fungsi dan grafik fungsi - eko.staff.uns.ac.id · materi fungsi( daerah definisi, daerah asal dan...

Kalkulus I

Fungsi Dan Grafik FungsiFungsi Dan Grafik Fungsi

Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.

eko@uns.ac.id

081 2278 3991

eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Materi

� Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan daerah hasil )

� Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif danInversInvers

� Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi

� Grafik Fungsi Dalam Sistem KoordinatKartesius

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan atau Relasi

� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakanmenjadi variabel ) sering terjadi.

� Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikanoleh relasioleh relasi

� Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabilasetiap berelasi R dengan tepat satu

maka R disebut fungsi dari A ke B.

3

3

4rV π=

Ax ∈By ∈

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi

� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.

� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A → Bf : A → B

� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Daerah Asal dan Nilai

� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,

� Himpunan semua anggota B yang

{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=

� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah nilai fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut

fR

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi : Daerah Asal dan Nilai

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi

• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.

• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Daerah Asal dan Nilai

� Daerah asal (Df)

{ }RxfRxD f ∈∈= )(:

{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=

� Daerah nilai (Rf)

{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=

{ }ff DxRxfR ∈∈= :)(

{ }ff DxsemuauntukRxfberapaR ∈∈= )(Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai

1)( dan1)( 2 −−=+= xxgxxf

01

),(0akarbawah Di

∞<<∞−≥+=

∞−∞=≥= gf

xx

DD

Contoh 1

[ ) ]1,(,0

1)(

11

1011

0

0),1[

01

2

2

2

2

−−∞=∞=−≤<∞−

−≤−−<∞−−≤−−<−∞−

≤−<∞−

∞<≤∞−=∞<<∞−≥+=

gf

f

RR

xg

x

x

x

xD

xx

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan Df dan Rf

dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi f

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan Dg dan Rg

dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi g

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Surjektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Injektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Bijektif

� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.

� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Invers

� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.

� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f

)()(1 xfyyfx =⇔= −

ffffDRRD == −− 11 dan

dengan

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :

,

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Operasi Pada Fungsi

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisandomain f dan domain g, kecuali untuk gf

{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf

,

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Operasi Pada Fungsi

Contoh 2

,

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Komposisi

foggof

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Komposisi

fog

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Komposisi

gof

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Syarat Fungsi Komposisi

fog φ≠∩ fg DR

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Syarat Fungsi Komposisi

gof φ≠∩ gf DR

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

{ }fggf DxgDxD ∈∈= )(:o

{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o

fog

{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o

{ }gffg DxfDxD ∈∈= )(:o

{ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ),(:o

gof

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Diberikan fungsi berikut

1)(dan 1)( 2 −−=+= xxgxxf

Contoh 3

Tentukan

gfgf RDaoo

dan .

fgfg RDboo

dan .

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

gfgf RDaoo

dan .

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan RgLihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

gfgf RDaoo

dan .

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

fgfg RDboo

dan .

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

fgfg RDboo

dan .

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Selingan

Asal ulet yang Mustahil pasti bisaAsal ulet yang Mustahil pasti bisa

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

� Fungsi Aljabar

� Fungsi Transenden

� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Contoh fungsi aljabar :

1

)1(3)(

2

322

+

+−=x

xxxxf

� Fungsi yang bukan fungsi aljabardisebut fungsi transenden.

� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.

12 +x

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi Aljabar meliputi :

� Fungsi rasional :

� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)

� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.

� Fungsi irasional.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn

dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Suku Banyak

a. Fungsi konstan cxf =)(

b. Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .

c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf

d. Fungsi kubik 0,)( 3012

23

3 ≠+++= aaxaxaxaxf

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Pecah

� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

nn xaxaa

xf+++

=...

)( 10

disebut fungsi pecah.

mm

n

xbxbb

xaxaaxf

+++

+++=

...

...)(

10

10

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Pecah

� Contoh grafik f(x) = 1

)(dan1

−=

x

xxf

x

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Irasional

� Contoh

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

� Contoh

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

Pelajari hubungan fungsi trigonometri

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Kata inspirasi pertemuan ini

Berfikir

Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak sedikit yang bertindak. Ingat, tak

seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua

fikiran, harus diikuti oleh tindakan.

Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret