fungsi komposisi

7/18/2019 FUNGSI KOMPOSISI

http://slidepdf.com/reader/full/fungsi-komposisi-569710c27553c 1/6

FUNGSI KOMPOSISI

1. Pengertian dan Aturan Komposisi Fungsi

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan anggota A → B dan g adalah anggota A → C

maka h disebut fungsi komosisi f dan g!

A B C

f g

h

" me#uakan anggota hinunan A! Setia " anggota himunan A dietakan ke y yang

me#uakan anggota himunan B sehingga f $ " → y ditentukan dengan #umus y %

f&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !&('Fungsi g yang memetakan anggota himunan B ke himunan C setia y anggota

himunan B dietakan ke ) yang me#uakan anggota himunan C sehingga g $ y → )

ditentukan dengan #umus ) % g&y' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! &*'Untuk fungsi h yang memetakan anggota himunan A ke himunan C sehingga g $ y

→ ) ditentukan dengan #umus ) %

h&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !&+'Fungsi h me#uakan komosisi da#i fungsi g dan fungsi f! Komosisi fungsi g dan fungsi f

ditulis dengan notasi h % g ° f atau h&"' % &g ° f '&"'

Untuk menentukan #umus fungsi komosisi, ada e#samaan &+' dan &*' sama,Sehingga

) % g&y' % h&"' ! ! ! ! ! ! ! ! ! &-'Substitusi e#samaan &(' ke e#samaan &-' sehingga die#oleh

.&"' % g&y'% g &f&"''

Maka &g ° f '&"' % g&f&"''

Sehingga,Fungsi komosisi dide/nisikan sebagai

) 01



2. Nilai Fungsi KomposisiNilai da#i suatu komosisi daat ditentukan dengan menggunakan * 2a#a, yaitu $a' 3engan 2a#a langsung mengoe#asikan fungsi 4 fungsi te#sebut se2a#a be#u#utan

Contoh $

(! 3iketahui fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal yang dide/nisikan dengan

f&"' % -" dengan g&"' %2

3 " 4 *! 5entukan nilai &f ° f 'f&*'

Penyelesaian $

&f ° g '&*' % f &g&*''

% f &2

3 &*'6*'

% f &6

2

3 '% - &6

2

3 '

% 68

3

*! 3iketahui fungsi f&"' % *" 4 ( dan fungsi g&"' % "* 7 8

5entukan &g ° f '&"'

Penyelesaian $

&g° f

'&"' % g &f&"''% g &*" 4 ('% &*" 4 ('* 7 8% -"* 4 -" 7 ( 7 8% -"* 4 -" 7 9

% -&"* 4 " 7 *'

b' 3engan menentukan #umus komosisi fungsi te#lebih dahulu, menyubstitusikan nilai 4

nilai ada domainnya ke dalam #umus komosisi itu!Contoh $(! 3iketahui fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal yang didefenisikan dengan

f&"' % -" dan g&"' %2

3 6 * ! 5entukan &f ° g '&*'

Penyelesaian $

&f ° g '&"' % f &g&"''

% f &2

3 " 4 *'

% - &2

3 " 4 *'

%8

3 " 4 9



&f ° g '&*' %8

3 &*' 4 9

%16

3 6 9

%6

8

3

*! 3iketahui fungsi f&"' % *" 4 ( dan fungsi g&"' % "* 7 8

5entukan &g ° f '&+'

Penyelesaian $

&g ° f '&"' % g &f&"''

% g &*" 4 ('% &*"6 ('* 7 8% -"* 4 -" 7 ( 7 8

&g ° f '&+' % -&+'* 4 -&+' 7 ( 7 8

% +: 4 (* 7 ( 7 8% +*

3. Sifat – Sifat Fungsi Komposisi(' Komosisi fungsi tidak be#sifat komulatif

Contoh $Misalkan fungsi f dan g ada himunan bilangan #eal didefenisikan oleh f&"' % +" 7 *

dan g&"' % " 4 + 5entukan $

a! &g ° f '&"' b! &f ° g '&"' 2! Aakah g ° f % f ° g

Penyelesaian $

a! &g ° f '&"' % g &f&"'' b! &f ° g '&"' % f &g&"''

% g &+" 7 *' % f &" 4 +'% +" 7 * 4 + % + &" 4 +' 7 *% +" 4 ( % +" 4 ; 7 *

% +" 4 8

2! da#i hasil ada bagian a dan b bah<a g ° f ≠ f ° g maka tidak be#sifat

komutatif

*' Komosisi fungsi be#sifat asosiatif Contoh $Misalkan f&"' % "*, g&"' % " 7 ( dan h&"' % " 7 +

5entukan $

a! &f ° &g ° h ''&"' dan &&f ° g' ° h '&"'

b! Aakah hasil &f ° &g ° h '&"' % &&f ° g ' ° h '&"'

Penyelesaian $

a! 3imisalakn &g ° h '&"' % k&"' maka $ &&f ° x ' ° h '&"' % l &" 7

+'

K&"' % &g ° h '&"' % g &" 7 +' % &" 7 +' 7 ( % &" 7 +'* 7 *&" 7

+' 7 (% " 7 - % "* 7 :" 7 ; 7 *" 7 :

7 (

&f ° &g ° h ''&"' % f &k&"'' % "* 7 9" 7 (:

% f &" 7 -'% &" 7 -'*

% "* 7 9" 7 (:

Misalkan &f ° g '&"' % l&"' maka



l&"' % &f° g

'&"' % f &" 7 ('

% &" 7 (' *

% "* 7 *" 7 (

b! .asil &f ° &g ° h ''&"' % &&f ° g ' ° h '&"' sehingga be#sifat asosiatif!

