Vin Vout

t t

(a) (b)

Definisi Sinyal

5

Gambar dibawah adalah sinyal ucapan dari kata “apa kabar” yang dilewatkan melalui mikrofon sepanjang 1100 milidetik. Dalam hal ini, suara ucapan digambarkan sebagai perubahan tekanan akustik terhadap waktu.

Definisi Sinyal

6

Selain sinyal satu dimensi, dalam sehari-hari, kita juga akan sering menjumpai sinyal dua dimensi. Sebagai contoh adalah citra digital. Perhatikan sebuah citra monokromatis. Citra monokromatis direpresentasikan oleh tingkat kecerahan sebagai fungsi titik koordinat.

Definisi Sinyal

7

Secara metematis sinyal dinyatakan sebagai fungsi dari variabel bebas. Sinyal dapat memiliki satu atau lebih dari satu variabel bebas.

Sebagaimana contoh di atas, sinyal listrik memiliki satu variabel bebas waktu, sedangkan sinyal citra memiliki dua variabel bebas berupa titik koordinat.

Dalam banyak hal sinyal adalah fungsi waktu yang merepresentasikan variabel fisik yang berkaitan dengan sistem.

Definisi Sinyal

8

Dalam kuliah ini kita akan membatasi pembahasan pada sinyal dengan satu variabel bebas berupa waktu. Meskipun pada kenyataannya tidak seluruh variabel bebas dinyatakan dengan waktu, seperti variasi tekanan udara dan kelembaban terhadap ketinggian.

Waktu sebagai variabel bebas yang akan kita pelajari dalam kuliah ini, mencakup waktu kontinyu dan waktu diskret.

Representasi Sinyal

9

Selain dengan cara grafis seperti contoh-contoh di atas, sinyal dapat juga direpresentasikan dengan persamaan matematis.

Contoh :Untuk sinyal waktu kontinyu : x(t) = 10 sin 2t x(t) = 2t+7

Untuk sinyal waktu diskret : x(n)=2n+3 y(n)=[1, 2, 3, 4, 3, 2, 1], keterangan : tanda ”_” adalah titik n=0.

00

0)(

t

ttty

00

01)(

n

nny

Klasifikasi Sinyal

10

Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret

Sinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik & Sinyal Acak

Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret

11

Sinyal Waktu Kontinyu terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu, sedangkan Sinyal Waktu Diskret terdefinisi hanya pada nilai waktu diskret.

Dalam pembahasan kita, sumbu waktu untuk Sinyal Waktu Kontinyu menggunakan simbol t, sedangkan untuk Sinyal Waktu Diskret menggunakan simbol n. Sehingga representasi sinyal x untuk Sinyal Waktu Kontinyu dituliskan sebagai x(t) dan untuk Sinyal Waktu Diskret dituliskan sebagai x(n).

Contoh Sinyal Waktu Kontinyu : Sinyal modulasi AM

Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret

12

Contoh Sinyal Waktu Dsikret :

Jumlah pelanggan tetap VoIP U.S

Sumber :Trend in the U.S communication equipment market :A wall street perspective.

Communication Magazine, Vol 44.

Keterangan : 1Q03 = ¼ pertama tahun 2003

Sinyal Periodik dan Sinyal Aperiodik

Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika

x(t+kT)=x(t) untuk - < t < ,

dimana k adalah bilangan bulat.

T adalah perioda sinyal.

Sinyal waktu diskrit dinyatakan periodik jika dan hanya jika

x(n+kN)=x(n) untuk - < n < ,

dimana k adalah bilangan bulat.

N adalah perioda sinyal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8N n

X(n)

N

13

0 T t

X(t)

Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil

14

Salah satu klasifikasi lain diperoleh dengan melihat kesimetrian sinyal pada waktu balikan (reverse time). Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal genap jika :

x(-t)=x(t) dan x(-n)=x(n)

Jadi sinyal genap membentuk simteri dengan waktu balikannya.

Contoh : gambar& pers

Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil

15

Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal ganjil jika :

x(-t)=-x(t) dan x(-n)=-x(n)

Jadi sinyal ganjil membentuk anti-simteri dengan waktu balikannya.

Contoh : gambar& pers

Sinyal Deterministik dan Stochastic

16

Sinyal determinisktik adalah sinyal yang keseluruhan nilainya dapat ditentukan dengan suatu persamaan matematis.

Contoh : sinyal sinus, sinyal-sinyal dalam pembahasan MK ini selanjutnya adalah sinyal deterministik.

Sinyal Stochastic jika nilai yang akan datang dari suatu sinyal tidak dapat ditentukan secara pasti.

Contoh : noise tegangan dalam penguat, dll

Energi dan Daya Sinyal

17

Untuk sinyal waktu kontinyu :

Untuk sinyal waktu diskret :

1

22)()(lim dttxdttxE

T

TT

1

22)()(

2

1lim dttxdttx

TP

T

TT;

n

N

NnN

nxnxE22

)()(lim

n

N

NnN

nxnxN

P22

)()(12

1lim

;

Sinyal-sinyal Dasar

18

Sinyal Unit StepSinyal ImpulsSinyal RampSinyal EksponensialSinyal Sinusoidal

Unit Step (cont’d)

19

Unit Step Kontinyu

u(t)=

Unit Step Kontinyu Tergeser

u(t-)=

0

0

0

1

,t

,t

,t

,t

0

1 u(t- )

t

1

t

1

u(t)

Unit Step (cont’d)

20

Unit Step Kontinyu diskontinyu pada t=0, sehingga tak terdiferensiasi (not differentiable)!

Kita definisikan unit step ter-delay:

u(t) kontinyu dan dapat di-diferensiasi

otherwise

,t

,t

t

tu

,

2/

2/

2

1

0

1

)(

t

1

u(t)

2

2

)(lim)(0

tutu

otherwise

t,

dt

tdu

,

2/2/

0

1)(

Unit Impulse (cont’d)

21

Unit Impuls Kontinyu:

1)(

0,

0

0)(

dtt

t

,tt

otherwise

t,

dt

tdut

,22

0

1)(

lim)(0

t1/

(t)

2

2

t

0

(t)

Unit Impuls (cont’d)

22

Unit Impuls Kontinyu Tergeser:

Properties Unit Impuls Kontinyu :

)()()()(

)()0()()(

)()(

)()(

)()(

txttx

txttx

tt

dtu

dt

tdut

t

t

(t-)

dtxtx )()()(

Unit Step

23

Unit Step Diskret

u[n]=

Unit Step Diskret Tergeser

u[n-k]=

0

0

0

1

,n

,n u[n]

-1-2n

1-3 32

1

k,n

k,n

0

1u[n-k]

…-1n

1 k

1

Unit Impuls

24

Unit Impuls Diskret

Unit Impuls Diskret Tergeser

0

0

0

1][

,n

,nn

[n]

-1-2n

1-3 32

1

[n-k]

…-1n

1 k

1

k,n

k,nkn

0

1][

Unit Impuls (cont’d)

25

Properties Fungsi Unit Impuls Diskret:

k

n

k

knkxnx

knkxknnx

nxnnx

knu

nunun

][][][

][][][][

][]0[][][

][][

]1[][][

Latihan

26

Hitung persamaan dibawah:

Gambarkan sinyal berikut ini:

Gambar turunan dari x(t), yakni dx(t)/dt.

dtttut

knnnnun kn

10

10

0

10

))15()((

]2[][

))8()6()4(()()2()(

]3[][)1(][

tutututtuttx

nnununnx

Signals Sebagai Fungsi Step

27

tc

x(t)

a b

1

y(t)

-1

1t

1

w(t)

-1

1t

2z(t)

-1

1 t

2

-2

Signals Sebagai Fungsi Step (cont’d)

28

x[n]

…-1n

1 N

1

y[n]

… -1n

1 4

1

-2 32 5-3 …

Operasi-operasi Dasar

29

Operasi terhadap Sumbu Waktu

Pergeseran sumbu waktuX(t+t0) geser ke kiri sejauh t0X(t-t0) geser ke kanan sejauh t0

PencerminanX(-t) pencerminan terhadap sumbu vertikal

Penskalaan waktu (kompresi-ekspansi)

X(at) jika |a|>1 Kompresijika |a|<1 ekspansi

a

btafbatf )(

a

bnafbanf )(

Operasi-operasi Dasar

30

Operasi terhadap Amplituda

Penskalaan A.x(t)

SISTEM

TEAM DOSEN

31

EE2423SINYAL & SISTEM

Outline (bagian 1)

32

Definisi SistemInterkoneksi SistemKlasifikasi Sistem :

Sistem Memory vs. MemorylessKausalitasStability and InvertibilityLinearityTime-Invariance

Superposisi pada Sistem LTI

Definisi Sistem

33

Sistem: Black box yang memetakan sinyal input menjadi sinyal output.

Sistem Waktu Diskret: y[n] = H[x(n)]

Sistem Waktu Kontiunyu: y(t) = H(x(t))

Hx[n] y[n]

Hx(t) y(t)

Interkonneksi Sistem

34

Hubungan serial (Cascade): y(t) = H2( H1( x(t) ) )

Contoh: radio receiver diikuti oleh amplifier Parallel Connection: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )

Contoh: line telepon terhubung parallel dengan microphone telepon

H1

x(t)H2

y(t)

H1

x(t) y(t)

H2

+

Interkonneksi Sistem(cont’d)

35

Hubungan Feedback : y(t) = H2( y(t) ) + H1( x(t) )

contoh : Sistem penghapus echoSangat mungkin untuk mengkombinasikan

hubungan tersebut.

H1

x(t) y(t)

H2

+

Sistem Memory vs. Memoryless

36

Sistem Memoryless (static): Output sistem y(t) bergantung hanya pada intput pada waktu t,y(t) adalah fungsi x(t)

Sistem Bermemori (dynamic): Output sistem y(t) bergantung pada input sebelum atau sesudah waktu t (current time t), y(t) fungsi x() dimana - < <.

Sistem Memory/Dinamis vs. Memoryless

37

Contoh:Tentukan apakah dibawah ini sistem bermemori atau tak bermemori resistor: y(t) = R x(t)

capacitor:

satu unit delayer: y[n] = x[n-1]

accumulator:

t

dxC

ty )(1

)(

n

k

kxny ][][

KausalitasSistem kausal jika keluaran pada saat n=n0

hanya bergantung pada harga-harga dari masukan n≤n0 (sebelumnya dan sekarang), dengan kata lain h(n)=0 untuk n<0. h(n) = respon impulsSistem yang dapat direalisasikan harus kausal

38

Stabilitas dan Invertibilitas

39

Stabilitas: Sistem stabil jika memberikan keluaran terbatas untuk masukan yang terbatas (bounded-input/bounded-output)-BIBO.

Jika |x(t)| < k1, maka |y(t)| < k2.Contoh:

t

dttxty0

)()( ][100][ nxny

Stabilitas dan Invertibilitas

40

Invertibilitas: Sistem invertible jika input yang berbeda menghasilkan output yang berbeda. Jika sistem invertible,maka ada sistem “inverse” yang dapat mengkonversi output asli sistem menjadi input asli sistem.

Contoh:

Sistemx(t) Sistem

Inversew(t)=x(t)y(t)

Stabilitas dan Invertibilitas

41

Contoh:

)(4

1)(

)(4)(

tytw

txty

]1[][][

][][

nynynw

kxnyn

k

dt

tdytw

dttxtyt

)()(

)()(

Linearitas

42

Sistem linier jika memenuhi sifat:additivitas: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)homogeneitas (atau scaling): x(t) = a x1(t) y(t) = a

y1(t), dengan a konstanta complex.

Dua sifat tersebut dapat dikombinasi menjadi satu sifat: Superposition:

x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)

x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x t

Linearitas

43

Contoh: Apakah sistem berikut linier?

2( ) ( )

( ) ( ) 4

y t x t

y t x t

][][ nnxny

)cos()()( ttxty

Time-Invariance

44

Sistem time-invariant jika delay (time-shift) pada sinyal input hanya menyebebkan delay yang sama besar (time-shift) pada sinyal ouput dan tidak mengubah amplitudo sinyal output.

x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0)

x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]

Periksalah sistem dibawah apakah time-invariant:][][ nnxny

)2()( txty

)(sin)( txty

( ) ( )T x t k y t k

Superposisi dalam Sistem LTI

45

Dalam sistem LTI:Respons sistem y(t) untuk sinyal input x(t)Sangat mungkin menggambarkan respons sistem

untuk sejumlah sinyal input x1(t) yang dapat diperoleh dengan “scaling” atau “time-shifting” dari sinyal input x(t),

contoh :

x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …

y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + …

Superposisi in Sistem LTI (cont’d)

46

Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input y(t) dan x(t).

x(t) y(t)2

1t

1

-1 1t

2x(t)

1 t2

y(t)

1-1

3

4

1/2-1/2

KONVOLUSI

TEAM DOSEN

47

EE2423SINYAL & SISTEM

Outline (bagian 2)

48

Representasi Sinyal sebagai ImpulsResponse Impulse Penurunan Konvolution JumlahArti KonvolusiMetoda Konvolusi Dua SinyalPenurunan Konvolusi Integral

Representasi Sinyal sebagai Impuls

49

Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser:

Disebut sebagai sifting (or shifting) property:

...]2[]2[

]1[]1[][]0[

]1[]1[]2[]2[...

][

nx

nxnx

nxnx

nx

k

knkxnx ][][][

Response Impuls

50

Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t).Pada SWK : h(t) = H((t))

Pada SWD : h[n] = H[[t]]

Sistem H

(t) h(t)

Sistem H

[n] h[n]

Penurunan Konvolution Jumlah

51

Pada SWD LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H.

signal x[n] sebagai masukan H. tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses:

Maka sinyal output y[n] menjadi:

k

knkxnx ][][][

k

knkxHnxHny ][][]][[][

Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)

52

Karena additivitas pada sistem LTI :

Karena homogenitas pada sistem LTI :

Karena time-invariance pada sistem LTI:

k

knkxHny ][][][

k

knHkxny ][][][

k

knhkxny ][][][

Arti Konvolusi

53

Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh:

Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n].

Secara Visual konvolusi berarti :Cerminkan h[k] Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin,

sampai melewati x[n].

k

knhkxny ][][][

][*][][ nhnxny

Penurunan Konvolusi Integral

54

Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem.

signal x(t) sebagai masukan H.Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam

bentuk unit impulse:

dimana .

k

ktkxtx )(][)(ˆ

laint

tt

,0

0,1

)(

Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)

55

Maka, sinyal output signal y(t) menjadi :

Karena additivitas pada sistem LTI :

Karena homogenitas pada sistem LTI :

k

ktkxHtxHty )(][))(ˆ()(ˆ

k

ktkxHty )(][)(ˆ

k

ktHkxty )(][)(ˆ

Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)

56

Karena time-invariance pada sistem LTI :

dimana adalah staircase approximation dari h(t).

k

kthkxty )(ˆ][)(ˆ

)(ˆ th

57

Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:

0

)(*)()(

)()()(

)(ˆ][lim)(ˆlim)(00

thtxty

dthxty

kthkxtytyk

Latihan

58

Sifat-sifat Konvolusi

59

Properties of ConvolutionCausalityStep ResponseExercises

Sifat-sifat Konvolusi

60

Commutative Property:x[n]*y[n]=y[n]*x[n]x(t)*y(t)=y(t)*x(t)

Distributive Property:

x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n]

x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t)

Associative Property:

x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n]

x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)

Causality

61

Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya.

Sistem LTI Kausal:

Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n.

Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal.Maka h[n]=0 untuk n<0.

k

knhkxny ][][][

Causality (cont’d)

62

Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi:

Sama halnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal:

Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas

0

][][][][][k

n

k

knxkhknhkxny

0

)()()()(][ dtxhdthxnyt

Step Response

63

Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step.

Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t).Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI

serupa dengan Respons Unit Impulse.

SistemH

(t) h(t)

SistemH

u(t) s(t)

Step Response dan Impulse Response

64

Hubungan Respons Step dan Respons Impulse:

Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.

)(')(

)(

)()(

]1[][][

][][

tsdt

tdsth

dhts

nsnsnh

khns

t

n

k

Pencuplikan (Sampling)

TEAM DOSEN

65

EE2423SINYAL & SISTEM

Outline

66

Teorema PencuplikanPencuplikan Ideal (Rentetan Impulse) Rekonstruksi dengan InterpolasiEfek Under-sampling: Aliasing Latihan

Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)

67

Sampling adalah suatu proses mengubah sinyal kontinu menjadi sinyal diskrit; sedangkan rekonstruksi adalah proses sebaliknya

Sampling Theorem: Suatu sinyal waktu kontinu, x(t) dapat direkonstruksi secara unik dari cuplikannya, xs(t), jika dipenuhi dua kondisi:

1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M

Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited, maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why not?

Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?

Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)

68

1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M

Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited,

maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why

not? Apkh x(t)=sinc(t) band -limited?

Why or why not?

Sampling Theorem (continued)

69

2. Sampling frequency s dari xs(t) harus lebih besar sama dengan 2M, atau s

2M. Kondisi kedua ini dikenal sbg Kriteria

Nyquist s disebut Frekuensi Nyquist yaitu

sampling frequency (Frekuensi pencuplikan) terkecil yang mungkin agar dapat diperoleh kembali sinyal analog asli dari hasil cuplikannya

Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)

70

Pencuplikan sinyal waktu kontinu x(t) dpt dilakukan dgn mendapatkan nilai-nilainya pada waktu-waktu periodik x(kT) dimana T is the sampling period.

Idealnya dapat dilakukan dg mengalikan x(t) dengan rentetan impuls yang punya periode T:

Dari sifat sampling:

)()()( tptxtxs

k

kTttp )()(

k

s kTtkTxtx )()()(

Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)

71

Dari sifat multiplikasi diketahui :

Dan

Misalkan x(t) adalah band-limited dg maximum frequency M dan dg bentuk triangular, sketsa spektrum frekuensi Xs(j) untuk 2 kasus: s>2M dan s<2M adalah sbb :

djPjXjX s ))(()(2

1)(

k

skT

jP )(2

)(

Pencuplikan Ideal (cont)

72

-M M

73

Pencuplikan Ideal (cont’d)

74

Berapakah frekuensi cutoff c terbaik dari LPF untuk merekonstruksi x(t) dari xs(t).

Latihan: Berapakah Frekuensi Nyquist untuk signals:x(t)=2cos(40t)x(t)=sinc(t)

Pencuplikan Ideal (cont’d)

75

Latihan : Anggap x(t) periodik dengan periode TM. Tuliskan kriteria Nyquist s>2M dalam bentuk periode Ts dan TM.

Latihan : Sample x(t)=cos(Mt) as s=2M.

Rekonstruksi dengan Interpolasi

76

Suatu samples (cuplikan) xs(t) dari sebuah sinyal analog x(t) dilewatkan melalui LPF ideal denganfrekuensi cutoff c=s/2.

Bagaimana bentuk korespondensi time-domain untuk operasi ini?

Operasi disebut interpolasi band-limited

LPFh(t)

xs(t) xr(t)

77

Carilah rumus interpolasi utk mendapatkan xr(t).

Similarly, obtain the two easier-to-implement interpolation formulas for xr(t) by usingZero-Order-HoldFirst-Order-Hold (Linear Interpolation)

Aliasing (Under-sampling)

78

Apa yg terjadi bila frekuensi sampling lebih kecil dari Frekuensi Nyquist, s<2M ?

Sinyal asli x(t) tak bisa diperoleh dari xs(t) krn ada “overlap” yang tak diinginkan di Xs().

Akibatnya sinyal hasil rekonstruksi l xr(t) berbeda dengan x(t), dan disebut sebagai aliasing atau under-sampling.

79

Latihan: Utk x(t)=cos(Mt), cupliklah dgn frekuensi:s=3M

s=3M/2s=M

(a) Gambarkan sinyal cuplikanl xs(t) dan its spektrum frekuensinya.

(b) Jika terjadi aliasing , brpkh frekuensi maximum dari aliasing.

DERET FOURIER WAKTU KONTINU (DFWK)

TEAM DOSEN

80

EE2423SINYAL & SISTEM

Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)

81

0 k kk 1

x(t) a a cos (k t) b sin (k t)

a0, ak, bk : Fourier coefficients.

k: harmonic number,

T: period, = 2/TFor all t but For all t but discontinuitiesdiscontinuities

T

0

0 s(t)dtT

1a

T

k

0

2b s(t) sin(k t)dt

T

T

0

k dtt)cos(ks(t)T

2a

(signal average over a period, i.e. DC term & zero-frequency component.)

analysis

analysis

synthesis

synthesis

Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)

82

-k

T

tjk

k ecx(t)synthesis

synthesis

dtTt

t

k

0

0

T

tj

k ex(t)T

1c

DFS defined as:DFS defined as:

analysis

analysis

Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks

Bentuk ini lebih memberikanbanyak informasi, karena koefisien Fourier dinyatakan secara eksplisit

r

a

b = arctan(b/ a)

r = a2 + b2

z = r ej

kbjka2

1kbjka

2

1kc

0a0c Link to FS real Link to FS real

coeffs.coeffs.

Spektral Fourier

83

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 t

sq

ua

re s

ign

al,

sw

(t)

π

f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f

f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f

rk

θk

4/ π

4/ 3π

phas

phas

ee

ampl

itude

ampl

itude

DFWD

84

Diskret square wave.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

0 2 4 5 6 7 8 9 10 n

k

ck

ampl

itude

ampl

itude

phas

e

phas

e

-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 L N

s[n] 1

Fourier analysis - tools

85

Input Time Signal Frequency spectrum

1N

0n

N

nkπ2j

k ex[n]N

1c~

Discrete

DiscreteDFSDFSPeriodic (period T)

ContinuousDTFTAperiodic

DiscreteDFTDFT

nfπ2j

n

ex[n]X(f)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, tk

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, tk

1N

0n

N

nkπ2j

k ex[n]N

1c~

**

**

Calculated via FFT**

dtex(t)X(f)tfπj2

dtex(t)T

1c

T

0

tkjk Periodic

(period T)Discrete

ContinuousFTFTAperiodic

FSFSContinuous

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, t

Note: j =-1, = 2/T, s[n]=s(tn), N = No. of samples

FS convergence

86

s(t) piecewise-continuous;

s(t) piecewise-monotonic;

s(t) absolutely integrable , T

0

dts(t)

(a)

(b)

(c)

Dirichlet conditions

In any period:

Example: square wave

T

(a)

(b)

T

s(t)

(c)

if s(t) discontinuous then |ak|<M/k for large k (M>0)

Rate of Rate of convergenceconvergence

Sifat-sifat Deret Fourier

87

Diberikan dua sinyal periodik dengan period T dan fundamental frequency 0=2/T sama:

Linearity:

Time-Shifting:

Time-Reversal (Flip):

Time-Scaling:

k

k

bty

atx

)(

)(

kk BbAatBytAxtz )()()(

00)()( 0tj

keattxtz

katxtz )()(

0,)()( katxtz

Sifat-sifat Deret Fourier (cont’d)

88

Differentiation:

Integration:

Dekomposisi Genap-Ganjil dari Sinyal Real:

Multiplication:

kajkdt

tdxtz 0

)()(

0,1

)()( 00

aajk

dttxtz k

t

)()(

)()(

k

k

amjtxOddtz

aetxEventz

llklkk babatytxtz *)()()(

Tabel FS properties

89

Time FrequencyTime Frequency

Homogeneity a·s(t) a·S(k)

Additivity s(t) + u(t) S(k)+U(k)

Linearity a·s(t) + b·u(t) a·S(k)+b·U(k)

Time reversal s(-t) S(-k)

Multiplication * s(t)·u(t)

Convolution * S(k)·U(k)

Time shifting

Frequency shifting S(k - m)

m

m)U(m)S(k

td)tT

0

u()ts(tT

1

S(k)e Ttk2π

j

s(t)Ttm2π

je

)ts(t

Transform Fourier Waktu Kontinyu

(TFWK)

TEAM DOSEN

90

EE2423SINYAL & SISTEM

Outline

91

Time Domain vs. Frequency DomainHubungan Deret Fourier dan Transform

FourierSifat-sifat Fourier TransformExercises

Time Domain vs. Frequency Domain

92

Analisis Fourier (Deret atau Transform) merupakan jalan untuk menentukan kandungan frequency dari sinyal yang diberikan, yakni memindahkan dari domain waktu ke domain frequency.

