fungsi kubik
Post on 01-Dec-2015
1.701 Views
Preview:
TRANSCRIPT
FUNGSI
Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu
ekonomi, mengingat ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk
persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Yang dimaksud dengan fungsi
berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan
dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang
ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (≤ atau≥).
Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah
fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel,
koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk
fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara
kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali
mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau
sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai
fungsi.
Variabel ialah unsur pembentukan fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor
tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf latin. Dalam
matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnnya ditulis dengan huruf-huruf
kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalam sistem koordinat (absis dan ordinat) dalam
ekonomika, tidak terdapat ketentuan bahwa variabel dalam suatu persamaan harus ditulis
dengan huruf kecil. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua
macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independent
variabel ) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel
terikat (dependent variabel) ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.
Koefisien dan konstanta. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan
terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau
angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai
bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Notasi sebuah fungsi secara umum : y=f(x)
Contoh konkret : y= 5 + 0,8x
Atau, karena y =f(x), bisa pula : f(x)= 5 + 0,8x
Bentuk y= f(x) diatas berarti menyatakan bahwa y merupakan fungsi x,besar kecilnya
nilai y tergantung pada atau fungsional terhadap nilai x. Masing-masing x dan y adalah
variabel. Dalam hal ini, x adalah variabel bebas karena nilainya tidak tergantung pada
variabel lain (y) dalam fungsi tersebut. Sebaliknya, y adalah variabel terikat karena nilainya
tergantung pada nilai x. Angka 0,8 adalah koefisien variabel x, karena ia terkait pada variabel
tersebut. Pada variabel y sesungguhnya terkandung sebuah koefisien lagi, yang besarnya
sama dengan 1. Namun karena angka 1 di depan sebuah variabel biasanya tidak di tuliskan,
maka koefisien koefisien 1 yang terikat pada variabel y itu seakan-akan tidak ada. Angka 5
dalam persamaan di atas adalah sebuah konstanta. Fungsi dapat digolongkan menjadi
beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar
dan kelompok fungsi non-aljabar. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada
skema berikut ini :
Dalam makalah kali ini akan dibahas mengenai bagian dari fungsi rasional yaitu
fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik atau berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat tiga.Bentuk umum persamaan fungsi kubik:
y=a+bx+cx2+d x3
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point ),
yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung. Selain titik belok, sebuah
fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum ataau minimum ) atau
dua titik ekstrim (maksimum atau minimum ). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi
kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b,c dan d di dalam persamaannya. Dengan
demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik.
Kemungkinan-kemungkinan tersebut di perlihatkan oleh gambar-gambar berikut.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Gambar-ganbar diatas memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang hanya mempunyai
titik belok, tanpa titi ekstrem.Gambar dibawah memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang
mempunyai titik ekstrim.
Banyaknya penyelesaian, atau akar dari persamaan pangkat tiga, tergantung pada
berapa kali kurva memotong sumbu x dan kemungkinannya ada satu,dua,atau tiga
akar.Grafik fungsi pangkat tiga sedikit rumit untuk digambarkan dibandingkan dengan fungsi
kuadrat karena untuk menentukan titik-titik ekstrimnya dibutuhkan pengetahuan kalkulus.