+' Komosisi ada fungsi te#daat sebuah identitas $

I&"' % " , yang be#sifat &f ° I'&"' % &I ° f '&"' % f&"'

Contoh $Misalkan f&"' % "* 7 ;" 7 ** dan I&"' % "

5entukan $

a! &f ° I'&"' % f &I&"'' % f&"'

&I ° f '&"' % I &f&"'' % I &"* 7 ;" 7 **' % f&"'

b! =adi, da#i hasil ada bagian a bah<a &f ° I'&"' % &I ° f '&"' sehingga

KesimulanSifat 4 sifat komosisi fungsi

a! Oe#asi komosisi tidak be#sifat komutatif &f ° g '&"' ≠ &g ° f '&"'

b! Oe#asi komosisi be#sifat assosiatif

&f ° &g ° h ''&"' % &&f ° g ' ° h '&"'

2! 5e#daat fungsi identitas I&"' % "

Sehingga &f ° I'&"' % &I ° f '&"' % f&"'

4. Syarat Agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan en!adi Fungsi

Komposisi

Untuk mengetahui sya#at aga# komosisi dua buah fungsi me#uakan sebuah fungsi

komosisi daat dilihat ada gamba#!

A B C

b(

b*

b+

b-

a(

a*

a+

a-

a>

2(

2*

2+

2-



3a#i gamba# di atas tamak bah<a $

f&a(' % b( dan g&b(' % 2( sehingga &g ° f '&a(' % 2(

f&a*' % b( dan g&b(' % 2( sehingga &g ° f '&a*' % 2(

f&a+' % b+ dan g&b+' % 2+ sehingga &g ° f '&a+' % 2+

f&a-' % b+ dan g&b+' % 2+ sehingga &g ° f '&a-' % 2+

f&a>' % b( dan g&b-' % 2- sehingga &g ° f '&a(' % 2-

dengan demikian, &g ° f ' $ A → C

me#uakan sebuah fungsi atau fungsi komosisi!

Pada gamba# yang kedua

A B C

Fungsi f $ A → B dan fungsi g $ 3 → C dengan 3 ≤ B! =ika dibuat komosisi fungsi

g ° f , komosisi te#sebut bukan me#uakan sebuah fungsi ka#ena f&a+' % b+ bukan

anggota domain g sehingga b+ oleh g tidak dietakan! 3omain g me#uakan himunan

da#i #ange f!Sehingga daat disimulkan bah<a $

Fungsi g daat dikomosisikan dengan fungsi f sehingga komosisi fungsi g ° f

me#uakan sebuah fungsi aabila #ange f me#uakan himunan bagian da#i domain g

atau daat ditulis ?f 3g

Suatu fungsi komosisi daat te#susun atas dua fungsi atau lebih! =ika komosisi fungsi

te#di#i atas + fungsi atau lebih enge#@aannya ha#us dilakukan se2a#a be#u#utan!Contoh $3iketahui fungsi f, g, dan h ada bilangan #eal dan didefenisikan f&"' % " *, g&"' % >" 7 +,

dan h&"' % √ x+1

5entukan komosisi fungsi $

a! &f ° g '&"'

b! &g ° f ° h '&"'

Penyelesaian $

a! &f° g

'&"' % f &g&"'' b! &g° f ° h

'&"' % &g° f

'& √ x+1 '

% f &>" 7 +' % g &f & √ x+1 '% &>" 7 +'* % g &" 7 ('% *>"* 7 +" 7 ; % > &" 7 (' 7 +

% >" 7 > 7 + % >" 7 9

2(

2*

2+

3

b+

a(

a*

a+

b(

b*



". enentukan Suatu Fungsi #ika Fungsi Komposisi dan Fungsi

yang $ain Diketa%ui

=ika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komosisi f ° g atau g ° f @uga diketahui maka

fungsi g daat kita tentukan! 3emikian @uga @ika diketahui fungsi g dan fungsi komosisi f

° g atau g

° f , fungsi f daat kita tentukan!

Contoh $

(!3iketahui fungsi &f ° g '&"' % - 4 *" dan g&"' % " 7 :

5entukan fungsi f&"'Penyelesaian $

&f ° g '&"' % - 4 *"

f &g&"'' % - 4 *"f &" 7 :' % - 4 *"misalkan " 7 : % y maka " % y 4 :

f &y' % - 4 * & y 4 :'% - 4 *y 7 (*% (: 4 *y

=adi, f &"' % (: 4 *"

*!3iketahui f &"' % *" 4 + dan &f ° g '&"' % "* 4 -" 7 8

5entukan g&"'Penyelesaian $f &"' % *" 4 +

&f ° g '&"' % "* 4 -" 7 8

&f ° g '&"' % f &g&"''

&f ° g '&"' % *g &"' 4 +

*g &"' 4 + % "* 4 -" 7 8 *g &"' % "* 4 -" 7 (

g &"' %1

2 "* 4 *" 7 >

fungsi komposisi

Documents