Selalu mungkin untuk mengembalikan dari domain frequency ke domain waktu, melalui Penjumlahan Deret Fourier atau Inverse Fourier Transform.

Diberikan sinyal x(t) dalam domain waktu, koefisien Fouriernya (ak) or Fourier Transform-nya (X()) disebut “frequency (or line) spectrum”.

Jika ak atau X() complex, maka frequency spectrum dinyatakan dengan magnitude (|ak| atau |X()|) dan phase (ak atau X())

)()(

)(

XAX

AeX j

Hubungan Deret dan Transform Fourier

93

Perhatikan sinyal periodik x(t):

Kita dapatkan koefisien Fourier x(t) adalah:

0

0

)sin(

,2

10

1

k

k

k

TkT

T

ak

x(t)

t-T1 0 T1 T-T

Hubungan Deret dan Transform Fourier

94

Sketch ak on the k-axis:

Plot membentuk fungsi sinc diskret.Untuk setiap nilai k, sinyal x(t) memiliki

komponen periodik dengan weight ak, menunjukkan frequency content dari sinyal x(t).

ak

k -2 -1 0 1 2

2T1/T

Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)

95

Sekarang, sket ak on -axis:

Pada -axis, jarak antara dua aks yang berurutan adalah 0=2/T, frekuensi fundamental.

ak

-20 -0 0 0 20

2T1/T

Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)

96

Pada perioda T, frekuensi fundamental 00. Sehingga, jarak antara dua aks yang berurutan menjadi nol, dan sket ak menjadi kontinu, ini disebut Transform Fourier.

Pada sisi lain, saat T, sinyal x(t) menjadi aperiodik dan mempunyai bentuk :

Hal ini berarti Transformasi Fourier dapat merepresentasikan sinya apriodik pada domin frekuensi.

x(t)

t-T1 0 T1

Transform Fourier Waktu Kontinu Transisi dari DFWK ke TFWK

fF=1/TF

-k

T

tjk

k ecx(t)

-k

t)(2je][Xx(t) fk

97

f=fF=1/TF

-k

t)(2j0

0

)(2j

F

ee)x(T

1x(t) f

Tt

t

fkF

d

Transisi dari DFWK ke TFWK dicapai dengan pendekatan “sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda infinity”

Transform Fourier Waktu Kontinu

fd fT

T

fkF

F

-k

t)(2j2/

2/

)(2j ee)x(x(t)

fd fT

T

fk

T

F

FF

-k

t)(2j2/

2/

)(2j ee)x(limx(t)

dfd ff t2j2j ee)x(x(t)

98

Transform Fourier Waktu Kontinu

99

dtttxF ft2je)x())((X(f)

dfffXF ft2j1 e)X())((x(t)

Jadi Persamaan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu

synthesis

synthesis

analysis

analysis

Transform Fourier Waktu Kontinu

100

dtttxF tje)x())(()X(

dXF tj1 e)X(2

1))((x(t)

Bentuk lain Persamaan TFWK

synthesis

synthesis

analysis

analysis

Konvergensi TFWK

101

Samahalnya dengan Deret Fourier, kondisi konvergen Diterapkan untuk Fourier Transform:Sinyal harus absolutely integrable

Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki maxima and minima berhingga

Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki jumlah diskontinu berhingga.

dttx )(

102

Sifat-sifat TFWK

103

Diberikan dua sinyal dan :

Linearity:Time-Shifting:Time-Flip:Differentiation in Time:Integration in Time:

)()( Xtx )()( Yty

)()()()( bYaXtbytax )()( 0

0 Xettx tj)()( Xtx

)(/)( Xjdttdx

)()0()(1

)(

XXj

dttxt

Sifat-sifat TFWK (cont’d)

104

Frequency-Shifting:Differentiation in Frequency:

Diberikan , carilah Transformasi Fourier untuk dalam X()?

)()( 00 Xtxe tj

djdXttx /)()(

)()( 2 Xetx t

ttt eteety 221 2)(

Pasangan TF

105

Pasangan TF

106

Latihan

107

Dengan menggunakan Sifat-sifat Transformasi Fourier, Hitunglah Transformasi Fourier sinyal di bawah ini:

x(t)

t-A 0 A

-A

A

)()( tutx x(t)

t-3 -2 0 2 3

Transformasi Fourier pada Sinyal Periodik

108

Beberapa sinyal periodik, integral Transformasi Fourier mungkin tidak dapat menyelesaikannya. Namun, ada cara yang mudah untuk menentukan Transformasi Fourier pada sinyal periodik:

Untuk sinyal periodik x(t), Deret Fourier :

dimana .

Maka, Transformasi Fourier x(t) adalah:

merupakan deretan impulse dengan magnituda 2ak, dimana 0 adalah frekuensi fundamental dari x(t).

k

tjkkeatx 0)(

T

tjkk dtetx

Ta 0)(

1

k

k kaX )(2)( 0

Inverse Fourier Transform

109

Kita dapat merekonstruksi sinyal asli x(t) jika diberikan frequency content, yakni Transformasi Fourier.

Sehingga, Jika diketahui Transformasi Fourier X() dari sinyal x(t), sinyal x(t) dapat dihitung melalui persamaan Inverse Fourier :

Exercise: Solve Text Problems 4.4 (b) and 4.22 (c).

deXtx tj)(2

1)(

Respons Frequency

110

Sepertihalnya Respons Impuls h(t) pada sistem LTI, frequency response H() pada sistem LTI merupakan karakteristik perilaku sistem.

Hubungan antara h(t) dan H() secara sederhana:

Hal ini berguna ketika kita mencari output sistem LTI saat diberi input:

Melalui Transformasi Fourier, y(t) dapat dihitung dengan perkalian sederhana:

Y() = H()X()

dethHth tj)()()(

h(t) y(t)x(t)

Konvolution dan Perkalian

111

Konvolusi dalam domain waktu koresponden dengan perkalian dalam domain frekuensi:

Demikain halnya, perkalian dalam domain waktu koresponden dengan konvolusi dalam domain frequensi:

)()()(*)( YXtytx

dYXYXtytx )()(2

1)(*)(

2

1)()(

ANALIS FOURIER SINYAL WAKTU DISKRIT

TEAM DOSEN

112

EE2423SINYAL & SISTEM

Deret Fourier Sinyal Waktu Diskrit

113

Tujuan :Memindahkan sinyal waktu diskrit ke

kawasan frekuensi

Sinyal periodik Spektral Diskrit

Sinyal aperiodik Spektral Kontinu

DFWD

TFWD

DERET FOURIER WAKTU DISKRIT

114

Bentuk TrigonometriSinyal periodik x(n) dengan perioda

x(n) = x(n+N)Sinyal periodik bentuk sinusoida

x(n) = an cos (2πn/N)x(n) = bn sin (2πn/N)

