geometri analitik - ellips

Geometri Analitik

EllipsDipersembahkan oleh kelompok IV

Lois Tulangow

Bernard PantowEmenus Weya

Tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap

F1 F2A B

D

C

F1 dan F2 disebut titik-titik api atau fokusTitik- titik A , B, disebut puncak-puncak ellips

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya A2, maka :

A2F1 + A2F2 = 2a

(a + c) + (a – c) = 2a

2a = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya B1, maka :

222

22

22

2222

2111

22

2

2

acb

acb

acb

acbcb

aFBFB

a

a2 = b2 + c2

b2 = a2 - c2

c2 = a2 - b2

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

(x, 0)

(y, 0)

Karena

Persamaan Elips (horizontal)

Pusat O (0,0)

12

2

2

2

b

y

a

x

O

F1(0,-c)

F2(0,c)P(x, y)

x

y

x2

b2y2

a21

a

b

(0,-a)

(0,a)

elips horizontal elips vertikal

Persamaan Elips

Fokus (-c,0) , (c,0) (0,-c) , (0, c)

Puncak (-a,0) , (a,0) (0 ,-a) , (0,a)

Sumbu mayor Sumbu x Sumbu y

Sumbu minor Sumbu y Sumbu x

12

2

2

2

b

y

a

x1

2

2

2

2

b

x

a

y

Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan

225259 22 yx

225259 22 yx

1225

25

225

9 22

yx

1925

22

yx

252 a

5a

92 b3b

222 bac

9252 c4c

x

y

(0,3)

(0,-3)

(0,5)(0,-5)

(0,4)(0,-4)

O’ = S(g,h)

y

xO (0,0)

y’(x=g)

x’(y=h)

P1

''2

2

2

2

b

y

a

x

1)()(

2

2

2

2

b

hy

a

gx

a

b

O’ = S (g,h)

y

xO (0,0)

y’(x=g)

x’ ( y=h)

P

1''2

2

2

2

a

y

b

x

1)()(

2

2

2

2

a

hy

b

gxa

b

elips horizontal elips vertikal

Persamaan Elips

Fokus ((g-c),h) , ((g+c),h) (g,(h-c)) , (g,(h+c))

Puncak ((g-a),h) , ((g+a),h) (g,(h-a)) , (g,(h+a))

Sumbu mayor x’ atau y=h y’ atau x=g

Sumbu minor y’ atau x=g x’ atau y=h

1)()(

2

2

2

2

b

hy

a

gx1

)()(2

2

2

2

b

gx

a

hy

Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan

(x – 2)2

36(y + 5)2

16+ = 1

x

y

a2 = 36a = ±6

b2 = 16b = ±4

(x – 2)2

36(y + 5)2

16+ = 1

pusat = (2,-5)

(8,-5) (-4,-5)

(2,-1) (2,-9)

Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan

0820653 22 yxyx

a2 = 5

Pusat = (1,-2)

b2 = 3

Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan

(x + 3)2

25

(y + 1)2

81+ = 1

x

y

a2 = 25a = ±5

b2 = 81b = ±9

(x + 3)2

25

(y + 1)2

81+ = 1

Titik pusat = (-3,-1)

Titik puncak : (-3,8) (-3,-10)

(-8,-1) (2,-1)

sekianTERIMA KASIH

Jika ada yang kurang jelas silahkan ditanyakan | Jika ada yang kurang jelas silahkan ditanyakan |

Tentukan pusat, titik-titik fokus, puncak, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor

dari persamaan ellips yang diberikan. Buat sketsa grafiknya

1=25

y+

169

x 22

1=25

16y+

3

4x 221=

144

y+

169

x 22

1=16

y+

81

x 22

Dari data-data berikut tentukan persamaan ellips yang memenuhi:

6. Titik puncak di (± 6, 0), dan sumbu minor sepanjang 10.

7. Titik puncak di (±0, 8), titik-titik ujung sumbu minor di ( 3, 0).

8. Titik-titik puncak di (8, 2) dan ( 2, 2), dan satu fokus di (6, 2).

Ubahlah ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan

minor, dan buat sketsa grafiknya.

9. 9x2 + 16y2 + 18x - 64y - 71 = 0

10. 25x2 + 4y2 + 100x 4y + 101 = 0

11. 4x2 + 9y2 +16x - 18y - 11 = 0

Sketsakan persamaan, kemudian tentukan focusnya!

1=4

y+

36

x 22

1=25

y+

16

x 22