Soal 1. Y= x3-x2-5x+2 = 0
Penyelesaian soal 1 :
1. x=-3
y=(-3)3-(-3)2-5(-3)+2
=-27-9+15+2
=-36+17
=-19
2. x=-2
y=(-2)3-(-2)2-5(-2)+2
=-8-4+10+2
=0
3. x=-1
y=(-1)3-(-1)2-5(-1)+2
=-1-1+5+2
=5
4. x=0
y=2
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -19 0 5 2 -3 -4 -5
5. x=1
y=(1)3-(1)2-5(1)+2
=1-1-5+2
=-3
6. x=2
y=(2)3-(2)2-5(2)+2
=8-4-10+2
= -4
7. x=3
y=(3)3-(3)2-5(3)+2
=27-9-15+2
=5
Kurva:
Soal 2 : x3-1 =0
Y= x3-1
1. y=(-3)3-1 = -27
2. y=(-2)3-1 = -8
3. y=(-1)3-1 = -2
4. y=(0)3-1 = -1
5. y=(1)3-1 = 0
6. y=(2)3-1 = 7
7. y=(3)3-1 =26
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -27 -8 -2 -1 0 7 26
Soal 3 : x3-2x2=2x-2
Penyelesaian soal no 3
x3-2x2=2x-2
x3-2x2-2x+2=0
1. (-3)3-2(-3)2-2(-3)+2=-37
2. (-2)3-2(-2)2-2(-2)+2=2
3. (-1)3-2(-1)2-2(-1)+2=1
4. (0)3-2(0)2-2(0)+2=2
5. (1)3-2(1)2-2(1)+2=-1
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -37 2 1 2 -1 -2 -5
6. (2)3-2(2)2-2(2)+2=--2
7. (3)3-2(3)2-2(3)+2=-5
1. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik (jika ada), serta titik beloknya,
dapat dicari melalui penulusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua dari
fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik beloknya. Perhatikan
fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara grafik.
y=13
x3−3 x2+8 x−3 ……………… …………. fungsi kubik
y I=x2−6 x+8 …………………… Fungsi kuadrat parabolik
y II=2 x−6……… ………………………………… Fungsi linear
jika y I=0 , x2−6 x+8=0 , (x−2 ) ( x−4 )=0→ x 1=2 , x2=4
untuk x=x 1=2 , → y=13
(2 )3−3 (2 )2+8 (2 )=3,67
[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum]
→ yII=2 (2 )−6=−2<0(derivatif keduanegatif )
untuk x=x 2=4 , → y=13(4)3−3(4)2+8 (4 )−3=2,33
[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum]
→ yII=2 (4 )−6=2<0(derivatif kedua positif )
Jika y II=0,2 x−6=0→ x=3
→ y=13
(3 )3−3 (3 )2+8 (3 )=3 , (fungsi kubik y=f ( x )berada pada titik belok )
y I=32−6 (3 )+8=−1
[derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]
Jadi fungsikubik : y=13
x3−3 x2+8 x beradadi :
Titik maksimum pada koordinat (2;3,67)
Titik belok pada koordinat (3;3)
Titik minimum pada koordinat (4;2,33)
Soal no 4
Tentukan titik ekstrem dan titik belok fungsi kubik
y=− x3+15 x2−48 x
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
y=− x3+15 x2−48 x → y I=−3 x2+30 x−48 → yII=−6 x+30
syarat ekstrim: yI=0 ,−3 x2+30 x−48=0→ x1=2 , x2=8
x=2 → y=−8+60−96=−44
y II=−12+30=18>0
x=8 → y=−512+960−384=64
y II=−48+30=−18<0
Syarat titik belok : y II=0→ x=5
x=5 → y=−125+375−240=10
Soal 5 : sketsalah grafik dari fungsi y=(x+1)(x-1)(x-2)
x=-2→y=(-2+1)(-2–1)(-2–2 ) =-12
x=-1→y=(-1+1)(-1-1)(-1-2)= 0
x=0→y=(0+1)(0-1)(0-2)=2
x=1→y=(1+1)(1-1)(1-2)=0
x=2→y=(2+1)(2-1)(2-2)=0
x=3→y=(3+1)(3-1)(3-2)=8
Kurva:
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Titik belok (5,10)
Mak (8,64
Min (2,-44)
X -2 -1 0 1 2 3
Y -12 0 2 0 0 8
Soal no 6 : tentukan d2 y/dx untuk y=2 x3−4 x2+7 x−5
Penyelesaian ,dydx
=6 x2−8 x+7
Soal no 7 : tentukan d2 y/dx untuk y=6 x3−6 x2+10 x+30
dydx
=18 x2−12 x+10
Soal no 8 : tentukan d2 y/dx untuk y=18 x3−10 x2+8 x+8