Frekuensi sudut sinyal periodikω ≡ 2πn/N radian

DERET FOURIER WAKTU DISKRITDFWD

Bandingkan dgn DFWK

1

000 )sincos()(k

kk tkbtkaanx

1

000 )sincos()(n

nn tnbtnaatx

115

DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk

Eksponensial

,...2,1,0)(1

0

0

neanxN

k

njkk

1,...,2,1,0)(1

)(1

0

0

NkenxN

kaN

n

njk

116

DERET FOURIER WAKTU DISKRIT

117

Jika

Jadi N

kj

kN

Nj

N ewmakaew 22

1,...,2,1,0)(1

,...2,1,0)(

1

0

1

0

NkwnxN

a

nwanx

N

n

knNk

N

k

knNk

DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode

dari N=0 s/d N-1 karena sifat ekponensial

dimana k=integer sejumlah N dai 0 s/d N-1

122

0

kj

N

N

kjNjk eee

118

DERET FOURIER WAKTU DISKRIT

119

Untuk N=8 Integer k juga merepresentasikan frekuensi sudut ω0

Jadi ak merepresentasikan spektral SWD

k=0

k=1k=2

k=4

k=6

k=7

ω0

DERET FOURIER WAKTU DISKRIT

120

LatihanGambarkan koefisien fourier diskrit dari SWD dgn perioda 8 sbb:

n

0 1

x(n)

7

DERET FOURIER WAKTU DISKRITRespon Steady State thd bbrp input

sinusoida Cari Lq (operator q)Respon steady state input ekponensial

Jika input sinusoid maka diubah dulu ke bentuk eksponensial

njAenx 0)(

0)()( jeqss nxqD

qNny

121

KONVERGENSI DERET FOURIER

122

Suatu sinyal periodik tidak dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier jika :Sinyal tidak dapat diintegralkan secara absolut

pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal

mempunyai variasi yang tidak terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal

mempunyai jumlah diskontiniu yang tak terbatas.Akan tetapi sinyal yang demikian adalah

sinyal yang tidak realistik, sehingga konvergensi bukan merupakan hal yang penting dalam hal ini.

SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

Dua sinyal periodik dgn periode N dan fundamental frequency 0=2/N:

Linearitas:

k

k

bny

anx

)(

)(

kk BbAanBynAxtz )()()(

123

SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

Pergeseran Waktu:

Time-Reversal (Flip):

124

00)()( 0njk

keannxnz

kanxnz )()(

SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

Penskalaan Waktu:

Differensiasi Pertama:

kjk aenxnxnz )1()1()()( 0

125

kanxnz )()(

SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

Konvolusi Periodik:

Perkalian:

)(

)()()(Ni

lklbanynxnz

126

)(

)()(Nr

kkbNarnyrx

SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

127

Even-Odd Decomposition of Real Signals:

)()(

)()(

k

k

amjnxOddnz

aenxEvennz

LATIHAN SOAL

128

Cari koefisien Fourier untuk deret periodik x[n] pada Fig. 6-7.

LATIHAN SOAL

129

Cari representasi Deret Fourier Waktu Diskrit dari masing-masing deret berikut:

TIME DOMAIN vs. FREQUENCY DOMAIN

130

Analisa Fourier (Deret atau Transformasi) adalah cara mendapatkan content frekuensi dari sinyal, antara lain berpindah dari time-domain ke frequency domain.

Selalu dimungkinkan untuk kembali dari frequency-domain ke time-domain.

KONVERGENSI TRANSFORMASI FOURIER

131

Sama dengan Deret Fourier, maka suatu sinyal aperiodik dapat diTransformasi Fourier jika :Sinyal dapat diintegralkan secara absolut

pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas,

sinyal mempunyai variasi yang terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal

mempunyai jumlah diskontiniu yang terbatas.

TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

132

Digunakan jika sinyal waktu diskrit tidak periodik atau merupakan deretan terbatas

Dengan TFWD dapat ditentukan spektral diskritnya

TFWD diturunkan dari DFWD dimana periodanya menuju tak terhingga

TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

133

TFWD

2

02

1

)(

nj

n

nj

eXnx

enxX

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

134

- PeriodikLinieritasPergeseran waktu dan frekuensiPenskalaan waktu dan frekuensiDifferensiasi dan penjumlahanTeorema ParsevalKonvolusi Konvolusi Periodik

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

PeriodisitasTransformasi Fourier Waktu Diskrit selalu periodik dalam ω dengan periode 2π

135

jj eXeX )( 2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

LinieritasJika

Dan

maka

jeXnx 22

136

jeXnx 11

jj ebXeaXnbxnax 2121

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

137

Pergeseran Waktu jika

maka jeXnx

jnj eXennx 00

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

138

Pergeseran Frekuensi jika

maka jeXnx

)( 00 jnj eXnxe

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

139

Differencing

Time Reversal

jj eXenxnx 11

jeXnx

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRITDifferensiasi dalam

frekuensi

Konjugasi

jeXnx **

140

d

edXjnnx

j

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

Relasi Parseval

2

22

2

1deXnx j

n

141

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

142

Konvolusi

Perkalian

jj eXeXnxnx 2121 2

1

jj eXeXnxnx 2121 *

LATIHAN SOAL

143

Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular x [ n ] = u [ n ] - u [ n - N ]

LATIHAN SOAL

144

Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular pada gambar dibawah ini

LATIHAN SOAL

145

Suatu sistem kausal LTI

dimana x[n] dan y[n] adalah input dan

output sistem( a ) Cari Respon Frekuensi Sistem( b ) Cari Impuls Respon Sistem

LATIHAN SOAL

146

Suatu sistem kausal LTI

a. Cari Respon Frekuensi sistemb. Cari Respon Impuls Sistemc. Gambarkan Respon Magnituda d. Gambarkan Respon Fasa

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

147

Sinyal periodik Spektral Diskrit

Sinyal aperiodik Spektral Kontinu

Sinyal aperiodik Spektral Diskrit

DFWD

TFWD

TFD

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

148

Jadi TFD berguna untuk mentransformasikan sinyal aperiodik ke spektrum diskrit

Jika TFD dianalisa dengan menggunakan DFWD sinyal dibuat seolah-olah periodik

Jika TFD dianalisa dengan menggunakan TFWD Hubungan TFD dengan TFWD

N

kXXkX

N

2)()( 2

TRANSFORMASI LAPLACE

TEAM DOSEN

149

EE2423SINYAL & SISTEM

150

Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks + j. Sedangkan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah (kondisi steady sate).

Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensi kompleks).

Transformasi laplace Bilateral (TLB)

151

TLB diturunkan dari TFWK : ~

X(Ω) = ∫ x(t) e-jΩt dt -~

o ~

X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) ejΩt dΩ -~

152

Definisikan suatu fungsi y(t) = e-t x(t),dengan e-t adalah faktor konvergensi.

Maka TFWK dari y(t) :

Y(Ω) = ∫ e-t x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt - -

= X(+jΩ) Jadi X(+jΩ)= ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt -

= X(+jΩ)

153

x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e-(+jΩ)t dΩ -Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ

sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j.Maka :

X(s) = ∫ x(t) e-st dt

- X(t) =(1/2j) ∫ X(s) est ds

- Disebut Pasangan TLB

154

Notasi : X(s) = ₤ [x(t)] x(t) = ₤-1[X(s)] Konvergensi TLB : terintegrasi secara

mutlak . 0

∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt + ∫x(t) e-t dt - - 0

Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila : X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas

-

155

Maka X(s) dijamin ada bila :

∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt terbatas

- - Sebagai contoh :x(t) = A. et , untuk t 0

= A. et, untuk t 0 , dimana A, , adalah bilangan riil.

