fungsi komposisi
Post on 14-Jan-2016
8 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 1/6
FUNGSI KOMPOSISI
1. Pengertian dan Aturan Komposisi Fungsi
Misalkan f adalah fungsi yang memetakan anggota A → B dan g adalah anggota A → C
maka h disebut fungsi komosisi f dan g!
A B C
f g
h
" me#uakan anggota hinunan A! Setia " anggota himunan A dietakan ke y yang
me#uakan anggota himunan B sehingga f $ " → y ditentukan dengan #umus y %
f&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !&('Fungsi g yang memetakan anggota himunan B ke himunan C setia y anggota
himunan B dietakan ke ) yang me#uakan anggota himunan C sehingga g $ y → )
ditentukan dengan #umus ) % g&y' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! &*'Untuk fungsi h yang memetakan anggota himunan A ke himunan C sehingga g $ y
→ ) ditentukan dengan #umus ) %
h&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !&+'Fungsi h me#uakan komosisi da#i fungsi g dan fungsi f! Komosisi fungsi g dan fungsi f
ditulis dengan notasi h % g ° f atau h&"' % &g ° f '&"'
Untuk menentukan #umus fungsi komosisi, ada e#samaan &+' dan &*' sama,Sehingga
) % g&y' % h&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! &-'Substitusi e#samaan &(' ke e#samaan &-' sehingga die#oleh
.&"' % g&y'% g &f&"''
Maka &g ° f '&"' % g&f&"''
Sehingga,Fungsi komosisi dide/nisikan sebagai
) 01
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 2/6
2. Nilai Fungsi KomposisiNilai da#i suatu komosisi daat ditentukan dengan menggunakan * 2a#a, yaitu $a' 3engan 2a#a langsung mengoe#asikan fungsi 4 fungsi te#sebut se2a#a be#u#utan
Contoh $
(! 3iketahui fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal yang dide/nisikan dengan
f&"' % -" dengan g&"' %2
3 " 4 *! 5entukan nilai &f ° f 'f&*'
Penyelesaian $
&f ° g '&*' % f &g&*''
% f &2
3 &*'6*'
% f &6
2
3 '% - &6
2
3 '
% 68
3
*! 3iketahui fungsi f&"' % *" 4 ( dan fungsi g&"' % "* 7 8
5entukan &g ° f '&"'
Penyelesaian $
&g° f
'&"' % g &f&"''% g &*" 4 ('% &*" 4 ('* 7 8% -"* 4 -" 7 ( 7 8% -"* 4 -" 7 9
% -&"* 4 " 7 *'
b' 3engan menentukan #umus komosisi fungsi te#lebih dahulu, menyubstitusikan nilai 4
nilai ada domainnya ke dalam #umus komosisi itu!Contoh $(! 3iketahui fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal yang didefenisikan dengan
f&"' % -" dan g&"' %2
3 6 * ! 5entukan &f ° g '&*'
Penyelesaian $
&f ° g '&"' % f &g&"''
% f &2
3 " 4 *'
% - &2
3 " 4 *'
%8
3 " 4 9
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 3/6
&f ° g '&*' %8
3 &*' 4 9
%16
3 6 9
%6
8
3
*! 3iketahui fungsi f&"' % *" 4 ( dan fungsi g&"' % "* 7 8
5entukan &g ° f '&+'
Penyelesaian $
&g ° f '&"' % g &f&"''
% g &*" 4 ('% &*"6 ('* 7 8% -"* 4 -" 7 ( 7 8
&g ° f '&+' % -&+'* 4 -&+' 7 ( 7 8
% +: 4 (* 7 ( 7 8% +*
3. Sifat – Sifat Fungsi Komposisi(' Komosisi fungsi tidak be#sifat komulatif
Contoh $Misalkan fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal didefenisikan oleh f&"' % +" 7 *
dan g&"' % " 4 + 5entukan $
a! &g ° f '&"' b! &f ° g '&"' 2! Aakah g ° f % f ° g
Penyelesaian $
a! &g ° f '&"' % g &f&"'' b! &f ° g '&"' % f &g&"''
% g &+" 7 *' % f &" 4 +'% +" 7 * 4 + % + &" 4 +' 7 *% +" 4 ( % +" 4 ; 7 *
% +" 4 8
2! da#i hasil ada bagian a dan b bah<a g ° f ≠ f ° g maka tidak be#sifat
komutatif
*' Komosisi fungsi be#sifat asosiatif Contoh $Misalkan f&"' % "*, g&"' % " 7 ( dan h&"' % " 7 +
5entukan $
a! &f ° &g ° h ''&"' dan &&f ° g' ° h '&"'
b! Aakah hasil &f ° &g ° h '&"' % &&f ° g ' ° h '&"'
Penyelesaian $
a! 3imisalakn &g ° h '&"' % k&"' maka $ &&f ° x ' ° h '&"' % l &" 7
+'
K&"' % &g ° h '&"' % g &" 7 +' % &" 7 +' 7 ( % &" 7 +'* 7 *&" 7
+' 7 (% " 7 - % "* 7 :" 7 ; 7 *" 7 :
7 (
&f ° &g ° h ''&"' % f &k&"'' % "* 7 9" 7 (:
% f &" 7 -'% &" 7 -'*
% "* 7 9" 7 (:
Misalkan &f ° g '&"' % l&"' maka
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 4/6
l&"' % &f° g
'&"' % f &" 7 ('
% &" 7 (' *
% "* 7 *" 7 (
b! .asil &f ° &g ° h ''&"' % &&f ° g ' ° h '&"' sehingga be#sifat asosiatif!