dydx
=54 x2−20 x+8
Soal no 9 : tentukan d2 y/dx untuk y=4x3-5x2+2x+16
dydx
=12 x2−10 x+2
Soal no 10 : tentukan d2 y/dx untuk y=15x3-10x2+5x+11
dydx
=45 x2−20 x+5
Soal no 11 : tentukan d2 y/dx untuk y=30x3-6x2+7x+11
dydx
=90 x2−12 x+7
Soal no 12 : tentukan d2 y/dx untuk y=11x3-7x2+8x+16
dydx
=33 x2−14 x+8
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Soal no 13: sketsalah grafik dari y=f(x) =x3-4x2-3x+18
X=-2→y=-23-4(-2)2-3(-2)+18 = 0
X=-1→y=-13-4(-1)2-3(-1)+18 = 16
X=0→y=03-4(0)2-3(0)+18 = 18
X=1→y=13-4(1)2-3(1)+18 = 12
X=2→y=23-4(2)2-3(2)+18 = 4
X=3→y=33-4(3)2-3(3)+18 = 0
Kurvanya :
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -2 -1 0 1 2 3
Y 0 16 18 12 4 0
PENERAPAN EKONOMI
1. Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)
yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah keluaran terhadap
presentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan
sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi
dinyatakan dengan P = f (X), maka elastisitas produksinya :
ηp=% ∆ P% ∆ X
=EPEx
lim ¿∆ x →0 ¿¿¿
Di mana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P’ atau f’(X)]
Soal no 14
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 6X2 – X3. Hitunglah
elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
Penyelesaian :
P=6 x2−x3 → P I=dpdx
=12 x−3 x2
ηp=dpdx
∙xp=( 12 x−3 x2 ) ∙ x
(6 x2−x3 )
Pada x=3 , ηp=(36−27 ) 3(54−27 )
=1
Pada x=7 , ηp=( 84−147 ) ∙ 7(294−343 )
=9
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
2. Biaya Marjinal
Biaya marjinal (marginal cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal
merupakan derivative pertamadari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan
dengan C=f (Q)dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka
biaya marjinalnya :
MC=C I=dCdQ
Soal no 15
Biayatotal :C=f (Q )=Q3−3Q2+4 Q+4 ;
Biaya Marginal : MC=C I= dCdQ
=3 Q2−6Q+4
Pada umumnya fungsi biaya total yang non – linear berbentuk fungsi kubik, sehingga
fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. Dalam hal demikian, seperti ditunjukan
oleh contoh kasus ini, kurva biaya marjinal (MC) selalu mencapai minimumnya tepat pada
saat kurva biaya total (C) berada pada posisi titik beloknya.
C=Q3−3 Q2+4 Q=4
MC=C I=3Q2−6 Q+4
¿
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
MC minimum jika¿
(MC )I=0→ 6 Q – 6=0 → Q=1
PadaQ=1 → MC=3 (1)2 –6 (1)+4=1
C=1 3 – 3(1)+4 (1)+4=6
3. Utilitas Marjinal
Utilitas marjinal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh
konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Secara matematik,
fungsi utilitas marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi
utilitas total dinyatakan dengan U=F (Q ) di mana U melambangkan utilitas total dan Q
adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
MU=U I=dUdQ
Karena fungsi utilitas total yang non – linear pada umumnya berbentuk fungsi
kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva utilitas marjinal
selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.