Maka : konvergen untuk

156

Contoh soal :Carilah Transformasi Laplace dari x(t) = 3. e-2t u(t) + 4 et u(-t) 0

X(s) = ∫ 4. e-(s-1) t dt + ∫3.e-(s+2) t dt - 0

Konvergen Konvergen Untuk -2 Untuk 1Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2 1

TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS]

157

Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :

X(s) = ∫ x(t) e-st dt 0

+jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds

-jΩ Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0 s→

TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL

158

a). Sinyal impuls δ(t)

₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt 0

Ingat : δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya

Begitu pula e-st δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya

Sehingga :

₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt

0

159

b). Sinyal langkah satuan u(t) ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt

0

Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0= 0 , t 0

Sehingga :

₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e- - e0]

0 0

₤[u(t)] = 1/s

160

c). Sinyal Ramp [t.u(t)]

₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt 0

Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = tSehingga :

₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt

0

Ingat : ∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)

0

Untuk a 0 dan n 0 ₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2

161

Dengan cara yang sama : ₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt

0 0

₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)

₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn

162

d) Sinyal EksponensialBila f(t) = u(t) → F(s) = 1/sMaka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)

Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)

Begitu pula untuk sinyal berikut ini :₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)

= 1/s - 1/(s+a)

₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]

163

Dengan cara yang sama :

₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2

Dan

₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n

164

e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]

= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e-jΩt u(t)]= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]

₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)Dengan cara yang sama :₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2]

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

165

Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x2(t)] = X2(s) maka :

a). Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)

Contoh :

₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)

₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)

166

b). Pergeseran waktu

Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s) , τ

(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :

x(t) X(s)δ(t-τ) e-sτ

u(t-τ) e-sτ (1/s)(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]

167

Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi Laplace.

Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas Invers Transformasi Laplace.

Contoh Soal

168

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut : v(t) volt 90

0 10 30 t(μs)

v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30)

V(s) = 4,5 ₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]

= 4,5 e-10s ₤(t.u(t)) - e-30s ₤(t.u(t)) – 20 e-30s ₤(u(t))

= 4,5 [(e-10s/s2) – (e-30s/s2) – (20 e-30s/s)]

Latihan

169

Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari :

(s+10)/(s2+8s+20)(s+3)/(s2+4s+5)s/(s2+6s+18)10/(s2+10s+34)

170

c). Pergeseran FrekuensiBila y(t) = x(t) e-t maka ₤[y(t)] = Y(s) =

X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)]Begitu pula :

₤[ e-t cos Ωt u(t)] = (s+)/[(s+)2 + Ω2]Juga :

₤[ e-t sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+)2 + Ω2]

Contoh soal

171

X(s) = (s+8)/(s2+6s+13), dapat ditulis sebagai :

X(s) = (s+8)/[(s+3)2+4] = (s+3)/ [(s+3)2+22] + 5/ [(s+3)2+22]x(t) = e-3t [cos2t + 2,5 sin 2t] , t 0

172

d). Penskalaan Waktu dan frekuensi

₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)

173

e). Diferensiasi Waktu

₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st dx(t)/dt. dt 0

b b bAmbil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du a a adu = -s e-st dt dan v = x(t) sehingga :

₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt 0 0

₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)

Contoh soal

174

Carilah Transformasi Laplace dari :

8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1

₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)]₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)]8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s2)8 s X(s) + 8 + 3 X(s) = 2/s2

(8s + 3) X(s) = (2/s2) – 8X(s) = 2/[s2(8s+3)] – 8/(8s+3)

175

f). Integrasi Waktu t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s 0

t tIngat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt 0 0 0

tAmbil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt 0

dv = e-st dt → v = -(1/s) e-st

Contoh Soal

176

Carilah Transformasi Laplace dari :

t 0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere. 0Dengan v(0) = 20 volt t0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)] 00,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s2+100)

0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100)

(0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s2+100)

[0,5(s2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s3 – s2 +100,5 s -100)/[s(s2+100)]

V(s) = 20 (s3 – s2 +100,5 s -100)/[(s2+100)(s2+0,4s+4)] volt.sec.

177

g). PeriodisitasBila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah

sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :

₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s) dengan T adalah periode

Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....

Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama

f2(t) adalah sinyal periode keduadan seterusnya.

178

Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + ..... = f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T)

+ ....

F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + .... = F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....] = [1/(1-e-Ts)] F1(s)

179

h). Teorema Nilai Awal dan Nilai AkhirDigunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan

kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s).

Teorema Nilai Awal

∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0 s → : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0) 0 s →

= limit [s X(s)] – x(0) s→

x(0) = limit x(t) = limit s X(s) t→ 0 s→

180

Teorema Nilai Akhir

∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0

limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dts→0 0 0 t→

= limit [x(t) – x(0)]

t→

limit x(t) = limit s X(s)

t→ s→0

181

i). Konvolusi Dua SinyalBila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t 0 Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1(τ) * x2(t-τ) dτ = ∫ x1(t-τ) * x2(τ) dτ 0 0

Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e-st dt 0 0

Ambil η = t – τ : Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη dη] e-sη dτ 0 0

Y(s) = X1(s). X2(s)

182

j). Perkalian dengan t

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds

Dan secara umum dapat dituliskan sebagai :

₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds

k). Pembagian dengan t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds 0

Latihan

183

Carilah nilai awal dan nilai akhir dari :1). X(s) = (s+10)/(s2+3s+2)2). A(s) = 1/(s+10)3). Y(s) = 1/s4). F(s) = s/(s+10)

TRANSFORMASI RANGKAIAN

184

Transformasi Sumber Ideal

185

Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]

Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.

186

Sumber Tegangan Independen

Sumber Arus Independen

187

Sumber Tegangan dikontrol Tegangan

k tak berdimensiSumber Arus dikontrol Arus

k tak berdimensi

188

Sumber Tegangan dikontrol Arus

k dalam ohmSumber Arus dikontrol Tegangan

k dalam mho (atau Siemens)

Transformasi Elemen Pasif linear

189

Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z.

Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y.

Dalam domain s dituliskan :Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)

Transformasi Resistor

190

Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)

Setelah ditransformasi Laplace :V(s) = R. I(s)I(s) = G. V(s)

Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)

191

Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut :

a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi

Transformasi Kapasitor

192

t

v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)

t0

i(t) = C. d v(t)/dt

Transformasi Laplace :

V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s

I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)

193

Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka :V(s) = I(s)/(C.s)I(s) = C.s.V(s)

Sehingga dapat dituliskan :Zc(s) = 1/(C.s) (Ω)Yc(s) = C.s (S)

194

a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor

c). Model Paralel Kapasitor

Contoh Soal

195

Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt.

196

Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :

Impedansinya sebesar :

197

Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec

Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :

Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S), diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) =

12,5 mikro Ampere.sec Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai

berikut :

198

Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :

Transformasi Induktor

199

t i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0)

to

v(t) = L. d i(t)/dt

Setelah ditransformasi Laplace :

I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s

V(s) = L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)

Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)

Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)

200

a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor

c). Model Seri Induktor

Contoh Soal

201

Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A.

Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah

sebagai berikut :

Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)

202

Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3.s) = 50/s(S)

Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsec Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan

sebagai berikut :

Contoh Soal Aplikasi

203

Diberikan rangkaian sebagai berikut :

Buat rangkaian transformasinya!!!! Solusi : Untuk t 0

204

Untuk t 0

205

Latihan :Buat rangkaian transformasi dari rangkaian

berikut ini :

Contoh Soal Aplikasi

206

Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :

Solusi : Untuk t 0 iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA

207

Untuk t 0

VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V sec

ZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] Ω

IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s + 62,5 .103 ) A .sec

iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 . 103)] A

= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-62,5 . 103t u(t)

= [4. 10-3 + 16. 10-3 exp-62,5 . 103] u(t)

208

Latihan :

209

Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :

Invers Transformasi Laplace Satu Sisi

210

Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu

X(s) → x(t) σ+jΩx(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ

Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya.

Sinyal T.Laplaceδ(t) 1

u(t) 1/s

(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1]

Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]

Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2] e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]

e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]

211

Pasangan TLSS-nya (lanjutan).

Sinyal T.Laplaceu(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - ....