+' Komosisi ada fungsi te#daat sebuah identitas $
I&"' % " , yang be#sifat &f ° I'&"' % &I ° f '&"' % f&"'
Contoh $Misalkan f&"' % "* 7 ;" 7 ** dan I&"' % "
5entukan $
a! &f ° I'&"' % f &I&"'' % f&"'
&I ° f '&"' % I &f&"'' % I &"* 7 ;" 7 **' % f&"'
b! =adi, da#i hasil ada bagian a bah<a &f ° I'&"' % &I ° f '&"' sehingga
KesimulanSifat 4 sifat komosisi fungsi
a! Oe#asi komosisi tidak be#sifat komutatif &f ° g '&"' ≠ &g ° f '&"'
b! Oe#asi komosisi be#sifat assosiatif
&f ° &g ° h ''&"' % &&f ° g ' ° h '&"'
2! 5e#daat fungsi identitas I&"' % "
Sehingga &f ° I'&"' % &I ° f '&"' % f&"'
4. Syarat Agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan en!adi Fungsi
Komposisi
Untuk mengetahui sya#at aga# komosisi dua buah fungsi me#uakan sebuah fungsi
komosisi daat dilihat ada gamba#!
A B C
b(
b*
b+
b-
a(
a*
a+
a-
a>
2(
2*
2+
2-
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 5/6
3a#i gamba# di atas tamak bah<a $
f&a(' % b( dan g&b(' % 2( sehingga &g ° f '&a(' % 2(
f&a*' % b( dan g&b(' % 2( sehingga &g ° f '&a*' % 2(
f&a+' % b+ dan g&b+' % 2+ sehingga &g ° f '&a+' % 2+
f&a-' % b+ dan g&b+' % 2+ sehingga &g ° f '&a-' % 2+
f&a>' % b( dan g&b-' % 2- sehingga &g ° f '&a(' % 2-
dengan demikian, &g ° f ' $ A → C
me#uakan sebuah fungsi atau fungsi komosisi!
Pada gamba# yang kedua
A B C
Fungsi f $ A → B dan fungsi g $ 3 → C dengan 3 ≤ B! =ika dibuat komosisi fungsi
g ° f , komosisi te#sebut bukan me#uakan sebuah fungsi ka#ena f&a+' % b+ bukan
anggota domain g sehingga b+ oleh g tidak dietakan! 3omain g me#uakan himunan
da#i #ange f!Sehingga daat disimulkan bah<a $
Fungsi g daat dikomosisikan dengan fungsi f sehingga komosisi fungsi g ° f
me#uakan sebuah fungsi aabila #ange f me#uakan himunan bagian da#i domain g
atau daat ditulis ?f 3g
Suatu fungsi komosisi daat te#susun atas dua fungsi atau lebih! =ika komosisi fungsi
te#di#i atas + fungsi atau lebih enge#@aannya ha#us dilakukan se2a#a be#u#utan!Contoh $3iketahui fungsi f, g, dan h ada bilangan #eal dan didefenisikan f&"' % " *, g&"' % >" 7 +,
dan h&"' % √ x+1
5entukan komosisi fungsi $
a! &f ° g '&"'
b! &g ° f ° h '&"'
Penyelesaian $
a! &f° g
'&"' % f &g&"'' b! &g° f ° h
'&"' % &g° f
'& √ x+1 '
% f &>" 7 +' % g &f & √ x+1 '% &>" 7 +'* % g &" 7 ('% *>"* 7 +" 7 ; % > &" 7 (' 7 +
% >" 7 > 7 + % >" 7 9
2(
2*
2+
3
b+
a(
a*
a+
b(
b*
7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI
http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 6/6
". enentukan Suatu Fungsi #ika Fungsi Komposisi dan Fungsi
yang $ain Diketa%ui
=ika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komosisi f ° g atau g ° f @uga diketahui maka
fungsi g daat kita tentukan! 3emikian @uga @ika diketahui fungsi g dan fungsi komosisi f
° g atau g
° f , fungsi f daat kita tentukan!
Contoh $
(!3iketahui fungsi &f ° g '&"' % - 4 *" dan g&"' % " 7 :
5entukan fungsi f&"'Penyelesaian $
&f ° g '&"' % - 4 *"
f &g&"'' % - 4 *"f &" 7 :' % - 4 *"misalkan " 7 : % y maka " % y 4 :
f &y' % - 4 * & y 4 :'% - 4 *y 7 (*% (: 4 *y
=adi, f &"' % (: 4 *"
*!3iketahui f &"' % *" 4 + dan &f ° g '&"' % "* 4 -" 7 8
5entukan g&"'Penyelesaian $f &"' % *" 4 +
&f ° g '&"' % "* 4 -" 7 8
&f ° g '&"' % f &g&"''
&f ° g '&"' % *g &"' 4 +
*g &"' 4 + % "* 4 -" 7 8 *g &"' % "* 4 -" 7 (
g &"' %1
2 "* 4 *" 7 >
top related