4. Produk Marjinal
Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan
faktor poduksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan
derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan
P=f (x )dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka
produk marjinalnya :
MP=PII=dPdx
Karena fungsi produk total yang non linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik,
fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolic). Kurva produk marjinal
(MP) selalu mencapai niilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva
produk total (P) berada pada posisi titik beloknya ; kedudukan ini mencerminkan berlakunya Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
hukum tambahan hasil yang semakin berkuranf (the law of the diminishing return). Produk
total mencapai pun caknya ketika produk marjinal nol. Sesudah kedudukan ini, produk total
menurun bersamaan dengan produk marjinal menjadi negative. Area di mana produk marjinal
negative menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru
akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan
produksi. Dalam area ini, jika produk total hendak ditingkatkan, jumlah masukan yang
digunakan harus dikurangi.
Soal no 17
Produk Total : P=F ( x )=9 x2−x3
Produk marginal : MP=P I=18 x−3 x2
Pmax pada P I=0 ; yakni pada x=6 , denganPmax=108
P beradadi titik belok dan
MPmax pada P II=( MP ) I=0 ;
yakni pada x=3
1. Efek perpajakan bagi penunggal.
Pajak , di samping merupakan sumber penting pendapatan negara, dapat pula
berfungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan “berlebihan” yang dapat di keduk oleh
penungal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang di produksi atau di
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
jual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-rata meningkat sebesar t, dan biaya
totalnya meningkat sebesar Qt. Akibatnya bukan saja harga barang menjadi lebih mahal,
tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal menjadi berkurang.
Penerimaan total : R=r (Q )
Biayatotal :C=c (Q )
Biayatotal sesudah pengenaan pajak :C=c (Q )+ t (Q )
Keuntungan sesudah pengenaan pajak :π=r (Q )−c (Q )−t (Q )
Pajak perunit : t Pajak total :T=t ∙ Q=f (t ,Q)
Soal no 18
Andaikan seorang penunggal atau monopolist menghadapi permintaan P=1000−2 Q
dan fungsi biaya totalnyaC=2000+1315 Q−59 Q2+Q3. Pemerintah memungut pajak sebesar
405 atas setiap unit barang yang di produksi atau di jual. Bandingkan keuntungan maksimum
yang di peroleh penunggal ini antara tanpa dan dengan pengenaan pajak ! berapa pajak total
yang di terima pemerintah ?
Tanpa pengenaan pajak :
R=PQ=1000Q−2 Q2
C=2000+1315 Q−59 Q2+Q3
π=R−C=−2000−315Q+57 Q 2−Q3
π max pada Q=35
πmax=13925 Pe=1000−2 (35 )=930
Dengan pengenaan pajak
Biayatotalmenjadi C=2000+1315 Q−59 Q2+Q3=+405 Q
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Keuntungan : π=R−C
π=r (Q )−c (Q)
Fungsi keuntungan yangbaru : π=−2000−720 Q+57 Q2−Q3
π I=720+114 Q−3 Q2 π II=114−6Q
π max jika π II=114−6Q π max jika π I=0 dan π II<0
π I=0→−720+114 Q−3 Q2=0
Q2−38 Q+240=0 →Q1=8Q2=30
Q=8→ π II=66
Q=30 → π II=−66 (memenuh i syarat π maksimum )
Pajak total yang diterima pemerintah : T=t ∙ Q=405 (30 )=12150
[jika di analisis, dari jumlah 12.150 ini sebesar (10 x 30 = ) 300 merupakan beban pajak total
yang ditanggung oleh pihak konsumen , 11.850 selebihnya ditanggung oleh pihak produsen
alias sang penunggal. Hal ini mencerminkan kebijakan pajak cukup efektif untuk
mengendalikan keuntungan produsen monopolis].
Soal no 19
Andaikan seorang produsen monopolis menghadapi fungsi permintaan Q=100−5 P
dan biaya totalnya . pemerintah mengenakan pajak atas setiap unit barang
yang di jual oleh penunggal ini, dan menginginkan pajak yang diterimanya maksimum. Di
lain pihak, walau pun barang dagangannya dipajaki, produsen tetap menginginkan operasi
bisnisnya menghasilkan keuntungan maksimum. Berapa pajak per unit yang harus di tetapkan
oleh pemerintah agar penerimaan pajaknya, dan juga keuntungan produsen, maksimum ?
hitunglah masing-masing penerimaan pajak maksimum dan keuntungan maksimum tersebut.