(1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-

sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2

(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2

Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2

e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t)

2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2

212

a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)

213

Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)

Bentuk ekspansi parsiil :

X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)

= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]

(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]

Maka : A+B+C = 03A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)

b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole

214

X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+ An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) +...+ (s-

pk) An/(s-pn)Maka :

Ak = (s-pk) X(s) s=pk

Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25 s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35 s=-4 s=-4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6 s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)

c). Akar D(s) multiple pole-simple

215

X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s) s=pi

Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)] s=pi

Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)] s=pi

. .Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]

s=pi

216

Contoh :

X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2

Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1 s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)] = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 = [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s=1 s=1

A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2 s=2 s=2

Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2

x(t) = [2e2t + t et] u(t)

d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole

217

Contoh :X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2

+ 32] + 1/[(s+2)2 + 32] x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)

e). D(s) kompleks konjugate multiple pole

218

Contoh :

X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]

Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4

X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2

Dimana :A = s. X(s) = 3 s=0B = (s+2) X(s) = -2 s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3 s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3 s=-3-j4

219

Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) +

(2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2

x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-

3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t) = [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8

cos4t + 6 sin4t)] u(t)

f). Metode Grafis

220

Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.

Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)]

Nilai dari X(s) di s=s1 :X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/

(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)

Evaluasi pole pk dari X(s)Ak = (s-pk) X(s) s=pkAk = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian

jarak langsung setiap pole ke pk)

221

Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke

vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :

C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4

C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4

222

APLIKASI TLSS

a). Solusi Persamaan Diferensial

223

Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)

Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1 x(0) – sn-2 dx(0)/dt - ......- dn-1(0)/dtn-1

224

Contoh :

Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2

Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)

225

Contoh :

Persamaan Diferensial Orde Dua :d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2

Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)

226

b). Respons Impuls Sistem

Contoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut

ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0

Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)

Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]

H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3)

= 1 – 1/(s+3)

h(t) = δ(t) – e-3t u(t)

227

c). Solusi Lengkap Rangkaian RLCTelah dibahas lengkap di atas

228

d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu

Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut :

anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)

229

Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) y(t) = ₤-1

[H(s).X(s)]Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :

a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutlak terintegrasic). Limit h(t) = 0

t→d). Akar riil D(s) < 0e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner

230

Arigato Gozaimasu

TRANSFORMASI Z

TEAM DOSEN

231

EE2423SINYAL & SISTEM

Pendahuluan

232

Transformasi Z merupakan suatu teknik untuk menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).

Definisi Transformasi Z

233

Jika diberikan sinyal x(n) untuk SWD, maka transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari x(n) dinyatakan oleh :

~

F [ x(n) ] = x (e-jωn) = Σ x(n) e-jωn -~

Transformasi Z dari sinyal atau deret waktu diskrit x(n) didefinisikan sebagai :

~

TZ [ x(n) ] = X (z) = Σ x(n) z-n -~

Contoh

234

Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini :

0-1

-2

-3 1 2

3 4

2

3

4

2

-5

x(n )

-4

-2

235

Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :

x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3) = -4, x(4) = -2

maka transformasi z dari x(n) akan diperoleh :

X(z) = 2z3-5z2+3z1+4z-1+2z-2-4z-3-2z-4

Hubungan TZ dengan TFWD

236

Untuk melihat hubungan antara transformasi z (TZ) dengan tranformasi Fourier Waktu Diskrit(TFWD), maka dapat kita lakukan dengan pengekspresian variabel komplek z dalam bentuk polar, sebagai :

z = r ejω ~

X (r ejω) = Σ[x (n) (r ejω)]-n

-~

237

yang dapat juga dituliskan sebagai : ~

X (r ejω) = Σ[x (n) r-n] e-jω

-~

Sedangkan TFWD dirumuskan sebagai : ~

X (ω) = Σ [ x (n) ] e-jω -~

238

Hubungan antara dua transformasi ini menunjukkan bahwa TFWD merupakan TZ yang dievaluasi pada lingkaran satuan dalam bidang z.

Definisi dapat diperluas : ~

h(n) → H (z) = Σ h(n) z-n

- ~

Untuk z = e-jωn→ H (e-jω).

239

Jadi bila mempunyai respons impuls sistem h(n), dapat dicari H(z), kemudian z diganti dengan ejω didapat H (ejω) (Respons Frekuensi).

Dengan kata lain untuk menghitung respons frekuensi dapat dilakukan melalui Transformasi Z.

Hubungan TZ dengan Transformasi Laplace

240

Transformasi Z digunakan untuk sinyal waktu diskrit, hubungannya dengan transformasi Laplace yaitu dengan mensubstitusikan z = exp (sT)

Mengingat definisi Transformasi Laplace bilateral untuk sinyal kontinyu x(t) didefinisikan sebagai :

~

₤[x(t)] = ∫x(t) e-st dt -~

241

Pemetaan antara bidang s dan bidang z

Bidang s Mapping dengan Bidang z z=exp(sT)

Imaj (s) Imaj(z)

2/T

/T0-/T

-2/TRiil (s) Riil (z)

Lingkaran satuan

Transformasi Z Satu Sisi (TZSS)

242

Transformasi Z ,seperti halnya Transformasi laplace yang memiliki transformasi satu sisi dan dua sisi.

Daerah konvergensi dari TZ bilateral dalam bidang z diberikan dengan maksud bahwa TZ balik (Inverse Z-Transform) dapat diperoleh.

243

TZSS dari deretan x(n) didefinisikan sebagai : ~

X(z) = Σ x (n) z-n

-~

Untuk mempermudah notasi, TZSS dari deret x(n) dinotasikan sebagai :

Z[x(n)] = X(z)

Pasangan TZSS

244

a. Deret KonstanJika diberikan deret konstan seperti berikut :

x(n) = A , n = 0, 1, 2, ...,~TZ dari deret ini akan diberikan oleh : ~

X(z) = Σ x(n)z-n = A( 1 + z-1+ z-2+ …) -~

= A/(1-z-1) = AZ/(z-1)

245

Dalam kasus khusus, dimana | r | < 1, maka penjumlahan dari deret akan konvergen untuk n = . Sehingga dalam kasus ini dapat diperoleh :

~

Σ rn = 1/(1-r),konvergen untuk | r | < 1 -~

TZ dari deret konstan akan konvergen (mempunyai nilai terbatas) jika | z| < 1, atau | z | > 1

246

Deret konstan dan TZ

-2

-1

0 1 2 3 4n

A

1

Im ag (z)

R e(z)

247

Satu hal lain yang menarik untuk diamati bahwa TZ dari deret konstan mempunyai pole pada z = 1, dimana TL dari fungsi unit step mempunyai pole pada s = 0

~

Jadi X(z) = Σ Az-n =A/(1-z-1) -~

konvergen untuk |z-1|<1 atau |z-1|> 1

248

b. Deret EksponensialDiberikan deret x(n) = A. rn

Sebuah deretan yang dibangkitkan dengan pencuplikan fungsi eksponensial dari bentuk :

x(t) = A.eαt , dimana : r = eαT

TZ dari deret ini : ~ ~

X (z) = ΣAn rz-n = ΣA (r z-1)n n=0 n=0

= A/(1-rz-1) =,AZ/(z-r) , |z| > |r|

249

untuk r > 1 ROC|rz-1|<1,maka |z|>|r| , ini berarti bahwa ROC berada diluar lingkaran dengan jari-jari r dalam bidang z

250

C. Sinyal ImpulsSinyal impuls satuan waktu diskrit

dirumuskan sebagai : x(n) = 1 , untuk n = 0

= 0, untuk n lainnya

TZ dari deret ini : ~

X (z) = Σ x(n) z-n = 1

n=0

251

d. Deret SinusoidalTZ dari deretan x(n) = A cos βn dan x(n) = A sin βn

dapat diperoleh dari penurunan yang

ditunjukkan dibawah ini :Z[A cos βn] =Z[(Aejβn)/2 +(Ae-jβn)/2]

X(z) = Az[z-cosβ]/[z2-2z cosβ +1]|z| > 1

252

Deret Cosinus dan pole zero TZ-nya

n

Im [z]

R e [z]

lingk a ransa tuan

253

Dengan cara yang sama :Z[A sin βn] =Z[(Aejβn)/2 -(Ae-jβn)/2] X(z) = Az sinβ]/[z2-2z cosβ +1]

|z| > 1

n

Im [z]

R e [z]

lingk a ransa tuan

254

Sifat-sifat TZSS

255

a. LinieritasJika X1(z)=Z[x1(n)] ROC R1 -<|z|< R1+; X2(z)=Z[x2(n)] ROC R2-<|z|< R2+; dan

X(z) = Z [x(n)], maka :Z[α x1(n)+βx2(n)] = αX1(z) + β X2(z)

ROC dari hasilTZ ini diberikan oleh irisan ROC dari X1(z) dan X2(z)

256

b. PenggeseranJika : X(z) = Z [x(n)], maka : Z[x(n+1)] = zX(z) – zx(0)

Hal ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan perbedaan dan ini mirip dengan sifat pada TL untuk penurunan dari fungsi waktu kontinyu.

Secara Umum : Z[x(n-k)] = z-k X(z)

257

c.Perkalian dengan n

Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :

Z[nx(n)] = -z dX(z)/dz Bentuk umum :

Z[nmx(n)] = (-z)m dm X(z)/dzm

258

d.Perkalian dengan rn Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :

Z[rnx(n)] = X(z/r)

e. KonvolusiJika X1(z) =Z [x1(n)]ROC R1- <|z| < R1+;

X2(z) =Z [x2(n)]ROC R2- <|z| < R2+; ~

Maka :X1(z). X2(z) = Z[Σ x1(k)] x2(n-k)] k=0

259

f.Teorema Nilai AwalJika : X(z) = Z [x(n)], maka :

x(0) = lim X(z) z~

Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk menentukan nilai awal x(0) secara langsung dari X(z), tanpa melakuakn evaluasi inverse TZ.

260

g.Teorema Nilai Akhir

Jika : Z [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam lingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin dari pole yang sederhana pada z = 1, maka nilai X(n) pada n~ diberikan oleh :

lim x(n) =lim [((z-1)/z).X(z)] nx z1

Invers TZSS

261

a. Metoda penyesuaian koefisien dengan pembagian terus menerus

~

Jika X (z) = Σan z-n

n=0

Maka :x (n) = an untuk n=0,1,2,…

262

b. Ekspansi Pecahan Parsial Gagasan dibalik metode ini adalah mirip

dengan yang digunakan untuk mendapatkan invers TL.

X(z) diekspresikan sebagai fungsi rasional dari z, sehingga merupakan perbandingan dari dua polynomial di dalam z, invers transformasi Z didapat menggunakan pendekatan partial fraction expansions

Pasangan TZ

x(n) X(z) Keterangan

δ(n) 1

A.u(n) Az/(z-1) Pole pada z = 1

A.rn Az/(z-r) Pole pada z =r

A.n.u(n) Az/(z-1)2 2 pole pada z =1

A cos βn Az[z- cos β]/[z2-2z cosβ +1]

263

Pasangan TZ

x(n) X(z) Keterangan

A sin βn Az sin βn/[z2-2z cosβ +1]

A.n.rn Arz/(z-1)2

A n2 Az(z+1)/(z-1)3

zrn(C cosnθ-D sinnθ) (C+jD)z/(z-rejθ) +

(C-jD)z/(z-re-jθ)

A cos βn Az[z- cos βn]/[z2-2z cosβ +1] n ≥ 0

264

Latihan

265

Carilah Inverse TZ dari sinyal berikut ini :x(n) = 5z4-29z3+56z2-34z/[(z-1)(z-2)3]

266

c. Integral Invers kompleksDiberikan transformasi dari suatu deret x(n)

adalah : ~

X (z) = Σx(n)z-n ; ROC R n=-~

Kalikan X(z) dengan zk/(2.j.z). dz dan mengintegrasikan disekitar kurva tertutup C yang terletak seluruhnya diantara daerah konvergensi R menghasilkan :

267

(1/2jπ)∫cX (z)zkdz/z x

= (1/2jπ)∫c Σ x(n)z-n + k-1 dz n=-x

x= (1/2jπ) Σ x(n) ∫c z-n + k-1 dz

n=-x

268

Setiap kurva integral dapat kemudian dievaluasi dengan mempergunakan Teorema integral Cauchy yang menyatakan bahwa jika C melingkupi titik 0 dalam arah yang berlawanan dengan arah jarum jam, sehingga :

(1/2jπ) ∫c z k-1 dz = 1, untuk k = 0

= 0, untuk k lainnya Atau :(1/2jπ) ∫c z n dz = 1, untuk n = -1

= 0, untuk n lainnya

269

Dari prsamaan sebelumnya dapat disusun kembali menjadi :

(1/2jπ) ∫c X(z)(z n/z) dz = x(n)

Aplikasi TZSS

270

a. Solusi persamaan perbedaanDengan menggunakan sifat : Z [ x (n+1) ] = z X (z) – z x (0) pergeseran

waktu Jika steady state (tanpa kondisi awal)

z [ x (n) ] = x ( n-1)z [ x (n) ] = x (n+1)z [ x (n) ] = x (n-2)

Latihan :y(n) - 1,5 y(n-1) + 0,5 y(n-2) = 0,25n , n≥ 0

dimana y(-1) = 4 dan y(-2) = 10

271

b.Mencari respon impulsJika diberikan sistem seperti pada

gambar berikut :

x (n) h(n) y(n) Bila masukan x(n) = (n), maka keluaran

y (n) = h (n)

X (z) H(z) Y (z)

272

c. Analisis SWDSWD – LTW kausalany(n) + an-1 y(n-1) + … + an-py(n-p) =

anx(n) + bn-1 x (n-1) + … + bn-m x (n-m)

Fungsi transfer H(z) = Y(z)/X(z) Y(z)[an+z-1an-1+…+z-pan-p]

= X(z) [bn+z-1bn-1+…+z-mbn-m]

H(z) = [bnzp+bn-1zp-1+…+bn-mzp-m]/[anzp+an-1zp-1+…+an-p]

273

Respon steady stateY (z) = H (z) . X (z) y (n) = ITZ [H (z) . X (z)]Respon impuls h (n) H (z)StabilitasSWD stabil jika dan hanya jikastabil dalam arti BIBOpole dari fungsi transfer berada dalam lingkaran

satuan lim|h(n)| = 0 untuk sembarang p > 1

n~Besar / Magnitudo semua akar polinomial < 1

274

d. Respons Sistem Terhadap Masukan Sinusoidal

x (n)=A cos(ω0n+θ) h(n) y(n)

Dalam kawasan Z : X (z) . H (z) = Y (z)

Misalkan masukan eksponensial x (n) = A ejωon

maka respons steady state sistem didapat dengan mengevaluasi Y(z) di pole Z = ejωo

Jadi H (z) = H (ejωo) = | H (ejωo) | / H (ejωo)

Sehingga :

YssH (ejωo) A ejωon

275

Sistem linier maka Yss(n) adalah penjumlahan masing-masing respons input sistem.

Yss(n) = H (ejωo) ej(ωon+θ) + H (e) e-j(ωon+θ)

Yss(n) = A|H (ejωo)|cos[ωon+θ+arg H(ejωo)]

Transformasi Z Bilateral [TZB]

276

Definisi TZB untuk x (n) = 0, nЄ[-~,~] ~

X (z) =Σ x(n) z-n

n=-~ ~ -1

= Σ x(n) z-n + Σ x(n) z-n n=0 n=-~

Invers TZB

277

Invers TZB dapat dilakukan dengan teori Laurent dan teori residu (sulit dievaluasi) dan metoda ekspansi parsial (lebih mudah) dengan menggunakan tabel referensi pasangan TZB.