Permintaan :Q=100−5 P → P=20−0,2 Q
Penerimaan : R=PQ=20Q−0,2 Q2
Biayatotal denganadanya pajak ≔20−4 Q+0,1 Q2+tQ
( t melambangkan pajak perunit )
Keuntungan : π=R−C=0,3 Q2+24 Q−tQ−20
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
π I=−0,6 Q+24−tπ max jika π=0→−0,6 Q+24−t → Q=(24−t)
0,6
T=tQ=t(24 t−t )
0,6=
(24−t 2 )0,6
T I=dTdt
=(24−2 t)
0,6
Tmax bila T I=0→(24−t )
0,6=0 → 24−2t=12
Jadi, Tmax bila t=12(bukti :T II=(−20,6
)<0)
π max jika Q=(24−t )
0,6=
(24−12 )0,6
=20
Adapunbesarnya Tmax=tQ=12 (20 )=240
Sedangkanπmax=−0,3 (20)2+24 (20 )−20=100
Hubungan biaya marjinal dengan biaya rata-rata.
Dalam ekonomi mikro terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal dan biaya
rata-rata, yakni bahwa pada saat biaya rata-rata mencapai nilai minimumnya maka biaya
marjinal sama dengan biaya rata-rata minimum tersebut. Secara grafik hal ini ditunjukkan
oleh perpotongan kurva biaya marjinal dengan kurva biaya rata-rata pada posisi minimum
kurva biaya rata-rata.secara matematik hubungan tersebut dapat di jelaskan sebagai berikut :
Andaikan biaya total dinyatakan dengan C = f(Q).
Maka :
Biaya marjinal : MC = C’ =dC/dQ
Biaya rata-rata : AC =C/Q
Syarat yang diperlukan agar AC minimum ialah bahwa derivatif pertamanya sama dengan
nol.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Menurut kaidah diferensiasi, jika y = uv
maka y’ = v u'−u v '
v2
AC = CQ
→ (AC)’ = QC '−C Q'
Q 2 = QC '−C
Q 2
[CQ’ = C, sebab jika Q = Q maka Q’ = dQ/dQ = 1]
Syarat agar AC minimum : (AC)’ = 0 → QC '−CQ 2
= 0
→ QC’ – C = 0 → QC’ =C → C’ = C/Q
Mengingat C’ ≡ MCdan C/Q ≡ AC
Pada posisi AC minimum : MC = AC, dCdQ
=CQ
Soal no 20
andaikan C = Q3 – 6Q3 + 15Q. buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama
dengan biaya marjinal.
biaya marjinal : MC = C’ dC/dQ = 3Q2 – 12Q +15
biaya rata-rata : AC = C/Q = Q3 – 6Q + 15
Hubungan produk marjinal dengan produk rata-rata.
Analog dengan hubungan antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, begitu pula
hubungan antara produk marjinal dan produk rata-rata. Produk marjinal sama dengan produk
rata-rata pada saat produk rata-rata mencapai posisi ekstrimnya (dalam hal ini posis
maksimum).
Andaikan produk total dinyatakan dengan P = f(X),
Maka :
Produk marjinal : MP = P’ = dP/dX
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Produk rata-rata : AP = P/X
(AP)’ = X P '−P X '
X 2 = X P '−P
X 2
[PX’ = P, sebab jika P = P maka P’ = dP/dP = 1]
Agar AP maksimum : (AP)’ = 0 → X P '−PX 2
= 0 → P’ = P/X
Mengingat P’ ≡ MP dan P/X ≡ AP, jelaslah bahwa :
Pada posisi AP maksimum : MP = AP, dPdX
= PX
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
top related